Guido Boffetta Dipartimento di Fisica Universita’ di Torino

Dagli atomi al secondo principio della termodinamica:

l'origine statistica dell'irreversibilita’

Personaggi

Ludwig Boltzmann

Robert Brown

Albert Einstein

Democrito

Lo sviluppo della fisica porta ad unificare la visione del mondo: * terra-cielo: gravitazione universale (Newton, 1687) * elettricita’-magnetismo: elettromagnetismo (Maxwell, 1873) * reversibile-irreversibile: teoria cinetica (Boltzmann, 1872) * elettromagnetismo-forza debole: modello elettrodebole (Glashow, Weinberg, Salam, 1967) * grandi unificazioni ....

Una singola teoria e’ in grado di spiegare un maggior numero di fenomeni

Reversibile-irreversibile

A meta’ dell’800 la fisica era divisa su due fronti indipendenti:

fenomeni reversibili (meccanica, elettromagnetismo)

fenomeni irreversibili (termodinamica)

reversibile = direzione del tempo non privilegiata

Termodinamica: la fisica dell’irreversibile

Secondo principio della termodinamica (Clausius, ~1860):

“Il calore non fluisce spontaneamente da un corpo freddo ad uno caldo”

ovvero, esiste una variabile termodinamica, l’entropia che non diminuisce

Problema:

-  come e’ possibile che un sistema macroscopico, composto da atomi che obbediscono a leggi reversibili (meccanica di Newton), si comporti in modo irreversibile? - quale e’ l’origine dell’irreversibilita’?

Teoria cinetica: la meccanica della termodinamica

Boltzmann, Gibbs, Maxwell (1870-1900): “l’origine dell’irreversibilita’ e’ statistica, nel grande numero di atomi (o molecole) coinvolti” E’ possibile costruire la termodinamica (cioe’ ritrovarne le leggi) a partire dalle leggi della meccanica Newtoniana.

Numero di Avogadro Numero di molecole in una mole di sostanza (=numero di grammi

pari al peso molecolare) NA = 6 X 1023

L’entropia e’ una misura del disordine del sistema, che spontaneamente non puo’ che aumentare

L’entropia e’ una misura del disordine del sistema, che spontaneamente non puo’ che aumentare

Esempio di processo irreversibile: espansione di un gas

Inizialmente il gas si trova a sx e il contenitore a dx e’ vuoto

Aprendo il rubinetto, il gas si dispone in entrambi i contenitori (egual pressione)

Chiudendo nuovamente il rubinetto (reversibile) il gas non torna indietro (irreversibile)

Interpretazione microscopica dell’espansione di un gas

A causa degli urti le molecole si muovono caoticamente nel recipiente. La probabilita’ di trovare una molecola a sx (o dx) e’ 1/2 Se il moto delle molecole e’ indipendente, la probabilita’ di trovare n delle N molecole a sx vale

p(n) = W (n)Wtot

=12N

N !n!(N − n)!

Per N grandi questa probabilita’ diviene piccolissima se n≠N/2

Espansione di un “gas” di 9 molecole

La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/29≈0.002

L’”entropia” puo’ descrescere

S(t)

Espansione di un “gas” di 512 molecole

La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/2512≈10-154

Nel caso di un gas abbiamo N≈1023 molecole e quindi la probabilita’ di ritorno diviene estremamente piccola

Boltzmann (1896): il ritorno di un cm3 di gas nel contenitore di sx non e’ impossibile, ma il tempo medio di attesa vale circa 101019 anni

S(t)

Teoria cinetica e moto Browniano

Malgrado gli innegabili successi, la teoria cinetica di Boltzmann incontra resistenze a causa del “paradosso dell’irreversibilita’” (o paradosso di Loschmidt: spiegare l’irreversibilita’ termodinamica a partire dal moto reversibile delle molecole). Ancora all’inizio del ‘900 la natura atomica della materia non e’ completamente accettata (“gli atomi non si vedono”, dice Mach).

Il moto Browniano permette di costruire un ponte tra il mondo microscopico e quello macroscopico, tra il reversibile e l’irreversibile.

molecole Newtoniane

termodinamica irreversibile

moto browniano

Gli atomi: un’idea vecchia

Leucippo

L’idea che la materia sia composta da unita’ indivisibili nasce con Leucippo e Democrito (450 aC). L’atomismo viene poi tramandato da Epicuro (300 aC) e poi Lucrezio (100 aC). Atomismo ed etica: vincere la paura della morte e assumersi le proprie responsabilita’

Epicuro

San Girolamo: “il poeta Lucrezio, dopo essere impazzito per un filtro d'amore e aver scritto alcuni libri negli intervalli della follia, si suicidò all'età di quarantaquattro anni”

Il moto Browniano

Robert Brown (1773-1858)

Moto disordinato ed incessante di granelli di polline osservato casualmente al microscopio dal botanico scozzese R.Brown nel 1827. Con una serie di esperimenti Brown esclude il carattere biologico del moto.

Cosa si vede al microscopio

nanoparticelle (circa 90 nm) in acqua

Cosa si vede al microscopio

particelle piu’ grandi si muovono piu’ lentamente

1 µm polystyrene spheres

Einstein ed il moto Browniano

Nel 1905, annus mirabilis della Fisica, Einstein formula la teoria del moto Browniano (assieme alla relativita’ ristretta ed all’ipotesi del quanto di luce). Einstein vuole trovare una prova sperimentale della realta’ degli atomi: Un grano di polline immerso nel liquido si comporta come una grande molecola e puo’ fungere da “microscopio” per vedere il moto degli atomi previsto da Boltzmann.

Einstein e la teoria del moto Browniano (1905)

Due tipi di forza agenti sul grano * forza di attrito col fluido (Stokes) Fa=-6πaμV * forza dovuta agli urti con le molecole Fu

V Fa

Fu

F = ma

Partendo da questo modello meccanico semplice e facendo l’ipotesi fondamentale che il grano sia in equilibrio termico con le molecole, Einstein riesce a trovare una previsione per cui

la distanza percorsa dal grano e’ proporzionale alla radice quadrata del tempo:

T: temperatura µ: viscosita’ del fluido R: dimensioni grano

La velocita’ di diffusione e’ inversamente proporzionale alle dimensioni: i grani diffondono piu’ lentamente delle molecole e possono essere osservati.

La diffusione e’ proporzionale alla temperatura.

D2 =kT6πµR

t

Einstein e la teoria del moto Browniano (1905)

J.Perrin: conferma sperimentale

A partire dal 1908, Jean Perrin esegue una serie di esperimenti quantitativi sul moto Browniano che confermano la legge di Einstein della crescita lineare dell’area (e che gli faranno ottenere il Nobel nel 1926)

Con la teoria di Einstein e gli esperimenti di Perrin la natura atomica della materia -

e la teoria cinetica - viene accettata.

Gli esperimenti di Perrin permettono anche una misura precisa del numero di Avogadro (numero di molecole in una mole di gas)

tracce di particelle colloidali di raggio 0.52 µm misurate da Perrin

Moto Browniano e diffusione

La legge di Einstein implica che l’area di una macchia di particelle (es. macchia di colorante) cresca linearmente nel tempo

D2 =kT6πµR

t

La distribuzione della concentrazione e’ Gaussiana

simulazione numerica del moto Browniano di 10000 particelle

Un esempio meccanico di moto Browniano: il flipper di Galton I due percorsi rossi sono equiprobabili, ma ci sono molti piu’ percorsi che portano nelle celle centrali

x(n) = u1 + u2 + ...+ un = uii=1

n

∑

Ad ogni piolo la pallina salta a sx o dx con p=1/2. Dopo n pioli la posizione sara’:

ui=±1 variabili casuali con p=1/2. Essendo <ui>=0, il valor medio sara’

x(n) = uii=1

n

∑ = 0

mentre il quadrato dello spostamento (valore quadratico medio)

x2 (n) = uii=1

n

∑"

#$%

&'

2

= ui2

i=1

n

∑ = n

cresce linearmente con il numero di passi (cioe’ col tempo): diffusione

Universalita’ del moto Browniano Il comportamento diffusivo del random walk e’ una conseguenza del teorema del limite centrale che asserisce che la somma di un grande numero di variabili casuali indipendenti (i salti) tende ad una distribuzione Gaussiana con larghezza che cresce in modo diffusivo.

Il comportamento diffusivo e’ osservato in molti sistemi diversi, composti da molte variabili e dove ci sia una qualche forma di “rumore” che genera le fluttuazioni casuali

La traiettoria individuale e’ casuale, ma il comportamento collettivo (distribuzione) e’ perfettamente predicibile.

Il moto Browniano oggi

In confronto con la relativita’ e con l’effetto fotoelettrico, il lavoro di Einstein sul moto Browniano puo’ sembrare minore (Einstein stesso negli ultimi anni dice che questo lavoro ha avuto poche implicazioni)

In realta’, con lo studio del moto Browniano nasce la teoria del ruolo delle fluttuazioni casuali nei sistemi fisici che continua a trovare applicazioni in molti ambiti: •  modelli biologici

•  teoria dei giochi

•  fluidodinamica

•  modelli finanziari

Moto Browniano e modelli finanziari

Louis Bachelier nel 1900 introduce un modello di moto Browniano per spiegare le fluttuazioni delle stock options. E’ primo esempio di uso della matematica per l’analisi dei mercati finanziari. L’idea alla base e’ che il prezzo (il grano) varia per effetto di tante piccole cause indipendenti (molecole).

Il modello di Bachelier viene poi ripreso da Black e Scholes che ottengono il Nobel per l’economia nel 1997

L’eredita’ del lavoro di Einstein

Le teorie della relativita’ (ristretta e generale) e dei quanti di luce fecero fare alla fisica un grande balzo concettuale

A 100 anni di distanza, il lavoro di Einstein sul moto Browniano appare una rivoluzione piu’ sottile: non un grande salto, ma un lento diffondere in nuovi campi sconosciuti della fisica.

Un semplice modello di moto Browniano

Il piu’ semplice modello di moto Browniano e’ il random walk in 1 dimensione

Ad ogni step la pallina salta a sx o dx di un passo con probabilita’ 1/2

Sia ui=±1 il salto al tempo i, la posizione dopo n salti sara’

x(n) = uii=1

n

∑ = 0

x(n) = u1 + u2 + ...+ un = uii=1

n

∑Il valor medio, essendo <ui>=0 sara’ ovviamente

mentre il quadrato dello spostamento (valore quadratico medio)

x2 (n) = uii=1

n

∑"

#$%

&'

2

= ui2

i=1

n

∑ = n

cresce linearmente con il numero di passi (cioe’ col tempo)