Corso di

Riabilitazione Strutturale

POTENZA, a.a. 2018 – 2019

Strutture in muratura soggette

ad azioni sismiche

Analisi della sicurezza

Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria - Università di Basilicata

marco.vona@unibas.it

http://oldwww.unibas.it/utenti/vona/

Metodo POR

Le equazioni di equilibrio scritte valgono per le sole forze

orizzontali

Nei codici POR ci sono evidenti problemi di equilibro per le forze

verticali

L’analisi dell’edificio in muratura secondo il metodo POR èL’analisi dell’edificio in muratura secondo il metodo POR è

un’analisi incrementale

Incrementando i valori di Xk e Yk (baricentro delle rigidezze) si

analizza la risposta dell’edificio

Ad ogni passo i valori del taglio reattivo vengono calcolati sulla

base della rigidezza del passo precedente

La procedura è tanto più esatta quanto più piccoli sono i passi

Metodo POR

La procedura analitica prevede l’aumento dello spostamento del

baricentro delle rigidezze

Quando lo spostamento dei singolo maschio supera lo spostamento

al limite elastico se ne può ridurre la rigidezza

Per i maschi plasticizzati la

rigidezza considerata in fase di

calcolo può essere quella secante

Metodo POR

SLU per PRESSO FLESSIONE

La condizione di rottura per pressoflessione nel piano è associata

allo schiacciamento della muratura al lembo compresso delle

sezioni estreme

Per bassi valori di azione assiale N l’estensione della zona

compressa è modesta, si rileva una ampia apertura delle fessure

flessionali e il muro tende a sviluppare un cinematismo di

ribaltamento simile a quello di un blocco rigido

L’analisi del comportamento a rottura per pressoflessione può

essere agevolato dall’utilizzo di un opportuno stress block della

muratura in compressione

Il calcolo può essere particolarmente semplificato laddove si possa

definire uno stress-block Rettangolare

Metodo POR

Criterio di Resistenza

FLESSIONE

Muratura

fortemente coesiva Muratura a secco

H

h

Valutazione della resistenza per azioni nel piano

Rottura per pressoflessione

l = larghezza dell’elemento

t = spessore della zona compressa

σ0 = N/(l * t) tensione normale media, positiva se di compressione

fd = fk / γm resistenza a compressione di calcolo della muratura

Valutazione della resistenza per azioni nel piano

Rottura per pressoflessione

−=

−=

−=dd

uf

tlltf

NNl

alNM

85.01

2

11

2

1

22

02

0

σσλ

Una volta calcolato il momento massimo che il pannello è in

grado di sostenere Mu si può determinare la forza orizzontale

massima

H= 2 Mu / h

considerando di aver impedito la rotazione in testa

Metodo POR

SLU per TAGLIO

Nella denominazione rottura per taglio”si includono solitamente

meccanismi fessurativi di diversa natura, ascrivibili all’effetto delle

tensioni tangenziali originate dalle azioni orizzontali, in

combinazione con le componenti di tensione normale

Questi tipi di rottura sono fra i più frequenti nelle costruzioni in

muratura

Si distinguono due principali modalità di rottura:

1. FESSURAZIONE DIAGONALE

2. SCORRIMENTO

Vt

Metodo POR

Criterio di Resistenza

TAGLIO: fessurazione diagonale e scorrimento

Metodo POR

SLU per TAGLIO

La formulazione della resistenza a taglio nella muratura presenta

diversi problemi dovuti a:

1. Dati sperimentali caratterizzati da grande dispersione (tipico

delle rotture fragili)

2. Distribuzione non uniforme degli sforzi locali, di difficile2. Distribuzione non uniforme degli sforzi locali, di difficile

valutazione (elementi tozzi, fessurazione)

Per tale motivo nelle applicazioni numeriche occorre introdurre

delle semplificazioni (prerogativa non del solo metodo POR) che

pregiudicano la accuratezza delle valutazioni

Tra gli approcci più comuni si ricorda il criterio alla Coulomb

Altrettanto efficace è il criterio del massimo sforzo principale di

trazione o di Turnsek e Cacovic

Metodo POR

SLU per TAGLIO

Criterio di Coulomb

τ⋅ = c + σµ

I parametri tensionali τ e σ possono avere significato diverso a

seconda del tipo di impostazione del criterio

In generale si può assumere che l’applicazione del criterio in

sezione parzializzata consiste in un calcolo della resistenza a

scorrimento del muro e non è riconducibile alla rottura con

fessurazione diagonale

Se f vk,lim è la tensione limite a taglio dipendente dal tipo di

elementi e dal tipo di malta allora si può scrivere:

V vk = f vk lc t lc larghezza compressa o reagente

Metodo POR

POR : Vantaggi computazionali

Basso numero di g.d.l.

Analisi piano per piano

Definizione univoca del centro di

rigidezza

Stato deformativo del generico

maschio murario individuato dal

solo spostamento relativo tra le

facce terminali

Stato tensionale del generico

maschio murario individuato dalla

sola sollecitazione tagliante

Applicabilità della teoria della trave

Metodo POR

Applicazioni del Metodo POR. Dove?

Gli edifici per cui si può ritenere che le fasce siano infinitamente

rigide e resistenti sono quelli in cui la rottura dei maschi anticipa

quella delle fasce

Tipicamente negli edifici con 2-3 piani fuori terra

La solidarietà del collegamento tra il solaio e i maschi murari èLa solidarietà del collegamento tra il solaio e i maschi murari è

tipica degli edifici con comportamento scatolare

Non è necessario che il solaio sia in C.A. con cordoli

perimetrali, basta che esista un collegamento solidale tra solaio e

maschio murario, da realizzare anche mediante opportuni

dispositivi

L’analisi globale dell’edificio è l’unica possibilità per evitare

violazioni degli equilibri globali e locali

Una analisi separata piano per piano non può rendere conto delle

variazioni di azione assiale nei maschi murari al crescere delle

ANALISI GLOBALE

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

forze sismiche, che possono influire sulla rigidezza ma soprattutto

sulla resistenza dei maschi murari

Modelli POR (ad es. POR90)

Applicabili a edifici fino a 2 piani

Modelli con MECCANISMI DI PIANO

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Distribuzione delle forze orizzontali

forze proporzionali

alle masse

forze proporzionali a quelle da

utilizzarsi per l’analisi statica

Maschi murari

Potranno essere caratterizzati da un comportamento bilineare

elastico perfettamente plastico, con resistenza di snervamento

equivalente e spostamenti di snervamento e ultimo definiti

attraverso la risposta flessionale e a taglio

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Maschi murari

Se la geometria della parete e delle aperture è sufficientemente

regolare, è possibile idealizzare una parete muraria mediante un

telaio equivalente costituito da elementi maschio (ad asse

verticale), elementi fascia (ad asse orizzontale), elementi nodo

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Maschi murari

Gli elementi maschio e gli elementi fascia vengono modellati

come elementi di telaio (“beam-column”) deformabili assialmente

e a taglio

Se si suppone che gli

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

suppone gli

elementi nodo siano

infinitamente rigidi e

resistenti, è possibile

modellarli numericamente

introducendo opportuni

bracci rigidi (offsets) alle

estremità degli elementi

maschio e fascia

Maschi murari

Si suppone che un elemento

murario (maschio murario)

sia costituito da una parte

deformabile con resistenza

finita, e di due parti

infinitamente rigide

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

infinitamente rigide e

resistenti alle estremità

dell’elemento

Maschi murari

L’altezza efficace del maschio può essere definita secondo quanto

proposto da Dolce (1989), per tenere conto in modo approssimato

della deformabilità della muratura nelle zone di nodo

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

( ) '''

3

1hhHDhHeff −+=

Maschi murari

Comportamento di tipo fragile o duttile

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Maschi murari

Il comportamento dell’elemento maschio viene supposto elasto-

plastico con limite in deformazione

Si suppone cioè che il maschio abbia comportamento lineare

elastico finché non viene verificato uno dei possibili criteri di

rottura

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

rottura

La matrice di rigidezza in fase elastica assume la forma consueta

per elementi di telaio con deformazione a taglio, e risulta

determinata una volta definiti

• modulo di Young E

• modulo a taglio G

• la geometria della sezione

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Per edifici con numero di piani superiore a due, il modello dovrà

tenere conto degli effetti connessi alla variazione delle forze

verticali

L’analisi statica non lineare permette di valutare direttamente la

duttilità disponibile della struttura

Capacità di spostamento: valutata sulla curva globale in

corrispondenza dei punti:

Stato limite di danno: spostamento minore tra quello

corrispondente al raggiungimento della massima forza e quello

per il quale il primo maschio murario raggiunge lo spostamento

ultimo.

Stato limite ultimo: spostamento corrispondente a una riduzione

della forza pari al 20% del massimo

Metodi di analisi: analisi Dinamica NON lineare

Si applica facendo uso di modelli meccanici non lineari di

comprovata e documentata efficacia nel riprodurre il

comportamento ciclico della muratura

La risposta sismica della struttura può essere calcolata mediante

integrazione delle equazioni del moto, utilizzando un modello

tridimensionale dell’edificio e gli accelerogrammitridimensionale dell’edificio e gli accelerogrammi

Il modello costitutivo utilizzato per la rappresentazione del

comportamento non lineare della struttura dovrà essere

giustificato, anche in relazione alla corretta rappresentazione

dell’energia dissipata nei cicli di isteresi

Metodi di analisi: analisi Dinamica NON lineare

Nel caso in cui si utilizzino almeno 7 diversi gruppi di

accelerogrammi le azioni potranno essere rappresentate dai valori

medi ottenuti dalle analisi, nel caso di un numero inferiore di

gruppi di accelerogrammi si farà riferimento ai valori più

sfavorevoli

Time (s)

0 2 4 6 8 10 12 14

Accele

ratio

n (

g)

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

ACC-475

0 1 2 3 4

Period [s]

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

Acc

ele

rati

on

[g

]

2000 years

975 years

475 years

100 years

Metodi di analisi

ESEMPIO

Analisi statica lineare

Pia

nta

I l

ivel

loP

ianta

II

livel

lo

Metodi di analisi

ESEMPIO

Analisi statica lineare

T1 = 0.05 x 7.33/4 = .22 sec < 1.25 sec = 2.5 TC

Metodi di analisi

Metodi di analisi

W2 = 1166 kN

W1 = 1196 kN

Metodi di analisi

Metodi di analisi

Metodi di analisi

MODELLO DIREZIONE X(I livello)

Metodi di analisi

MODELLO DIREZIONE Y(I livello)

Metodi di analisi

Pareti

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle masse

P2 = 1166 kN

P1 = 1196 kNr = P2 / P1 = 0.97

P2

P1

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle masse

Curve di capacità

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle accelerazioni (analisi statica)

P2 = 1115 kN

P1 = 608 kNr = P2 / P1 = 1.83

P2

P1

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle accelerazioni (analisi statica)

Curve di capacità

Metodi di analisi: analisi statica NON lineare

Verifiche di sicurezza

La verifica di sicurezza consisterà nel confronto tra la capacità di

spostamento ultimo dell’edificio a due terzi della sua altezza e la

domanda di spostamento ottenuta dallo spettro elastico di

spostamento in corrispondenza del periodo di vibrazione calcolato

utilizzando la rigidezza secante allo spostamento ultimo. La

domanda di spostamento sarà pertanto ottenuta dalla relazione:domanda di spostamento sarà pertanto ottenuta dalla relazione:

Δd= domanda di spostamento

SDe(Ts) = spostamento spettrale calcolato in corrispondenza della

rigidezza secante allo spostamento ultimo

Ts= periodo calcolato in funzione della medesima rigidezza

secante

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle masse

Forze ai piani proporzionali alle accelerazioni (analisi statica)

Metodi di analisi

Forze ai piani proporzionali alle

masse

Forze ai piani proporzionali alle

accelerazioni (analisi statica)

VERIFICHE NON SODDISFATTE

Analisi dei risultati e strategie di intervento

Analisi dei risultati e strategie di intervento