168

Corpo rigido

169

1 OBIETTIVOSaper applicare le condizioni di equilibrio di un corpo esteso

1.1 Dato il sistema in figura determinare le forze esercitate dal muro e l'allungamento subito dalla mollasapendo che la massa dell'asta Ma= 20kg, la massa M1=100kg, k=10000N/m, AB=150cm, BC=30cm

30

A B C

Ricordiamo le relazioni dell'equilibrio di un corpo esteso. y0 e 0 == F z x

Costruiamo il diagramma delle forze applicate all'asta.

F TA B C

IF aP 1P

Rispetto al polo A applicando la 0= si ha :0

230sen 1 = zzaz uACPu

ACPuABT

e sostituendo si ottiene NNT 26002587 = . E quindi mmN

NkTl 26,0

/100002600 ===

Applicando quindi la relazione 0=R

=+=+

030sen030cos

1 TPPFTF

aI

da cui

==+ NFNF

I 1182241

e quindi

yx uuF 1182241 =1.2 A met di una scala a pioli di massa 20kg e lunga 4,5m si trova un uomo di massa 70kg. La scala appoggiata a una parete priva di attrito ed vincolata nel punto di appoggio sul terreno in modo da evitare loslittamento, ad una distanza di 1,7m dal piede del muro. Calcolare la reazioni vincolari nel punto di appoggiosul terreno e sul muro.1.3 Una doppia scala ottenuta unendo due scale di lunghezza 2,5m e massa 8,0kg ciascuna come in figura.La doppia scala mantenuta in posizione da una fune che unisce i pioli posti alla met delle due scale.

M1

170

Ad un piolo posto a 50 cm dall'estremo superiore della scala appeso un barattolo di massa 10,0kg e la scala appoggiata su un piano senza attrito. Si determinino le forze applicate ad ognuna delle due scale dal suolo.

2 OBIETTIVOSaper calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido che presenta simmetrie rispetto ad un suo asseprincipale.

2.1 Calcolare il momento di inerzia di un anello sottile rispetto ad un asse passante per il suo centro eperpendicolare al piano che lo contiene.

Ricordiamo che il momento di inerzia di un sistema di n particelle rispetto ad un asse dato

da: 2

1i

n

ii rmI =

= dove mi la massa della i-ma particella e ri la sua distanza dallasse assegnato.

Per un corpo rigido formato da infinite particelle estendendo la precedente, si ha:dmrI

M= 2 dove dm la massa infinitesima e r la sua distanza dallasse di rotazione assegnato.

Da dmrIM= 2 essendo r costante si ha ovviamente 2MrI =

2.2 Calcolare il momento di inerzia di una sbarra sottile di lunghezza L e massa M, omogenea, rispetto adun asse passante per il suo centro e ad essa perpendicolare.

Poich la sbarra omogenea la sua densit lineare costante ed LM= . La massa infinitesima : dm = dx

dove dx la lunghezza del segmento infinitesimo. Indicando con x la distanza di dm dallasse di rotazione siha:

r

171

2332

2

32

2

22

121

88331 MLLL

LMxdxxdmxI

L

L

L

LM

=

+=

===

2.3 Calcolare il momento di inerzia di un disco omogeneo rispetto ad un asse passante per il suo centro e adesso perpendicolare.

M

Il calcolo del momento di inerzia avverr considerando il disco come una successione di anelli sottili. Poich

il disco omogeneo si pu introdurre la nozione di densit superficiale di massa come: 2RM

= . Si

considera un anello di spessore infinitesimo dr. La sua area : rdrA 2= e quindi la sua massa rdrdm 2= . Quindi:

24

0

4

0

22

21

24122 MRRrrdrrdmrI

RR

M

==

===

2.4 Calcolare il momento di inerzia di una sfera omogenea rispetto ad un asse passante per il suo centro.2.5 Calcolare il momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un suo estremo e ad essa

perpendicolare.2.6 Calcolare il momento di inerzia di un cilindro cavo di raggio interno R1 e raggio esterno R2 rispetto alsuo asse di simmetria parallelo alle generatrici.

3 OBIETTIVOSaper applicare il teorema di Steiner per il calcolo di momenti di inerzia rispetto ad assi non passanti per ilcentro di massa e paralleli ad assi principali.

3.1 Calcolare il momento di inerzia di un cilindro omogeneo rispetto ad un asse parallelo alle sue generatricie passante per il punto medio di un suo raggio.

E noto che il momento di inerzia I di un cilindro omogeneo rispetto ad un asse parallelo alle generatrici epassante per il centro di massa I= mr2/2, dove m la sua massa ed r il suo raggio. Applicando il teorema diSteiner ( che afferma: dato un asse arbitrario Z e un asse ZC, ad esso parallelo e passante per il centro dimassa del corpo, se a la distanza tra i due assi e m la massa del corpo si ha Iz=Izc+ ma2), si ottiene il nuovomomento di inerzia.

22

22

221 4

342

122

1 mrrmmrrmmrmaII =+=

+=+=

3.2 Calcolare il momento di inerzia di una sfera omogenea di massa m e raggio r rispetto ad un asse ad essatangente.

3.3 Calcolare il momento di inerzia di un anello sottile di massa m e raggio r rispetto ad un asseperpendicolare al piano in cui esso giace e passante per un punto posto a distanza 3r dal suo centro.

3.4 Calcolare il momento di inerzia It di un corpo composto da unasta sottile di lunghezza l=2,000m emassa ma =8,00kg al cui estremo saldata una sfera di massa ms=6,00kg e raggio r=10,0cm, rispetto adun asse passante per laltro estremo dellasta e ad essa perpendicolare.

dr

r R

172

Applicando la additivit dei momenti di inerzia e il teorema di Steiner si ottiene:

( ) 2222

2 2,3752

2121 mkgrlmrmlmlmIII ssaaSAt =+++

+=+=

3.5 Calcolare il momento di inerzia It di un corpo composto da unasta sottile di lunghezza l=1,000m emassa ma =6,00kg al cui estremo saldato un disco di massa ms=4,00kg e raggio r=5,0cm, rispetto ad unasse passante per la generatrice del cilindro diametralmente opposta al punto in cui lo stesso si connetteallasta e perpendicolare al piano cilindro-asta.

4 OBIETTIVOSaper risolvere problemi di moto di corpi rigidi utilizzando le relazioni fondamentali cmext amF =

dtLd

ext =

4.1 Un corpo di massa m2 =5,00kg trascina un corpo di massa m1=10,00kg come indicato in figura; lacarrucola ha massa mc=5kg; i due corpi sono collegati da una fune inestensibile e priva di massa. Calcolare laaccelerazione del sistema quando fra il corpo di massa m1 e il piano non vi attrito e quando vi attrito dicoefficiente =0,20

+ T1 T1

mcFa T2

T2

P2

Applicando la seconda equazione della dinamica alle masse m1 e m2 si ottiene (considerando come versopositivo quello orario come indicato):T1 - Fa=m1a1P2 - T2=m2a2.Applicando lequazione fondamentale del moto rotatorio del corpo rigido alla carrucola si ha:(T2-T1)r= cc con r raggio della carrucola, Ic suo momento di inerzia e c accelerazione angolare dellacarrucola.Vale inoltre la seguente relazione cinematica:a1=a2=cr=a.Considerando la carrucola come un disco omogeneo, il suo momento di inerzia rispetto allasse di rotazioneassegnato Ic=mcr2/2.Con opportune sostituzioni, considerando la forza di attrito di modulo m1g e che m1si muove verso destra siottiene quindi:

m1

m2

173

amTgmrr

armTT

amgmT

c

222

212

111

121

=

=

=

( )

( )( )21

12

2112

222

21

mmmmmga

mmmammg

c

c

++=

++=

Quindi senza attrito (=0) si ha:

( ) 221

2 8,222

2s

mmmm

gmac

=++

=

e T1=28N T2= 35N

Mentre con attrito si ha : ( )

( ) 22112 68,122

2s

mmmmmmga

c

=++

=

e T1=30,4N T2= 40,6N.

4.2 Un corpo di massa M=8,00kg trascina un corpo di massa m=12,00kg e di raggio R=20,0cm medianteuna fune, senza massa e inestensibile, avvolta su una sporgenza cilindrica di raggio r=5,0cm, trascurabile peril calcolo del momento di inerzia.Calcolare in funzione di M, m, R, r=x il modulo della forza di attrito e discuterne in funzione di x il suoverso. Il corpo di massa m rotola senza strisciare e si considera nullo l'attrito con il pernetto sul quale la funescorre cambiando di direzione.

m +

aaD B

O aD

T FAtt

A

a A

P

Applicando le relazioni meccaniche fondamentali rispetto al centro di rotazione istantaneo A:

21I :ha siSteiner di teoremailPer

disegno dal vedesi come essendo

)(

22A

D

mRmR

xRa

RaIxRT

MaTP

D

DAA

+=

+==

=+==

B T

R

rO

M

174

La accelerazione del punto B uguale alla accelerazione della massa M e quindi:

xRRaaD +

=

Con le opportune sostituzioni si ottiene:

22D

22

2

2

2

2

3x)2M(Rx)2MgR(Ra

3x)2M(Rx)2Mg(Ra

e x)2(R

3mRMaMg cui Da

. x)R(R

aRmR 23

mRxRaR

mR

T

MaTMg

+++=

+=

+++=

+

+=

+=

=

Per calcolare la forza di attrito si considera il centro di massa del disco. Poich Fext=m acm

22Att 3)(2)2(F

Ma-MgTcon

mRxRMxRMmgR

rRaRmMaMg

maFT DAtt

++=

+=

==

Discussione:Se R-2x=0 x=R/2 FAtt=0 Cio Se R-2x>0 x

175

4.5 Due dischi sono collegati come indicato in figura ed hanno masse m1 e m2. Il disco superiore pu ruotareliberamente attorno ad un asse orizzontale che passa per il suo centro. Una fune, senza massa,inestensibile e perfettamente flessibile arrotolata attorno ai due dischi. Si lascia libero il disco inferiore.Calcolare la accelerazione del centro di massa del disco inferiore, la accelerazione angolare dei duedischi attorno al loro centro di massa, la tensione della fune sapendo che i due dischi hanno lo stessoraggio

4.6 Un rocchetto costituito da due ruote cilindriche di raggio R e massa M collegate da un asse cilindricodi raggio r e massa m. Sullasse centrale avvolto un filo inestensibile e senza massa cui applicata unaforza F, orizzontale e perpendicolare allasse del rocchetto. Determinare la accelerazione del centro dimassa del rocchetto posto su un piano orizzontale sul quale rotola senza strisciare. Distinguere due casi:1) Il filo si svolge dalla parte superiore dellasse del rocchetto; 2) il filo si svolge dalla parte inferioredellasse del rocchetto.

1) 2)

4.7 Un carrellino di massa complessiva mc= 12kg dotato di due ruote cilindriche, ognuna di massa mr=4kg,raggio rr=25cm, che possono essere considerate omogenee e che rotolano senza strisciare. Il carrelloscende come in figura lungo un piano inclinato di 120, trainato da una fune inestensibile e di massatrascurabile. Tale fune passa su una carrucola di raggio rc=5cm e massa mc=1kg, cui appeso un corpodi massa m=20kg. Si chiede di determinare la accelerazione del sistema e le tensioni della fune.

120

176

h=4m l=10m

5 OBIETTI VOSaper applicare il principio di conservazione della energia meccanica al caso di rotolamento senzastrisciamento di un corpo rigido.

5.1Quattro corpi: un cubetto, un anello, un cilindro ed una sfera sono posti alla sommit di un piano inclinatoe lasciati liberi. Il cubetto striscia senza attrito mentre i corpi rotondi rotolano senza strisciare e hanno tuttiraggio r. sapendo che la massa 10,0kg per tutti i corpi calcolare il tempo da essi impiegato per scendere e laloro velocit finale.

A

B

Nella posizione iniziale per tutti e quattro i corpi:ETot(A)=mgh =392J.Per tutti e quattro i corpi si conserva lenergia meccanica e il moto effettuato rettilineo uniformementeaccelerato.1) Cubetto.

ss

tva

ttas

atv

ats

sm

smJmvBE BTot

36,2854,820

v2s t2

1

21

85,8103922 v392

21)(

22

B2

===

=

=

=

=

====

2) Anello.

ss

sm

sm

JmvrvmrmvImvBE BBBBTot

19,3261,620

v2s t

26,610392 v

39221

21

21

21)(

B

22

22222

===

==

==+=+=

3) Cilindro.

ss

sm

sm

Jmvrv

mrmvImvBE BB

BBTot

77,2230,720

v2s t

23,71033924 v

39243

21

21

21

21

21)(

B

22

22222

===

==

==+=+=

4) Sfera.

177

ss

sm

sm

JmvrvmrmvImvBE BBBBTot

67,2483,720

v2s t

48,710739210 v

392107

52

21

21

21

21)(

B

22

22222

===

==

==+=+=

5.2 Un pendolo di Maxwell formato da un disco di massa M e raggio R saldato a due cilindri coassiali dimassa m ciascuno e raggio r. Su questi due cilindri laterali sono avvolte due funi. calcolare la accelerazionecon cui scende il pendolo e la velocit del suo centro di massa dopo che sceso di 2,00m, verificando laconservazione dellenergia.5.3 Unasta appoggiata verticalmente contro una parete senza attrito come in figura 1, in assenza di attritoanche con il piano orizzontale. Partendo da ferma lasta inizia a scivolare. Supponendo che il punto A non sistacchi dalla superficie verticale determinare la velocit angolare con cui lasta cade sul pavimento. Se lasta soltanto appoggiata alla superficie verticale determinare il valore dellangolo per il quale lasta perde ilcontatto.

y y

A A

CM yCM CM

O Ox xCM x

Non essendovi forze dissipative si conserva lenergia meccanica:

Lmg21I

21mv

21mgy 22CM =++ dove yCM indica la quota del centro di massa, v la sua velocit, la velocit

angolare della sbarretta ed I il momento di inerzia rispetto al centro di massa

= 2mL

121I .

Le coordinate del CM e la sua velocit possono essere espresse in funzione di

222y

2x

2

y

x

L41vvv

:ottiene si cui da

sen2Lsen

dtd

2Lv

cos2Lcos

dtd

2Lv

cos

2Ly

sen2Lx

=+=

==

==

=

=

e sostituendo nella relazione precedente si ha:

( ) ( )

cos13 cos13

cui da21

121

21

41

21cos

21

2

2222

==

=

++

Lg

Lg

LmgmLLmmgL

che esprime la velocit angolare in funzione dellangolo.Quando lasta cade sul pavimento =/2, quindi la velocit angolare finale :

Lg3

f =

178

Notiamo che risulta: x2+y2=(L/2)2 quindi il centro di massa descrive nella caduta dellasta un arco dicirconferenza di centro O.La condizione che lasta non perda contatto con la parete verticale impone che sia R10.

y

R1

PR2

O x

La reazione vincolare R1 della parete pu essere determinata considerando che la forza che agisce lungolasse x:

2xx

x1

senL21

dtdcosL

21

dtdva

maR

==

=

essendo :

'23' '114832cos risulta 0R condizione la quindi 1cos

23sen

2mg3R

:ottiene si osostituend

senL2g3

dtd sen

Lg3

dtd2 ottiene si )cos1(

Lg3

o

11

2

=

===

5.4 Una sfera di raggio r=10,0cm e massa m= 1,50kg fissata mediante un asse orizzontale fisso allasommit di un piano inclinato come in figura.Attorno ad essa avvolta una fune collegata al centro di un cilindro di massa M=5,80kg e raggioR=20,0cm. Partendo da fermo il cilindro rotola senza strisciare lungo il piano inclinato eil suo centro di massa scende di 90,0cm. Quale la velocit angolare della sfera quando il cilindro alla finedel piano?

179

6 OBIETTIVOSaper applicare il principio di conservazione del momento di quantit di moto agli urti tra corpi rigidi.

6.1 Una sbarretta di lunghezza l e massa M si trova ferma in posizione verticale e pu ruotare attorno ad unasse orizzontale passante per un suo estremo O. Una proiettile di massa m e velocit v0 si muoveperpendicolarmente alla sbarretta e la colpisce ad una distanza x dal punto O. e si conficca in essa. Calcolareil momento angolare del sistema rispetto al punto O prima e dopo lurto del proiettile e calcolare la velocitangolare con cui il sistema inizia a ruotare attorno ad O.Calcolare la quantit di moto del sistema prima e dopo lurto e dire in quali condizioni la quantit di moto siconserva. calcolare il Q dellurto. Calcolare il massimo angolo che la sbarretta forma con la verticale dopolurto.

O O

M x x

l CM l

mv0

L indica il momento angolare rispetto al punto O. Prima dellurto si ha: 000 I'L' urtol' dopo e ' == xmvLDato che il momento delle forze esterne rispetto ad O nullo si conserva il momento angolare e possiamoscrivere 00 I'=xmv

)(222l

:urtol' dopo sistema del massa di centro del O da distanza la lcon Indichiamo3

3I

mv e 3

331

CM

CM

220

0

02

220

mMmxMl

mM

mxlM

mxMlxmvxmxMlmxMlI

++=

+

+=

+==+=+=

La quantit di moto del sistema prima e dopo lurto sono espresse da:

( )220

CM

00

32)2(3mv

'P'

:ottiene si cui da lm)(M'P' )(''

mv P' scalari agli passando e '

mxMlmxMlx

vmMP

vmP

CM

++

=

+=+=

==

La quantit di moto si conserva quando:

lmxml

PP32 xcalcoli semplicicon cui da 1

)3(22mx)3x(Ml cio''' 22 ==+

+=

Per quanto riguarda il calcolo del Q dellurto:

( )

( )222

02

22

220

22

0K2

0K

32Q quindi

323

21''E e

21'E ma '''

mxMlvmMl

e

mxMlxvm

ImvEEQ KK

+=

+====

Laumento di quota del centro di massa h=lCM-lCMcosmax=lCM(1-cos max)Poich lenergia meccanica si conserva dopo lurto:

22

220

2

max 3(23

)cos1()(

'')(

mxMlxvm

glmM

EhgmM

Cm

K

+=+

=+

180

Da questa relazione si pu ricavare il ricercato max.6.2 Una sfera di raggio R e massa m rotola senza strisciare sopra un piano inclinato. Ad un certo istanteincontra uno scalino di altezza h. Calcolare la minima velocit v0 che permette alla sfera di salire sulloscalino.

A

h

Il momento angolare rispetto al punto A prima dellurto :

AAAA

A

MRMRMRI

hMvMRvhRMvRvMRhRMvIL

222A

00002

000

57

52'L'

: urtol' Dopo57(

52)('

=

+==

=+=+=

Poich il momento totale delle forze esterne rispetto al punto A, nullo si conserva il momento angolare.

2000

2

002

A

7)57(

557

75

57

57 ;''L' ;0

RvhRhvRv

R

hMvMRvMRL

A

AAext

=

=

===

Dopo lurto la sfera inizia a ruotare attorno al punto A. Lenergia iniziale :

2

220

4

20

222

1 70)57(

49)57(

57

21

21

RhRMv

RvhR

MRIE AA

=

==

Per calcolare la velocit minima si deve supporre che quando la sfera salita sul gradino essa si fermi.

)57(70

)57(70 v

70)57(Mv

risulta Quindi

2

2

0MIN2

220

2

hRghR

hRghRMgh

RhR

MghE

=

==

=

6.3 Una sbarra omogenea di massa m=10kg, lunga 200cm vincolata in un suo estremo e si trova, ad un datoistante, in posizione verticale con il centro di massa al di sopra del vincolo e con velocit angolare =9,42rad/s. Determinare la velocit angolare e la velocit del centro di massa nellistante in cui il centro di massaraggiunge la minima quota.Se si suppone che la velocit angolare iniziale sia dovuta allurto di una particella di massa m1 =0,050kg, checolpisce la sbarra, inizialmente ferma in posizione verticale, ai due terzi della sua lunghezza verso lesterno,e vi rimane conficcata si determini la velocit del proiettile.

6.4 Una sbarra omogenea di massa m=10kg, lunga 200cm si trova su un piano orizzontale diretta secondolasse y. Un proiettile di dimensioni trascurabili e massa 200g colpisce la sbarra ad un quarto della sualunghezza, rimanendovi conficcato . Prima dellurto il proiettile si stava muovendo con una velocit

v0 O O

181

v0=50,0m/s formante un angolo di 60 con lasse x. Si determini il moto del sistema dopo lurto e il Qdellurto.

6.5 Un disco omogeneo di massa m=5kg e raggio r=20cm appoggiato su un piano orizzontale privo diattrito. Un proiettile puntiforme e di massa mp=100g colpisce il disco, in modo totalmente anelastico, convelocit v=20m/s come indicato in figura. Si determini il moto del sistema dopo lurto e il Q dellurto.OH=13cm

H

O

Risultati di alcuni esercizi.1.2 sul terreno NFNF yx 882 ,180 11 == sul muro 0 ,180 11 == yx FNF4.3 a=3,6m/s2; v= 3,8m/s4.4 a=4,3m/s2;

4.5 ( )

rg

mmm

rg

mmmg

mmmma

21

12

21

21

21

21

232 ;

232 ;

232

+=

+=

++

=

4.6 1)( )

222

213 mRmrMR

RrF

++

+=

4.7 a=7m/s2 T1=70N T2=67N.

5.2 ( )

2

2

213

2

rRmM

gMma++

+=

5.4 srad /2,33=

6.3 smvuvsrad pxcm /1900 9,10 /9,10 ===

6.4 JQuvsrad xcm 244 98,0 /72,0 ===