E-BOOK01 INVALSI Matematica - Aula01 · E-BOOK01 INVALSI Matematica Prova anno scolastico 2010 -...

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INVALSI Matematica

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E-BOOK01

INVALSI Matematica

Scuola secondaria di II grado


E-book01 INVALSI Matematica


Preparazione alle prove INVALSI

dell’anno scolastico 2010-2011

Le domande presenti in questo e-book sono prodotte e distribuite dall’Istituto

Nazionale per la Valutazione del Sistema Educativo di Istruzione e Formazione

(INVALSI).

Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento.

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INVALSI Matematica

Sommario



Prova anno scolastico 2010 – 2011 _______________________________________ 4

D1 ......................................................................................................................................................... 5

D2 ......................................................................................................................................................... 7

D3 ......................................................................................................................................................... 8

D4 ......................................................................................................................................................... 9

D5 ....................................................................................................................................................... 10

D6 ....................................................................................................................................................... 11

D7 ....................................................................................................................................................... 13

D8 ....................................................................................................................................................... 15

D9 ....................................................................................................................................................... 17

D10 ...................................................................................................................................................... 19

D11 ...................................................................................................................................................... 20

D12 ...................................................................................................................................................... 22

D13 ...................................................................................................................................................... 24

D14 ...................................................................................................................................................... 26

D15 ...................................................................................................................................................... 28

D16 ...................................................................................................................................................... 29

D17 ...................................................................................................................................................... 30

D18 ...................................................................................................................................................... 31

D19 ...................................................................................................................................................... 33

D20 ...................................................................................................................................................... 35

D21 ...................................................................................................................................................... 37

D22 ...................................................................................................................................................... 38

D23 ...................................................................................................................................................... 39

D24 ...................................................................................................................................................... 40

D25 ...................................................................................................................................................... 42

D26 ...................................................................................................................................................... 43

D27 ...................................................................................................................................................... 45

D28 ...................................................................................................................................................... 46

D29 ...................................................................................................................................................... 47

D30 ...................................................................................................................................................... 48

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INVALSI Matematica

Prova anno scolastico 2010 - 2011 4Scuola secondaria di II grado


Prova anno scolastico 2010 – 2011

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INVALSI Matematica Dati e previsioni



D1

D1. Nella tabella che vedi sono riportati i dati relativi alla distribuzione di alunni e

insegnanti nella scuola secondaria di primo grado in Italia.

Aree geografiche

Scuole Classi

Alunni (compresi i ripetenti)

Ripetenti

Insegnanti

Maschi e femmine

Femmine Maschi e femmine

Femmine

ITALIA 7939 82446 1 727 339 826 869 51 407 16 199 212 041

Nord 3381 33131 711 292 339 508 19 615 5 679 86 312

Centro 1358 14656 312 700 150 098 8 066 2 508 36 570

Sud 3200 34659 703 347 337 263 23 726 8 012 89 159

Sulla base dei dati in tabella, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Vero Falso

a. Nel Nord gli alunni maschi sono meno delle femmine

b. In Italia il rapporto insegnanti/classi è inferiore a 3

c. Nel Sud ci sono mediamente più di 10 classi per scuola

Per rispondere correttamente dobbiamo leggere attentamente la tabella per ricavare le informazioni da confrontare, quindi vediamo che seguendo la riga ‘Nord’ leggiamo in corrispondenza della colonna ‘Alunni-Maschi e femmine’ il dato: 711292; proseguendo sulla stessa riga in corrispondenza della colonna ‘Alunni-Femmine’ leggiamo il dato: 339508; Ora possiamo confrontare i due dati e rispondere alla domanda (a); infatti possiamo facilmente osservare che il numero di maschi e femmine è di poco superiore ai 700000 quindi se le femmine fossero di più, il loro il numero dovrebbe essere superiore alla metà di 700000, cioè 350000; invece abbiamo ricavato che sono circa 340000 quindi meno della metà (350000) e allora possiamo concludere che l’affermazione (a) risulta falsa, infatti i maschi sono più numerosi delle femmine. Per la precisione i maschi sono pari a : 711292 – 339508 = 371784 cioè ci sono 371784 – 339508 = 32276 maschi in più delle femmine.

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Per rispondere alla domanda (b) ricaviamo i dati dalla tabella; seguendo la riga ‘Italia’ alla colonna ‘Insegnanti’ leggiamo il dato: 212041 mentre alla colonna classi leggiamo il dato: 82446. Possiamo agevolmente comprendere che il rapporto è inferiore a 3 in quanto 80000 classi moltiplicate per 3 darebbero 240000 insegnanti dato superiore a quello letto in tabella di 212041, pertanto l’affermazione (b) risulta vera. Volendo fare i calcoli esatti avremo:

che risulta < 3

Per rispondere alla domanda (c) ricaviamo i dati dalla tabella; seguendo la riga ‘Sud’ alla colonna ‘Classi’ leggiamo il dato: 34659 mentre alla colonna ‘Scuole’ leggiamo il dato: 3200; moltiplicando il numero delle classi 3200 x 10 avremo 32000 classi che risulta inferiore a 34659 quindi al ‘Sud’ ci sono più di 10 classi per scuola, pertanto l’affermazione (c) risulta vera.

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D2

D2. La corriera passa alle 6:30 alla fermata dove sale Giorgio. Nel 40% dei casi è in

orario, nel 50% dei casi ha un ritardo di 5 minuti e nei rimanenti casi ha un

ritardo di 10 minuti. Se Giorgio arriva alla fermata alle 6:34, che probabilità ha

di prendere la corriera?

A. 10%

B. 40%

C. 50%

D. 60%

Per rispondere correttamente dobbiamo osservare che: Giorgio arrivando alle 6.34 ha la probabilità di prendere la corriera in due casi: 1) quando la corriera ha un ritardo di 5 minuti poiché si trova alla fermata prima delle 6:35 quindi rientra nella probabilità del 50% dei casi 2) quando la corriera ha un ritardo di 10 minuti poiché si trova alla fermata prima delle 6:40 quindi rientra nella probabilità restante dei casi, cioè il 10% [(100%-(50%+40%)) = 10 %] pertanto rientra nella probabilità complessiva del: 50% + 10% = 60% oppure si può anche rispondere considerando che la probabilità che la corriera arrivi in orario è del 40%; considerando che Giorgio ha un ritardo che comunque gli consentirebbe di prendere la corriera nel restante dei casi, la probabilità allora sarà pari a: 100% - 40% = 60%

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INVALSI Matematica Spazio e figure



D3

D3. Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm.

Quale tra le seguenti non può essere la misura della lunghezza del terzo lato?

A. 6,5 cm

B. 10 cm

C. 15,5 cm

D. 17 cm

Per rispondere correttamente occorre ricordare la seguente regola sui triangoli:

la misura di ogni lato deve essere minore della somma delle misure degli altri due. pertanto nel nostro caso la somma dei due lati è pari a: 6 cm + 10 cm = 16 cm quindi tra le alternative proposte l'unica che supera la somma dei due lati è l'alternativa (D) di 17 cm.

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INVALSI Matematica Numeri



D4

D4. Considera l’affermazione: “Per ogni numero naturale n, 2n+1 è un numero

primo”.

Mostra con un esempio che l’affermazione è falsa.

Per rispondere correttamente occorre ricordare che un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per se stesso, quindi occorre trovare almeno un caso in cui la suddetta regola non sia rispettata. Allora possiamo cominciare partendo con n=1 ricavando che: 2n + 1 = 21 + 1 = 3 che risulta primo in quanto è divisibile per 1 e per se stesso; proseguendo con n= 2 si ricava che: 2n + 1 = 22 + 1 = 5 che risulta primo in quanto è divisibile per 1 e per se stesso; proseguendo con n= 3 si ricava che: 2n + 1 = 23 + 1 = 9 che risulta essere un numero non primo in quanto è divisibile per 3; per n=4,8 avremo un numero primo mentre per n=5,6,7 si ricavano numeri non primi

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D5

D5. L’età della Terra è valutata intorno ai 4,5 × 109 anni. L’Homo Erectus è

comparso circa 106 anni fa. Qual è la stima che più si avvicina all’età che la

Terra aveva quando è comparso l’Homo Erectus?

A. 4,5 × 109 anni

B. 3,5 × 109 anni

C. 4,5 × 106 anni

D. 4,5 × 103 anni

Per rispondere correttamente occorre sottrarre i 106 anni alla stima dell’età della terra, cioè:

4,5 x 109

– 1 x 106

= 4.500 x 106 - 1 x 10

6 = 4.499 x 10

6 4,5 x 10

9

praticamente si ottiene lo stesso risultato di partenza, infatti abbiamo sottratto un milione a 4,5 miliardi cioè una quantità molto piccola se rapportata all’altra.

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D6

D6. Nel diagramma di figura 1 sono riportati i consumi elettrici (in TWh -

terawattora) in Italia dal 2000 al 2005 in funzione della provenienza dell’energia

dall’Autoproduzione, dal Mercato libero o dal Mercato vincolato.

I grafici A, B e C in figura 2 sono stati costruiti con gli stessi dati rappresentati

nel diagramma di figura 1.

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Confronta le figure 1 e 2 e completa le seguenti frasi indicando la provenienza

dell’energia (Autoproduzione, Mercato libero, Mercato vincolato).

a. Il grafico A corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da

Autoproduzione

b. Il grafico B corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da

Mercato libero

c. Il grafico C corrisponde all’andamento dei consumi di energia proveniente da

Mercato vincolato

Per rispondere correttamente è sufficiente osservare con attenzione il grafico a barre, infatti: a) i dati riportati nel diagramma relativi all’energia proveniente dall’autoproduzione sono praticamente costanti, quindi questa osservazione ci induce a ricercare un grafico con andamento quasi costante che facilmente si scopre essere quello contrassegnato con la lettera ‘A’ b) i dati riportati nel diagramma relativi all’energia proveniente dal mercato libero sono in continuo aumento, quindi questa osservazione ci induce a ricercare un grafico con andamento crescente che facilmente si scopre essere quello contrassegnato con la lettera ‘B’ c) i dati riportati nel diagramma relativi all’energia proveniente dal mercato vincolato sono in continua diminuzione, quindi questa osservazione ci induce a ricercare un grafico con andamento decrescente che facilmente si scopre essere quello contrassegnato con la lettera ‘C’.

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INVALSI Matematica Relazioni e funzioni



D7

D7. Il Signor Carlo scende dal tram all’incrocio di via Pietro Micca con via 20

Settembre (nella mappa che vedi qui sotto il punto è contrassegnato da un

asterisco).

a. Il Signor Carlo percorre 150 metri di via 20 Settembre e, all’incrocio con via

A.G.I. Bertola, svolta a destra risalendo fino all’incrocio con via G. Botero.

Quanti metri all’incirca ha percorso in tutto?

Risposta: 600 metri

Per rispondere correttamente occorre rilevare la lunghezza del tratto di Via Settembre. Lo si può fare con l’aiuto di un righello misurando direttamente sulla piantina la lunghezza del tratto suddetto; si può verificare che il tratto ha una lunghezza di circa 2,5 cm. (150 m) Si prosegue misurando con le stesse modalità il tratto percorso in via A.G.I. Bertola; si può verificare che il tratto ha una lunghezza di circa 7,4 cm. La lunghezza di questo tratto (7,4 cm) è pari a circa tre volte la lunghezza del tratto di Via Settembre (2,5 cm); poiché abbiamo visto che i 2,5 cm corrispondono ai 150 m per trovare la corrispondenza dell’altro tratto basterà moltiplicare 3 x 150 = 450 m. (cioè circa 450m corrispondono a 7,4 cm) La lunghezza del percorso complessivo sarà pari alla lunghezza di via settembre (150 m) più quella del tratto di via A.G.I. Bertola (450 m), quindi: 450m + 150 m = 600.

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b. Qual è, all’incirca, la scala della mappa?

A. 1:60

B. 1:600

C. 1:6000

D. 1:60000

Per trovare la scala della mappa dobbiamo cercare la relazione che intercorre tra la lunghezza assegnata (150 m) e quella ricavata dalla misura con il righello (2,5 cm). Innanzitutto occorre riferire le due lunghezze alla stessa unità di misura, pertanto trasformiamo i 150 m in cm, avremo:

150m = 150 * 100 = 15000 cm

ora calcoliamo il rapporto esistente tra le due misure e cioè:

quindi la scala della mappa è pari a 6000; ciò vuol dire che ad ‘1 cm’ sulla cartina corrispondono nella realtà ‘6000 cm’, cioè: ‘60 m’.

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D8

D8. La dimensione di un televisore è la misura della diagonale dello schermo

espressa in pollici (1 pollice = 2,54 cm). Nei televisori di nuova generazione il

rapporto tra la larghezza e l’altezza dello schermo è 16:9.

a. Se la larghezza dello schermo di uno di questi televisori è circa 57,5 cm, qual

è all’incirca la sua altezza?

Risposta: 32,34 cm

Per rispondere correttamente occorre ricordare che abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al rapporto tra gli ultimi due numeri. Nel nostro caso il rapporto tra i primi due numeri è pari a 16/9 che quindi dovrà essere uguale al rapporto tra 57,5/x dove ‘x‘ rappresenta la grandezza incognita, cioè l’altezza. Pertanto avremo:

cioè la proporzione 16 : 9 = 57,5 : X da cui si ricava:

;

;

Ora passiamo a ordinare tutti i numeri; la semiretta ha come primo numero lo zero quindi dobbiamo scegliere tra i nostri numeri quello più vicino allo zero ed indubbiamente è ‘0,5’ poi quello successivo a quest’ultimo, cioè ‘1,5’, poi ‘2’ ed infine ‘2,5’.

b. Da quanti pollici è il televisore?

A. 20 pollici (= 50,80 cm)

B. 26 pollici (= 66,04 cm)

C. 28 pollici (= 71,12 cm)

D. 32 pollici (= 81,28 cm)

Per rispondere correttamente occorre calcolare la dimensione della diagonale dello schermo. Riportiamo di seguito in figura le dimensioni della larghezza e della lunghezza precedentemente calcolata.

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Per calcolare la diagonale possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC, quindi:

√ √

La misura della diagonale ottenuta va espressa in pollici dividendola per 1 pollice = 2,54 cm, quindi:

diagonale =

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D9

D9. Nella figura è rappresentato un cubo.

Il triangolo ABC ha come lati uno spigolo del cubo, la diagonale di una sua

faccia e una diagonale del cubo.

a. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

Vera Falsa

a1. Il lato AB è uguale al lato AC

a2. Il triangolo ABC è rettangolo

a3. Il lato BC è il più lungo dei tre

a4. L’angolo ABC è di 45°

Per rispondere correttamente occorre ricordare che un cubo è formato da 6 facce quadrate uguali; ogni faccia è un quadrato di lato L. Ora rispondiamo ai quesiti: a1) Il lato AC = L; il lato AB non è uguale a L in quanto rappresenta la diagonale del quadrato che ha una lunghezza maggiore di L, quindi l’affermazione è falsa.

a2) L’angolo in ‘A’ è retto pertanto il triangolo ABC è rettangolo, quindi l’affermazione è vera. a3) Il lato BC rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e quindi è il più lungo dei tre, pertanto l’affermazione è vera.

a4) L’angolo A ̂C non può essere di 45° in quanto:

l’angolo in ‘A’ è retto quindi è pari a 90°; la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180° quindi la somma degli altri due angoli deve essere pari ai restanti 90°

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l’angolo in ‘B’ per essere pari a 45° dovrebbe essere uguale all’altro angolo in ‘C’ ma questo accade sole il triangolo ABC è un triangolo isoscele, ma poiché (AB > AC) il triangolo ABC non è isoscele e quindi l’angolo in ‘B’ non può essere pari a 45°, pertanto l’affermazione risulta falsa.

b. Se lo spigolo del cubo misura 1 m, quanto misurano i lati del triangolo ABC?

AC = 1 m

AB = √ m

BC = √ m

AC ha la lunghezza pari a quella dello spigolo del cubo quindi misura 1 m. AB è la diagonale di un quadrato con lato 1 m pertanto possiamo applicare il teorema di Pitagora

√ √

BC è l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC pertanto possiamo applicare di nuovo il teorema di Pitagora

√ √ √ √ √

1

1

C

A

B

1

√𝟐

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D10

D10. Qual è la metà del numero (

)

?

A. (

)

B. (

)

C. (

)

D. (

)

Per rispondere correttamente occorre:

osservare che dividere per 2 equivale a moltiplicare per ½

ricordare le proprietà sulle potenze Ora rispondiamo al quesito; per quanto detto eseguiamo la moltiplicazione tra:

(

)

(

)

(

)

infatti per la proprietà sulle potenze il prodotto tra due potenze che hanno la stessa base è uguale ad una potenza con la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

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D11

D11. La relazione seguente esprime la spesa annuale per l’automobile, composta da

una parte fissa e da una parte proporzionale al numero di km percorsi:

S = F + c k

dove F sono le spese fisse, c è il costo al km e k è il numero di km percorsi.

Nella tabella sono riportate le spese fisse e il costo al km per alcuni tipi di

automobile.

Auto A Auto B Auto C Auto D

Spese fisse F 900 euro 580 euro 650 euro 1200 euro

Costo al km c 0,25 euro/km 0,33 euro/km 0,27 euro/km 0,31 euro/km

a. Se percorro 10 000 km all’anno, quale auto è più conveniente?

A. L’auto A

B. L’auto B

C. L’auto C

D. L’auto D

Per rispondere occorre fare i calcoli che si potrebbero fare anche mentalmente visto che bisogna

moltiplicare per 10.000, comunque di seguito li riportiamo:

Auto A) S = 900 + 0,25 x 10.000 = 900 + 2500 = 3400

Auto B) S = 580 + 0,33 x 10.000 = 580 + 3300 = 3880

Auto C) S = 650 + 0,27 x 10.000 = 650 + 2700 = 3350

Auto D) S = 1200 + 0,31 x 10.000 = 1200 + 3100 = 4300

pertanto si vede facilmente che l’auto più conveniente risulta la ‘C’.

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b. Il proprietario di un’auto di tipo A ha speso 3 000 euro in un anno. Quanti

km ha percorso?

Per rispondere correttamente occorre impostare l’equazione: 900 + 0,25 K = 3000 quindi risolviamola 0,25 k = 3000 - 900 0,25 k = 2100 k = 2100 / 0,25 = 8400 km numero di chilometri che risulta ovviamente inferiore ai 10000 km del caso precedente, infatti la spesa era leggermente superiore (3400).

c. Se confrontiamo un’auto di tipo B con una di tipo D, possiamo dire che

A. è sempre più economico utilizzare l'auto di tipo B

B. è sempre più economico utilizzare l'auto di tipo D

C. l’auto di tipo B conviene fino a un certo numero di km annuali, oltre

questo numero conviene l’auto di tipo D

D. l’auto di tipo D conviene fino a un certo numero di km annuali, oltre

questo numero conviene l’auto di tipo B

Per rispondere correttamente occorre impostare la disequazione: 580 + 0,33 k 1200 + 0,31 k quindi risolviamola 0,33 k – 0,31 k 1200 – 580 0,02 k 620 k 620 / 0,02 31000 km pertanto per un numero di km superiore ai 31000 risulta più conveniente l’auto di tipo ‘D’.

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D12

D12. Osserva il seguente grafico che rappresenta l’andamento delle temperature

(scala a sinistra) e delle precipitazioni piovose (scala a destra) in Italia negli

ultimi anni.

Figura 1. Media annua della temperatura media, massima e minima giornaliera e precipitazioni totali annue in

Italia. Anni 2000 2009 (temperatura in gradi Celsius e precipitazioni in millimetri)

Indica per ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa o se non si può

ricavare dal grafico (metti una crocetta per ciascuna riga).

Vero Falso Non si

può ricavare

a. Nel decennio 2000-2009 la temperatura media annua è risultata più alta di 0,8 gradi rispetto al periodo 1971-2000

b. L’anno 2003 è quello in cui si è registrato il più alto valore per la media delle temperature massime

c. L’anno 2005 è quello in cui si è registrato il più alto valore per la media delle temperature minime

d. L’anno in cui la media delle temperature massime è stata più alta è anche quello in cui le precipitazioni sono state minori

e. L’anno 2005 è quello in cui c’è stato il giorno più freddo

f. Il 2004 è stato l’anno più piovoso

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Per rispondere occorre osservare attentamente il grafico e rilevare che:

• le precipitazioni sono individuate dai rettangoli:

• la media delle temperature medie dal tratto grafico:

• la media delle temperature minime dal tratto grafico:

• la media delle temperature massime dal tratto grafico: ora rispondiamo ai quesiti: a) Non si può fornire alcuna risposta in quanto viene richiesto di effettuare una comparazione tra due periodi, il decennio 2000-2009 ed il periodo 1971-2000, ma quest’ultimo non è riportato sulle ascisse del grafico. b) Dapprima bisogna individuare il tratto del grafico che rappresenta l’andamento delle media per le temperature massime che corrisponde a quello riportato con il seguente simbolo; poi si verifica facilmente che il punto più in alto su questo andamento grafico è proprio quello relativo all’anno 2003, quindi l’affermazione risulta vera. c) Dapprima bisogna individuare il tratto del grafico che rappresenta l’andamento delle media per le temperature minime che corrisponde a quello riportato con il seguente simbolo; poi si verifica facilmente che il punto in corrispondenza all’anno 2005 non rappresenta il più alto valore bensì il più basso valore per la media delle temperature minime, quindi l’affermazione risulta falsa. d) Abbiamo già individuato precedentemente il punto relativo al valore maggiore per la media delle temperature massime in corrispondenza dell’anno 2003; le precipitazioni sono individuate dai rettangoli e quindi possiamo facilmente leggere sul grafico per l’anno 2003 un valore pari a circa 700 mm mentre si osserva per l’anno 2001 un valore pari a circa 600 mm, quindi minore e pertanto l’affermazione risulta falsa. e) Non si può fornire alcuna risposta in quanto l’informazione richiesta non si può ricavare perché sappiamo soltanto che il 2005 è stato l’anno in cui è stata più bassa la media delle temperature minime. f) L’affermazione risulta falsa perché si vede facilmente che il rettangolo più alto è quello relativo all’anno 2002 e non 2004.

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D13

D13. L’insegnante di inglese dà ai suoi studenti un test formato da 25 domande e

spiega che il punteggio totale p è calcolato assegnando 4 punti per ogni risposta

esatta e togliendo 2 punti per ogni risposta sbagliata o mancante.

a. Il punteggio massimo possibile è

Risposta: 100

b. Scrivi la formula che fornisce il punteggio p complessivo, indicando con n il

numero di risposte esatte.

Risposta: p = n 4 + (25 –n) 2

c. Se la sufficienza si ottiene con più di 60 punti, qual è il numero minimo di

domande al quale occorre rispondere correttamente per avere la sufficienza?

Risposta: 19 Per rispondere ai quesiti occorre tenere presente che:

• per ogni risposta esatta vanno assegnati + 4 punti • per ogni risposta sbagliata o mancante vanno assegnati - 2 punti

a) Ovviamente il punteggio massimo si otterrà solo nel caso in cui si sia fornito una risposta corretta a tutte le ‘25’ domande, pertanto potremo calcolare il punteggio nel seguente modo: p = 25 x 4 = 100 punti b) per individuare la formula possiamo ragionare nel seguente modo:

• detto ‘n’ il numero delle risposte esatte queste daranno un punteggio pari a: n x 4 • le risposte sbagliate o mancanti saranno pari al numero complessivo delle domande

(25) meno il numero delle risposte esatte, cioè: (25 – n) • il loro numero darà un punteggio negativo pari a: (25 –n) x 2

(es. se si forniscono 20 risposte esatte si avrà (25 – 20) x 2 = 10 punti da sottrarre)

unendo le espressioni che abbiamo ricavato precedentemente possiamo scrivere la formula, cioè: p = n x 4 – (25 – n) x 2

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quindi riprendendo l’esempio precedente avremo che avendo fornito 20 risposte esatte il punteggio complessivo sarà: p = 20 x 4 – (25 – 20) x 2 = 70 punti c) per rispondere a questo quesito dobbiamo impostare una disequazione; prendiamo la formula ricavata precedentemente e poniamo che essa ci dovrà restituire un punteggio maggiore o uguale a 60, cioè: n x 4 – (25 – n) x 2 ≥ 60 risolviamo la disequazione n x 4 - 50 + 2 x n ≥ 60 n x 4 + 2 x n ≥ 60 + 50 n x 6 ≥ 110 n ≥ 110/6 ≥ 18,33 per cui Il primo numero intero successivo al valore trovato sarà: 19 Verifica: 19 x 4 – (25 – 19) x 2 = 76 - 12 = 64 (con 19 domande esatte sufficienza raggiunta) 18 x 4 – (25 – 18) x 2 = 72 - 14 = 58 (con 18 domande esatte sufficienza non raggiunta)

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D14

D14. L’insegnante chiede: “Se n è un numero naturale qualsiasi, cosa si ottiene

addizionando i tre numeri 2n+1, 2n+3 e 2n+5 ?”

Mario afferma: “Si ottiene sempre il triplo di uno dei tre numeri”.

Luisa risponde: “Si ottiene sempre un numero dispari”.

Giovanni dice: “Si ottiene sempre un multiplo di 3”.

Chi ha ragione?

A. Tutti e tre

B. Solo Mario

C. Solo Luisa

D. Solo Giovanni

Per rispondere correttamente è conveniente cercare una rappresentazione diversa dell’espressione, perciò partiamo dalla somma: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 svolgiamo le somme per i termini simili 6n + 9 mettiamo in evidenza il fattore comune 3 3(2n + 3) da quest’ultima possiamo dire subito che si otterrà sempre il triplo del numero (2n + 3) che ovviamente indipendentemente da n sarà sempre un numero dispari, quindi in definitiva si ha sempre il triplo di un numero dispari pertanto Luisa e Giovanni hanno ragione. Resta da verificare l’affermazione di Mario e per farlo possiamo pensare di disporre i numeri su una semiretta come nel modo seguente:

n = 1

3 5 7 15

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n = 2

possiamo notare che il numero ottenuto come somma è sempre il triplo del secondo dei tre numeri dispari consecutivi, pertanto anche Mario ha ragione ed allora possiamo concludere che tutti e tre hanno ragione.

21 5 7 15 9

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D15

D15. Dividere un numero per 0,2 è lo stesso che moltiplicarlo per

A.

B.

C. 2

D. 5

Per rispondere correttamente occorre ricordare che dividere un numero razionale ‘x’ per un numero razionale non nullo ‘y’ equivale a moltiplicare ‘x’ per l’inverso di ‘y’, cioè:

ad esempio proviamo a dividere il numero ‘6’ per 0,2 avremo:

convertiamo il numero decimale in frazione, avremo:

pertanto dividere un numero per 0,2 è lo stesso che moltiplicarlo per 5.

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D16

D16. L’espressione 1037

+ 1038

è anche uguale a

A. 2075

B. 107

C. 11 1037

D.

Per rispondere correttamente occorre porre attenzione all’ordine di grandezza dell’espressione; l’ordine di grandezza per la somma tra 1037 e 1038 è ovviamente 1038 e quindi in base a questa osservazione potremo subito escludere le alternative A, B, D in quanto hanno tutti ordini di grandezza diversi da 1038 Comunque possiamo calcolare la somma nel seguente modo:

ottenendo come risultato proprio quello riportato per l’alternativa ‘C’.

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D17

D17. Quale fra le rette a, b e c, nel piano della figura, è un asse di simmetria del

parallelogramma PQRS?

A. La retta a

B. La retta b

C. La retta c

D. Nessuna delle tre

Per rispondere correttamente occorre ricordare che il parallelogramma ha solo un centro di simmetria posto nel punto d’incontro delle diagonali e non ha assi di simmetria. Sol nel caso in cui il parallelogramma sia un rettangolo od un rombo allora ha due assi di simmetria. Pertanto osservando il parallelogramma in figura non avendo alcuna informazione che esso sia un rettangolo od un rombo possiamo concludere affermando che nessuna delle tre rette è un asse di simmetria. (Opzione ‘D’)

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D18

D18. L’unità di misura riportata sugli assi cartesiani rappresenta 1 cm.

7

6

5

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Calcola l’area del quadrilatero ABCD.

Risposta: 15 cm2

Per rispondere correttamente occorre scomporre la figura in più figure di cui si conosce il modo per calcolarne l’area; ad esempio possiamo scomporre la figura tracciando una retta dal punto ‘B’ al punto ‘D’ ottenendo due figure; il triangolo ABD ed il triangolo BCD per i quali possiamo calcolare le rispettive aree:

1 cm

1 cm

A

1 cm

B

1 cm

C

1 cm

D

1 cm

0

1 cm

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Area (ABD)

Area (BCD)

quindi l’area complessiva sarà pari a: 3 cm

2 + 12 cm

2 = 15cm

2

7

6

5

4

3

2

1

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Si sarebbe anche potuto procedere disegnando dapprima il rettangolo, con linea di contorno rosso, esterno alla figura e poi sottrarre all’area di quest’ultimo le aree dei tre triangoli visibili in figura, cioè:

Area rettangolo =

Area (triangolo celeste)

Area (triangolo giallo)

Area (triangolo verde)

7

6

5

4

3

2

1

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

quindi l’area complessiva sarà pari a:

30 cm2 – ( 3 cm

2 + 6 cm

2 + 6 cm

2) = 30 cm

2 – 15 cm

2 = 15 cm

2

1 cm

1 cm

A

1 cm

B

1 cm

C

1 cm

D

1 cm

0

1 cm

1 cm

1 cm

A

1 cm

B

1 cm

C

1 cm

D

1 cm

0

1 cm

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D19

D19. La seguente tabella riporta il peso alla nascita, suddiviso in 4 classi, di 30

neonati:

Classi di peso (in kg) Numero neonati

Da 1 kg e fino a 2 kg 7

Più di 2 kg e fino a 3 kg 8



Quale delle seguenti espressioni devi usare per trovare il peso medio dei 30

neonati?

A.

B.

C.

D.

Per rispondere correttamente occorre dapprima calcolare il peso medio per ogni classe di peso nel seguente modo:

Classi di peso (in Kg) Peso medio classe

Da 1 kg e fino a 2 kg

Più di 2 kg e fino a 3 kg



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Poi bisogna calcolare la media ponderata o pesata; cioè dobbiamo sommare i vari prodotti calcolati, tra ogni ‘peso medio classe’ ed il numero di neonati corrispondente, diviso il numero complessivo di neonati, vale a dire:

Peso medio =

quindi il peso medio per ogni neonato è di 2,86 kg cadauno.

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D20

D20. Il grafico rappresenta l’andamento del cambio euro-dollaro nel periodo 3

settembre 2009 - 3 marzo 2010.

a. In base al grafico in quale periodo mi sarebbe convenuto cambiare i miei

euro in dollari per andare negli Stati Uniti?

A. Dal 3 settembre al 21 ottobre 2009

B. Dal 21 ottobre al 25 novembre del 2009

C. Dall’11 gennaio al 28 gennaio 2010

D. Dal 18 febbraio al 3 marzo 2010

Per rispondere al quesito a) occorre leggere con attenzione il grafico e cercare il periodo nel quale il cambio euro-dollaro sia il più conveniente; ovviamente questo si verifica quando l’indice di cambio è più alto e cioè nel periodo -21 ottobre – 25 novembre – infatti in questo periodo abbiamo un indice di cambio tra 1,5 e 1,51 e ciò significa che per ogni euro avremmo ricevuto un dollaro e mezzo; in tutti gli altri periodi il cambio risulta più sfavorevole. b. L’agenzia ‘A’ offre un cambio euro-dollaro a 1,45 mentre l’agenzia ‘B’ offre un cambio euro-dollaro a 1,35; seleziona tra le due alternative proposte quella corretta.

• b1- L’agenzia ‘B’ è più conveniente perché per ricevere un dollaro bastano 74 centesimi di euro

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• b2- L’agenzia ‘A’ è più conveniente perché per ogni € si ricevono 1,45 $ è evidente che l’agenzia ‘A’ offre un cambio migliore, infatti concede 1,45 $ per ogni euro mentre l’agenzia ‘B’ concede 1,35 $ per ogni euro.

b. Se Maria il 18 febbraio 2010 cambia 1 000 euro in dollari, quanti dollari

riceve in cambio?

Risposta: 1340 dollari

Per rispondere basta osservare che il 18 febbraio l’indice di cambio è pari a 1,34 quindi sapendo che:

moltiplichiamo ambo i membri per 1000 e avremo:

(

)

c. Sempre lo stesso giorno (18 febbraio), quanti euro deve cambiare Maria per

avere 1 000 dollari?

Risposta: 746,27 euro

Scrivendo l’espressione con i dati del quesito avremo:

ricaviamo l’incognita ‘x’

in maniera più pratica è sufficiente osservare che fissato un indice di cambio se voglio sapere quanti dollari riceverò basterà moltiplicare il numero degli euro da cambiare per l’indice di cambio viceversa se voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per ricevere un numero determinato di dollari basterà dividere il numero dei dollari per l’indice di cambio.

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D21

D21. Quale fra le seguenti uguaglianze è corretta, qualunque sia il numero reale che

sostituisce la x?

A. √

B. √

C. √ | |

D. √ | |

Per rispondere correttamente occorre sapere che per ogni numero reale si ha che:

√ | | Per comprenderlo supponiamo di avere due numeri reali e reali, che , e che per ottenere la calcoliamo la radice quadrata di per esempio se scegliamo implica che e che quindi:

√ perché ; ora osserviamo però che: √ √ ma non è vero che:

√ .

Quindi si conclude che la radice quadrata di non è ma il valore assoluto | |.

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D22

D22. Il polinomio x4 – 16 è divisibile per

A.

B.

C.

D.

Per rispondere correttamente occorre ricordare la regola secondo cui la differenza fra i quadrati di due monomi si scompone moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza, cioè:

Pertanto possiamo scrivere che:

Dai fattori ottenuti vediamo che il polinomio non è divisibile per nemmeno per ) e neanche per

mentre risulta divisibile per , pertanto va selezionata l’opzione ‘C’.

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D23

D23. Le dimensioni di una piazza rettangolare di una grande città sono circa 620 m ×

120 m.

Le stime comparse sui giornali sul numero di partecipanti a una manifestazione

che ha riempito la piazza variano da 100 000 a oltre 1 000 000.

a. Sapendo che diverse fotografie scattate durante la manifestazione

evidenziano una densità di circa 4 persone al metro quadro, che cosa si

può concludere circa l’effettivo numero dei partecipanti?

A. Le stime dei giornali sono tutte errate perché dalle informazioni

disponibili i partecipanti non potevano essere più di 20 000.

B. Una stima ragionevole è di circa 300 000 partecipanti.

C. Ha ragione chi ha parlato di più di un milione di partecipanti.

D. La piazza non può contenere molte persone più di uno stadio, quindi

c’erano meno di 150 000 partecipanti.

Per rispondere correttamente occorre osservare che l’espressione “una densità di circa 4 persone al metro quadro” indica che ci sono 4 persone per ogni metro quadrato di superficie. Pertanto per stimare il numero di partecipanti sarà sufficiente calcolare l’area e moltiplicare per ‘4’. Quindi calcoliamo l’area ricordando che l’area del rettangolo è uguale al prodotto tra base e altezza: Area piazza = 620 x 120 = 74.400 m2 Numero partecipanti = 74.400 x 4 = 297.600 Pertanto l’opzione da selezionare è la ‘B’.

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D24

D24. La formula l = l0 + k · P esprime la lunghezza l di una molla al variare del peso

P applicato. l0 rappresenta la lunghezza in centimetri “a riposo” della molla; k

indica di quanto si allunga in centimetri la molla quando si applica una unità di

peso.

Quale delle formule elencate si adatta meglio alla seguente descrizione:

"È una molla molto lunga e molto resistente alla trazione"?

A. l = 15 + 0,5 · P

B. l = 75 + 7 · P

C. l = 70 + 0,01 · P

D. l = 60 + 6 · P

Per rispondere esaminiamo la formula : . Cominciamo con il considerare il parametro che rappresenta la lunghezza della molla a riposo, cioè quando ad essa non viene applicato alcun peso pertanto la formula con il peso = o diventa: per Quindi comparando le 4 opzioni proposte possiamo escludere le opzioni ‘A’ e ‘D’ in quanto presentano valori di minori a quelli presenti nelle opzioni ‘B’ e ‘C’. Per scegliere tra le due opzioni continuiamo ad esaminare la formula; il prodotto rappresenta l’incremento alla lunghezza della molla in funzione del peso applicato. Poiché si tratta di una molla molto resistente questo incremento di lunghezza risulterà abbastanza contenuto anche per pesi di entità elevata. L’incremento è rappresentato dal fattore k e quindi dovremo scegliere la formula che a parità di peso presenti un fattore k minore. Confrontando le due formule relative alle opzioni ‘B’: e ‘C’: ovviamente la scelta cade sull’opzione ‘C’.

Ora dobbiamo verificare considerando i due parametri insieme quale delle due formule descrive il tipo di molla indicato. Nelle due formule possiamo notare che la differenza tra i due parametri è minima, mentre tra i due parametri la differenza è notevole infatti si hanno per la molla relativa all’opzione ‘B’ allungamenti molto maggiori rispetto alla molla relativa all’opzione ‘C’. Pertanto l’opzione da selezionare è la ‘C’ cioè:

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Lo si può verificare anche con un esempio numerico; supponiamo di utilizzare un peso di 100g avremo:

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D25

D25. Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo è composto dal

costo base più l’IVA, pari al 20% del costo base. Quanto è stato pagato di IVA?

Risposta: 50 euro Per rispondere conviene impostare la formula per il calcolo del prezzo composto, cioè del prezzo base più l’iva, quindi: Prezzo composto = costo base + costo base x IVA sostituendo i dati si ha:

Per calcolare l’IVA basta fare la differenza tra prezzo composto e costo base, cioè:

IVA = Prezzo composto - costo base = 300 – 250 = 50 euro In pratica si sarebbe potuto anche procedere calcolando direttamente l’IVA:

IVA = 300 – (300/1,2) = 300 – 250 = 50 euro

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D26

D26. Nelle prime due colonne di un foglio elettronico sono state calcolate alcune

coppie di valori (x, y) di una funzione.

Quale tra le seguenti è la funzione di cui sono stati calcolati i valori (x, y)?

A. √

B. √

C. √

D. y √

Per rispondere conviene esaminare le varie opzioni e verificare se le coppie di valori possono essere state calcolate con la funzione proposta.

L’opzione ‘A’ va scartata in quanto la coppia (2, 1) non soddisfa l’equazione √ infatti con

si ha √ che è diverso da

L’opzione ‘B’ va scartata in quanto la coppia (1, 0) non soddisfa l’equazione √ infatti con

si ha √ che è diverso da

L’opzione ‘D’ va scartata in quanto la coppia (1, 0) non soddisfa l’equazione √ infatti con si ha che è diverso da

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L’opzione ‘C’ risulta corretta in quanto tutte le coppie di valori presenti nella tabella soddisfano

l’equazione √ come si può facilmente verificare.

In altro modo si sarebbe anche potuto osservare che i valori della x diminuiti di 1 sono dei quadrati perfetti e che quindi l’unica opzione corretta è rappresentata dalla ‘C’.

Es. per si ha √

per si ha √ come indicato in tabella.

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D27

D27. Carlotta, nel periodo di Natale, lavora come commessa in un negozio di

calzature e guadagna 8 euro all’ora più una commissione del 5% sul ricavo

totale delle scarpe che riesce a vendere. Quale formula esprime il suo guadagno

g, se lavora h ore e vende scarpe per un valore totale di s euro?

A. g = 8h + 0,05s

B. g = 8h + 0,5s

C. g = 5h + 8s

D. g = 8h + 5s

Per rispondere conviene prendere in considerazione la prima parte del problema; se Carlotta guadagna 8€ all’ora si può calcolare questa prima parte del guadagno (g1) moltiplicando la paga oraria per il numero di ore, cioè: nella seconda parte del problema bisogna considerare che Carlotta riceve una commissione del 5% sul ricavo totale delle scarpe pertanto possiamo calcolare questa seconda parte del guadagno (g2) moltiplicando il ricavo ‘s’ per la percentuale del 5%, cioè del 5/100 pari a 0,05 quindi: Per ottenere la formula completa sommiamo i due guadagni parziali, cioè: Pertanto l’opzione da selezionare è la ‘A’.

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D28

D28. In un torneo di calcio fra scuole una squadra guadagna 3 punti se vince, 1 punto

se pareggia e nessun punto se perde. Una squadra ha vinto tante partite quante

ne ha pareggiate. Quale dei seguenti punteggi non può aver totalizzato la

squadra?

A. 24

B. 28

C. 30

D. 32

Per rispondere conviene impostare un’equazione; indichiamo con ‘v’ le partite vinte, con ‘p’ le partite pareggiate quindi scriviamo: come indicato nel quesito: p = v quindi:

Si comprende che il punteggio deve essere multiplo di 4; esaminando le opzioni l’unico punteggio proposto a non essere multiplo di 4 è quello dell’opzione ‘C’ (30), quindi è l’opzione da selezionare. Verifichiamo le altre opzioni sostituendo il valore del punteggio nell’equazione trovata:

A)

quindi 6 partite vinte e 6 partite pareggiate: 18 + 6 = 24

B)


D)


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D29

D29. L’espressione

si può rappresentare mediante il numero

decimale

A. 98,72

B. 9,8072

C. 0,9872

D. 0,98072

Per rispondere correttamente basta scrivere ogni frazione come numero decimale, cioè: 9/10 = 0,9 8/100 = 0,08 7/10000 = 0,0007 2/100000 = 0,00002 e poi eseguire la somma: 0,9 + 0,08 + 0,0007 + 0,00002 ossia 0,98072.

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D30

D30. Il quadrilatero A’B’C’D’ è ottenuto applicando al quadrilatero ABCD una

trasformazione.

Di quale trasformazione si tratta?

A. Traslazione

B. Simmetria rispetto all’asse y

C. Simmetria rispetto all’asse x

D. Rotazione attorno all’origine

Per rispondere correttamente basta osservare la relazione intercorrente tra i punti rappresentanti i vertici del poligono; si può vedere facilmente che le coppie di punti A e A', B e B', C e C', D e D' hanno tutti uguale ascissa e come ordinata lo stesso valore ma segno opposto; ricordando che nella simmetria assiale il simmetrico del punto P(x,y) rispetto all’asse delle x è il punto P’(x, -y) possiamo concludere affermando che la trasformazione applicata è la simmetria rispetto all'asse x Per ulteriore conferma basta osservare che ruotando la figura posta nel primo quadrante attorno all'asse x si ha che la figura si sovrappone perfettamente alla figura posta nel quarto quadrante proprio come accade in una trasformazione di simmetria rispetto all'asse x.

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