DEFINIZIONE. La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice.DEFINIZIONE. La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice.

1 La frazione come numero razionale assoluto

1

Consideriamo le frazioni e determiniamo i corrispondenti valori numerici:

84

; 1625

; 56

84

8 : 4 2

1625

16 : 25 0,64

56

5 : 6 0,833333...

• Nel primo caso abbiamo ottenuto come quoziente un numero naturale.

• Nel secondo caso abbiamo ottenuto un quoziente con un numero limitato di cifre decimali e resto uguale a zero.

• Nel terzo quoziente il resto non è mai uguale a zero, quindi il numero decimale che otteniamo ha un numero illimitato di cifre decimali.

DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero:DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero:

1 La frazione come numero razionale assoluto

2

Possiamo distinguere le frazioni a seconda del quoziente ottenuto dividendo il numeratore per il denominatore.

• naturale se la frazione è apparente;

• decimale se la frazione non è apparente; in particolare tale numero può essere un:

- decimale limitato;

- decimale illimitato.

1 I numeri decimali limitati

3

Consideriamo le frazioni e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il

numeratore per il denominatore:

7100

e 720

7100

7 :100 0,07

720

7 : 20 0,35

La prima frazione ha come denominatore una potenza del numero 10 e per questo rientra nelle frazioni decimali.

REGOLA. Una frazione decimale dà sempre origine ad un numero decimale limitato.REGOLA. Una frazione decimale dà sempre origine ad un numero decimale limitato.

La seconda frazione ha come denominatore un numero diverso da 10 (o una sua potenza) e viene chiamata frazione ordinaria.

REGOLA. Se il denominatore, scomposto in fattori primi, di una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini presenta come fattori esclusivamente i numeri 2 e/o 5, o le loro potenze, allora la frazione dà origine ad un numero decimale limitato.

REGOLA. Se il denominatore, scomposto in fattori primi, di una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini presenta come fattori esclusivamente i numeri 2 e/o 5, o le loro potenze, allora la frazione dà origine ad un numero decimale limitato.

1 I numeri decimali periodici

4

Consideriamo le frazioni e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il

numeratore per il denominatore:

633

e 76

633

6 : 33 0,181818...

76

7 : 6 1,166666...

Nel primo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, due cifre che si ripetono periodicamente. Un numero di questo tipo si chiama periodico semplice.

Nel secondo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, una cifra che non si ripete e una cifra che si ripete periodicamente. Un numero di questo tipo si chiama periodico misto.

633

6 : 33 0,181818...

periodo

periodoantiperiodo

76

7 : 6 1,166666...

1 I numeri decimali periodici

5

DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola troviamo il periodo, cioè la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all’infinito.DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola troviamo il periodo, cioè la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all’infinito.

In generale possiamo affermare che:

DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e prima del periodo troviamo una cifra (o più cifre) detta antiperiodo che non si ripete.DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e prima del periodo troviamo una cifra (o più cifre) detta antiperiodo che non si ripete.

Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle due frazioni iniziali:

33 311

6 23

REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un:

numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5 o le loro potenze;

numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre a 2 e/o a 5 o le loro potenze.

REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un:

numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5 o le loro potenze;

numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre a 2 e/o a 5 o le loro potenze.

2 La frazione generatrice di un numero decimale

6

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:

• per numeratore il numero stesso senza virgola;

• per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:

• per numeratore il numero stesso senza virgola;

• per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato.

Trasformiamo il numero 3,45 nella relativa frazione generatrice:

3,45 3 40,150,013 4110

5 1100

Numeri decimali limitati

3 410

5100

300 405100

345100

2 La frazione generatrice di un numero decimale

7

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.

64,34 6434 6499

637099

Numeri decimali periodici semplici

Trasformiamo il numero 64,34 nella relativa frazione generatrice:

Numero decimale periodico semplice

Frazione generatrice

Parte interaTutto il numero compreso il

periodo e senza virgola

Due 9 (corrispondono al numero di cifre del periodo)

2 La frazione generatrice di un numero decimale

8

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l’antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l’antiperiodo e senza virgola;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente:

• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l’antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l’antiperiodo e senza virgola;

• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

5,326 5326 532900

4794900

2397450

799150

Numeri decimali periodici misti

Trasformiamo il numero 5,326 nella relativa frazione generatrice:

Numero decimale periodico misto

Frazione generatrice ridotta ai

minimi termini

Parte che precede il periodo compreso l’antiperiodo e senza virgola

Tutto il numero compreso il periodo e l’antiperiodo e

senza virgola

Un 9 (corrispondente alla cifra del periodo)

Due 0 (corrispondenti al numero di cifre dell’antiperiodo)

3 Le espressioni con i numeri decimali

9

Primo metodo

Effettuiamo il calcolo con i numeri decimali limitati secondo le regole note:

2,75 : 5,5 2,25 0,75 0,5 2,25 0,75 2

2510

25100

:

5510

225100

75100

52 1

4

:

112

94

34

114

:112

94

34

Secondo metodo

Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli:

111

42 21

111 9

4 3

41

2 9

4 3

429 3

482

412

2,50,25 : 5,5 2,25 0,75Risolviamo l’espressione .