Didattica speciale delle discipline: MATEMATICA

IIIDifficoltà in matematica: un repertorio di

possibili interpretazioniMaurizio Berni

m.berni@adm.unipi.it

Tutti i materiali sono disponibili su

http://www.dm.unipi.it/fim/didattica_speciale/

Quali sono i triangoli “uguali”?

D E

A B

C

Quanti sono i triangoli simili?

Quanti e quali sono i triangoli simili in questa figura?

A H B

C

Quanti sono i triangoli simili?

Quanti e quali sono i triangoli simili in questa figura?

A

B

C

A P

Analizziamo che cosa è successo nell'affrontare i quesiti proposti in

queste lezioni● Eravamo disposti ad affrontarli? Se sì, che cosa

ci spingeva? Se no, perché?● Pensavamo di potercela fare ad affrontarli?● Abbiamo elaborato strategie?● Che cosa abbiamo provato quando non siamo

riusciti a risolverli?● Pensavamo che fossero difficili?● Questa esperienza ha influito nel nostro rapporto

con la disciplina?

Dalla metacognizione all’affettività

Consapevolezza delle proprie risorse

Regolazione dei comportamenti in base a tali risorse

conoscenza di strategie

bisogna volerlo fare (aspetti motivazionali)

bisogna credere di ‘potercela fare’ (senso di auto-efficacia) …. responsabilità

Borkowski e Muthukrishna, 1994:

“L’estensione più recente della teoria metacognitiva considera le influenze non cognitive sulla prestazione, come ad esempio le credenze attribuzionali e gli stili di apprendimento (…).

Premessa fondamentale nella più recente versione della metacognizione è che i fattori personali-motivazionali infondono energia alle abilità esecutive di autoregolazione che sono necessarie per la selezione, l’utilizzo e il monitoraggio di strategie. (…)

Le variabili motivazionali sono ritenute l’aspetto energetico dei processi di auto-regolazione sottostanti le attività di problem-solving”

Le convinzioni

Nel problem solving le convinzioni giocano un ruolo centrale nel mettere in atto

● Risorse cognitive● Risorse metacognitive● Fattori affettivi

Le convinzioni

● ...questo vale sia per lo studente che deve risolvere il 'suo' problema (che può essere il contenuto di un compito assegnato, ma anche “fare bene il compito”, “non deludere i genitori”, ...)

● ... sia per l'insegnante che deve risolvere il “suo problema” (insegnare che cosa-come-perché ad alunni “difficili”, “problematici”, ...)

Affrontare un problema

● Come l'alunno 'affronta' il suo problema● Come l'insegnante 'affronta' il suo

problema...ovvero...

UNA GALLERIA DI SCENE DI SCUOLA QUOTIDIANA (R. Zan)

Scena 1: Johnnie

Johnnie (2a elementare) viene chiamato alla lavagna e l’insegnante gli chiede di sottrarre 284 da 437.

Johhnie esegue la sottrazione:437-284=253

Scena 1: Johnnie 437-284=253L’insegnante lo corregge: “Hai dimenticato di

sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia!” Johnnie guarda l’insegnante ma non risponde. L’insegnante si avvicina alla lavagna, indica il 2 nel risultato e ripete: “Qui ti sei dimenticato che dovevi sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia…”

Johnnie sembra sempre più confuso e non reagisce.

Scena 2: Scenetra Scenetra è una bambina di seconda elementare. La

maestra vuole riconoscere se la bambina è in grado di mettere in relazione fatti aritmetici, in particolare se sa utilizzare una somma nota per trovare una somma incognita.

L’insegnante scrive quindi, una sotto l’altra, le due espressioni:

34 + 9 = 4334 + 11 =

Scena 2: Scenetra Alla richiesta di trovare il risultato dell’ultima

espressione, Scenetra riscrive in colonna i due numeri, esegue l’addizione nel modo usuale, e alla fine risponde “45”.

L’insegnante allora le chiede: “Ma non potevi usare il risultato dell’addizione che è scritta sopra?” Scenetra risponde di no, quasi sconcertata, e rimane visibilmente turbata anche quando l’insegnante le chiede di risolvere un compito analogo, invitandola esplicitamente a mettere in relazione somme note e incognite.

Scena 3: Luca Luca, terza elementare, deve risolvere il problema:

Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco. Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone. Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

Perché?

Scena 3: Luca Alla prima domanda Luca risponde: E’ più facile

che gli capiti all’aranciaAlla seconda ("Perché?"): Se Matteo prendeva

quella al limone ne rimaneva una sola e invece è meglio prenderla all’arancia.

Scena 4: Azzurra

Azzurra, terza media, deve trovare il perimetro di un rettangolo che ha i lati di 12 cm e 8 cm. La ragazza moltiplica 12 per 8. L’insegnante le dice: “Ma perché moltiplichi? Devi trovare il perimetro…”

E Azzurra: “Divido?”

Scena 5: Alessandro

Alessandro, seconda liceo pedagogico, deve trovare l’area di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 126 cm, e l’altezza è i ¾ della base.

Fa correttamente un disegno, ma poi non conclude. Alla richiesta dell’insegnante risponde: “Non mi riusciva più andare avanti.”

Scena 6: Marco

Marco, quarta liceo scientifico, deve moltiplicare x + 1 per x +2.

Scrive così:

x + 1 ⋅ (x+2)

Ma esegue così : x + 1 ⋅ (x+2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

Scena 7: Alice

Alice, quarta ginnasio, è alle prese con la distinzione fra ipotesi e tesi. Deve riconoscere in alcuni enunciati di teoremi qual è l’ipotesi e qual è la tesi, ma, regolarmente, chiama ipotesi la tesi. L’insegnante le spiega ripetutamente cosa si intende per ipotesi e tesi, ma inutilmente. Alice ascolta attentamente la spiegazione, ma davanti alla richiesta di riconoscere ipotesi e tesi, continua a sbagliare.

Scena 8: Martina

Martina, seconda liceo scientifico, semplifica scorrettamente:

a+b-----a+c

L’insegnante le spiega l’errore, facendo vedere che il procedimento non vale con casi controllabili come . “Vedi? Non viene la stessa cosa... Non si può! ”

Martina fa cenno di sì.Pochi minuti dopo, davanti a , semplifica:

Scena 8: MartinaL’insegnante le spiega l’errore, facendo vedere

che il procedimento non vale con casi controllabili come

5+3-----5+7“Vedi? Non viene la stessa cosa... Non si può! ”Martina fa cenno di sì.

Scena 8: Martina

Pochi minuti dopo, davanti a x+y x+y----- , semplifica: ------a+y a+y

Scena 9: Irene

Irene, prima liceo classico, è alle prese con le equazioni.

x2=3x-2Procede così:x2+3x+2=0E trova quindi correttamente le due soluzioni di

quest’ultima equazione.

Scena 10: NicolaNicola, terza liceo scientifico, deve risolvere la

disequazione:

Moltiplica ambo i membri per –1/7, ottenendo:

77 2 <− x

772 −>x

Scena 10: Nicola

Poi moltiplica per 7 e porta tutto al primo membro:

A questo punto si ferma.

077 2 >+x

Scena 11: Annalisa Collega con un tratto di penna ciascuna frase di sinistra con la frase o le

frasi di destra che hanno significato equivalente:

Non tutti gli operai

della fabbrica sono italiani

Nessun operaio della fabbrica è italiano

Non tutti gli operai della fabbrica non sono

italiani Alcuni operai della

fabbrica sono stranieri

Tutti gli operai della fabbrica

sono italiani

Alcuni operai della fabbrica

sono italiani

Tutti gli operai della fabbrica

sono stranieri

Scena 11: Annalisa Collega con un tratto di penna ciascuna frase di sinistra con la frase o le

frasi di destra che hanno significato equivalente:

Non tutti gli operai

della fabbrica sono italiani

Nessun operaio della fabbrica è italiano

Non tutti gli operai della fabbrica non sono

italiani Alcuni operai della

fabbrica sono stranieri

Tutti gli operai della fabbrica

sono italiani

Alcuni operai della fabbrica

sono italiani

Tutti gli operai della fabbrica

sono stranieri

Scena 11: Annalisa Collega con un tratto di penna ciascuna frase di sinistra con la frase o le

frasi di destra che hanno significato equivalente:

Non tutti gli operai

della fabbrica sono italiani

Nessun operaio della fabbrica è italiano

Non tutti gli operai della fabbrica non sono

italiani Alcuni operai della

fabbrica sono stranieri

Tutti gli operai della fabbrica

sono italiani

Alcuni operai della fabbrica

sono italiani

Tutti gli operai della fabbrica

sono stranieri

(in rosso le frecce corrette)

Scena 12: Alessio

Al compito scritto di Istituzioni di matematica Alessio, studente al primo anno di Biologia, affronta subito lo studio di funzione. Lo studio gli crea dei problemi imprevisti, e dopo due ore e mezzo Alessio non ha più il tempo necessario per svolgere altri esercizi.

Attività: osservare/interpretare

1. Per ogni scena, prova a descrivere ciò che osservi

2. Per ogni scena, prova a fornire una o più interpretazioni della situazione descritta

3. Se la richiesta del punto 2. ti porta a modificare alcune descrizioni di cui al punto 1, puoi farlo, esplicitandolo

Attività: valutare

1. Quali fra tutte le scene ti colpiscono di più in senso negativo, cioè ti sembra che descrivano comportamenti od errori più gravi?

Perché?2. Quali fra tutte le scene ti colpiscono di meno in

senso negativo, cioè ti sembra che descrivano comportamenti od errori meno gravi?

Perché? 3. Analizza in particolare le scene 2 (Scenetra) e 4

(Azzurra). Se tu fossi l’insegnante, riterresti opportuno intervenire?

Se sì, come? Se no, perché?