CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE PIANE

ANALISI CINEMATICA ANALISI STATICA ESEMPI

ricerca della esistenza di atti di moto rigido della struttura

a prescindere dalle cause che lo generano

ricerca della possibilit di equilibrio statico della struttura

per la specifica condizione di carico applicata

ATTO DI

MOTO

CLASSIFICAZIONE

STRUTTURA VINCOLI

CONDIZIONE

CINEMATICA EQUILIBRIO

CLASSIFICAZIONE

STRUTTURA

REAZIONI

VINCOLARI

CONDIZIONE

STATICA

tutti necessari v = 3n

isodeterminata

sempre

consentito dai vincoli

EQUILIBRATA

tutte necessarie

isostatica

v = 3n non consentito dai vincoli

FISSA

sovrabbondanti v > 3n

iperdeterminata

sempre

consentito dai vincoli

EQUILIBRATA

sovrabbondanti

iperstatica

v > 3n

tutte necessarie

staticamente determinata

v < 3n

v = 3n

consentito

per

particolari

condizioni

di carico

dai vincoli

EQUILIBRATA

sovrabbondanti

staticamente indeterminata

v > 3n

v < 3n

v = 3n

consentito

dai vincoli

LABILE

insufficienti v < 3n

sufficienti ma maldisposti

v = 3n

sovrabbondanti ma maldisposti

v > 3n

ipodeterminata

non

consentito

dai vincoli

NON

EQUILIBRATA

insufficienti

ipostatica

v > 3n

NOTE: n = numero di elementi strutturali v = numero di condizioni elementari di vincolo

G. ZAVARISE 23/04/2007

Polinomi di terzo grado - Soluzione mediante la Formula di Cardano

Giorgio ZavariseDept. of Innovation Engineering - University of Salento

March 8, 2007

1 PremessaQuesto materiale didattico non stato ancora sottoposto a revisione. Si prega disegnalare eventuali errori o imprecisioni via e-mail allautore: giorgio.zavarise@unile.it.

2 Soluzione generalePer individuare le radici dellequazione

x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)

la soluzione si consegue utilizzando la formula di Cardano. Il metodo richiede unatrasformazione mediante cambio di variabile, al fine di eliminare il termine di secondogrado. Il risultato si consegue applicando la sostituzione

x = y 13a (2)

che permettere di riscrivere lequazione originale come

y3 + py + q = 0 (3)

dove

p = b 13a2, q =

227

a3 13ab+ c (4)

Per questa equazione la soluzione data dalla formula di Cardano

y =3

(p3

)3+(q2

)2+

q

2 3(p

3

)3+(q2

)2 q

2(5)

La soluzione pu presentare radici reali e radici immaginarie. Ulteriori dettagli possonoessere reperiti in vari siti web. Sono interessanti, in particolare i seguenti url:

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_gradohttp://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_cubicahttp://www.matematicamente.it/storia/lequazione_di_terzo_grado.html

3 Soluzione particolare per il caso a radici tutte realiConsideriamo il caso particolare a radici reali

x3 ax2 bx c = 0 (6)Il segno negativo dei coefficienti stato introdotto per avere la stessa strutturadellequazione che si ottiene in generale nella ricerca delle tensioni o delle deformazioniprincipali. In questo caso a, b e c corrispondono, rispettivamente al primo, secondo eterzo invariante.Coerentemente con il metodo generale, la soluzione richiede la determinazione di due

parametri di trasformazione, che in questo caso diventano

p = b 13a2, q = 2

27a3 1

3ab c (7)

mediante questi coefficienti possibile riscrivere lequazione eliminando il terminequadratico. La soluzione, essendo certi del fatto che le radici sono reali, possonoesssere ottenute introducendo i seguenti ulteriori parametri

r = 213p = arccos

(4q

r3

)(8)

f1 = cos(

3

), f2 = cos

( + 2pi

3

), f3 = cos

( + 4pi

3

)(9)

che permettono di determinare la soluzione come

1

x1 =rf1 +13a (10)

x2 =rf2 +13a (11)

x3 =rf3 +13a (12)

4 EsempioCostruiamo per comodit unequazione cubica di cui conosciamo a priori le radici, cheassumiamo essere le seguenti

x1 = 5, x2 = 3, x3 = 2 (13)La costruzione dellequazione avviene, semplicemente, mediante il prodotto di tremonomi

(x 5) (x 3) (x+ 2) = 0 (14)Lo sviluppo dellequazone fornisce i seguento risultati

(x2 3x 5x+ 15) (x+ 2) = (x2 8x+ 15) (x+ 2)

= x3 + 2x2 8x2 16x + 15x+ 30 = 0 (15)La forma finale dellequazione, da utilizzarsi nel nostro caso come equazione di partenzaper ricavarne le radici con il metodo delineato al paragrafo precedente, quindi

x3 6x2 1x+ 30 = 0 (16)Concordemente con i segni del caso particolare, i coefficienti sono pari a

a = 6, b = 1, c = 30 (17)Le costanti p e q diventano quindi

p = b 13a2 = 1 1

362 = 13 (18)

q = 227

a3 13ab c = 2

2763 1

36 1 (30) =

= 227

216 2 + 30 = 16 2 + 30 = 12 (19)

mentre le ulteriori costanti r e assumono i seguenti valori

r =213p = 2

13(13) = 4.163332 (20)

=arccos(4q

r3

)= arccos

( 4 124.1633323

)= 2.298487 (21)

mentre per quanto riguarda f1, f2 ed f3 si ottiene

f1 = cos(

3

)= cos

(2.298487

3

)=0.720577 (22)

f2 = cos( + 2pi

3

)= cos

(2.298487 + 2pi

3

)= 0.960769 (23)

f3 = cos( + 4pi

3

)= cos

(2.298487 + 4pi

3

)=0.240192 (24)

Le radici dellequazione cubica sono quindi le seguenti

x1 = rf1 +13a = 4.163332 0.720577 + 1

36 =5 (25)

x2 = rf2 +13a = 4.163332 0.960769 + 1

36 = 2 (26)

x3 = rf3 +13a = 4.163332 0.240192 + 1

36 =3 (27)

che coincidono, correttamente, con i valori di partenza.

2

y = k y' = 0 y = x y' = 1

y xn= y nxn'= !1 ( ){ }y f xn

= ( ){ }y n f x f xn

' ' ( )=!1

y x= yx

'=1

2 y f x= ( ) y

f xf x'

( )'( )=

1

2

y xn= yn x

nn'=

!

11

y f xn= ( ) yn f x

f xnn

'( )

'( )=!

11

y xmn= ym

n xn mn

'=!

{ }y f xm

n= ( )

{ }

m

n f x

f xn m

n ( )'( )

!

y = sin x y' = cos x y = sin f(x) y' = cos f(x) f'(x)

y = cos x y' = - sin x y = cos f(x) y' = - sin f(x) f'(x)

y = tg x y' = 1

2cos x y = tg f(x) y' =

12cos ( )

'( )f x

f x

y = ctg x y' = !1

2sin x y =ctg f(x) y' = !

12sin f x

f x( )

' ( )

y = arcsin x y' = 1

12! x

y = arcsin f(x) y' =

{ }

1

12

! f xf x

( )'( )

y = arccos x y' = !!

1

12

x y = arccos f(x) y' =

{ }!

!

1

12

f x

f x

( )' ( )

y = arctg x y' = 1

1 2+ x y = arctg f(x) y' =

{ }

1

12

+ f xf x

( )' ( )

y = arcctg x y' = !+

1

1 2x y =axcctg f(x) y' =

{ }!

+

1

12

f xf x

( )' ( )

y = loga x y' = 1

xealog y = log ( )a f x y' =

1

f xe f xa

( )log '( )" "

y = log ( )a f x y' = 1 1

f xf x

a( )' ( )

ln" "

y = ln x y' = 1

x y = ln f(x) y' =

1

f xf x

( )' ( )

y = ax y' = a ax "ln y = a f x( ) y' = a a f xf x( ) ln '( )"

y = ex y' = ex y = e f x( ) y' = e f xf x( ) ' ( )"

y = xx y' = x xx ( ln )1+ y = { }f xx

( )( )!

y' = { }f x x f xx

f xf x

x( ) '( ) ln ( )

( )

( )' ( )

( )!!

!" +#$%

&'(

TABELLA DERIVATE

TABELLA INTEGRALI

0 ! =" dx c

dx x c= +" k f x k f x dx! = ! "" ( ) ( )

1

, ( 1)1

nn xx dx c n

n

+

= + # $+

" [ ] [ ]f x f x dx n f x cn n

( ) ( ) ( )'" ! = + ++1

1

1

" += cxdxx

dx

2 " += cxfdx

xf

xf)(

)(2

)('

sinx dx x c= $ +" cos sen ( ) ' ( ) cos ( )f x f x dx f x c! = $ +"

cos senx dx x c= +" cos ( ) '( ) sen ( )f x f x dx f x c! = +"

" += cxtgdxx2cos1

f x

f xdx tg f x c

' ( )

cos ( )( )2" = +

" +$= cxctgdxx2sen1

f x

f xdx ctg f x c

' ( )

sen ( )( )

2 = $ +"

dx

xarcsin x c

1 2$= +"

[ ]

f x

f x

dx arcsin f x c'( )

( )( )

12

$= +"

dx

xx c

1 2+= +" arctg

[ ]

f x

f xdx f x c

'( )

( )arctg ( )

12

+= +"

dx

xx c= +" ln

f x

f xdx f x c

'( )

( )ln ( )" = +

e dx e cx x= +" e f x dx e cf x f x( ) ( )'( )" = +

a dxa

acx

x

" = +ln a f x dxa

acf x

f x

( )

( )

' ( )ln" = +

( )( )

x a dxx a

mcm

m

+ =+

++

+

"1

1 ( )

( )

( )a bx dx

a bx

b nc

n

n

+ =+

++

+

"1

1

dx

a x a

x

ac

2 2

1

+= +" arctg

dx

a bx b a bxc

( ) ( )+= $

++" 2

1

( )( )

( )a bx dx

a bx

b nc

n

n

+ =+

++

+

"1

1

dx

a bx b a bxc

( ) ( )+= $

++" 2

1

1

1

1

2

1

12$=

+

$+" x dx

x

xcln

1

1 2+= +" cosx tg

xc

11 2!= ! +" cos x dx ctg

xc tg x dx x c" = ! +lncos

ctg xdx sin x c= +" ln dxsin x

tgx

c" = +ln 2 dx

x

sinx

sinxc

cosln" =

+

!+

1

2

1

1 arcsin x dx x arcsin x x c= + ! +" 1 2

arccos arccosx dx x x x c" = ! ! +1 2 arctg arctg lnxdx x x x c" = ! + +1

21 2

arcctgxdx xarcctgx x c= + + +"1

21 2ln

dx

a bx ba bx c

+= + +"

1ln

dx

a bx ab

b

ax c

+= #

$

%&

'

() +" 2

1arctg

dx

a bxdx

ab

ab bx

ab bxc

!=

+

!+" 2

1

2ln

a x dxx

a xaarcsin

x

ac2 2 2 2

2

2 2! = ! + +"

dx

a xarcsin

x

ac

2 2!= +"

a x dxx

a xa

x a x c2 2 2 22

2 2

2 2+ = + + + + +" ln a bx dx

ba bx c+ = + +"

2

33( )

dx

a xx a x c

2 2

2 2

= + +" ln dx

a bx ba bx c

+= + +"

2

dx

x

x

xc2 1

1

2

1

1!=

!+

+" ln ln lnxdx x x x c= ! +"

ln lnx

xdx

x

x xc

2

1" = ! ! + cos ( cos )2

1

2" = + +xdx x sinx x c

sin xdx x sinx x c21

2= ! +" ( cos ) cos ( ) ( ( ) cos( )2

1

2x a dx x sin x a x a c! = + ! ! +"

dx

sinxtgx

c" = +ln 2 dx

xtg

xc

cosln" = ! !

$%&

'() +

!

4 2