CALCOLO LETTERALE

• Perché?

E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

POTENZE

• Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a

an = a • a • … • a n volte

Esempio:

32 = 3 • 3

(-2)2 = (-2) • (-2) = 4

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Dati a, b R, m, n N

• a n + m = a n a m,

• a -n = 1 / a n

• a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0

• (a:b) n = a n: b n, b 0

• (ab) n = a n b n,

• (a n) m = a n m,

• a 0= 1,

ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6

(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2

(8)0=13-4 = 1 / 34

e2 • e3• e-4= e(- 2)2 •(-2)3 = -32

RADICALI

• Si dice radice ennesima (n N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che bn = a

nb a

mn mna a

• Si pone per convenzione:

PROPRIETA’ DEI RADICALI

m

kn km na a

0n

nn

a ab

bb

mn m na a

m nm n a a

n nm n ma b a b

nnn abba

ESERCIZI

34 3 4a a

2 23 2 32 3 2 3

33

3

5 5

44

3 62 a a

54 5 4a a

1

33

15

5

333 842

ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE

• Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine:

{[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione

numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere:

{[(-a+b)2 • c]+(d • e)}:2=

VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE

• Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1

a + 2b + 1/c = 2N.B. Non è possibile dare a c il valore 0!

• Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato

MONOMIO

• Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza:

Esempio: 3ab2

3 = coefficiente ab2 = parte letterale

Grado di un monomioGrado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio

Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio

Esempio: 3ab2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.

POLINOMIO• La somma di più monomi, detti termini del

polinomio:Esempio: 3ab + 2ac + 4b3

Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3)

Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)

• ADDIZIONE• SOTTRAZIONE• PRODOTTO

PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è

possibile stabilire il risultato con pochi calcoli

• DIVISIONE

OPERAZIONI TRA POLINOMI

DIFFERENZE DI QUADRATI

(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)

Esempi:

(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)

(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)

(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)

(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =

[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

QUADRATO DI UN BINOMIO

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

(x - y)2= x2 - 2xy + y2

Esempi:

(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2

(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2

((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

CUBO DI UN BINOMIO

(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Esempi:

(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3

(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3

(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)

(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)

Esempi:

(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)

(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)

(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -

(x - 2) y2 + y4)]

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

• Mediante l’uso dei prodotti notevoli

• Raccoglimenti a fattore comune:

Esempio:

6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)

• Raccoglimenti parziali successivi:

Esempio:

9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

DIVISIONE TRA POLINOMI• Prenderemo in considerazione solo polinomi in

una variabile

• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .

• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:

P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

ESEMPIO

2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +12x5 – 2 x4 + 2 x2

2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x4 – 2 x3 +2 x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1

2 x2 +2 x -1

- 3 x2 - x + 2

(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)

ESEMPIO

(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)

P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

ESEMPIO:

(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)

20 x4 + 10 x3 - 20 x2

– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 5x2 -6x + 8

– 24 x3 - 12 x2 + 24 x

32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32

\\ \\ \\

20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4

REGOLA DI RUFFINI

• Divisione di un polinomio per un binomio

• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .

P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

REGOLA DI RUFFINI

Coefficienti P1(x)

±a

Coefficienti e termine noto P2(x)

Termine noto P1(x)

Resto

ESEMPIO

(x2 - 1) : (x + 2)

x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3

1

-2 -2

1 -2

4

3

0 -1

REGOLA DEL RESTO

• Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a

R= P1(-a)

Esempio:

(x2 - 1) : (x + 2)

P1(-2) = 3

OSSERVAZIONE• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore

del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.

• Nell’esempio precedente:P1= (x2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e –1:

P1(+1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x - 1)

P1(-1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x + 1)

ESEMPIO

x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6

P1(±1) 0

P1(2) = 0

2

1 3 -6-7

10 6

1 5 3 0

2