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DISEQUAZIONIDI

PRIMO GRADO

Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Disuguaglianze

Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da

un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza

numerica

Simboli di disuguaglianza sono:

Maggiore

Minore

Maggiore od uguale

Minore od uguale

Esempi di disuguaglianze

165

615

06


Definizione disequazione

xx 274

xx

x

4

12

3

xxxx 3322

xx 312

1)

2)

3)

4)

Esempi di

disequazioni

Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui

compaiono delle incognite.


Le disequazioni che vedremo saranno in una sola incognita.

Soluzioni di una disequazioneSe in una disequazione sostituiamo, al posto dell’incognita, un numero, la

disequazione si trasforma in una disuguaglianza, che può essere vera o falsa.

71 22xx Esempio: data la disequazione verificare se

e rappresentano delle soluzioni2x 5x

5xVERO

E’ SOLUZIONE

711

72536

72526

7252

15

5

7221

x

xxVERIFICAVERIFICA

75

749

7423

7222

12

2

7221

x

xx

FALSO

2x NON E’ SOLUZIONE


Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito

all’incognita rende vera la disuguaglianza.

Dati due numeri a e b con a < b, si

definisce INTERVALLO NUMERICO, l’insieme di tutti i numeri compresi tra a e b.

I numeri a e b prendono il nome diESTREMO INFERIORE ed ESTREMOSUPERIORE dell’intervallo e possono o meno appartenere all’insieme

Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli

estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgolaIl tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso

oppure escluso dall’intervalloParentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso

2 3 4 5 6 7 8 9

a b

Intervallo numerico

Estremo

superiore

Estremo

inferiore

Risolvere una disequazione significa determinare l’insieme delle soluzioni. Tale insieme, nei casi più comuni, è un intervallo o un’unione di intervalli.

Ricordiamo la definizione di intervallo numerico

Esempi

Rappresentazione grafica

-2 7

-2 7

-2 7

-2 7

7;2

7;2La rappresentazione simbolica indica che

gli estremi -2 e 7 fanno parte dell’intervallo

7;2

7;2

La rappresentazione simbolica indica che

gli estremi -2 e 7 sono esclusi dall’intervallo


-2 è escluso mentre 7 è incluso nell’intervallo


-2 è incluso mentre 7 è escluso dall’intervallo

Utilizzo di simboli diversi

per gli stessi concetti

11;2

11;2

11;2

11;2

11;2

11;2

Stesso

significato

Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamenteun intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartieneall’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa parte dell’insieme.

Classificazione delle disequazioni

TIPO disequazione Disequazione con ESEMPI

Intera Incognita solo al numeratore

Fratta Incognita almeno al

denominatore

Numerica Coefficienti numerici

Letterale Coefficienti letterali

Determinata Soluzioni sottoinsieme di R

Indeterminata Soluzioni coincidenti con R

Impossibile Non ha soluzioni

03

03

7

052

51

3

4312

2

2

3

2

2

x

x

x

cbxax

xx

xx

x

xx


Disequazioni EQUIVALENTI

Due disequazioni si dicono EQUIVALENTI

se possiedono le stesse soluzioni

esempio

423)1 x soluzioni 2x

914)2 x soluzioni 2x

Pertanto, qualsiasi numero X più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti


Principi di equivalenza

I principi di equivalenza,

applicati alle disequazioni,

consentono di trasformare una

disequazione in un’altra più

semplice avente le stesse

soluzioni


Sottrazione

• ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una

disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione

EQUIVALENTE a quella data

Primo Principiodi equivalenza

Addizione

Disequazioni

equivalenti5532

32

xx

xx

xxxx

xx

127

127

Conseguenze del

PRIMO PRINCIPIO

1) Regola del trasporto

Si può trasportare un termine da un membroall’altro di una disequazione cambiandolo disegno

(Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al

primo membro ed i numeri al secondo membro)

Esempio

3

1234

2314

x

xx

xx

Conseguenze del

Primo Principio

2) Regola della cancellazione

a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere

cancellato

Esempio

b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi

possono essere cancellati

Esempio

552

552

x

xxx

xx

xx

54

5774

Conseguenze del

Primo Principio

5222232

523

xx

xx

Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per unostesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalentealla data

Esempio:

Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per unostesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo didisuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data

Esempio:

Secondo e Terzo Principiodi equivalenza

5222232

523

xx

xx

Disequazioni

equivalenti

Disequazioni

equivalenti

maggiore

minore

VERSO

INVERTITO

1) Eliminazione di denominatori numerici

E’ possibile eliminare i denominatori numerici di una

disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m.

Esempio

96122

2

36626

3

16

2

32

3

1

xx

xx

xx

m.c.m = 6

2 3

Disequazione con

denominatore

Disequazione senza

denominatore

Conseguenze del

Secondo Principio

Conseguenze del

SECONDO PRINCIPIO

2) Eliminazione del coefficiente dell’incognita

E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo

primo e secondo membro della disequazione per tale

coefficiente

Coefficiente

dell’incognita

Esempio

3

2

3

2

3

3

23

x

x

x

Conseguenze del

Secondo Principio

Regola del cambiamento del segno

In una disequazione si possono cambiare i segni di tutti i termini,

ma occorre cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza

Esempio

524

524

xx

xx

MINORE

MAGGIORE

Conseguenze del

Terzo Principio

Grado di una disequazione

1)

023 2 xx Disequazione di secondo grado2)

52x Disequazione di primo grado

432 24 xx Disequazione di quarto grado3)

Esempi

Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI


Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo

esponente con cui compare l’incognita

Risoluzione di disequazioni

di primo grado:Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente:

1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nelladisequazione (potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni esottrazioni )

2) Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile

eseguire operazioni, si passa all’applicazione delle

conseguenze dei principi di equivalenza

(cancellazione,trasporto,cambiamento di segno,ecc.) per

passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici


4

3

12

3

3

123

4162

1642

16312

16131

22

2

x

x

x

xx

xx

xxxx

xxx Operazioni indicate (potenza,prodotto)

1° principio (cancellazione)

1° principio (Trasporto)

Operazioni indicate (somma e differenza)

2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita)

Soluzioni della disequazione

Operazioni indicate (divisioni)

1. Esempio

4


2. Esempio

3

3

1454

4541

144

544

4

14

14

5

4

1

14

5

4

1

14

5

2

1

22

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxx Operazioni indicate (potenza-prodotto)

1° principio (cancellazione)

2° principio (Eliminazione denominatore numerico)

1° principio (Trasporto)

Operazioni indicate (differenze)

2° principio (cambiamento di segno)

Soluzioni della disequazione

Operazioni indicate (divisioni-prodotti)

-3


22 4)32(4 xxx

Esempi

Svolgendo i calcoli, la disequazione si riduce alla disuguaglianza -12< 16 che è sempre verificata. L’insieme delle soluzioni coincide quindi con l’insieme R dei reali: S= R

4313 232 xxxx

Svolgendo i calcoli, la disequazione si riduce alla disuguaglianza -1>4 che è falsa. La disequazione è impossibile, ossia l’insieme delle sue soluzioni è l’insieme vuoto: S= Ø


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