Dietro lo specchio. Viaggio matematico (e non) nella simmetria

7/22/2019 Dietro lo specchio. Viaggio matematico (e non) nella simmetria

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DIETRO LO SPECCHIO

VIAGGIO MATEMATICO (E NON) NELLA SIMMETRIA

FLORIANA RINALDI


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al livello pi profondo, tutto ci che troviamo sono

simmetrie, e risposte alle simmetrie Steven Weinberg

Questo e-book il prodotto di una personalerielaborazione di materiale reperito in rete sul tema dellasimmetria. Nei tre capitoli del libro si passa da unadescrizione generale di carattere divulgativo del concettodi simmetria con particolare attenzione alla suarappresentazione reale in natura, arte, architettura, allasimmetria nello spazio con la descrizione delle simmetrienei solidi platonici fino ad una trattazione pi tecnicadella simmetria attraverso la teoria matematica dei gruppi

di trasformazioni, con qualche indicazione di caratteredidattico.

Questo e-book stato realizzato per scopi esclusivamente didattici aduso personale, quale esercizio sulluso del software IBooks Author.

DIETRO LO SPECCHIO

VIAGGIO MATEMATICO (E NON)NELLA SIMMETRIA

A CURA DI FLORIANA RINALDI

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Un fiocco di neve ha un aspetto molto irregolare,

eppure, osservato al microscopio, mostra

sorprendenti simmetrie. La natura tutta, pur nellavariet che le propria, presenta molte regolarit di

forma, nei visi, nei fiori, nelle strutture degli animali. La

simmetria, nel mondo greco, indica la giusta

proporzione tra gli elementi e da sempre collegata

alla bellezza. Anche la selezione naturale haprivilegiato la simmetria e in natura ne esistono

moltissimi esempi. Ma come riconoscerla? In questo

caso la matematica aiuta ad affinare locchio.

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LA REGOLARITMATEMATICA NELLANATURA E NELLARTE


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Parliamo di simmetria

Il termine simmetria viene dal greco symmetrache significa con misure appropriate. Nelmondo greco antico questa parola indicavalarmonia, le giuste proporzioni tra i diversielementi di una figura, di un edificio, di un corpo:era dunque un concetto legato alla bellezzadelle forme, anche se basato su precisiriferimenti ai rapporti matematici tra le parti checostituiscono una figura.

Anche oggi la simmetria conserva il suo fascino:la moneta da un euro coniata in Italia riproduceun disegno che Leonardo da Vinci riprese daltrattato Larchitettura di Vitruvio. Il concetto disimmetria in questo disegno associato a quellodi giuste proporzioni: il corpo umano viene infatti

inscritto in due figure simmetriche, un cerchio (ilcui centro coincide con lombelico della figura) eun quadrato .

La parola simmetria ha ora un significatomatematico pi preciso rispetto al passato,anche se essa conserva il suo legame con criteriestetici e di bellezza.

Se ci si riferisce a figure piane, quali quelle chepossiamo disegnare su un foglio, occorredistinguere tra due tipi di simmetria molto diversitra loro: la simmetria rispetto a un centro e lasimmetria rispetto a un asse.

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Simmetrie e regolarit in natura : video introduttivo

MOVIE 1.1

La simmetria nasce dalla proporzione(animazione da disegno di Leonardo)

MOVIE 1.2Luomo vitruviano


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Figure simmetriche centralmente

Senza troppo rigore si pu dire che una figura simmetrica rispetto a un centro se, come in unfiocco di neve, la sua forma presenta una certa

regolarit attorno a tale punto centrale.

Per essere precisi, per, si deve dire che unafigura simmetrica rispetto a un centro O (centrodi simmetria) se per ogni punto P della figuraesiste un punto P tale che O a met tra P e P'.

Il quadrato e lesagono regolare costituisconodue esempi di figure simmetriche centralmente etali sono anche il cerchio e lellisse.

Il pentagono regolare non invece una figurasimmetrica centralmente. Per esempio, ilsimmetrico del punto P, interno al pentagono,rispetto al centro O cade allesterno delpentagono.

Figure simmetriche assialmente

Una figura simmetrica rispetto a un asse (osimmetrica assialmente) se la sua forma, da unaparte e dallaltra di tale asse, uguale ma

ribaltata.

In modo rigoroso, una figura si dice simmetricarispetto a un asse se esiste una retta r (asse disimmetria) per cui a ogni punto P della figura necorrisponde un altro P, ancora appartenente allafigura, dallaltra parte rispetto alla retta e allastessa distanza da essa.

La simmetria assiale detta anche ribaltamento

perch la trasformazione che si realizzaribaltando una figura lungo un asse , oppureriflessione perch limmagine allo specchio diuna figura la sua simmetrica . Possiamoverificare, per esempio, che la parola OTTO,scritta in caratteri maiuscoli, perfettamentesimmetrica e posta di fronte a uno specchiorimane uguale a s stessa.

Una figura pu essere simmetrica rispetto a piassi: per esempio, il triangolo equilatero ha treassi di simmetria e il pentagono regolare ne ha

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ll pentagono regolare non una figurasimmetrica centralmente

IMAGE 1.1

Assi di simmetria di figure piane

IMAGE 1.2


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cinque . Le figure piane dotate di almeno dueassi di simmetria hanno anche un centro disimmetria. La figura simmetrica per eccellenza il cerchio: esso infatti simmetrico centralmentee ha infiniti assi di simmetria. Un solido, come

per esempio il cubo, pu essere simmetrico,oltre che rispetto a un centro o a un asse, ancherispetto a un piano.

Molti fiori hanno una simmetria simile a quella delpentagono. In modo analogo, molti animaliacquatici, come per esempio la stella marina,presentano tale simmetria, detta anche raggiata.Quasi tutti gli esseri viventi dotati di movimento

autonomo presentano un piano di simmetria e sidicono perci a simmetria bilaterale (Gallery 1.1)

Sono diversi i motivi per i quali la selezionenaturale ha privilegiato levoluzione degli esseriviventi verso forme simmetriche. Alcuni di questimotivi sono legati a un maggior rendimentoenergetico. Per esempio, consideriamo il caso dicerti animali acquatici che non sono dotati di

movimento autonomo: la simmetria raggiata ocentrale permette loro di restare immobili ecatturare il cibo in modo indifferente daqualunque parte esso provenga. Invece, gliesseri viventi in grado di spostarsi compresoluomo presentano una simmetria bilateralerispetto al piano lungo cui avviene il movimento:ci permette di raggiungere forme piaerodinamiche e scarti veloci dalla direzione di

moto, in caso di fuga o di assalto.

Vi sono poi motivi funzionali che spiegano lasimmetria: essa migliora gli organi di senso. Peresempio, i due occhi disposti simmetricamentepermettono di valutare le distanze: infatti, anchese non ce ne accorgiamo, gli occhi convergonopi o meno a seconda che lo sguardo sia rivolto

su un oggetto vicino o lontano. Le due orecchieai lati della testa, invece, permettono di valutarela direzione da cui proviene un suono: di questosi pu fare esperienza diretta quando si ascoltadella musica, anche attraverso le cuffie, da un

apparecchio stereofonico.

Un motivo della presenza cos vasta di simmetriein natura da ricercarsi probabilmente anchenel risparmio di informazione genetica. Percostruire una figura simmetrica sufficiente lamet delle informazioni necessarie percostruirne una non simmetrica. Non a caso, se sivuole ritagliare da un foglio di carta una figura

simmetrica, basta piegare in due il foglio,sagomare con le forbici una delle due parti e lafigura, una vo l ta aper to i l fog l io , automaticamente simmetrica.

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La simmetria assiale in un gufo...

GALLERY 1.1Simmetrie in natura


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La simmetria in natura non mai cos perfetta

come in geometria. Anzi, talvolta proprioqualche piccola asimmetria che rende un visopiacevole. Inoltre, alcune asimmetrie sono unpotente fattore di evoluzione: saremmo bendiversi se i due emisferi del cervello,apparentemente simmetrici come forma, nonsvolgessero funzioni sostanzialmente differenti.Uno dei due generalmente il sinistro, nellepersone che usano di solito la mano destra

prende il comando sullaltro e governa imovimenti fini relativi a una mano e a un piede:quasi tutti perci prediligono una mano perscrivere e un piede per calciare un pallone. Aques t o f enom eno s i d i l nom e d ilateralizzazione.

Come si disegna una figura simmetrica

assialmente

Consideriamo un punto P e una retta r. Il puntoP, simmetrico di P rispetto allasse r, sidetermina, utilizzando riga e compasso, inquesto modo: con centro in P si apre ilcompasso di unapertura qualunque purchlarco di circonferenza intersechi la retta r in duepunti, A e B; con centro in A si traccia un arco di

circonferenza di raggio AP; con centro in B sitraccia un arco di circonferenza di raggio BP;lintersezione dei due archi di centri A e B ilpunto P cercato ( Costruzione con Geogebra).

Per disegnare una figura simmetrica rispetto aun asse basta individuare i simmetrici di alcunisuoi punti significativi, quali per esempio i suoivertici, se la figura in questione un poligono.

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Costruzione con Geogebra

MOVIE 1.3Costruzione del simmetrico di un punto rispetto ad un asse


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Simmetrie nellarte

Non c tempio, chiesa o cattedrale che, almenofino allet contemporanea, non presenti qualcheforma di simmetria. Un esempio per tutti rappresentato dalla facciata di S. Miniato alMonte, a Firenze, risalente allincirca al 13

secolo (immagine in Gallery 1.2).

Anche in musica frequente il ricorso allasimmetria. Le note sono infatti rappresentate surighi secondo una disposizione geometrica, checorrisponde alla durata e allaltezza dei suoni. InMovie 1.4 osserviamo lo spartito di unacomposizione di Johann Sebastian Bach che

forma una figura detta canone a specchioperch la riga superiore perfettamentesimmetrica a quella inferiore rispetto a un asseorizzontale.

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San Miniato al Monte - Facciata

GALLERY 1.2Simmetrie nellarte ed in architettura

J. S. Bach

MOVIE 1.4Canone a specchio


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Un oggetto tridimensionale pu avere pi piani d

simmetria, pu essere simmetrico rispetto ad un solopiano, a due piani ecc... Fino ad un numero infinito d

piani per esempio un cilindro oppure una sfera. Nella

progettazione di oggetti, l'aspetto di piani di simmetria

importante al fine di comprendere la maggiore o minore

difficolt di montaggio di un particolare in un assiemesenza escludere anche la maggiore o minore difficolt

nella realizzazione dell'oggetto stesso. Un oggetto cherisulti simmetrico rispetto a tre piani che siano ortogona

tra loro si pu definire "tridimensionalmente simmetrico".

2 SIMMETRIENELLO SPAZIO


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Le simmetrie pi intrinsecamente tridimensionali sono quelle checaratterizzano i solidi platonici, ovvero il tetraedro, il cubo, l'ottaedro,l'icosaedro e il dodecaedro.

Simmetrie del tetraedroIl tetraedro ha 24 simmetrie: 12 sono rotazioni intorno ad alcuni assi,mentre le altre 12 invertono l'orientazione dello spazio. Delle 12simmetrie che non preservano l'orientazione, 6 sono riflessioni lungopiani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dellospigolo opposto. Infine, le altre 6 simmetrie sono composizioni diriflessioni lungo piani e rotazioni.

SOLIDIPLATONICI

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Video introduttivo: piani di simmetria

MOVIE 2.1Simmetrie nello spazio

Rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano

IMAGE 2.1

Simmetrie del tetraedro


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Simmetrie del cubo

Il cubo ha 24 simmetrie rotazionali, cio che preservano l'orientazionedello spazio, pi altre 24 simmetrie che non la preservano. Un cubo hanove piani di simmetria (Image 2.2), cio i piani che lo dividono in due

parti, luna immagine speculare dellaltra.Per capire come sono fatte le 48 simmetrie del cubo, possiamocominciare a descrivere esplicitamente le rotazioni, individuandoinnanzitutto quali sono i possibili assi di rotazione, cio le rette attornoalle quali far ruotare il cubo in modo che torni in se stesso. Queste rettepossono essere di tre tipi:

Rette che passano per i centri di due facce opposte. Le rotazioniintorno a queste rette di 1/4, 1/2 e 3/4 di giro sono simmetrie del cubo,

ma lo anche la rotazione di un giro completo, che corrispondeallidentit. Nel cubo ci sono tre distinte rette di questo tipo e quindiabbiamo individuato dieci simmetrie.

Rette passanti per i punti medi di due spigoli opposti. Le rotazioniattorno a queste rette che fissano il cubo (a parte lidentit, cheabbiamo gi contato) sono solo quelle di mezzo giro; le rette di questotipo sono sei e quindi abbiamo trovato altre sei simmetrie del cubo.

Rette passanti per due vertici opposti. Il cubo in questo ultimo casopu essere ruotato di 1/3 o 2/3 di giro (a parte l'identit, che abbiamogi contato); ci sono quattro coppie di vertici opposti e quindi altre ottosimmetrie di rotazione.

Ci sono dunque in totale 24 differenti simmetrie di rotazione.

Tra le rimanenti 24 ci sono le nove simmetrie di riflessione rispetto ainove piani da cui siamo partiti, e altre 15 che sono un po picomplicate da descrivere esplicitamente, ma che si possono

facilmente vedere come trasformazioni composte, cio ottenutefacendo seguire una allaltra due trasformazioni, e considerando poi latrasformazione complessiva.

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I tre piani paralleli adogni coppia di facce

opposte sono in rosso, i

sei piani che contengonole coppie di spigoliopposti sono in blu.

IMAGE 2.2I nove piani di simmetria

del cubo


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Simmetrie dellottaedro

L'ottaedro un poliedro con otto faccetriangolari. E uno dei cinque solidi platonici, lecui facce sono triangoli equilateri. Ha sei vertici e

dodici spigoli.

Lottaedro il poliedro duale di un cubo quindipossiede, come il cubo, 24 simmetrie rotazionalie 24 simmetrie che non preservano lorientazionedello spazio.

Simmetrie del dodecaedro e dellicosaedro

Il dodecaedro regolare uno dei cinque solidi

platonici con dodici facce pentagonali. Ildodecaedro possiede 120 simmetrie.

Le 60 rotazioni sono di vario tipo:

1. Rotazione di 360/5 = 72 intorno ad unasse che unisce i centri di due facce opposte;

2. Rotazione di 360/3 = 120 intorno ad unasse che unisce due vertici opposti;

3. Rotazione di 360/2 = 180 intorno ad unasse che unisce i punti medi di due spigoli

opposti.

Oltre a queste, vi sono anche le rotazioniottenute componendo pi volte una rotazionelungo lo stesso asse: in questo modo possibilead esempio ottenere gli angoli 72, 144, 216 e288 in una rotazione del primo tipo. Quindi visono 6x4=24 rotazioni del primo tipo (4 angolipossibili per ognuna delle 6 coppie di facceopposte), 2x10 rotazioni del secondo tipo ( 2angoli 120 e 240 per ognuna delle 12 coppiedi vertici opposti) e 15 rotazioni del terzo tipo. Intotale, 24+20+15=59, cui va aggiunt l'identitper ottenere un totale di 60 .

Licosaedro, solido platonico con 20 faccetriangolari, il duale del dodecaedro e possiedequindi lo stesso numero di simmetrie.

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Lottaedro il poliedro duale del cubo

MOVIE 2.2Ottaedro

Licosaedro il poliedro duale deldodecaedro

MOVIE 2.3Icosaedro


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Nel tema della simmetria la matematica ha introdprima di tutto un principio dinamico: sonotrasformazioni dellambiente che danno senso simmetria, la quale precisamente ci che rimquando tutto cambia Per questo la simmetria rimlegata alla teoria degli invarianti delle figure: nspazio euclideo, ad esempio, la simmetria di figura data dallinsieme delle isometrie dello spa

in s, cio delle trasformazioni di natura euclidea pu subire lo spazio, che lasciano invariata la figusenza necessariamente lasciare invariato ogni singpunto.

3LA MATEMATICA DELLASIMMETRIA: I GRUPPI DI

TRASFORMAZIONI


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LA SIMMETRIA, MATEMATICAMENTE

PARLANDO: UN PO DI STORIA

La trattazione sistematica della simmetria havisto la luce abbastanza tardi in matematica enon si affacciata attraverso la geometria, vale adire attraverso il percorso che a posterioriappare pi evidente, bens attraverso lalgebra,sotto la forma dei gruppi di simmetria delle radici

delle equazioni algebriche: i gruppi di Galois. Nel periodo classico, la simmetria di una figura

era senzaltro uno dei suoi caratteri geometricipi importanti. Tale appariva sicuramente neirisultati teorici che, nel V secolo prima di Cristo,sono attribuiti a Talete di Miletoe che vengonoriconosciuti come i primi autentici teoremidellacultura occidentale:

ogni diametro divide il cerchio in due parti

u g u a l i ,

gli angoli alla base di un triangolo isosceles o n o u g u a l i , angoli opposti al vertice sono uguali, angoli inscritti in una semicirconferenza sonouguali.

In Euclide, la simmetria compare spesso come

sinonimo di commensurabilit, vale a dire nellatrattazione di segmenti che si possono misurare

razionalmente luno rispetto allaltro. Compareanche la classificazione dei poliedri regolari unrisultato di grande valore, tanto che a ciascunodei cinque solidi platonici viene assegnato unsignificato cosmologico ma la loro simmetriasembra quasi un fatto occasionale, apparemaggiormente come una singolarit del solidoche come una sua relazione con lo spazio in cui immerso. Forse la riluttanza di Euclide aconsiderare i movimenti rigidi ed altri tipi ditrasformazione si trova allorigine del fatto che leconsiderazioni relative alla simmetria abbiano

avuto una sorta di stasi gi nel mondo classico.Per Vitruvio, nel De Architectura, la simmetriadenota una relazione fra il tutto e le sue parti equi sembra iniziare ma anche concludersilesperienza di questo tema nel mondo latino.Anche il termine simmetria semplicementescompare e si ripresenta solo nel Rinascimento,teso alla riacquisizione della cultura classica edallo stesso tempo alla valorizzazione dellaosservazione e della costruzione umana: aLeonardo da Vinci, impegnato nello studio enella migliore utilizzazione delle piante degliedifici, viene attribuito da parte di Hermann Weyl

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IMAGE 3.1I teoremi di Talete


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[6] uno dei primi risultati relativi alla simmetriag e o m e t r i c a .A partire dal 500 la simmetria si rivolge ad unsettore diverso: lalgebra. La fiducia che anche

le equazioni di grado superiore al quarto sipossano risolvere per radicali si scontra con lanecessit di studiare a fondo le propriet chelegano le radici ai coefficienti dellequazione,anzich limitarsi alla loro ricerca. Dal calcolodelle quantit il problema si rivolge allo studiodelle strutture e le funzioni simmetricheforniscono la principale propriet strutturale delle

equazioni algebriche: il loro studio, connessoalle geniali intuizioni di Galois, permette nell800

di trasformare il problema ed aprire il vastocampo di studio dellalgebra moderna.La simmetria in campo geometrico non ancoracomparsa: i primi, fondamentali, risultati sulleforme dello spazio e del piano sono ottenuti nellericerche cristallografiche e solo in seguitoriacquisiti e dimostrati rigorosamente dallageometria. Ma questo avverr allinizio del 900.

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IMAGE 3.3La citt ideale

IMAGE 3.2

Cappella dei Pazzi - Firenze

Simmetrie nellarte e architettura del Rinascimento

IMAGE 3.4

Palazzo Ducale - Venezia


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LA SIMMETRIA, MATEMATICAMENTE

PARLANDO: IL LINGUAGGIO

Tre importanti modalit del pensiero scientificosono direttamente connesse al problema della

s i m m e t r i a i n c a m p o g e o m e t r i c o .In primo luogo occorre dotarsi di un linguaggioche permetta di trattare gli elementi fondamentalidella simmetria e le loro relazioni, cio didiscutere la simmetria, anche mediante unanotazione formale, precisa ed espressiva. Adesempio, in un fregio F come il seguente:

...NONONONONO.....

si ha un modulo elementare (NO) che subisceuna traslazione. Inoltre il fregio presenta alproprio interno la simmetria di rotazione di 180:altre isometrie che portano in s la figura nonsono date. Il simbolo r2 esprime questasituazione: qui r indica semplicemente lapresenza di una sola traslazione, mentre 2 ilperiodo della rotazione. Non occorre altro per

descrivere lo stato di simmetria del fregio.

Se invece si considera il fregio seguente:

..!"!"!"!"!". . . necessario tener conto anche di altre isometriee si apprezza inoltre il valore posizionale deisimboli usati: si tratta di un fregio r2mg e,rispetto al precedente ed al periodo 2 dirotazione, aggiunge riflessioni con asse

ortogonale rispetto alla direzione dellatraslazione espresse dalla m (che sta permirror) in seconda posizione ed unaglissoriflessione (g per glide) in terza posizione necessariamente con asse longitudinale.In numerose situazioni, il linguaggio, la suaprecisione e la sua univocit sono una conquista forse la prima da comunicare agli studenti

che permette di esprimere gli elementifondamentali dellanalisi in corso. Ma illinguaggio non basta. Subito dopo occorreessere in grado di riconoscere la similarit o ladifferenza delle situazioni che possono

presentarsi. Nel caso della simmetria delle figurepiane, ad esempio, occorre essere in grado diconfrontare due modelli apparentemente diversie scoprire se hanno oppure no gli stessi caratteridi simmetria. Si vedano a questo proposito i duefregi della Image 3.5entrambi del tipo r2mg:

Discutere e riconoscere sono due operazionifondamentali di qualunque metodologia. Ma inmatematica solitamente non ci si accontenta diquesta capacit operativa e si desideraraggiungere una forma pi profonda diconoscenza: quali sono tutti i possibili fregi? cisi chiede ad esempio in questo contesto. Laclassificazione il risultato della nuova

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IMAGE 3.5Esempi di fregi con gli stessi caratteri di

simmetria


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simmetria di qualche figura del piano. Larisposta positiva e risulta di grande interesseperch rappresenta un passaggio concettualeche si muove in direzione opposta a quellatradizionale: non solo alla figura si associa un

gruppo, ma anche da un gruppo si passa aduna figura corrispondente, di modo che lastruttura astratta viene per cos dire incorporata

i n u n o g g e t t o m a t e r i a l e .Ogni gruppo di isometrie un gruppo disimmetria: questo permette di intuire comeogni gruppo (di oggetti di natura qualsiasi) sipossa utilmente pensare come gruppo disimmetria di qualche oggetto (e infatti la teoria

dei gruppi nata come gruppo di simmetriadellinsieme delle radici di unequazionealgebrica). Pensare a qualche utilizzo, anchenon attuale, permette talvolta di abbandonare ilpunto di vista formale, dando senso ad unavisione pi concettuale dellente matematico. Per sostenere con efficacia che ogni gruppo un gruppo di simmetria risulta utile il cosiddettoprincipio del caleidoscopio, anche se questo sirivolge e funziona propriamente solo per i gruppidiscreti: lidea quella di prendere una figurasemplice e priva di simmetria (vale a dire taleche il suo gruppo di simmetria sia solo lidentit) ad esempio un triangolo con i tre lati diversi.Applicando a questa figura le isometrie di undato gruppo G di isometrie, si considera latotalit delle orbite che vengono descritte: lafigura complessiva viene ovviamente portata ins da tutte le trasformazioni del gruppo G sitratta di una figura che ammette G come gruppodi simmetria. Nella Image 3.7 rappresentata, atitolo esemplificativo, l'orbita descritta daltriangolo F1 sotto lazione di un gruppo formatoda 4 rotazioni attorno a un punto, che risultercentrale nella figura complessiva.

Sul principio del caleidoscopio si possonocondurre esperimenti e fare costruzioniinteressanti.

CLASSIFICAZIONE DELLE ISOMETRIE PIANE:

Traslazioni, riflessioni rotazioni e glissoriflessioni

Le trasformazioni piane fondamentali, che dannosignificato e valore alla simmetria delle figuresono dunque le isometrie: corrispondenzebiunivoche che conservano la distanza di coppiedi punti corrispondenti (e quindi anche langolofra direzioni corrispondenti). Il teorema che leindividua tutte non di facile dimostrazione e sipu forse proporre solo in certe classi e con certiprerequisiti. Ma la comprensione del teorema

di faci le acquisizione anche senza ladimostrazione. Qualche tentativo empirico puconvincere che si tratta di un enunciatoragionevole.

Teorema (di classificazione delle isometriepiane).

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IMAGE 3.7

Il principio del caleidoscopio


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Qualche figura che mostra il comportamentodelle diverse isometrie piane permetter dichiarire i l significato dei termini e dicomprendere lidentit nel novero delle isometrie

(come traslazione o rotazione particolare). interessante osservare che dal teorema diclassificazione delle isometrie piane si possonoottenere direttamente dei risultati non banali: adesempio che la composizione di rotazioni nonpotr mai essere una riflessione (perch lacomposizione di due isometrie pari ancorapari) mentre con due riflessioni si pu ottenereuna rotazione o anche, come caso particolare,

una traslazione Molti risultati di questo tipo,che spesso risalgono ad Eulero, permettono ilformarsi di una sensibilit particolare sullageometria del piano e, quando vengonocollegati al calcolo degli enti interessati centridi rotazione, assi di simmetria costituisconoun materiale di grande interesse didattico.Altre osservazioni permettono di focalizzarelinteresse verso gruppi di trasformazioni di tipo

particolare, cio a tendere verso la ricerca delgiusto livello di generalit, a cui i matematici

sono condotti dal problema sotto esame.I gruppi di simmetria delle figure piane sonospesso discreti o discontinui, nel senso che leorbite descritte dai punti del piano sotto lazionedelle isometrie del gruppo non sono curvecontinue, bens si presentano come successioni

discrete, spesso finite, di punti. possibilenaturalmente considerare anche gruppicontinui di isometrie piane come ad esempio ilgruppo di simmetria di una circonferenza, checontiene tutte le rotazioni infinitesime ma

questo complica la teoria senza fornire aifenomeni della simmetria un l ivello dicomprensione decisamente maggiore (lo

f o r n i r e b b e a d a l t r i f e n o m e n i ! ) Si pu dare una definizione formale:

un gruppo G di isometrie si dice discreto se perogni punto P del piano esiste un rP> 0 tale che

nel cerchio di centro P e raggio rP non cadano

punti dellorbita di P, diversi da P stesso.

Ma ci si pu basare anche solo sul significatointuitivo dei termini. Unaltra distinzione forse pi importante in questo settore: il fatto che moltigruppi di simmetria sono finiti, vale a dire checontengono un numero finito di isometrie, e per

questo sono necessariamente discret i .La prima osservazione da fare, che conduce ad

unimportante classificazione dei gruppi disimmetria delle figure piane, che i gruppi finitidi isometrie non possono contenere traslazioni,n glissoriflessioni, giacch la composizione diqueste t rasformazioni s i pu r ipetereindefinitamente. Ma in termini geometrici i gruppifiniti di isometrie sono facili da caratterizzare e ladimostrazione (intuitiva e) educativa:

Teorema (del punto fisso). Un gruppo discreto diisometrie piane finito se e solo se ammettealmeno un punto fisso, vale a dire un punto cheviene trasformato in se stesso da tutte leisometrie del gruppo.

Per la dimostrazione, si consideri un punto P e lasua orbita, vale a dire linsieme dei punti t(P),dove t una trasformazione qualsiasi del

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Le uniche isometrie piane sono traslazioni,rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni.Le traslazioni e le rotazioni non alteranolorientazione delle figure (sono pari o

destrorse), le riflessioni e le glissoriflessionialterano lorientazione delle figure (sonoisometrie dispari o sinistrorse).


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gruppo: il punto fisso il baricentro di questoinsieme (e di tutte le orbite).

I GRUPPI DI ROSONI

Si visto che i gruppi finiti di isometrie del pianopossono contenere solo rotazioni e riflessioni:sono detti gruppi di rosoni, mettendo inevidenza le figure pi suggestive di cui sonogruppi di simmetria. In pratica, nellarte o nellanatura, si possono reperire numerosi esempisignificativi di questi modelli di simmetria.Uno studio di questi gruppi si pu utilmentecondurre attraverso la nozione di insieme digeneratori, componendo i quali si possonoottenere tutte le isometrie del gruppo. facilemettere in evidenza il fatto che i gruppi disimmetria dei poligoni regolari si possonogenerare solo con una rotazione ed una

r i fl e s s i o n e .

Partendo dai poligoni regolari con un solo lato eda quello con due lati (utilmente introdotti per

completezza anche se privi di evidenzageometrica) si hanno i gruppi:

D1={"|"2=id}

D2={", #|"2=id, #"="#}

dove " una riflessione ed # la rotazione di180. Si hanno quindi il gruppo di simmetria deltriangolo regolare, del quadrato delln-gonoregolare:

D3={", #|"2=#3=id, #2"="#}

D4={", #|"2=#4=id, #3"="#}

Dn={", #|"2=#n=id, #n-1"="#}

(e qui # denota la rotazione di 360/n). Questostudio fornisce concretezza ai gruppi diedraliDn li si esamini insieme ai loro modelli ipoligoni regolari:

Se poi manca la simmetria di riflessione, il

gruppo ha solo un generatore ed formato soloda rotazioni. In questo caso un gruppociclico:

C1={id}

C2={#|#2=id}

C3={#|#3=id}

C4={#|#4=id}

...................

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Esistono esattamente 2n movimenti del pianoche trasformano in s un poligono regolare Pncon n lati (simmetrie di Pn):le n rotazioni intorno al centro di Pn di

ampiezza (360/n ) h gradi, con h = 0; 1; 2;

: : : ; n - 1;le n riflessioni rispetto agli assi di simmetria diPn:

IMAGE 3.8Esempi di gruppi diedriali: poligoni regolari


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e forse non inutile verificare su modelli graficicome venga interrotta la simmetria diriflessione dei poligoni regolari:

Il risultato attribuito da Hermann Weyl Leonardo da Vinci consiste proprio nello studicomplessivo dei gruppi di rosoni:

Teorema (di Leonardo).

Ogni gruppo di rosoni ha almeno un punto fiss

ed un gruppo diedrale oppure ciclico finito.

Sar utile anche mostrare qualche rosone iforma stilizzata, oppure pi artistica, oppurancora tratto da qualche motivo ornamentalche risale alla cultura antica: Gallery 3.1I GRUPPI DEI FREGI

Quali sono i gruppi discreti di isometrie pianche non sono finiti? Naturalmente dovranncontenere almeno una traslazione (e quindinfinite, ottenute per applicazione ripetuta di undi esse). Lulteriore classificazione dei gruppdiscreti di isometrie piane dipende dal fatto chil sottogruppo delle traslazioni sia generato duna sola traslazione oppure da due: nel prim

caso, i modelli di simmetria si estendonoindefinitamente ripetuti, in una direzioneRiempiono una striscia di piano e vengono detfregi, avendo in mente i fregi ornamentali chin molti edifici ripetono un preciso ed artisticmotivo. Nel secondo caso, quando duetraslazioni indipendenti generano linterosottogruppo delle traslazioni si hanno i cosiddetgruppi cristallografici piani (o mosaici

oppure anche gruppi di carte da parati, comsono detti in ambienti e con scopi diversi)In un fregio presente un modulo che si ripetindefinitamente e che pu possedere unpropria simmetria interna. In un mosaico, modulo in grado di muoversi lungo dudirezioni indipendenti, fino a riempire tutto piano. I criteri di classificazione sia dei fregi ch

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Una croce uncinata con n braccia uguali lasciata invariata da n rotazioni ma non dariflessioni, perch queste invertono il senso degliuncini.

IMAGE 3.9Esempi di gruppi ciclici C3 e C5

Cattedrale di Chartres

GALLERY 3.1I rosoni nella realt


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dei mosaici tengono pertanto conto dellacompatibilit fra la simmetria interna, locale, delmodulo con una simmetria globale dettata dallo

spostamento, in una oppure in due direzioni. Gi per i fregi la classificazione non facile da

seguire e da far seguire, ma anche sololesposizione del risultato fornisce una forma digiustificazione e di plausibilit che contieneelementi costruttivi per lo studio matematico.

In teoria ci potrebbero essere 16 tipi di fregi,perch altrettante sono le possibili combinazionidi rotazioni, riflessioni orizzontali o verticali, eglissoriflessioni. In pratica, per, alcuni tipi sono

impossibili: ad esempio, abbiamo gi osservatoche non si possono avere riflessioni orizzontali everticali senza rotazioni; analogamente, non sipu avere una riflessione orizzontale senza unaglissoriflessione (perch stiamo supponendo checi sia una traslazione orizzontale). In questomodo si dimostra che esistono esattamente 7 tipidiversi di fregi, che si possono esemplificare nelmodo seguente:

1) FFFFFFF: invariata solo da uninfinit ditraslazioni

2) TTTTTTT: invariata solo da uninfinit ditraslazioni e riflessioni

3) ZZZZZZZ: invariata da infinite traslazioni erotazioni.

4) EEEEEEE: invariata da traslazioni e riflessioniorizzontali.

5) HHHHHHH: invariata da traslazioni, riflessioniorizzontali e verticali

6) bpbpbpbp: invariata da infinite glissoriflessioni

7) bdpqbdpq: invariata da infinite riflessioniverticali e rotazioni.

I rispettivi insiemi di simmetrie si chiamanogruppo ciclico infinito e gruppo diedrale infinito,

e sono versioni infinitarie dei gruppi ciclici ediedrali finiti descritti in precedenza.

Poi lanalisi di alcuni dei numerosi (frammenti di)fregi che si trovano in natura o nellerappresentazioni artistiche conduce a unaconsapevolezza del ruolo delle isometrie e delsignificato della simmetria traslazionale. Tuttoci, per i matematici, rappresenta un importanteintreccio fra gli aspetti formali e quelli piconcettuali. Si vedano ad esempio i fregi dellafigura, che risalgono al periodo paleolitico (trattidal libro di Jablan [7]):

In questo ambi to s i pu apprezzarecompiutamente la differenza che corre, sia dal

punto di vista qualitativo che quantitativo inquanto relativa alla difficolt computazionale fra riconoscere un modello di simmetria eclassificare tutti i possibili modelli. Uno studio piavanzato ed assai pi impegnativo pu portarecomunque ad affrontare un albero che permettela classificazione dei gruppi dei fregi in base alleisometrie che servono da generatori.

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IMAGE 3.10Esempi di fregi nellarte neolotica

(6000-3000 a.C.)


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Il caso di due traslazioni riguarda non pi righema pagine infinite, in cui si r ipetonoconfigurazioni bidimensionali di lettere: siamoquesta volta in presenza di mosaici o piastrelle,usati per pavimentazioni o tappezzerie, e la

classificazione di tutti i possibili tipi di simmetrie analoga a quella appena vista per i fregi,bench molto pi complicata. I possibili tipiquesta volta sono 17, e quasi tutti sono stati usatisia dagli egizi che dagli arabi: gli esempi pi notie artistici si trovano nelle decorazioni moreschedell'Alhambra di Granada.

Abbiamo cos discusso tutti i possibili tipi di

figure piane che ammettono soltanto un numerofinito di simmetrie, ma ne esistono anche con unnumero infinito. Un esempio tipico la lettera o(un cerchio), che lasciata invariata da infiniterotazioni (di un qualunque numero di gradi) e dainfinite riflessioni (rispetto a qualunque diametro):l'insieme delle sue simmetrie si chiama gruppocontinuo, e costituisce un ulteriore sviluppo dellasequenza dei gruppi diedrali.

I GRUPPI CRISTALLOGRAFICI PIANI

I gruppi discreti di isometrie piane il cuisottogruppo delle traslazioni generato da dueelementi indipendenti prendono il nome digruppi cristallografici piani quando si vogliamettere in evidenza la loro origine nellambitodella classificazione dei cristalli. Ma sonoconosciuti in letteratura anche con altri termini:sono mosaici quando si pensa alla produzioneartistica e vale la pena di sottolineare che neimosaici dellAlhambra di Granada gli artigianiarabi del XIII e XIV secolo incorporarono tutti ipossibili gruppi di simmetria, anticipando nei fattila loro completa classificazione.

Oppure, quando si considera la loro capacit dicoprire in maniera uniforme e regolare tutto ilpiano per ripetizione di un modulo, vengono detti

g r u p p i d i c a r t e d a p a r a t i .

Nel caso di questi gruppi, la richiesta dicompatibilit fra le simmetrie locali del moduloe la simmetria globale della figura piana siesprime mediante un risultato fondamentale,detto di restrizione cristallografica, che fissa la

forma dei possibili reticoli piani lungo i quali ilmodulo pu essere trasferito per traslazione.

Teorema (restrizione cristallografica).

Le rotazioni dei mosaici possono avere ordine

1,2,3,4 oppure 6 (ma non 5).

In altri termini non possono esistere cristalli consimmetria pentagonale di rotazione: ci non

significa che questo tipo di simmetria non possapresentarsi in natura, anzi sono noti moltiorganismi animal i e vegetal i a formapentagonale, ma semplicemente che con questeforme non possibile riempire in maniera

u n i f o r m e i l p i a n o . I criteri di classificazione dei gruppi dei mosaiciriguardano poi altri caratteri geometrici della

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Simmetrie nelle decorazioni del palazzodellAlhambra

GALLERY 3.2


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simmetria: la presenza di centri ed assi dirotazione, lappartenenza dei centri di rotazionead opportune rette e cos via. Uno studioesaustivo e convincente di tutte le possibilit edella maniera con cui si organizzano richiede

molto tempo ed una adatta disposizione. Allafine si troveranno i 17 gruppi cristallografici pianied i loro tipici modelli, come quelli in Image

3.12 , e si tender a riconoscere il tipo di

simmetria di modelli diversi, frequentementepresenti nelle manifestazioni artistiche e culturali.

Il problema di individuare tutti i modelli dimosaico insieme ad i loro gruppi di simmetria sirivela molto complicato, ma pu servire a porrelattenzione sui problemi della classificazione

efficiente di un corpo non banale di elementi,secondo caratteri che parzialmente si alternano

RIFLESSIONI CONCLUSIVECome procedere con un percorso didattico?Come al solito i matematici estendono egeneralizzano le loro considerazioni. Cicomporta naturalmente un aggravio dello studio,che tuttavia compensato dalla soddisfazione diuna comprensione al tempo stesso pi generalee pi profonda, ed in parte facilitato dalla guidaconcettuale che fornita dal caso (pi

s e m p l i c e ) a p p e n a e s a m i n a t o .La generalizzazione porta a studiare la simmetriadei solidi dello spazio ordinario, tridimensionale,e poi alla consapevolezza che il problema bendefinito in ogni dimensione (dove ancherisolto). Nello spazio esistono 230 gruppi discretidi simmetria: questi sono propriamente i gruppicristallografici, le cui traslazioni sono

ovviamente generate da solo tre indipendenti. Il fatto che esista un numero finito, seppure

grande, di gruppi cristallografici spiega come icristalli debbano rispettare delle precise regoledi formazione, mentre si ritiene usualmente chesiano in numero infinito. I cristalli rappresentanoprecisamente tutte le possibili configurazionitridimensionali che rispettano le restrizioni.Per quanto riguarda lestensione dei concetti:perch limitarsi alle figure del piano o dellospazio euclidei? In Image 3.13 presente un

mosaico del piano iperbolico, nella splendidarappresentazione di Escher, a testimonianzaulteriore della connessione fra ricercasistematica ed intuito artistico che si trovanoprofondamente intrecciati nel tema dellasimmetria geometrica.

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IMAGE 3.1217 gruppi cristallografici piani

IMAGE 3.11Atelier Khatt - Arte ornamentale


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Limite del cerchio III - M. C. Escher, 1958

IMAGE 3.13


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Review 3.1Il Quiz di Marcus du Sautoy [10]

Qual lordine di grandezza del numero delle simmentrie del cubo di Rubik?

A. 21 cifre

B. 60 cifre

C. 25 cifre

D. 18 cifre


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Fonti bibliografiche e siti consultati

[1] Simmetria - W. Maraschini http://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzi)

[2] Simmetria_nello_spazio http://it.wikipedia.org/wiki/Simmetria

[3] Simmetria e matematica 1 - Renato Betti - http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1



[6] Symmetry - Hermann Weyl -http://1.oito.eu/Symmetry.pd f

[7] Symmetry and ornament - S. V. Jablan - http://www.emis.de/monographs/jablan/

[8] Il ricoprimento del periodico del piano . http://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htm

[9] La simmetria come valore didattico - Renato Betti - http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htm

[ 1 0 ] C o n f e r e n z a d i M a r c u s D u S a u t o y : h t t p : / / w w w . t e d . c o m / t a l k s / marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.html

[11] Immagine 2.2 - http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=1098

Arte ornamentale - http://www.atelier-khatt.com

Video:

Movie 1.1 e 2.1 - http://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#l

Movie 1.2 - http://www.romanoramador i.eu/maths_and_art/page65/page65.html

Movie 2.2 - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif

Movie 2.3 - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif

Movie 1.4 - http://www.youtube.com/watch?v=apybuA_FNKY

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.atelier-khatt.com/http://www.atelier-khatt.com/http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=1098http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=1098http://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htmhttp://www.emis.de/monographs/jablan/http://1.oito.eu/Symmetry.pdfhttp://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://it.wikipedia.org/wiki/Simmetriahttp://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzihttp://www.youtube.com/watch?v=apybuA_FNKYhttp://www.youtube.com/watch?v=apybuA_FNKYhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.raiscuola.rai.it/articoli/simmetria-e-forme-regolari/4191/default.aspx#http://www.atelier-khatt.com/http://www.atelier-khatt.com/http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=1098http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=1098http://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.htmlhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/SimmetriaBetti/SimmetriaBetti.htmhttp://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htmhttp://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htmhttp://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htmhttp://web.unife.it/progetti/geometria/Escher_A/limitecircolareIII.htmhttp://www.emis.de/monographs/jablan/http://www.emis.de/monographs/jablan/http://1.oito.eu/Symmetry.pdfhttp://1.oito.eu/Symmetry.pdfhttp://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-3http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-3http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-3http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-3http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-2http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://matematica.unibocconi.it/articoli/simmetria-e-matematica-1http://it.wikipedia.org/wiki/Simmetriahttp://it.wikipedia.org/wiki/Simmetriahttp://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzihttp://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzihttp://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzihttp://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_(Enciclopedia-dei-ragazzi


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CANONE A SPECCHIO

da: Wikipedia

Nella musica classica, un canone una composizione contrappuntisticache unisce a una melodia una o pi imitazioni, che le si sovrappongonoprogressivamente. La voce che inizia la melodia viene definitaantecedente o dux mentre quella o quelle che seguono vanno sotto ilnome di conseguentio comites. Per estensione chiamata canone ancheuna qualunque sezione di un brano musicale che segua il principiocostruttivo sopra esposto.

Un canone inverso (detto anche canone per moto contrario) fa muovere lavoce conseguente in moto contrario rispetto alla voce antecedente. Adesempio, se quest'ultima sale di una quinta, la conseguente scende diquinta, e viceversa. Una sottovariante del canone inverso, "a specchio",mantiene esattamente gli intervalli: una sesta maggiore rester una sesta

maggiore, e non potr diventare minore. Nella grande maggioranza deicasi, tuttavia, per venire incontro alle esigenze della scala diatonica, icompositori non adoperano canoni a specchio.

Related Glossary Terms

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Chapter 1 - Parliamo di simmetria

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EUCLIDE

da: Wikipedia

Euclide stato un matematico e scienziatog r e c o a n t i c o , c h e v i s s e m o l t oprobabilmente durante il regno di Tolomeo I(367 a.C. ca. - 283 a.C.). statosicuramente il pi importante matematicodella storia antica, e uno dei pi importantie riconosciuti di ogni tempo e luogo.

Euclide noto soprattutto come autoredegli Elementi, la pi importante opera digeometria dell'antichit; tuttavia di lui si sa

pochissimo.

Secondo alcune fonti, gli Elementi non tutta opera del solo Euclide: egli ha raccoltoinsieme, rielaborandolo e sistemandoloassiomaticamente, lo scibile matematicodisponibile nella sua epoca. La sua opera stata considerata per oltre 20secoli un testo esemplare per chiarezza e rigore espositivo, e puconsiderarsi il testo per l'insegnamento della matematica e della precisioneargomentativa di maggior successo della storia, ovvero il testo pi letto dopo

l a B i b b i a .Gli Elementi non sono un compendio della matematica dell'epoca, bens unmanuale introduttivo che abbraccia tutta la matematica "elementare", ciol'aritmetica (la teoria dei numeri), la geometria sintetica (dei punti, delle linee,dei piani, dei cerchi e delle sfere) e l'algebra (non nel senso modernodell'algebra simbolica, ma di un equivalente in termini geometrici).Di quest'opera non ci sono pervenute copie dirette; nella versione che ci pervenuta, il trattato euclideo si limita a presentare una sobria e logicaesposizione degli elementi fondamentali della matematica elementare.




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FREGIO

da: Wikipedia

Il fregio la parte intermedia traarch i t rave e corn ice ne l lat r a b e a z i o n e d e g l i o r d i n iarchitettonici classici.

Nell'ordine dorico costituito dauna successione di metope etriglifi; in quello ionico, corinzio ep o i n e l l ' a r t e r o m a n a erinascimentale una fasciacontinua decorata a rilievo, mapu anche essere l iscia ooccupata da iscrizioni.

Negli edifici romani tende ad essere intagliato in un solo blocco di pietrainsieme al sottostante architrave. In alcuni casi la vera e propriadecorazione scolpita su lastre applicate e in epoca tarda si tratta in

alcuni casi di lastre di marmo colorato (per esempio sull'arco diCostantino a Roma, oggi scomparse).

Pi genericamente il termine indica un motivo pittorico linearedecorativo. Nella militaria indica un distintivo della divisa militare.


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Chapter 3 - La matematica della simmetria: i gruppi di trasformazioni



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GALOIS

da: Wikipedia

variste Galois (Bourg-la-Reine, 25 ottobre 1811 Parigi, 31 maggio 1832) stato unmatematico francese.

Ragazzo prodigio, poco pi che adolescente riusc a determinare un metodogenerale per scoprire se un'equazione risolvibile o meno con operazioni qualisomma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione di potenza ed estrazione diradice, risolvendo cos un problema della matematica vecchio di millenni.

Il suo lavoro ha posto le basi per la teoria che porta il suo nome, la Teoria di Galoisappunto, un'importante branca dell'algebra astratta. stato anche il primo adutilizzare il termine gruppo in matematica per definire un insieme di possibilipermutazioni di elementi, ed ha definito i gruppi che portano il suo nome: i gruppi di

Galois.

Nel gennaio 1831, Galois invi al matematico Poisson un breve riassunto dei suoilavori chiedendogli di presentare il suo lavoro all'Accademia. Nello stesso anno,mentre era in carcere (era un rivoluzionario convinto), Galois ricevette la risposta diPoisson: questi rifiutava il lavoro, affermando che l'esposizione non era chiara ed eraimpossibile analizzarne con chiarezza la rigorosit, e lo invitava a lavorare perrendere il lavoro pi rigoroso e comprensibile.Galois mor durante un duello,combattuto per salvare l'onore di una donna che il giovane amava. Vi sono altreversioni che accusano la polizia segreta del Re della responsabilit del duelloaffermando che la motivazione dell'onore fu solo una copertura per nascondere unomicidio politico.

Quale sia la vera versione non noto. certo invece che variste fosse sicuro dimorire durante quel duello, al punto che pass tutta la notte precedente a cercare disistemare i suoi lavori matematici e in questi vi sono delle annotazioni in cui affermache gli manca il tempo per un'esposizione pi completa e chiara.


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ISOMETRIE

da: Wikipedia

In matematica, una isometria (dal greco $"%&, isos, che significauguale) una nozione che generalizza quella di movimentorigido di un oggetto o di una figura geometrica. Formalmente, una funzione fra due spazi metrici che preserva le distanze.

Esempi di isometrie sono le traslazioni, rotazioni e riflessioni nel

piano o nello spazio. Generalmente le isometrie preservano, oltrealle distanze, altri concetti geometrici come angoli, aree elunghezze.

Le isometrie f di uno spazio metrico X fissato formano ungruppo con l'operazione di composizione di funzioni. Questogruppo il gruppo delle isometrie di X . Ad esempio:

Il gruppo delle isometrie di un poligono regolare con lati il gruppo

diedrale di ordine 2n .


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TALETE DI MILETO

da: Wikipedia

Talete fu figlio di Essamias (o secondo altre fonti diExamio) e Cleobulina, di origine fenicia; non certo seegli fosse nato a Mileto (Asia Minore) nel I anno della39a olimpiade (624 a.C.), come riportato da Apollodorodi Atene nella sua Cronologia ma altri lo fannonascere al tempo della 35a Olimpiade (circa 640 a.C.) o se ne ricevesse la cittadinanza dopo essere statoesiliato dalla Fenicia. Il suo nome rimasto legato alnoto teorema, che egli tuttavia non conosceva e che

deve essere ascritto a Euclide il quale nei suoiElementi, dimostra la proporzionalit dell'area deitriangoli di eguale altezza.

Proclo, il commentatore di Euclide, attribuisce a Taletecinque teoremi di geometria elementare:

"Un cerchio diviso in due aree uguali daqualunque diametro"

"Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali"

"In due rette che si taglino fra loro, gli angoli opposti al vertice sono uguali"

"Due triangoli sono uguali se hanno un lato e i due angoli adiacenti uguali"

"Un triangolo inscritto in una semicirconferenza rettangolo"




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VITRUVIO

da: Wikipedia

Marco Vitruvio Pollione (latino Marcus Vitruvius Pollio 80 a.C. circa 15 a.C.circa) stato un architetto e scrittore romano, attivo nella seconda met delI secolo a.C., considerato il pi famoso teorico dell'architettura di tutti itempi.

L'importanza di Vitruvio dovuta alsuo trat tato De arch i tec tura(Sull'architettura), in 10 libri,dedicato ad Augusto (che gli avevaconcesso una pensione), scrittoprobabilmente tra il 29 e il 23 a.C.L'edizione dell'opera avvenne neglianni in cui Augusto progettava unrinnovamento generale dell'ediliziapubblica e mirava probabilmente aingraziarsi il sovrano, a cui l'autore si rivolge direttamente in ciascuna delle

introduzioni preposte ad ogni libro. Il De architectura l'unico integro testolatino di architettura e pertanto il pi importante, tra i pochi giunti, in modo pio meno frammentario, fino a noi; l'influenza sulla cultura occidentale principalmente dovuta proprio a questa sua unicit.


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Chapter 1 Parliamo di simmetria


Dietro lo specchio. Viaggio matematico (e non) nella simmetria

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