Dipartimento di Fisica e Astronomia and INFN sezione di ...

Dipartimento di Fisica e Astronomia and INFN sezione di CataniaUniversità di Catania - Italy

Group web page: www.ct.infn.it/~cactus

Seguendo il famoso teorema della ricerca interdisciplinare che recita “I fisici non solo sanno tutto, ma sanno tutto meglio degli altri”, i fisici (che peraltro sono gli unici a credere in questo teorema!:-) hanno da lungo tempo cercato di applicare le loro conoscenze ed abilità in campi al di fuori della fisica, con vari gradi di successo…

Biofisica, Bioinformatica ed Econofisica sono diventate di moda negli ultimi anni…

Ma anche la Sociofisica, la Sociodinamica e la Dinamica delle Opinioni hanno fatto la loro comparsa negli ultimi trent’anni, con o senza questo nome…

La maggior parte dei modelli di opinion dynamicssviluppati negli ultimi anni (Sznajd, Deffuant, Hegselmannand Krause, Galam, Stauffer etc.) cercano di rispondere alla seguente domanda:

“Come e’ possibile mettere d’accordo persone (agenti) che hanno opinioni differenti?”

Nei modelli summenzionati le opinioni sono quasi sempre modellizzate con numeri (interi o reali).

Naturalmente la riduzione delle opinioni umane a semplici numeri e’ una grande semplificazione e gli scienziati cognitivistisicuramente avrebbero molto da obiettare…

Ma questa disputa suona un po’ come la riduzione della Terra ad un punto materiale nel contesto delle Leggi di Keplero. Chiaramente la Terra non e’ un oggetto puntiforme, ma allo scopo di descrivere il suo moto celeste questa approssimazione si e’ rivelata ottima e ha condotto ai successi della meccanica celeste di Newton ed altri!

0.354 0.120.99 0.67 0.810.26

Inoltre, in analogia con quanto accade nel contesto della fisica statistica, se pure il comportamento di una singola persona e’ essenzialmente impredicibile, l’organizzazione globale di molti individui interagenti presenta spesso patterns generali che vanno oltre gli specifici attributi individuali e possono emergere in contesti diversi…

Perciò si può supporre che, come accade in fisica, anche nel contesto della Sociofisica o della Sociodinamica modelli statistici semplificati (agent based models) e quantità quali medie e distribuzioni statistiche possano caratterizzare il comportamento collettivo emergente dall’interazione di numerosi individui in molti sistemi diversi…

http://www.tu-dresden.de/vkiwv/vwista/Pedestrians/ http://angel.elte.hu/~panic/

Dirk Helbing, Illes J. Farkas, and Tamas Vicsek:Simulating dynamicalfeatures of escape panic.Nature 407, 487-490 (2000).

0 0

( )

( ) ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )soc att atti i ii ibij ij ik

j i b k

v t tt t t t tιτ ≠

−= + + + +∑ ∑ ∑e vf ff f f( ) ( )i

i i idm t tdt

= +v f ξ

• Fuga da un’area chiusacon una sola uscita.

• In prossimitàdell’uscita le forze fisichesono dominanti ! Nature, 407 (2000)

487

Effetti paradossali…

Uno slargo danneggia il deflussoUn ostacolo aiuta il deflusso

Imitazione• Panico in una stanza al buio.• Viene variata la tendenza ad

imitare il comportamento altrui.

assentealta

normale

“Impazienza e fattore di ansietà”

Poca ansia

Quì si vede che l’ansietàaiuta il deflusso, perchèconsente alla gente dieffettuare accessicasuali alle varie uscite

Molta ansia

Sociofisica e Opinion DynamicsNormalmente, nel simulare una dinamica di opinioni, si parte assegnando a caso un numero (cioè una opinione) ad ogni agente di una data popolazione (distribuita su una certa rete sociale nello spazio fisico)…

…dopodiche’ la dinamica (Monte Carlo) comincia ad agire e gli agenti riaggiustano le loro opinioni (nello spazio delle opinioni) a seguito di mutue interazioni (“discussioni”)…

0.560.560.040.04

0.670.67

0.850.85

0.710.71

0.930.93

0.290.290.420.42

0.150.150.850.85

0.090.09

0.130.13

0.640.64

0.360.36

0.770.770.820.82spazio fisicospazio fisico

A questo punto, come si e’ gia’ detto, la domanda fondamentale e’ la seguente :

“Sotto quali condizioni e’ possibile che numerosi agenti che hanno opinioni differenti raggiungano un accordo?”

Il modello di Hegselmann-Krause * (HK) si basa sulla presenza di un parametro e, chiamato “confidence bound”, che esprime il range di compatibilità reciproca delle opinioni degli agenti.

Sociofisica ed Opinion Dynamics: il modello di Hegselmann and Krause

Lo spazio di opinioni 1-D e’ rappresentato dai punti di un segmento [0,1], dove le opinioni sono distribuite a caso:

0 1

In una rete sociale “fully connected”, ad ogni step si sceglie a caso uno degli agenti e si controlla quanti vicini nello spazio delle opinioni sono compatibili con lui, cioe’ si trovano all’interno del confidence bound……dopodiche’ l’agente assume l’opinione media dei suoi vicini compatibili.

confidenceconfidence boundbounde

*R. Hegselmann and U. Krause, Journal of Articial Societies and Social Simulation 5, issue 3, paper 2 (2002)

Com’era prevedibile, il tipo di configurazione stazionaria finale raggiunta dal sistema dipende in modo critico dal valore del confidence bound…

Questa configurazione può rappresentare :•Consenso, quando tutti gli agenti assumono la stessa opinione

Per mezzo di simulazioni Monte Carlo e’ facile verificare che e’ possibile raggiungere il consenso solo al di sopra di una soglia criticadel confidence bound: 0.2cε ∼

•Polarizzazione, quando si formano due grandi gruppi (clusterso partiti) di opinioni contrapposte•Frammentazione, quando sopravvivono piu’ di due clusters di opinioni.

Recentemente noi abbiamo proposto* di studiare la dinamica di opinioni del modello HK usando una distribuzione continua di opinioni e integrando una equazione del moto che ne riproduca l’evoluzione temporale.

*Fortunato, Latora, Pluchino, Rapisarda, “Vector Opinion Dynamics in a bounded confidence consensus model” (2005) - submitted to Int.Journ.of Mod.Phys.C

Opinion Dynamics nella versione “continua” del modello HK

I vantaggi di questo approccio rispetto alle simulazioni Monte Carlo e’ duplice, in quanto e’ possibile studiare (in linea di principio) sistemi con un numero arbitrariamente grande di agenti, ed ottenere distribuzioni finali di opinioni molto piu’ regolari e simmetriche che facilitano l’analisi della frammentazione dei clusters.

Nella versione unidimensionale del modello HK continuo, la distribuzione di probabilita’ P(x,t) obbedisce alla seguente equazione del moto:

Versione continua del modello HK unidimensionale

1

1

1

1

2 2 2

1 1 1

2 2

( , )( , ) ( , ) [ ( ) ( ) ]

( , )

x

x xxx

x

dx x P x tP x t dx P x t x x x

t dx P x t

ε

ε εεε

ε

δ δ

+

+ −+−

−

∂= − − −

∂∫

∫∫

0 1

x+ex–e x(t)x1

x1+ex1–e

P(x,0)=costante, cioe’ tutte le opinioni sono equiprobabili a t = 0

averageaverage opinonopinon overoverthe confidence the confidence boundbound

Risultati delle simulazioni numeriche per 1DRisultati delle simulazioni numeriche per 1D--HKHK

ClustersClusters fusionfusion and and ConvergenceConvergence timetime

factionfaction 11 factionfaction 22

connectorsconnectors

Time Time evolutionevolution aboveabove the the consensusconsensus thresholdthreshold

eC

Supponete ora di avere due individui che siano contemporaneamente tifosi della stessa squadra di calcioma abbiano opposte idee politiche:

Si parleranno o no? La loro affinità calcistica prevarrà o no sui loro contrasti

politici al fine del raggiungimento di un comune consenso?

E’ chiaro che per avere una descrizione più realistica della dinamica di opinioni sarebbe opportuno rappresentare le opinioni con vettori numerici anziché con scalari. Consideriamo, per semplicità, il caso bidimensionale…

Se due individui sono tifosi della stessa squadra di calcio, essi potrebbero essere spinti a discutere spesso di calcio...

D’altro canto, se due individui hanno opposte visioni politiche, difficilmente essi ameranno discutere di politica…

Il modello di Hegselmann e Krausein 2-dimensioni

*R. Hegselmann and U. Krause, Journal of Articial Societies and Social Simulation 5,issue 3, paper 2 (jasss.soc.surrey.ac.uk) (2002);

Nel modello HK-2D “fully coupled”, ogni opinione e’ descritta da un vettore bidimensionale rappresentato da un punto in uno spazio di opinioni quadrato [0,1]x[0,1]:

circularcircularconfidenceconfidencerangerange, , withwithradiusradiuse

Ad ogni step, si sceglie a caso (o in sequenza) una opinione, corrispondente a un dato agente, e si controlla quante opinioni sono compatibili con essa, cioe’ – al solito – sono contenute dentro il range di confidenza circolare (di raggio uguale al confidence bound)…

…quindi, la nuova opinione dell’agente selezionato diventa uguale alla opinione media dei suoi vicini compatibili...

Come nel caso 1D, anche la dinamica HK-2D tende a ‘clusterizzare’ le opinioni e la configurazione asintotica (stazionaria) di clusters raggiunta dal sistema dipende criticamente dal valore del confidence bound…

e=0.10 : Frammentazione, dove numerosi clusters di opinioni sopravvivono

e=0.20 : Polarizzazione, con pochi clusters di opinioni ("partiti") che sopravvivono

e=0.30 : Consenso, con tutti gli agenti che condividono la stessa opinione

Discrete Monte Carlo (MC) simulations with N=2000 fully connected agents and simultaneous sequential update

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

Per mezzo di simulazioni Monte Carlo noi abbiamo trovato che nel modello HK-2D con spazio di opinioni quadrato il consenso e’ raggiunto al di sopra della soglia critica ec~ 0.24, un valore che tende ad ec~ 0.23 nel limite di un infinito numero di agenti.

A.Pluchino, V.Latora and A.Rapisarda, Proceedings of the 3rd Int.Conf. NEXT SF - Kolymbari, Creta (2005)

A.Pluchino, V.Latora and A.Rapisarda, Proceedings of the 3rd Int.Conf. NEXT SF - Kolymbari, Creta (2005)

Anche nel caso 2D molto Anche nel caso 2D molto spesso il consenso espesso il consenso e’’ raggiunto raggiunto attraverso i cosiddetti attraverso i cosiddetti ““connettoriconnettori””, piccoli gruppi di , piccoli gruppi di persone (talvolta anche una persone (talvolta anche una sola!) che costituiscono un sola!) che costituiscono un ponte tra gruppi sociali ponte tra gruppi sociali altrimenti non interagentialtrimenti non interagenti

PoichPoichéé la dinamica parte la dinamica parte sempre dai bordi dello spazio sempre dai bordi dello spazio di opinioni, la di opinioni, la formaforma di tale di tale spazio determina la spazio determina la simmetria della configurasimmetria della configura--zioni dei zioni dei clustersclusters……

circularcircular opinion spaceopinion space

squared opinion spacesquared opinion space

*Fortunato, Latora, Pluchino, Rapisarda, Int.Journ.of Mod.Phys.C, 16 (2005) 1535

Anche in questo caso, integrando l’equazione del moto di una distribuzionecontinua di opinioni vettoriali - che simula un infinito numero di agenti - , abbiamo trovato* che, nel modello HK-2D con spazio di opinioni quadrato, il consenso e’ raggiunto al di sopra della soglia critica ec~0.23, in accordo con i risultati delle simulazioni Monte Carlo:

( , )P x t

1

1

1 0 0 0( )1 1 1

0 0 0( )

( , )( , ) ( , ) ( ) ( )

( , )x

x

dx x P x tP x t dx P x t x x x

t dx P x tδ δΩ

Ω

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∫∫ ∫

Sopra la soglia del Sopra la soglia del consensoconsenso

Sotto la soglia del Sotto la soglia del consensoconsenso

Configurazione finale di Configurazione finale di clustersclusters

Un altro possibile modo di guardare al processo di formazione del consenso e’ quello di considerarlo una forma di sincronizzazione di opinioni…

Quindi noi abbiamo recentemente proposto un nuovo modello di opinion formation basato sulla sincronizzazione di opinioni ed ispirato al celebre modello di Kuramoto …

T.Vicsek, Nature, 403 (2000) 849

Il modello di Kuramoto*

Utilizzando il parametro r le equazioni del moto diventano: ( ) sin( ) , 1,....i

i id t Kr i N

dtϑ ω ψ ϑ= + − =

*proposto da Y.Kuramoto in 1975

1

( ) sin( ) , 1,....N

ii j i

j

d t K i Ndt Nϑ ω ϑ ϑ

=

= + − =∑

couplingcoupling strenghtstrenght

naturalnatural frequenciesfrequencies phasesphases of of oscillatorsoscillators

iω

Il modello di Kuramoto e’ il piu’ semplice modello per la sincronizzazione disponibile sul mercato e consiste di N oscillatori di phase accoppiati con frequenze naturali……e un parametro di accoppiamento K:

La coerenza del sistema e’ misurata dal parametro d’ordine di mean field r ( ):0 ( ) 1r t≤ ≤ 1

1 jN

ii

jre e

Nϑψ

=

= ∑

)( ) 0,2i tϑ π∈⎡⎣

Kuramoto ha mostrato analiticamente in una bella analisi che il suo modello produce sincronizzazione solo sopra un certo valore critico del parametro di controllo Kc …


Kuramoto ha mostrato analiticamente in una bella analisi che il suo modello produce sincronizzazione solo sopra un certo valore critico del parametro di controllo Kc …

0 ( ) (0) 0i i iK t t rϑ ω ϑ→ ≈ + → Incoherent phase( ) ( ) 1iK t t rϑ ψ→ ∞ ≈ → Global synchronization


partialpartialsynchronizationsynchronization

Applicazioni del modello di Kuramoto

Physical or Chemical systems(Josephson junction arrays, Landau damping nei plasma,

oscillatori chimici, coupled laser arrays, …)

Biological systems(lucciole, cellule pacemaker

nel cuore e nel cervello, grilli che cantano, …)

Riassumendo, il modello di Kuramoto e’sufficientemente semplice da essere matematicamente trattabile, ma allo stesso tempo sufficientemente complesso da risultare non-banale...

Ispirati dal modello di Kuramoto, abbiamo proposto un nuovo modello di consenso basato sulla sincronizzazione di molti agenti caratterizzati da una differente inclinazione individuale a cambiare opinione (l’analogo delle frequenze naturali degli oscillatori nel modello di Kuramoto)

- Ci sono i cosiddetti conservatori, persone che tendono a mantenere la loro opinione o il loro stile di vita contro tutto e contro tutti;

Di fatto, il mondo cambia e noi cambiamo con lui……ma ciascuno in modo diverso:

- Ci sono poi persone più flessibili che cambiano idea piuttosto facilmente e puntualmente seguono ogni moda e tendenza;

-Infine ci sono coloro che corrono più velocemente del resto del mondo anticipando gli altri con nuove idee e intuizioni (innovatori o progressisti).

“E’ possibile mettere d’accordo individui che hanno differenti opinioni?”

Dunque la vera domanda a cui rispondere non dovrebbe essere:

…ma piuttosto:

“E’ possibile mettere d’accordo individui che hanno una diversa inclinazione naturale a

cambiare opinione?”

Il modello Opinion Changing Rate*Per rispondere a questa domanda, noi abbiamo modificato il modello di Kuramoto considerando la seguente equazione del moto che descrive N agenti interagenti * :

| |

1

sin( ) , 1,....j iN

x xii j i

j

dx K x x e i Ndt N

αω − −

=

= + − =∑


naturalnatural op.changingop.changing ratesrates opinionsopinions

*Pluchino, Latora, Rapisarda, Int.Journ.of Mod.Phys.C 16 (2005) 515

] [( ) ,ix t ∈ −∞ +∞

[ ]0, 1iω ∈ time time independentindependent!!

iω- le xi(t) sono le opinioni degli agenti;- le sono i cosiddetti natural opinion changing rates, cioe’ le tendenze naturali (fissate ed uniformemente distribuite) dei vari agenti a cambiare la propria opinione. Questo ci consente di simulare sia i conservatori ( ) che gli innovatori ( ).

0iω ∼0iω

Il modello Opinion Changing Rate*Per rispondere a questa domanda, noi abbiamo modificato il modello di Kuramoto considerando la seguente equazione del moto che descrive N agenti interagenti * :

| |

1

sin( ) , 1,....j iN

x xii j i

j

dx K x x e i Ndt N

αω − −

=

= + − =∑


naturalnatural op.changingop.changing ratesrates opinionsopinions

*Pluchino, Latora, Rapisarda, Int.Journ.of Mod.Phys.C 16 (2005) 515

[ ]( 0) ,ix t = ∈ −Δ Δ

The interaction potential decreasesfor distant opinions:

3α=1Δ =

-

] [( ) ,ix t ∈ −∞ +∞

[ ]0, 1iω ∈ time time independentindependent!!

Un nuovo parametro d’ordine può essere utilmente definito per mezzo della deviazione standard degli opinion changing rates:

2

1

1( ) 1 ( )N

ij

R t x XN =

= − −∑ 2

1

1 ( )N

ii

X xN =

= ∑con

N=1000

Phase transition for the asymptoticorder parameter R

Il modello Opinion Changing Rate

K=1 (incoherent phase) : anarchia

N=1000

K=2 (partially synch. phase) : bipolarismo

N=1000

conservativeconservativepeoplepeople

innovativeinnovativepeoplepeople

public opinionpublic opinion

K= 2.2 - 2.5 - 3.0 (partially synchronized phase)

Incrementando K nella “partially sinchronized phase”, si osserva che il gruppo degli innovatori sopravvive piú a lungo di quello dei conservatori… Perché?

“Non è il piú forte che sopravvive, e neanche il piú intelligente; è invece quello che è piúadattabile al cambiamento”

C.Darwin

K=4 (synchronized phase) : dittatura

N=1000

FinestraFinestra delladella DemocraziaDemocrazia

Quindi, per assicurare un equilibrio stabile tra il gruppo conservatore e quello innovatore (alternanza e stabilitá, cioèdemocrazia), una società in cambiamento necessita di un coefficiente di accoppiamento K (telecomunicazioni, rete dei trasporti, etc…) strettamente incluso in una ristretta finestra (1.5<K<2.5)

MetastabilitMetastabilitáá delle dittaturedelle dittature

N=1000

Metastabilitá delle Dittature

Se si parte con tutti gli agenti con la stessa opinione (dittatura) all’inizio della ‘partially synchronized phase’, si osserva un regime di metastabilitáche diventa stabile avvicinandosi al valore K=1.62

N=1000

La Metastabilitá vicino alla transitione di fase sembraessere un fenomeno abbastanza frequente:

KK--SatisfiabilitySatisfiability ModelModelMezard, Parisi, Zecchina, ‘Analityc and Algorithmic

Solution of Random Satisfiability Problems’ -Science 279 (2002) p.842

HamiltonianHamiltonian MeanMean FieldField ModelModel

Pluchino, Latora, Rapisarda, Physica D 193 (2004) 315 ; Physica A 338 (2004) 60

KuramotoKuramoto ModelModel

A.Pluchino and A.Rapisarda, Proceedings of the 3rd

Int.Conf. NEXT SF - Kolymbari, Creta (2005)

Accoppiamento crescente: dalla anarchia alla democrazia

Partiti politici o Partiti politici o ClustersClusters di di

opinioniopinioni

N=100

Accoppiamento decrescente: dall’ordine alla anarchia

N=100

Caduta di una Caduta di una dittaturadittatura

oodissoluzione di dissoluzione di

un imperoun impero

Piú recentemente abbiamo provato ad estendere l’approccio della sincronizzazione al problema della ricerca di ‘community structures’ nelle reti sociali e in altre reti complesse…

Ricerca di Community Structures nelle Reti Complesse

Un importante problema aperto nella analisi delle reti complesse éla identificazione di strutture modulari.

Moduli distinti, motivi, sottogruppio comunitá all’interno di networks possono essere intuitivamentedefiniti come sottoinsiemi di nodiche risultano piú densamenteconnessi se confrontati con il restodella rete.

Community 2Community 2



intraintra--communitycommunityedgesedges

interinter--communitiescommunitiesedgesedges

Le comunitá, naturalmente, sono fondamentali nelle reti sociali (partiti, culture, elites), ma sono importanti anche nelle reti biochimiche, metaboliche o neuronali (gruppi funzionali), nel world wide web (clusters tematici), nelle reti economiche, nelle food webs, nei clusters dicomputers e cosí via…

Un utile set di tecniche per la identificazione di community structures éstato originariamente sviluppato nel contesto della social network analysis ed é conosciuto come hierarchical clustering methods…

Queste tecniche sono mirate alla scoperta di divisioni naturali di reti(sociali) in gruppi, basati su varie metriche di similaritá o sulla intensitá diconnessione tra i nodi (vertici).

Esse cadono in due grandi classi di metodi, agglomerativi e divisivi, a seconda che puntino l’attenzione sulla addizione o sulla rimozione di links (edges) nella o dalla rete…

agglomerativeagglomerativemethodsmethods

divisivedivisivemethodsmethods

HierarchicalHierarchical treetree o o dendrogrammadendrogramma

nonnon--connectedconnected nodesnodes

OnlyOnly one communityone community

I metodi divisivi rimuovono progressivamente i links di un network a seconda della loro ‘importanza’, ad esempio l’importanza nel connetteremolte coppie di nodi (shortest-path betweenness*), o nel propagare le informazioni all’interno del network (information centrality**)…

*M.E.J.Newman and M.Girvan, 2004 Phys. Rev. E 69 026113**S.Fortunato, V.Latora, M.Marchiori, 2004 Phys. Rev. E 70 056104

Ripetendo questa operazione piúvolte, e ricalcolando le betweennessad ogni step, la rete si decomponeiterativamente in componentisempre piú piccoli……finché non si ottiene unacollezione di singoli nodi isolati.

L’algoritmo divisivo produce una gerarchia di suddivisioni del network. Ma quale suddivisione é la migliore per una data rete?

Questa misura é la “modularitá” Q*, una quantitá che, ad ogni step, confronta la frazione attuale di links intra-comunitá con quella attesa in una rete analoga ma con connessioni random, e ci permette di testare se le comunitá trovate dall’algoritmo divisivo sono quelle giuste…

Chiaramente abbiamo bisogno di una qualche misura della coesione dellecomunitá…

connectorconnector

Modularity Q

Zachary’s Karate Club friendships network

M.E.J.Newman and M.Girvan, 2004 Phys. Rev. E 69 026113

instructorinstructor administratoradministrator

Shortest-path betweenness method

CorrectCorrectclassificationclassification!!

2Q e eTr= −

withwith

{ } xe e

c cij n n

=

Community 1 (16 Community 1 (16 nodesnodes) ) Community 2 (18 Community 2 (18 nodesnodes))

A questo punto ci domandiamo: puó il concetto di sincronizzazione essere utileper la identificazione di community structures

nelle reti complesse?

L’APPROCCIO DELLA “MASTER STABILITY FUNCTION”PER AUMENTARE LA SINCRONIZZAZIONE IN RETI COMPLESSE

*M.Chavez, D.U.Hwang, A.Amann, H.G.E.Hentschel and S.Boccaletti, Phys. Rev. Lett. 94 218701 (2005)

1( ) [ ] 1,...,N

i i ij i jjx F x G H x x i Nσ

== − − =∑

Matrice di Matrice di couplingcoupling VectorialVectorial couplingcoupling functionfunctionSistema dinamico Sistema dinamico

definitodefinito susu ogniogni nodonododelladella reterete

couplingcoupling strenghtstrenghtNetwork con N nodiNetwork con N nodi

Supponiamo di avere una rete (non pesata e non diretta) di N oscillatoriidentici linearmente accoppiati*. Le equazioni del moto sono:


1( ) [ ] 1,...,N

i i ij i jjx F x G H x x i Nσ

== − − =∑

Se G ha uno spettro di autovalori reali λi (cioé per coupling simmetrico) e se associamo λ1 allo stato xs(t), la stabilitá del manifold di sincronia(xi(t)=xs(t), i) richiede che tutti gli esponenti condizionali di Lyapunov Lassociati con λ2≤…≤ λi ≤…≤ λN siano negativi.

∀

Definendo la Master Stability Function (MSF) come il maggiore esponentedi Lyapunov Lmax versus un parametro n=sl, si puó dimostrare* che, per una vasta classe di sistemi di oscillatori, la MSF é negativa in un intervallo finito (n1, n2) del parametro di controllo.

Perció la condizione per una sincronizzazione stabile é governata dalrapporto lN/l2: piú il pacchetto di autovalori di G é compatto, maggiore éla probabilitá di avere tutti gli esponenti di Lyapunov dentro il range distabilitá for un dato accoppiamento s.

**A.Pluchino, V.Latora, A.Rapisarda and S.Boccaletti, in preparation

( ) [ ] 1,...,i

i

iji i i j

j K ijj K

lx F x H x x i N

l

α

ασ∈

∈

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑dove a é un parametro reale di ‘tuning’ e Ki é l’insieme dei primi vicini del nodo i-esimo.


1) Per trovare la migliore condizione di sincronizzazione di una data rete*

A questo punto si puó usare l’approccio della master stability function:

2) Per manipolare il grado di sincronizzazione di una rete allo scopo diidentificare le sue community structures**

Entrambi i risultati possono essere realizzati con unaopportuna scelta della matrice di coupling Gij nella equazionedella rete, attraverso una procedura di weighting cheassegna ad ogni link un ‘load’ lij uguale alla suabetweenness (cioé alla frazione di shortest paths chepassano per quel dato link): couplingcoupling matrixmatrix G=GG=G((aa))

Si dimostra che l’argomento della master stability function si applica

M.Chavez, D.U.Hwang, A.Amann, H.G.E.Hentschel and S.Boccaletti, Phys. Rev. Lett. 94 218701 (2005)

Trovare la migliore condizione di sincronizzazioneper una rete di oscillatori

( ) [ ] 1,...,i

i

i i ij i jj Kij

j K

x F x l H x x i Nl

αα

σ∈

∈

= − − =∑∑

Scale Scale freefree networksnetworks RandomRandom networksnetworks

Manipolare la sincronizzazione di una rete di oscillatoriper identificare le sue community structures

ZacharyZachary’’s network ( N=34 )s network ( N=34 )

( ) [ ] 1,...,i

i

i i ij i jj Kij

j K

x F x l H x x i Nl

αα

σ∈

∈

= − − =∑∑

α→−∞ Gli accoppiamenti (Gli accoppiamenti (linkslinks) con la maggiore ) con la maggiore betweennessbetweenness vedono decrescere il loro peso vedono decrescere il loro peso pipiùù velocemente degli altri, la rete di oscillatori progressivamentvelocemente degli altri, la rete di oscillatori progressivamente si e si desincronizzadesincronizza e e lascia emergere le sue comunitlascia emergere le sue comunitàà sotto forma di sotto forma di clustersclusters di oscillatoridi oscillatori

KuramotoKuramoto’’s non s non identicalidentical 1D 1D oscillatorsoscillators

ChaoticChaotic RRöösslerssler identicalidentical 3D 3D oscillatorsoscillators

A.Pluchino, V.Latora, A.Rapisarda and S.Boccaletti, in preparation

OCR non OCR non identicalidentical 1D 1D oscillatorsoscillators

sin( ) 1,...,i

i

i i ij j ij Kij

j K

K l i Nl

ααϑ ω θ θ

∈∈

= + − =∑∑



( )inf

1

1i

Nj t

i t

r eN

ϑ

= →∞

= ∑

sin( ) 1,...,i

i

i i ij j ij Kij

j K

K l i Nl

ααϑ ω θ θ

∈∈

= + − =∑∑



Le due comunità reali dellarete Zachary’s Karate Club sono state perfettamente

identificate!

16 nodes

18 nodes


( )inf

1

1 Nj i t

i t

eN

ψ Φ

= →∞

= ∑


( )i

i

i i i ij i jj Kijj K

Kx y z l x xl

ααω

∈∈

=− − − −∑∑

1,...,i N=0.165i i iy x yω= +

0.2 ( 10)i i iz z x= + −

( )( ) arctan( )

ii

i

y ttx t

φ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦



( )i

i

i i i ij i jj Kijj K

Kx y z l x xl

ααω

∈∈

= − − − −∑∑

1,...,i N=0.165i i iy x yω= +

0.2 ( 10)i i iz z x= + − 16 nodes

18 nodes

Anche in questo casole due comunità realidella rete sono state

perfettamenteidentificate!

OCR non OCR non identicalidentical 1D 1D oscillatorsoscillators


16 nodes

18 nodes

| |

1

sin( ) , 1,....j i

i

Nx x

i i ij j ijij

j K

Kx l x x e i Nl

αααω − −

=∈

= + − =∑∑

Stavolta l’esponente alpha vienefatto decrescere nel corso di

ogni singola simulazione(evento)…

Di nuovo, la struttura delledue comunità reali della rete

è stata perfettamenteidentificata!

Work in progress

• “sensitivity tests” con reti create ad hoc con bendefinite community structures (tipicamente reti con 128 nodi e 4 comunità)

• “sensitivity tests” su reti reali più grandi e con varietopologie (regolari, scale free, random, small world…)

• confronto delle performances computazionali del nostrometodo con quelle di altri metodi per la identificazione distrutture in reti complesse

http://www.ct.infn.it/~cactus

In conclusione, il concetto di sincronizzazione sembra giocare un ruolo importante in sociofisica, nella dinamica di opinioni e più in generale nella dinamica delle reti complesse…

…ma non si escludono interessanti applicazioni anche nel campo delle scienze politiche…☺

‘FACE’ SYNCHRONIZATION

Dipartimento di Fisica e Astronomia and INFN sezione di ...

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