CORSO INTRODUTTIVO MATEMATICA - sergiosimone.it · La frazione generatrice di un numero periodico...

1

CORSO INTRODUTTIVO

MATEMATICA

2

Programma di matematicaInsiemi numerici e calcolo aritmetico: simboli matematici. Numeri naturali, numeri relativi, numeri razionali, numeri reali e retta numerica, ordinamento e confronto di numeri, ordine di grandezza e notazione scientifica. Operazioni e loro proprieta' (tavola Pitagorica). Dai numeri decimali alle frazioni e viceversa. Proporzioni e percentuali. Potenze (con esponente intero positivo o negativo, razionale) e loro proprietà. Radicali e loro proprietà. Logaritmi (in base 10 e in base e)e loro proprietà.

Algebra classica: prodotti notevoli, potenza n-esima di un binomio. Scomposizione in fattori deipolinomi. Operazioni con le frazioni algebriche. Equazioni algebriche razionali, intere o fratte.Disequazioni algebriche razionali, intere o fratte.Funzioni: nozioni fondamentali (campo di esistenza, intersezioni con assi, segno) per lo studio di funzioni intere o fratte, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Rappresentazione nel piano cartesiano delle funzioni sopra elencate. Funzioni reciproche. Funzioni inverse.Trigonometria: misura degli angoli in gradi e radianti. Seno, coseno, tangente di un angolo e lorovalori notevoli. Funzioni y=senx, y=cosx, y=tax e loro rappresentazione nel piano cartesiano.

Formule goniometriche. Equazioni e disequazioni goniometriche.Geometria Euclidea: poligoni e loro proprieta'. Circonferenza e cerchio. Misure di lunghezze,superfici e volumi. Isometria, similitudini ed equivalenze nel piano. Luoghi geometrici.

Geometria Analitica: sistemi di riferimento, coordinate di un punto. Distanza fra due punti, distanza di un punto da una retta, punto medio di un segmento. Equazione della retta, della parabola, della circonferenza, dell'iperbole e dell'ellisse e loro rappresentazione su piano cartesiano.Probabilita' e statistica: probabilita' di un evento. Eventi compatibili, incompatibili, dipendenti,indipendenti. Rappresentazioni grafiche dei dati statistici. Valori medi statistici: media aritmetica,moda, mediana.

3

Insiemi numerici

Un insieme numerico è rappresentato da una collezione di numeri classificati a seconda di una loro caratteristica (interi positivi, negativi, razionali, irrazionali, immaginari, complessi, etc.) e dalle operazioni che in essi si possono effettuare.

4

Insiemi numerici (cont.)

5

Insiemi numerici (cont.)

n

n

n

6

Calcolo letterale e polinomi

Monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione.

segno

grado 5

parte letterale

coefficiente

letterale

7

Calcolo letterale e polinomi (cont.)

letterale

-5 60 22

8


729

+ +

9


tra le parti letterali

tra le parti letterali

10


Polinomio è la sommaalgebrica di due o più monomi

11


3

2ab)

12


2

(y+7x )2

2

- +2

13


+9

+ 4

14


2

15


8-b3-12b+6b2

16


2

17


Un polinomio si dice irriducibile se non è divisibile per altri polinomi

18


4x )2 2

19


+

20


-

21

Equazioni di primo grado

letterale

identità

Due equazioni sidicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

Eq. indeterminata

Eq. impossibile

22

Equazioni di primo grado (cont.)

23

Equazioni di primo grado (cont.)Risoluzione di un’equazione di 1° grado:1) Eliminazione delle parentesi (svolgimento delle operazioni che sottendono);2) Isolamento al primo membro dei termini contenentil’incognita ed al secondo dei termini noti;

3) Somma algebrica dei termini di ciascuno dei due membri;4) Divisione di entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita per ricavare la soluzione dell’equazione.

24

Equazioni di primo grado (cont.)Esempio di risoluzione:

27)2(35 +=−+ xx

27635 +=−+ xx

65273 +−=− xx

34 =− x

43

−=x

Step1

Step2

Step3

Step4

25

Disequazioni di primo grado

b/a

26

Disequazioni di primo grado (cont.)

Due disequazioni sidicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

27

Disequazioni di primo grado (cont.)Risoluzione di una disequazione di 1° grado:1) Eliminazione delle parentesi (svolgimento delle operazioni che sottendono);2) Isolamento al primo membro dei termini contenentil’incognita ed al secondo dei termini noti;

3) Somma algebrica dei termini di ciascuno dei due membri;4) Divisione di entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita (se negativo cambiare verso alla disequazione).

28

Disequazioni di primo grado (cont.)

Esempio:

)23(7512 xx −<−

xx 1421512 −<−

5211412 +<+ xx

2626 <x

1<x

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

29

Radicali e razionalizzazione

radicale

a>=0 se n pari

Un radicale è costituito da un radicando, termine sotto radice, e da un indice. Il radicale è il risultato della radice. Esso ha senso nel campo Reale solo se il radicando è positivo, o nullo, quando l’indice è pari.

radicando

e m dispari

Risolvere il radicale: Trovare b tale che bn=am

30

Radicali e razionalizzazione (cont.)

31


32


n ba * p mpnp ba // *

pmp

np

m

n

ba

ba

/

/

=

33


nmm n aa *=

34


n rq aa *{

35


Il processo di razionalizzazione è utilizzato per trasformare frazioni contenenti radicali al denominatorein una frazione razionale.

Di fatto viene eliminato il radicale dal denominatore.

La regola generale seguita nel processo di razionalizzazioneè la seguente:

36


nn

nn

n

n

nn-m

n-mm

n-m

m

m

n-m

a

37


a

nn

n-mn

38


39

Equazioni e disequazioni di 2°

40

Equazioni e disequazioni di 2° (cont.)

41


- b - b - 4ac2

2a

2a

x2

determinante

42


43


44

Numeri decimali e frazioni

Numero decimale: costituito da unità intere separate, mediante la virgola, da unità decimali. Es: 53,345.Frazione decimale: frazione avente per denominatore una potenza di 10. Es: Per trasformare una frazione qualsiasi in un numero decimale, sidivide il numeratore per il denominatore: Es.

Se la divisione termina allora si ottiene un numero decimale limitato, altrimenti se ne ottiene uno illimitato periodico.

21,3100321

=

25,145= 72,1

1119

= 61,66

37=

45

Numeri decimali e frazioni (cont.)

Dato un numero decimale è anche possibile trovare la frazione che ha dato origine ad esso (frazione generatrice).Es:

La frazione generatrice di un numero periodico semplice ha per numeratore la differenza tra il numero formato dalla parte intera, se presente, seguita dal periodo e il numero formato dalla parte intera, e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Es:

20027

10001000*135,0135,0 ==

991313,0 =

9245

9272722,27 =

−=

46

Numeri decimali e frazioni (cont.)

La frazione generatrice di un numero periodico misto ha per numeratore il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo, seguite da quelle del periodo, meno il numero formato dalle cifre che precedono il periodo; ha per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. Es:

337

9902212122,0 =

−=

450983

9002182184418,2 =

−=

47

Grandezze proporzionali

Due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto dei valori corrispondenti dell’altra.Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto inverso dei due valori corrispondenti della seconda.

48

Percentuali

Calcolare una percentuale significa rispondere alla seguente domanda: “Quante(i) su 100?”. Per calcolare una percentuale bisogna ricorrere alle proporzioni. Es. Calcolare la percentuale di promossi in una classe A di 24 studenti sapendo che 18 sono stati promossi (come dire: quanti sarebbero i promossi in una classe di 100?):

24:18=100:p cioè

La percentuale richiesta è del 75%.

7524

100*18==p

49

Misure di angoli

Il grado è l’angolo al centro sotteso da 1/360 di circonferenza.Un radiante è l’angolo sotteso da un arco di circonferenza di lunghezza uguale al raggio:

srϑ

radrs 1=⇒= ϑϑrs =

°≅°=°

= 3.57...2958.572

3601π

rad

rad...01745.036021 =

°=°

π

50

Sistemi di coordinate

Cartesiano:

51

Sistemi di coordinate (cont.)

Cilindrico:

xyyxr

zzrsenyrx

1

22

tan

cos

−=

+=

===

ϑ

ϑϑ

52

Sistemi di coordinate (cont.)

Sferico:

xyrz

zyxr

rzsenrseny

rsenx

1

1

222

tan

cos

cos

cos

−

−

=

=

++=

===

φ

ϑ

ϑφϑφϑ

53

Logaritmi

Il logaritmo in base a di un numero x è l’esponente y al quale a deve essere elevato affinché si ottenga x, cioè

ayx =

In tal caso, si scrive: xy alog=

54

Logaritmi: proprietà

BAAB aaa logloglog +=

BABA

aaa logloglog −=

AnA an

a loglog =

aAA

b

ba log

loglog =

55

PoliedriSolidi le cui facce sono sono costituite da poligoni. Precisamente:Si dice poliedro la parte di spazio delimitata da poligonisituati in piani diversi in modo che ogni lato sia comunea due di essi.

faccia

vertice

spigolo

56

Poliedri (cont.)Prisma: poliedro limitatoda due poligoni ugualiposti su piani parallelie da tanti parallelogrammiquanti sono i lati di ciascunpoligono.

triangolare quadrangolare pentagonale

obliquoretto Pentagonale regolare

Prisma regolareSe è retto ed ha perbasi due poligoni regolari

57

Poliedri (cont.)Superficie laterale (Sl) e totale (St) del prisma retto:

Sl=p*h dove h è l’altezza e p il perimetro di baseSt=Sl+2*Sb dove Sb è l’area di base

58

Poliedri (cont.)Parallelepipedo: prisma avente per basi due parallelogrammi

P. Rettangolo se è rettoEd ha per basi dei rettangoli

59

Poliedri (cont.)Diagonale (d),superficie totale (St) e volume (V)di un p. rettangolo

ab

c

222 cbad ++= St=2*(a*b+a*c+b*c)

V=Sb*h

60

Poliedri (cont.)Cubo: p. rettangolo Avente le tre dimensioni uguali.Diagonale (d), superfici lat.(Sl), totale (St) e volume (V)di un cubo

3ld =Sl=4l2

St=6l2V=l3

61

Poliedri (cont.)Piramide: poliedro limitato da un poligono, detto base, e datriangoli, tanti quanti sono i lati della base ed aventi tutti un vertice comune detto vertice della piramide.

P. triangolare P. pentagonale

Altezza: distanza tra vertice e piano della base

62

Poliedri (cont.)Piramide retta: se nella base si può inscrivere una circonferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Piramide regolare: ha per base un poligono regolare.

P. retta P. regolare

63

Poliedri (cont.)Piramide retta: calcolo delle superfici laterale (Sl) e totale (St)e del volume (V).

Sl=(1/2)(p*a)

St=Sl+Sb

p è il perimetrodi base, a l’apotemae Sb è la superficie di base

V=(1/3)(Sb*h)

64

Poliedri (cont.)Tronco di piramide:

65

Poliedri (cont.)Tronco di piramide retto: calcolo delle superfici laterale (Sl) e totale (St) e del volume (V).

Sl=(1/2)a(p+p’)

a è l’apotema del troncoe p’ è il perimetro della base superiore

St=Sl+Sb+S’b

++= SSSS bbbbhV ''

31

66

Poliedri (cont.)Regolari

67

Solidi di rotazione

Cilindro: solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati

68

Solidi di rotazione (cont.)

Cilindro: calcolo delle superfici laterale (Sl) e totale (St) e del volume (V):

rhSl π2=222 rrhSt ππ +=

hrV 2π=

69


Cono: solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti

70


Cono: calcolo delle superfici laterale (Sl) e totale (St) e del volume (V):

raSl π=2rraSt ππ +=

hrV 2)3/1( π=

71


Tronco di Cono:

72


Tronco di Cono: calcolo delle superfici laterale (Sl) e totale (St) e del volume (V):

arrSl )'( +=π

[ ]22 ')'( rrarrSt +++=π

hrrrrV )''()3/1( 22 ++= π

73


Sfera: solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio intorno al proprio diametro.

74


Sfera: calcolo della superficie (S) e del volume (V) di una sfera di raggio r.

24 rS π=

3

34 rV π=

75

Solidi di rotazione (cont.)Parti della Sfera: Calotta sferica e segmento sferico ad una base. Calcolo della superficie della calotta (S) e del volume del segmento (V).

Calotta sferica Segmento sferico

rhS π2=

)3(31 2 hrhV −= π

h

r

76

Solidi di rotazione (cont.)Parti della Sfera: Zona sferica e segmento sferico a due basi. Calcolo della superficie della zona (S) e del volume del segmento (V).

rhS π2=

)3

(21 2

22

1

2

rrhhV ++= π

r1

r2

h

77

Solidi di rotazione (cont.)Parti della Sfera: Fuso sferico e spicchio sferico. Calcolo della superficie del fuso (S) e del volume dello spicchio (V).

Fuso sferico Spicchio sferico

α90

2απrS =

270

3απrV =

78

Altri Solidi di rotazione (cont.)

79


80


81


82

Prova n.1 1. Un angolo di ampiezza 1 radiante corrisponde a:1) poco più di 60° sessagesimali;2) poco meno di 60° sessagesimali;3) 50° sessagesimali;4) un angolo retto;5) 33° sessagesimali.

2. Le soluzioni dell'equazione 3/(x2-1) = 1/(x2 -3) sono:1) -2;2;2) -2;03) 1;34) -4;45) l'equazione non ha soluzione

3. Se il log(b)M=m e se log(b)N=n il valore di log(b)(M/Nk) vale:1) M-Nk

2) M-k*N3) m-k*n4) m-kn

5) bm/bn+k

BABA

aaa logloglog −=

AnA an

a loglog =

83

Prova n.14. Se per ipotesi si ha 0 < x < y < 1 allora:1) x2 > x2) x2 > y3) y1/2 < x4) x*y > x5) x*y < x

5. Data l'equazione 5 logx = log 32, posso affermare che x e' uguale a:1) 1/22) 23) 54) 4/(2)-1/2

5) nessuna delle altre quattro risposte

6. La seguente disequazione: (x-8) / (x2+5x-6) uguale o maggiore di zero e' verificata:1) sempre2) per x <-6 e x > 83) per - 6 < x < 1 e x > = 84) mai5) per x < -6 e x > 1

84

Prova n.17. Un tale compra un oggetto a 2.000 lire e lo vende a 2.500 lire; lo ricompra a 3.000 lire e lo

rivende a 3.500 lire. Quante lire guadagna?1) 02) 5003) 1.0004) 1.5005) 2.000

8. Un numero intero tale che la differenza tra il suo quadrato e i 3/2 del numero stesso sia uguale a 52 e':

1) 82) 153) -13/24) non esiste alcun numero intero che soddisfa la relazione5) nessuna delle altre 4 risposte

9. Un cono e un cilindro circolari retti hanno uguale altezza e il raggio di base del cono uguale al diametro del cilindro. Detto V il volume del cono e W il volume del cilindro, il rapporto V/W e':

1) = 4/32) = 13) = 3/44) = 25) dipendente dal raggio

hrV 2)3/1( π= hrW2

2

= π

85

Prova n.110. Data la sequenza di numeri 1,2,5,4,9,6,13 .... qual e' il successivo termine?1) 82) 113) 104) 75) Non puo' essere predetto perche' la sequenza e' puramente casuale

11. Dato un cilindro retto a base circolare di raggio R e altezza h = 2R, qual e' il rapporto fra il suo volume e quello della sfera massima contenibile?

1) 3/22) 4/33) 6/ π4) π /25) π * 3

12. L'area sottesa dalla curva y = 2x + 3 nell'intervallo compreso tra 0 e 5 e' data da:1) 22) 53) 174) 245) 40

( )3

2

34

2

R

RR

π

π

0 5

13

5

3

y=2x

+3y

x

86

Prova n.113. Un triangolo isoscele, che abbia due lati uguali a 2 cm e l'area uguale a 2 cm2 :1) e' inscritto in un cerchio di raggio uguale a 22) e' anche equilatero3) ha il terzo lato uguale ad un cm4) non puo' esistere5) e' anche rettangolo

14. Un triangolo rettangolo, ruotando intorno all'ipotenusa, genera:1) due coni uniti per la base2) un prisma3) un tronco di cono4) un cono retto5) una piramide

15. Un litro di liquido equivale a:1) un miliardo di millimetri cubi2) un milione di centimetri cubi3) centomila microlitri4) un millesimo di metro cubo5) l'equivalenza dipende dal tipo di liquido considerato

2cm

2cm

87

Prova n.116. L'insieme dei valori assunti, per x reale, dalla funzione f(x) = (cosx)2:1) e' l'intervallo tra (-1,1) estremi inclusi2) e' l'insieme dei numeri reali3) e' l'intervallo (0,2) estremi inclusi4) dipende dal fatto che x sia espresso in gradi o radianti5) e' l'intervallo (0,1) estremi inclusi

17. Il coefficiente angolare di una retta e':1) l' angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse espresso in radianti;2) l'angolo formato dalla retta con l'asse delle ordinate espresso in radianti;3) il seno dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse;4) la tangente dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse;5) il coseno dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse.

18. La somma algebrica degli scarti rispetto alla media aritmetica dei numeri -4,-3,-2,5,6,7,8 e':1) 17;2) 35; 3) 7;4) 0;5) 2,43.

y=2x

+3y

xα2tan =α

mNNNM m+++

=....21

0........ 2121 =−+++=−++−+−= mMNNNMNMNMNS mm

88

Prova n.119. Il 4% del 20% di un numero e' 1; qual e' il numero?1) 80;2) 24;3) 125;4) 16;5) 20.

20. Se una grandezza x e' direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza y, e y e' inversamente proporzionale ad una grandezza z, allora:

1) x e' direttamente proporzionale al quadrato di z;2) x e' inversamente proporzionale al quadrato di z;3) x e' direttamente proporzionale a z;4) x e' inversamente proporzionale a z;5) la relazione tra x e y e' diversa da quelle indicate nelle risposte precedenti.

1))(2.0(04.0 =N 1251081

10*81

008.01 3

3 ==== −N

zcy = 2syx = 2

2

zcsx =

89

Prova n.21. Un rettangolo mantiene la stessa area se si aumenta la base di 8 cm e si diminuisce l'altezza

di 5 cm. La sua area pero', se si diminuisce la base di 5 cm e si aumenta l'altezza di 8 cm aumenta di 130 cm2. I lati sono:

1) Base = 30 cm; altezza = 40 cm2) Base = 35 cm; altezza = 45 cm3) Base = 40 cm; altezza = 30 cm4) Base = 50 cm; altezza = 20 cm5) Base = 60 cm; altezza = 30 cm

2. L'espressione (4 + 2x + 12y) / 2 si puo' ridurre a:1) 2 + 2 * (x + 6y)2) 4 + y + 6x3) 2 + x + 6y4) 4 + x + 6y5) 2 + 2x + 6y

3. Osservate la seguente tabella:attraverso quale delle seguenti relazioni sono collegate le grandezze x ed y ?1) y2 = x + 22) y = x2 - 23) 3y = x2 - 24) 3x2 = y + 25) 3x2 = y - 2

x y___________1 13 255 737 1459 241

90

Prova n.24. Data l'equazione 2x2 + bx + c = 0, qual e' la coppia di valori di b e c che produce le soluzioni 11 e 3?1) b = -28 c = -332) b = 14 c = -663) b = -28 c = 664) b = - 7 c = 33/25) b = 14 c = -33

5. In una progressione geometrica il primo elemento e' 2 e il sesto e' 0,0625. Il quinto valore della progressione e':

1) 0,1252) 0,01253) 0,54) 0,055) nessuno dei valori proposti nelle altre risposte e' corretto

6. Dato un cubo di volume Vc ed una sfera di volume Vs (diametro sfera = lato del cubo), calcolare il rapporto (Vc-Vs)/Vc:

1) 1- π /62) 1- π /23) π /64) π /35) π /2

abxx −=+ 21 a

cxx =21 *

516

213121 ;.....;;;2 appappappp ====

5.0=a

3

234

=lVs π3lVc =

91

Prova n.27. La radice quadrata positiva di un numero x maggiore di 0 e minore di 1 e':1) x/22) un numero maggiore di x3) un numero minore di x4) un numero maggiore di 15) non esiste nel campo dei numeri reali

8. Due rette che giacciono nello stesso piano:1) sono parallele2) non si incontrano mai3) possono essere parallele4) individuano due piani perpendicolari5) si incontrano formando sempre un angolo retto

9. Se i tre angoli di un triangolo sono eguali ai tre angoli di un secondo triangolo, i due triangoli sono:1) entrambi equilateri2) sempre simili3) sempre uguali4) entrambi rettangoli5) non e' possibile rispondere perche' mancano i valori delle ampiezze degli angoli

92

Prova n.210. Il logaritmo di x in base 5 e' un numero y tale che:1) y5 = x;2) x5 = y;3) 10y = 5x;4) 5y = x;5) 10x=5y.

11. log 399255040041042 (in base 10) e' un numero compreso tra:1) 11 e 12;2) 13 e 14;3) 39 e 40;4) 10 e 11;5) 14 e 15.

12. Due rette di equazioni y = mx e y = nx sono tra loro sempre perpendicolari se:1) mn = -1;2) mn = 1;3) m = n;4) mn = 0,5;5) m/n = 0,5.

1514 1041042399255040010 ≤≤

93

Prova n.213. La probabilita' che lanciando simultaneamente due dadi si ottengano due numeri la cui somma vale

11 e', rispetto alla probabilita' che si ottengano due numeri la cui somma vale 10:1) non paragonabile, perche' si tratta di eventi diversi;2) minore;3) maggiore;4) uguale;5) circa doppia.

14. Uno studente universitario ha superato 4 esami, ed ha la media di 23; quale e' il voto minimo che lo studente dovra' prendere all'esame successivo affinche' la media diventi almeno 25?

1) 29;2) 30;3) 28;4) 26;5) qualunque sia il voto all'esame successivo, la media non potra' raggiungere il valore 25.

15. Detta k una costante, l'affermazione "x e y sono inversamente proporzionali" equivale a:1) x=ky;2) y=kx;3) xy=k;4) x-y=k;5) x+y=k. y

kx =

94

Prova n.216. La variazione di una grandezza con il tempo puo' essere descritta con una funzione

esponenziale se:1) in intervalli di tempo uguali l'incremento della grandezza e' percentualmente costante;2) la grandezza e' inversamente proporzionale al tempo;3) in intervalli di tempo uguali, la grandezza cresce di quantita' uguali;4) in intervalli di tempo uguali, la grandezza decresce di quantita' uguali;5) la grandezza e' direttamente proporzionale al quadrato del tempo.

17. 4893 moltiplicato per 8754896 e' uguale a:1) 42837706129;2) 42837706128;3) 42837706126;4) 42837706124;5) 42837706125.

18. 53/(5-3)=1) 0;2) 25;3) 1;4) 5;5) 6625.

tt

tt

kkk ∆

∆+

=

tt

tt

kkk ∆

∆+

=1

1

33 5*53

553

=−

95

Prova n.219- Se sul prezzo di un oggetto si pratica uno sconto del 30%, e quindi sul nuovo prezzo così

ottenuto si applica un nuovo sconto del 20%, quanto vale in % lo sconto (cioè la riduzione percentuale) totale sul prezzo iniziale?

1) 36% 2) 44% 3) 50% 4) 66% 5) 72%

20- Quanto vale in gradi sessagesimali un angolo la cui misura in radianti è: (4/3) * π ?1) 120°2) 135°3) 180°4) 225°5) 240° °= 240180

34

ππ

CORSO INTRODUTTIVO MATEMATICA - sergiosimone.it · La frazione generatrice di un numero periodico...

Documents

Transcript of CORSO INTRODUTTIVO MATEMATICA - sergiosimone.it · La frazione generatrice di un numero periodico...