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18. Calcolo differenziale: esercizi

Esercizio 18.7. Determinare, se non espressamente indicato, il dominio

delle seguenti funzioni e studiarne la continuita e la derivabilita.

1. f(x) = logx(x ex); 2. f(x) =xx, x ]0, +[;

3. f(x) =x(xx), x ]0, +[; 4. f(x) = (xx)x, x ]0, +[;

5. (sen x)cosx.

R 1. Puo tornare comodo scriversi lespressione della funzione passandoalla base naturale con la formula del cambiamento di base:

f(x) =log(x ex)

log

x = 2

log x+x

log x = 2 +

2x

log x.

Il dominio e linsiemeD =]0, 1[]1, +[. La funzione e continua e derivabilein D . Si ha

d

dxf(x) =

d

dx2 + 2x

log x = 2log x 1

log2 x.

2. Essendo xx =ex log x, la funzione e continua e derivabile nel suo dominio]0, +[. Si ha

d

dx(xx) =

d

dxex log x =xx(log x+ 1).

3. Essendo x(xx) = ex

x log x la funzione e continua e derivabile nel suodominio ]0, +[. Si ha

d

dx

x(x

x)

= d

dx

ex

x log x

=xxx

xx(log x+ 1) log x+xx

1

x

=xxx

xx

log2

x+ log x+

1

x

.

1

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2 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo

5. Dovendo essere sen x > 0 il dominio e D =kZ

]2k, (2k + 1)[. La

funzione e continua e derivabile in D e si ha

d

dx((sen x)cosx) =

d

dxecosx logsenx

= (sen x)cosx sen x log sen x+ cos x cos x

sen x

.

Esercizio 18.10. Date le funzionif : R f(R) con legge

1. f(x) =

1 + 3x sex 2,

9. f(x) =

1 +ax2 sex 0

1 +x3 sex >0, 10. f(x) =

ax4 sex 13

x sex > 1,

a. dire per quali valori dia la funzione e invertibile; b. per il rispettivo valoredel parametro

1. a= 1; 2. a= 2; 3. a= 2; 4. a= 1; 5. a= 1;6. a= 1/2; 7. a=e; 8. a= 3; 9. a= 2; 10. a= 2

dire se la funzione e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio,

codominio e legge della funzione inversa; c. determinare per quali valori di

a, se ne esistono, f e continua inR; d. determinare per quali valori dia, sene esistono, f e derivabile inR.

R 1.a. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):

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P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo 3

x

y

1

a>-5 a=-5

a

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1.c. Per come e definita, la funzione e continua per ogni x = 0 qualunque siaa. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x= 0occorre calcolare (se esiste) il lim

x0f(x) e confrontarlo con f(0). Poiche

limx

0+f(x) = lim

x

0+6 ex +a= 6 +a

mentrelimx0

f(x) = limx0

1 + 3x= 1 a R,

allora il limite per x0 esiste ed e uguale a f(0) = 6 +a per ogni a Rtale che 6 + a= 1, cioea = 5 e pertanto f e continua in tutti i punti di Rsolo per a= 5.1.d. Possiamo restrigerci a considerare solo il casoa = 5 perche per a = 5la fnon essendo continua nel punto x = 0 non e neppure derivabile. Siadunquea = 5. Per come e definita, la funzione e derivabile per ogni x = 0con derivata

f(x) = 3 se x 0Per studiare la derivabilita in x = 0, consideriamo i limiti del rapportoincrementale in 0 da sinistra e da destra. Avendosi

limh0

f(h) f(0)h

= limh0

3h

h = 3,

limh0+

f(h) f(0)h

= limh0+

6(eh1)h

= 6,

allorafnon e derivabile nel punto x = 0 e quindi non esiste alcun valore dia tale che fsia derivabile in tutti i punti di R.

2.a. a

1.2.b. Pera = 2 la funzione e invertibile e si ha

f1(y) =

log y

2 se 0< y 2.

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3.c. a= 1.3.d. Non esistono.

4.a. 0.4.b. per = 1 la funzione e invertibile e si ha

f1(y) =

y se y

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limx

1+f(x) = lim

x

1+( log x) = log1 = 0

mentrelimx1

f(x) = limx1

ax+ 2 =a+ 2 a R,

allora il limite per x1 esiste ed e uguale a 0 = f(1) per ogni a R taleche 0 =a + 2, cioea = 2 e pertantof e continua in tutti i punti di Rsoloper a= 2.5.d. Possiamo restrigerci a considerare solo il casoa = 2 perche per a = 2la fnon essendo continua nel punto x = 1 non e neppure derivabile. Siadunquea = 2. Per come e definita, la funzione e derivabile per ogni x = 1con derivata

f(x) =

2 sex 1.Per studiare la derivabilita in x = 1, consideriamo i limiti del rapportoincrementale in 1 da sinistra e da destra. Avendosi

limh1

f(1 +h) f(1)h

= limh1

2hh

= 2,

limh1+

f(1 +h) f(1)h

= limh1+

log(1 +h)h

= 1,allora fnon e derivabile nel punto x= 1 e non esiste alcun valore di a talechefsia derivabile su tutto R.

6.a. a = 0.6.b. f1 :] /2, +[ R

f1(y) =

tg y se /2< y 0

y2 se y >0.

6.c. a = 0.6.d. a= 1.

7.a. a >1.7.b. si. f1 :]0, +[ R,

f1

(y) = log y se 0< y 1

y2 1 sey >1.

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7.c. a >0.

7.d. a=

e.

8.a. E invertibile per ogni a log3 4.8.b. Pera = 3 la funzione e invertibile con f1 :], 1[[log3, +[ Rdefinita da

f1(y) =

1 ey sey log3(y+ 3)/2 sey 0

a=0

a0 x= 3y 1 per 3

y 1> 0 x= 3

y 1 per y >1

e

y= 2x2 + 1 per x 0 x2 =1 y2

per x 0

x= 1

y

2 per y 1

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allora f1 : R Rcon legge

f1(y) =

3

y 1 se y >11 y

2 se y 1.



limx0+

f(x) = limx0+

1 +x3 = 1

mentrelimx0

f(x) = limx0

ax2 + 1 = 1 a R,allora il limite per x 0 esiste ed e uguale a 1 = f(1) per ogni a R epertantof e continua in tutti i punti di Rqualunque sia a R.9.d. Per come e definita, la funzione e derivabile per ogni x = 0 con derivata

f(x) =

3x2 sex >02ax sex 1.

10.c. a= 1. 10.d. Non esistono.Esercizio 18.11. Date le funzioni

1 . f : R f(R),

f(x) = 2x+1 sex 12 x sex > 1,

2. f :]0, +[ f(]0, +[),

f(x) = log x sex 1(x 1)2 sex >1,

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a. determinare i valori di per cui la funzione e invertibile; b. dire se per= 2 la funzione e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio,codominio e legge della funzione inversa; c. determinare per quali , sene esistono, f e continua nel dominio; d. determinare per quali , se neesistono, f e derivabile nel dominio.

R 1.a. = 2/3; 1.b.non esistono; 1.c.f e invertibile per >2/3 o

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