1

1

2

Cosa c’è nell’unità

Introduzione ai metodi generaliPrime definizioni della Teoria dei Grafi

DefinizioniCammino e grafi connessiMaglieTaglioAlbero e coalberoGrafi orientati

Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodiGeneralità del tableau e dei nodiEsempi di applicazione del metodo dei nodiMetodo dei nodi modificato

Matrice di incidenzaTeorema di Tellegen

2

3

Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen

4

Metodi generali

I metodi generali per il calcolo di reti elettriche di bipoli lineari sono il:

metodo dei potenziali ai nodimetodo degli anelli o delle correnti cicliche (applicabile solo allo studio di reti con grafi planari)metodo delle corde o delle maglie fondamentalimetodo dei rami o dei tagli fondamentali

Noi considereremo solo il“Metodo dei potenziali ai nodi”(il primo in elenco)

3

5

Metodi generali

I metodi generali sono di solito formulati per reti di bipoliQuesto non limita la loro applicabilità a reti contenenti multipoli o multiporta, in quanto utilizzando generatori pilotati o controllati è sempre possibile ricondurre tali reti a reti di bipoliI generatori pilotati (o controllati) verranno trattati in seguito in questo stesso modulo di Elettrotecnica ILa formulazione dei metodi generali viene facilitata utilizzando la “Teoria dei Grafi”

6

Metodi generali

Una rete di bipoli costituita da generatori ideali di tensione, di corrente e resistori, come ad esempio quella di figura a, verrà simbolicamente indicata come in figura b

figura a figura b

4

7

Metodi generali

Se la rete è costituita da l bipoli il vettore di uscita avrà al massimo 2l componenti, cioè le ltensioni e le l correnti sui bipoli

8

Metodi generali

Per determinare queste 2l incognite abbiamo a disposizione le l relazioni costitutive degli l bipoliLe rimanenti l equazioni debbono essere ottenute tenendo in conto le connessioni dei bipoliE questo conduce a considerare le leggi di Kirchhoff

5

9

Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen

10

Cosa c’è nella lezione

DefinizioniGrafiGrafi irriducibiliGrafi planari

Cammino e grafi connessiMaglieTaglioAlbero e coalbero

Tagli e maglie fondamentaliForesta e coforesta

Grafi orientati

6

11

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

12

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

Consideriamo una rete di bipoli ed ad ogni bipolosostituiamo una linea, come indicato in figura. In tal modo otteniamo un grafo

7

13

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

Consideriamo una rete di bipoli ed ad ogni bipolosostituiamo una linea, come indicato in figura. In tal modo otteniamo un grafo

Le linee del grafo vengono chiamate lati , mentre i loro punti di intersezione vengono chiamati nodi

14

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

Quando si disegna il grafo di una rete conviene eliminare i lati costituiti da cortocircuiti e da circuiti aperti

Un grafo si dice irriducibile se in esso non sono presenti lati in serie e/o in parallelo

8

15

Grafi planari e non planari

Un grafo si dice planare quando si riesce a disegnare in modo da avere lati che non si intersechinoUna rete è planare se il grafo ad essa associato è planare

Esempio di grafo planare

16

Esempio di grafo non planare

esempio di grafo non planare

9

17

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

18

Cammino

10

19

Cammino

Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., br tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un

punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di

due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C

20

Cammino: esempi

I lati d, h, i, b formano un cammino tra i nodi 1 e 2

Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C

11

21

Cammino: esempi

I lati e, g, j, f non formano un cammino perché è violata la condizione 2

Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C

22

Cammino: esempi

I lati e, f, h, i, c non formano un cammino perché è violata la condizione 1

Definizione di CAMMINO:Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi Vj e Vk un insieme di lati b1 , b2 , ..., b r tali che:1. i lati consecutivi bi , bi+1 hanno sempre un punto in comune2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C3.Vj e Vk sono nodi terminali di un solo lato di C

12

23

Grafi connessi

L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso

24

Grafi connessi

L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un cammino

13

25

Grafi connessi

L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un camminoUn grafo sconesso è l’insieme di più grafi connessi

26

Grafi connessi

L’importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connessoUn grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un camminoUn grafo sconnesso è l’insieme di più grafi connessi

Esempi di grafi connessi e di grafi sconnessi

14

27

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

28

Maglia

15

29

Maglia

Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:

30

Maglia

Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:

1. Gm è connesso

16

31

Maglia

Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:

1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati

incidenti su di esso

32

Maglia: esempi

I lati (a, b, c, d) insieme ai nodi (1, 2, 6, 5) formano una maglia

Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso

17

33

Maglia: esempi

I lati (a, e, f, g, j ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4) nonformano una maglia perché è violata la condizione 2

Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso

34

Maglia: esempi

I lati (a, e, f, h, i, c ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4, 5, 6) non formano una maglia perché è violata la condizione 1

Definizione di MAGLIA:Un sottografo Gm di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà:1. Gm è connesso2. ogni nodo di Gm ha esattamente due lati incidenti su di esso

18

35

Maglia

La legge di Kirchhoff delle tensioni si può scrivere ed è valida su qualsiasi maglia di una rete elettrica

36

Maglia

Metodo per trovare un set di maglie indipendenti (reti a grafo connesso):

1. definisco una maglia relativa al grafo GE in esame2. elimino da GE un solo lato (arbitrariamente scelto)

della maglia appena definita; il grafo così ottenuto definisce un nuovo grafo GE

3. ripeto i passi 1 e 2 fino a che non riesco più a definire maglie (il grafo GE risultante è privo di maglie)

19

37

Maglie indipendenti: Esempio

GE: 6 nodi, 10 lati

Magliea, b, c, d

Magliee, j , h, d

Elimino a

38

Maglie indipendenti: Esempio

Magliee, j , h, d

Elimino j

Magliee, g, h, d

20

39

Maglie indipendenti: Esempio

Elimino h

Magliee, g, h, d

Magliee, g, i, c, d

40

Maglie indipendenti: Esempio

Elimino g

Magliee, g, i, c, d

Magliee, f, b, c, d

21

41

Maglie indipendenti: Esempio

Elimino f

Magliee, f, b, c, d

Ho trovato5 maglieindipendenti

5 = l – n +1

42

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

22

43

Taglio

44

Taglio

Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni:

23

45

Taglio

Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’ insieme T (ma non i

nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso

46

Taglio

Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i

nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso

2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo

24

47

Taglio: esempi

I lati (a, e, d ) costituiscono un taglio

Definizione di Taglio:

1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso

2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo

48

Taglio: esempi

I lati (e, g, h, f, b ) non formano un taglio perché è violata la condizione 1

Definizione di Taglio:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali

perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso

2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo

25

49

Taglio: esempi

I lati (a, e, d, c ) non formano un taglio perché è violata la condizione 2

Definizione di Taglio:1. rimuovendo da G tutti i lati dell’insieme T (ma non i nodi terminali

perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso

2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di Trimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T , ed uno solo

50

Taglio

La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa)

26

51

Taglio

La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa)Anche se non risulta evidente dalla loro definizione, i concetti di maglia e di taglio sono, in un certo senso, duali

52

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

27

53

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:

54

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso

28

55

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G

56

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie

29

57

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie

I lati di un albero di un grafo vengono chiamati rami

58

Albero (di un grafo connesso)

L’albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà:1. B è connesso2. contiene tutti i nodi del grafo G3. B non ha maglie

I lati di un albero di un grafo vengono chiamati ramiIl numero di alberi che si possono costruire per un dato grafo connesso può essere notevole

30

59Non è connesso

Albero: esempi

La figura riporta due alberi (B1, B2) relativi al grafo connesso G di 5 nodi ed 8 lati

Non contiene tutti i nodi Contiene una maglia

Grafo connesso G Albero B1 Albero B2

1 23

45

6

7

8

11

2

23

7

8

4 6

1

5

8

3

4 4

1 2

67

60

Coalbero (di un grafo connesso)

Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che:

31

61

Coalbero (di un grafo connesso)

Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che:

risulta privo di nodi

62

Coalbero (di un grafo connesso)

Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che:

risulta privo di nodie quasi sempre sconnesso

32

63

Coalbero (di un grafo connesso)

Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che:

risulta privo di nodiè quasi sempre sconnesso

Tale insieme di lati prende il nome di coalbero C

64

Coalbero (di un grafo connesso)

Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che:

risulta privo di nodiè quasi sempre sconnesso

Tale insieme di lati prende il nome di coalbero C

I lati di un coalbero di un grafo vengono chiamati corde

33

65

Albero e Coalbero: esempi

Dato il grafo connesso G di 5 nodi ed 8 lati, la figura riporta due alberi (B1, B2) ed i relativi coalberiIn figura le corde sono individuate come lati “ondulati”

Grafo connesso G Albero B1 + coalbero Albero B2 + coalbero

66

Albero e coalbero: proprietà

Alcuni teoremi fondamentali dimostrati nella Teoria dei Grafi assicurano che, considerando un grafo connesso G di l lati e n nodi:

1. il numero b di rami di un albero è lo stesso per tutti gli alberi, ed è uguale al numero dei nodi delgrafo diminuito di un’unità

2. il numero c delle corde di tutti i possibili coalberi è dato da

1b n= −

1c l n= − +

34

67

Albero e coalbero: proprietà

3. Tagli fondamentali:considerato un albero B di un grafo connesso G e scelto un ramo bi di esso, esiste uno ed un solo taglio Ti che ha come lato quel ramo e come altri lati solo corde

68

Albero e coalbero: proprietà

Ad ogni ramo corrisponde un taglio fondamentale ed il numero di tagli fondamentali è uguale al numero dei rami

Grafo connesso G Albero B1 + coalbero5 nodi, 4 rami, 4 corde

1, C2

3, C2, C4, C5

7, C5, C6

8, C4, C5, C6

4 tagli fondamentali

35

69

Albero e coalbero: proprietà

4. Maglie fondamentali:considerato un coalbero C di un grafo connesso G e scelta una corda ci di esso, esiste una ed una sola maglia Mi che ha come uno dei suoi lati quella corda e come altri lati solo rami

70

Albero e coalbero: proprietà

Ad ogni corda corrisponde una maglia fondamentale ed il numero di maglie fondamentali è uguale al numero di corde c = l-n+1

Grafo connesso G Albero B1 + coalbero5 nodi, 4 rami, 4 corde

C2 - 3 - 1

C4 - 8 - 3

C5 - 3 - 8 - 7

C6 - 7 - 8

4 maglie fondamentali

36

71

Foresta e coforesta

Consideriamo un grafo sconnesso S, costituito da più grafi connessi. Per ogni sottografo connesso si può definire un albero ed il relativo coalbero

L’insieme di tutti gli alberi (uno per sottografo) si chiama foresta

La coforesta (insieme di tutti i coalberi) è il nome che si dà all’insieme di lati ottenuti togliendo dal grafo S la foresta

72

Prime definizioni della Teoria dei Grafi

37

73

Grafi orientati

Un grafo è orientato quando su tutti i lati del grafo è indicato un verso arbitrario

Tale verso viene utilizzato permisurare le tensioni sui lati e scrivere le KVLmisurare le correnti sui lati e scrivere le KCL

Così facendo su ogni lato si adotta la “convenzione dei generatori”

74

Grafi orientati

Esempio:

38

75

Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen

76

Cosa c’è nella lezione

Generalità sul metodo dei Tableau sparso e dei nodi

Metodo del tableau sparsoMetodo dei potenziali ai nodi

Esempi di applicazione del metodo dei nodi

Metodo dei nodi modificatomodificazione topologicamodificazione basata sul principio di sostituzione

39

77

Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi

78

Metodo del “Tableau Sparso”

Rete di bipoli:considera come incognite tutte le l tensioni di lato e tutte le l correnti di lato

Scrive:n-1 equazioni KCL (indipendenti)l -n+1 equazioni KVL (indipendenti)tutte le l equazioni costitutive

Ordina le 2l equazioni in un sistema lineare che risulta con “matrice dei coefficienti sparsa”

40

79

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2l

80

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)

41

81

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL

82

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognite

42

83

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognitele incognite scelte debbono implicitamente garantire le(l -n+1) equazioni KVL

84

Metodo dei nodi

Rete di bipoli:intende ottenere un sistema di ordine ridotto:

inferiore a 2ll’ordine del sistema di equazioni è (n-1)si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCLquesto implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognitele incognite scelte debbono implicitamente garantire le(l -n+1) equazioni KVLle equazioni scritte esplicitamente debbono tenere (implicitamente) conto delle l equazioni costitutive

43

85

Metodo dei nodi

Si numerano i nodi da “0” ad “n-1”

Il nodo “0” è il nodo di riferimento per misurare le tensioni ai nodi

Le tensioni nodali sono in tutto (n-1) e sono le incognite del problema

1 1 0

2 20

5 5 0

ˆ

ˆ

............ˆ

v v

v v

v v

=

=

=

86

Metodo dei nodi

Una tensione di lato si può sempre esprimere come la differenza di due tensioni nodali

Per esempio la tensione vij sul lato che unisce il nodo j al nodo i è espressa da ˆ ˆij i jv v v= −

ˆ jvˆiv

i jv

44

87

Metodo dei nodi

Il set delle tensioni nodali soddisfa implicitamente le KVL:

Esempio: maglia a, b, c, d

5 4 5 1 4 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0a b c dv v v - v

v (v - v ) (v - v ) - v

+ + =

+ + =

dc

a b

88

Metodo dei nodi

Ricavate le tensioni di lato come differenza di tensioni nodali, se tutti i lati sono comandati in tensione (ossia, nel caso lineare, tutti i lati abbiano rappresentazione Norton) è possibile, attraverso le relazioni costitutive, calcolare le correnti di lato e poi imporre le KCL agli (n-1 ) nodi

45

89

Metodo dei nodi

KCL 0 ;ik jk lk

ik ki jk kj lk kl ik jk lk

i i i

G v G v G v a a a

⇒ = + +

+ + = + +

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; ; ;ki k i kj k j kl k lv v v v v v v v v= − = − = −

( ) ˆ ˆ ˆ ˆik j k lk k ik i jk j lk l

ik jk lk

G G G v G v G v G v

a a a

+ + − − − =

= + +

da cui introducendo le tensioni nodali

risulta:

90

Metodo dei nodi

In termini di resistenze, l’equazione al nodo kdiviene:

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lk

ik jk lk ik jk lk

v v v v a a aR R R R R R

+ + − − − = + +

46

91

Metodo dei nodi

In termini di resistenze, l’equazione al nodo kdiviene:

Se per esempio il nodo i coincide con quello di riferimento 0, l’equazione diviene:

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lk

ik jk lk ik jk lk

v v v v a a aR R R R R R

+ + − − − = + +

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆk j l ik jk lkik jk lk jk lk

v v v a a aR R R R R

+ + − − = + +

92

Metodo dei nodi

Se una coppia di nodi non è collegata da nessun lato questo si può fittiziamente aggiungere con un circuito aperto

Il circuito aperto ha una rappresentazione Nortonche è data da un generatore di corrente con corrente nulla, in parallelo ad un resistore di conduttanza nulla

47

93

Metodo dei nodi

L’equazione ad un nodo generico ha un secondo membro che è costituito dalla somma algebrica dei valori dei generatori di corrente relativi ai lati (rappresentati Norton) che congiungono il nodo a tutti gli altri nodi della rete

Il primo membro è costituito invece da tanti termini che hanno a fattore le diverse tensioni ai nodi

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lk

ik jk lk i k j k lk

v v v v a a aR R R R R R

+ + − − − = + +

94

Metodo dei nodi

Il termine più importante è quello che ha come fattore la tensione al nodo per il quale si sta scrivendo l’equazione; l’altro fattore di questo termine è costituito dalla somma di tutte le conduttanze dei lati tra il nodo di cui si sta scrivendo l’equazione e tutti gli altri nodi

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lkik jk lk i k j k lk

v v v v a a aR R R R R R

+ + − − − = + +

48

95

Metodo dei nodi

Gli altri addendi al primo membro sono tutti preceduti dal segno - (meno) e sono costituiti dal prodotto della tensione di un generico nodo (diverso da quello per il quale si scrive l'equazione) e la conduttanza di collegamento diretto tra il nodo di cui si scrive la tensione ed il nodo di cui si scrive l’equazione

1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆk i j l ik jk lkik jk lk i k j k lk

v v v v a a aR R R R R R

+ + − − − = + +

96

Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi

49

97

Metodo dei nodi: Esempio

Scrivere le equazioni ai nodi per la rete in figura

98

Metodo dei nodi: Esempio

Numero i nodi e rappresento Norton tutti i lati:

Scrivo le equazioni ai nodi, nodo 0 (zero) escluso

R1 = Ra // Rb; a1 = ea/Ra a3 = e3/R3

50

99

Metodo dei nodi: Esempio

Ordino equazioni ed incognite (da 1 ad n ) come i nodi

1 2 611 2 1

2 3 11 1 3 5 3

3 3 63 3 4

1 1 1 ˆ, , 0

1 1 1 1 1 ˆ, ,

1 1 10, , ˆ

a a avR R R

v a aR R R R R

v a aR R R

+ + + − − + + − = − − + − −

100

Metodo dei nodi: Esempio

Ottengo una matrice di sistema simmetrica, con diagonale (dominante) positiva, generalmente “sparsa”

La matrice di sistema ed il vettore dei termini noti (generatori di corrente Norton) si scrivono per ispezione

51

101

Metodo dei nodi: Esempio

Risolto per le tensioni nodali il sistema, è facile ricavare altre uscite, per esempio, la corrente iavale: 21 2 1ˆ ˆa a

aa a

v e e v vi

R R+ + −

= =

102

Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi

52

103

Metodo dei nodi modificato

Vedremo due versioni del metodo dei nodi modificato per risolvere reti con lati non rappresentabili Norton:

metodo topologicometodo modificato basato sul principio di sostituzione

104

Metodo dei nodi modificato

Metodo topologicola parte di rete ha un lato “generatore ideale di tensione”

53

105

Metodo dei nodi modificato

questa parte di rete viene topologicamentemodificata (fig. a destra) in modo da non alterare il comportamento globale della rete (la nuova rete ha le stesse equazioni KCL e KVL della rete di partenza), ed in modo da avere tutti i lati rappresentabili Norton

106

Metodo dei nodi modificato

è possibile trovare altre trasformazioni topologiche che portano a reti di topologia più semplice

54

107

Metodo dei nodi modificato

Metodo modificato basato sul principio di sostituzione

il lato non Norton della rete di sinistra viene sostituito da un generatore di corrente ideale, che eroga la stessa corrente erogata dal generatore di tensione e nella rete di sinistra

108

Metodo dei nodi modificato

Le equazioni ai nodi per la rete di destra sono:

12 4 4

24 3 4 5 5

35 1 5

1 1 1 ˆˆ, , 0

1 1 1 1 1ˆ, , 0

1 1 1 ˆ0, , ˆ

v a iR R R

vR R R R R

v iR R R

+ + − − + + − = − + −

55

109

Metodo dei nodi modificato

1

2 4 4

2

4 3 4 5 5

3

5 1 5

ˆ1 1 1, , 0, 1

ˆ1 1 1 1 1, , , 0

0ˆ1 1 1

0, , , 10

ˆ

v

aR R Rv

R R R R R

vR R R

i

+ − − − + + − = − + + LLLLLLLLLL

12 4 4

24 3 4 5 5

35 1 5

1 1 1 ˆˆ, , 0

1 1 1 1 1 ˆ, , 0

1 1 1ˆ0, , ˆ

v a iR R R

vR R R R R

v iR R R

+ + − − + + − = − + −

La corrente iè incognita nel vettore delle incognite, a sinistra del segno di uguaglianza

110

Metodo dei nodi modificato

2 4 41

4 3 4 5 52

5 1 53

1 1 1, , 0, 1

ˆ1 1 1 1 1

, , , 0ˆ 0

1 1 10, , , 1

ˆ 0

1, 0, 1, 0ˆ

R R Rv a

R R R R Rv

R R Rv

ei

+ − − − + + − − + + = + −

LLLLLLLLLL LL

Per bilanciare il numero di equazioni ed incognite si deve aggiungere e scrivere l’equazione costitutiva del bipolo non Norton (generatore di tensione e)

56

111

Metodo dei nodi modificato

2 4 41

4 3 4 5 52

5 1 53

1 1 1, , 0, 1

ˆ1 1 1 1 1

, , , 0ˆ 0

1 1 10, , , 1

ˆ 0

1, 0, 1, 0ˆ

R R Rv a

R R R R Rv

R R Rv

ei

+ − + − + + − − + − = + − −

LLLLLLLLLL LL

La matrice di sistema risulta ancora simmetrica se ciascuna corrente incognita dei lati non rappresentabili Norton (corrente erogata da lati generatori di tensione) viene “misurata” secondo la convenzione degli utilizzatori (positiva entrante nel morsetto + convenzionale)

112

Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen

57

113

Matrice di incidenza

La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l’informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo

114

Matrice di incidenza

La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l’informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo

La matrice di incidenza A di un grafo orientato G con n nodi ed l lati è una matrice rettangolare di b=(n-1) righe ed l colonne

58

115

Matrice di incidenza

I coefficienti ars (r=1,n-1; s=1, l ) di A hanno valore 0, +1, oppure -1

ars=0 se il lato s non incide sul nodo rars=+1 se il lato s è entrante sul nodo rars=-1 se il lato s è uscente dal nodo r

116

Matrice di incidenza - esempio

ars=0 se il lato s non incide sul nodo rars=+1 se il lato s è entrante sul nodo rars= -1 se il lato s è uscente dal nodo r

A =-1 1 0 0 -1 01 0 -1 0 0 10 - 1 1 1 0 0

Grafo orientato di 4 nodi e 6 lati

59

117

Proprietà della matrice di incidenza

Con riferimento al grafo orientato, definiamo due vettori colonna di dimensione l (numero dei lati):

il vettore v delle tensioni di latoil vettore i delle correnti di lato

1 1

2 2;

v iv i

v i

= = l l

M Mvi

118

Proprietà della matrice di incidenza

Sempre con riferimento al grafo (orientato), definiamo inoltre il vettore colonna delle tensioni nodali , di dimensione n-1 (= numero dei nodi-1):

vettore delle tensioni nodali

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆn

v

v

v −

=

Mv

ˆv

60

119

Proprietà della matrice di incidenza

La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo ⇒ A i =0

120

Proprietà della matrice di incidenza

La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo ⇒ A i =0

1

2

6

1 2 5

1 3 6

2 3 4

1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 1 ;

0 1 1 1 0 0

0

0

0

i

i

i

-i i -i

i i i

-i i i

− + −

= + − + = − + +

+ =

+ − + = + + =

MAi0

A i 0

61

121

Proprietà della matrice di incidenza

La teoria dei grafi assicura che il vettore v delle tensioni sui lati è uguale al prodotto della trasposta della matrice di incidenza At per il vettore delle tensioni nodali

122

Proprietà della matrice di incidenza

11

22

36

1 2 1

1 3 2

2 3 3

3 4

1 5

2 6

1 1 01 0 1

ˆ0 1 1

ˆ ˆ0 0 1

ˆ1 0 00 1 0

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ

t

vv

vv

vv

-v v v

v v v

-v v vv v

-v vv v

− + + − − + = = + −

+

+ = − = + =⇔ = =

=

MAv

62

123

Proprietà della matrice di incidenza

L’equazione sintetizza, anche se in modo ridondante, tutte le equazioni di Kirchhoffindipendenti delle tensioni

ˆ =A v v t

5 6 1

5 4 2

6 4 3

ˆt

v v vv v v

-v v v

+ =⇒ − − = + =

Av

124

Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen

63

125

Teorema di Tellegen

Il teorema di Tellegen è di importanza fondamentale in quanto esprime il principio di conservazione delle potenze istantanee

La dimostrazione del teorema di Tellegen, se svolta sfruttando la matrice di incidenza e le sue proprietà, risulta di molto semplificata

126

Teorema di Tellegen

Avendo introdotto la matrice di incidenza “A” si ha:

il trasporto della seconda equazioneporge

Il risultatodefinisce il teorema di Tellegen, che assicural’annullarsi della potenza istantanea uscenteda tutti i bipoli di una data rete

;ˆt

=

=

Ai0Avv

1 1 2 2 0t v i v i v i= + + + =l lLvi

( )ˆ tt =vvA( )ˆ 0

tt = =viv

Ai