Funzioni implicite - Esercizi proposti

Esercizio 1.E data la funzione F (x, y) = xey − yex. Provare che esiste un intorno I del punto di ascissa

x0 = 2 e una funzione y = f(x) definita su I e di classe C1 tale che f(2) = 2 e F (x, f(x)) = 0 perogni x ∈ I.

Esercizio 2.E data l’equazione

ey + xy − ex = 0 .

Verificare che la coppia x0 = 0, y0 = 0 soddisfa l’equazione. Verificare inoltre che esistono:

(a) una soluzione y = f(x) di classe C1 definita in un intorno dell’origine tale che f(0) = 0;

(b) una soluzione x = g(y) di classe C1 definita in un intorno dell’origine tale che g(0) = 0;

Spiegare perche f e g sono una inversa dell’altra.

Esercizio 3.E data la funzione y = f(x) = 2x + sinx. Facendo uso del Teorema delle funzioni implicite,

dimostrare che qualunque sia x0 ∈ R, esiste un intorno I di x0 sul quale f(x) e invertibile.

Esercizio 4.Sia Γ il luogo dei punti del piano definiti dall’equazione F (x, y) = ey−y+x2 = 5. Determinare

per quali punti (x0, y0) ∈ Γ il Teorema delle funzioni implicite garantisce l’esistenza di un intornoB in R2 di (x0, y0), un intorno I in R di x0 e di una funzione y = f(x) definita su I, di classe C1,tale che il grafico di f coincide con l’insieme Γ ∩B.

Inoltre, calcolare la derivata di f nel punto x0 quando si sceglie x0 =√

6− e, y0 = 1.

Risultato.Tutti i punti di Γ escluso (2, 0) e (−2, 0). f ′(

√6− e) = 2

√6−e

1−e .

Esercizio 5.Sia Γ il luogo dei punti del piano definiti dall’equazione

(x + y)2 + x = 0 . (1)

Tra tutti i punti (x0, y0) ∈ Γ determinare quelli per cui esiste un intorno B in R2 di (x0, y0),un intorno I in R di x0 e di una funzione y = f(x) definita su I, di classe C1, tale che il grafico dif coincide con l’insieme Γ ∩B.

1

Determinare esplicitamente le soluzioni f1(x), f2(x), passanti rispettivamente per i punti dicoordinate (−1, 0) e (−1, 2).

Risultato.Tutti i punti che soddisfano la (1), eccetto l’origine. Le funzioni cercate sono f1(x) = −x −√−x, f2(x) = −x +

√−x. Il luogo di punti Γ e una parabola.