Conversione Analogico/Digitale 1 Introduzione Le varie tecniche di trasmissione, si basano esclusivamente su portanti di tipo analogico, che vengono modulate da segnali analogici o digitali ma che in definitiva inviano nel mezzo trasmissivo esclusivamente segnali di tipo analogico. In effetti anche per le tecniche di tipo numerico, usate per la trasmissione di segnali di tipo digitale, si è visto che occorre una conversione D/A prima dell'invio dei segnali modulati nel mezzo trasmissivo. Inoltre le tecniche su portante analogica (sinusoidale) dipendono dal tipo di modulazione utilizzata (di ampiezza, di frequenza e di fase) e pertanto i segnali modulati presentano larghezze di banda a volte estese che condizionano la trasmissione stessa. Il problema di tali trasmissioni è la ricostruzione dei segnali analogici in ricezione in quanto è necessario riconoscere istante per istante il loro contenuto, tenendo conto del rumore del canale, affinché si possa ottenere correttamente l'intera informazione originaria. Per evitare tali inconvenienti si preferisce utilizzare in telefonia e in generale nell’applicazioni elettroniche, modulazioni di tipo impulsivo che permettono la conversione dell'informazione analogica in forma numerica senza che lo spettro del segnale modulato subisca delle traslazioni di banda (mantiene le stesse caratteristiche del segnale da trasmettere). Il vantaggio quindi dei segnali numerici è senza dubbio quello della ricostruzione dell'informazione in ricezione in quanto l'informazione si presenta sotto forma discreta (bit), caratterizzata da una velocità di ripetizione; è sufficiente riconoscere il segnale esclusivamente in corrispondenza degli istanti di trasmissione dei bit senza tenere conto di che cosa accade nell'intervallo intermedio tra un bit e l'altro.

Si sottolinea che le distorsioni subite dal segnale trasmesso sono legate al mezzo trasmissivo (canale) e quindi l'obiettivo da raggiungere è quello di soddisfare le esigenze del canale per ottenere una trasmissione accettabile. Poiché il rumore si somma sul segnale utile, occorre trovare la condizione più favorevole affinché il segnale stesso non si degradi. Tale condizione appunto si raggiunge utilizzando tecniche che trasmettono l'informazione in forma binaria, cioè a due soli livelli. In ricezione, quindi, la probabilità di riconoscimento è maggiore rispetto ad un segnale di tipo analogico.

La conversione A/D si realizza tramite tre fasi fondamentali a partire

dal segnale analogico da trasmettere:

• il campionamento;

• la quantizzazione;

• la codifica.

2 Campionamento. Teorema di Shannon

La discretizzazione di un segnale analogico si ottiene tramite prelevamento di porzioni elementari che

prendono il nome di campioni.

In figura sono rappresentati dei segnali analogici campionati insieme ai rispettivi parametri che li

caratterizzano, ossia gli istanti di campionamento tn (regolari) in corrispondenza dei quali si prelevano i

campioni, in questo caso ideali, e l'intervallo di campionamento (∆Tca) che rappresenta l'intervallo di tempo

trascorso tra due istanti di campionamento contigui (tn – tn+1).

La velocità con cui vengono prelevati i campioni nell'unità di tempo prende il nome di frequenza di

campionamento e viene indicata con 𝑓𝑐𝑎 = 1∆𝑇𝑐𝑎�

Nella figura precedente viene riportato lo schema del campionatore ideale. Infatti l'operazione di

campionamento ideale può essere pensata come un interruttore al quale viene applicato il segnale da

campionare, la cui apertura e chiusura avvengono con una frequenza pari alla frequenza di

campionamento; quando l'interruttore resta chiuso, viene prelevata una porzione del segnale di ingresso,

resta invece aperto negli altri istanti.

Poiché nel caso reale tra l'istante in cui si chiude e l'istante in cui si apre il tasto dell'interruttore passa un

determinato intervallo di tempo, ciascun campione prelevato avrà una certa durata. Il segnale analogico

campionato S (tn) in questo caso può essere rappresentato come un segnale tagliato a fette dalle quali si

prelevano alcune di esse in intervalli fissi prestabiliti.

In pratica il campionamento si effettua in modo periodico, cioè in istanti tn= n (∆Tca) con (∆Tca) periodo di

campionamento e n = 1, 2; 3, ...

L'intervallo di campionamento quindi può aumentare o diminuire, ma non casualmente; la frequenza con

cui si prelevano i campioni può assumere valori più o meno elevati, ma sicuramente la scelta deve essere

legata alla frequenza del segnale da trasmettere.

Per chiarire il concetto nella figura seguente si considerano tre possibili casi:

• prelevamento di un numero ridotto di campioni caso 1;

• prelevamento di un numero accettabile di campioni caso 2;

• prelevamento di un numero elevato di campioni caso 3.

Nel primo caso si nota una notevole perdita di informazione, poiché al momento della

ricostruzione non è prevedibile l'andamento del segnale, essendoci ambiguità al momento

del ricongiungimento dei singoli campioni. Nel secondo caso invece il campionamento effettuato si può

ritenere corretto, perché rappresenta in modo accettabile il contenuto di informazione del segnale stesso.

Infine nel terzo caso si potrebbe pensare che a maggior ragione il campionamento debba essere ritenuto

valido, ma in pratica non è così. Infatti l'elevato numero di campioni va a scapito della multiplazione

(tecnica TDM di cui si parlerà in seguito), in quanto tra due campioni contigui esiste un intervallo di tempo

molto ridotto, che non è in grado di ospitare altri campioni di ulteriori segnali. Inoltre aumentare in modo

spropositato il numero dei campioni significa aumentare lo spettro del segnale campionato, che in tal caso

presenterebbe circa la stessa larghezza di banda del segnale analogico: il campionamento del segnale non

avrebbe alcun significato.

Com'è possibile stabilire la frequenza con la quale si deve eseguire il prelevamento dei campioni, affinché

non si perda parte dell'informazione, rendendo anche possibile il processo della multiplazione?

Tale quesito viene risolto dal TEOREMA DI SHANNON, il quale stabilisce quanto segue:

qualsiasi forma d'onda, funzione continua nel tempo, avente frequenza massima fmax, risulta

completamente determinata quando si prelevano dei campioni con una frequenza fca, in istanti tn noti e

separati da un intervallo di campionamento regolare ∆Tca, solamente se è rispettata la seguente condizione:

𝑓𝑐𝑎 ≥ 2𝑓𝑚𝑎𝑥

In altri termini, nota la massima frequenza dello spettro in banda base di un generico segnale, è possibile

determinare la frequenza di campionamento tramite quanto previsto dal teorema di shannon e ciò

permette di:

a) evitare delle perdite di informazione;

b) rendere possibile la ricostruzione del segnale in ricezione in modo corretto (senza distorsioni),

partendo dai valori campionati.

Poiché

∆𝑇𝑐𝑎 =1𝑓𝑐𝑎

=1

2𝑓𝑚𝑎𝑥

Per ragioni di maggiore affidabilità, generalmente si preferisce adottare il criterio 𝑓𝑐𝑎 > (3 ÷ 4)𝑓𝑚𝑎𝑥

Un segnale campionato può essere pensato come un prodotto tra il segnale analogico S (t) da trasmettere

ed un segnale formato da un treno di impulsi ideali, avente frequenza 𝑓𝑐𝑎 pari a quella stabilita dal teorema

di Shannon; essa è chiamata anche funzione campionatrice F (t) e costituisce la portante.

Per la rappresentazione dello spettro di un segnale campionato occorre fare riferimento ad un

campionamento reale anziché ideale (istantaneo). Questa osservazione è importante in quanto la funzione

campionatrice ad impulsi di durata finita dà origine ad uno spettro del segnale campionato diverso da

quello derivato da una funzione campionatrice ad impulsi ideali. Tuttavia prendiamo in considerazione i due

casi di campionamento ideale (istantaneo) e reale (naturale:durata non istantanea)

3 Tecnica TDM

La tecnica TDM (Time Division Multiplexing) consiste nel suddividere il dominio dei tempi in finestre (slot)

in ognuna delle quali si collocano separatamente i campioni di ogni segnale da trasmettere. A ciascun

sottocanale è associato un breve intervallo di tempo durante il quale il canale principale è a sua

disposizione.

A rotazione, quindi, ogni sottocanale può trasmettere e ricevere i propri segnali contemporaneamente.

Ogni trasmettitore ha a disposizione la linea solo in determinati intervalli di tempo, durante i quali invia N

porzioni (campioni) del proprio messaggio, che si prelevano secondo un criterio prestabilito dal teorema di

Shannon.

È così possibile la trasmissione contemporanea di più messaggi attraverso una sola via di comunicazione.

Ad esempio due trasmettitori possono inviare i propri messaggi spezzettati in N porzioni ognuna delle quali

si colloca rispettivamente in N intervalli temporali. Il meccanismo di assegnazione degli intervalli di tempo

avviene tramite dispositivi chiamati multiplexer a divisione di tempo.

Essi si comportano come dei commutatori a rotazione; ogni posizione corrisponde ad un canale e pertanto

si prelevano periodicamente a rotazione le porzioni dei vari segnali analogici da trasmettere e le si

restituiscono in uscita.

4 Ricostruzione del segnale campionato. Problemi di distorsione

Per ricostruire un segnale campionato, cioè, partendo dai valori campionati e riuscire a ricomporre il

segnale di informazione originario, è necessario rispettare in fase di campionamento il teorema di Shannon.

Infatti supponiamo di optare per le seguenti scelte:

𝑓𝑐𝑎 > 2𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑓𝑐𝑎 = 2𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑓𝑐𝑎 < 2𝑓𝑚𝑎𝑥

Nel primo caso (𝑓𝑐𝑎 > 2𝑓𝑚𝑎𝑥), considerando il segnale di informazione di forma qualsiasi, lo spettro del

segnale campionato è quello riportato in figura caso a). Si nota che le bande laterali centrate attorno alle

frequenze 𝑓𝑐𝑎, 2𝑓𝑐𝑎, 𝑒𝑡𝑐. sono distanziate fra loro da un'interbanda di frequenza che cresce al crescere della

frequenza 𝑓𝑐𝑎 .

Il fatto importante che emerge dalla tecnica di campionamento è che il segnale subisce un trattamento

nella sua banda base originaria senza quindi effettuare alcuna traslazione di frequenza. Ne segue che lo

spettro del segnale campionato contiene il segnale utile e pertanto per la ricostruzione dell'informazione

occorre semplicemente eliminare tutte le componenti a frequenza maggiore della banda base, prodotte dal

processo di campionamento. Questo si ottiene con un filtro passa basso avente una frequenza di taglio

𝑓𝑚𝑎𝑥 < 𝑓𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜 < 𝑓𝑐𝑎 − 𝑓𝑚𝑎𝑥

Le interbande quindi, permettono di separare facilmente il segnale utile dalle altre frequenze presenti nello

spettro, in quanto il campionamento del segnale avviene rispettando il teorema di Shannon.

Nel secondo caso (𝑓𝑐𝑎 = 2𝑓𝑚𝑎𝑥), caso b), il teorema di Shannon viene rispettato e quindi teoricamente tale

condizione è accettabile. In pratica però la condizione limite risulta problematica per la corretta

ricostruzione del segnale, perché per separare la banda del segnale utile dalle altre frequenze indesiderate,

occorre utilizzare un filtro ideale. Infatti la frequenza massima della banda base del segnale utile e quella

minima corrispondente alla banda inferiore, rispetto alla frequenza di campionamento presentano lo stesso

valore (intervallo di guardia nullo); in altre parole le due bande in questione si toccano nel punto C.

In tal caso la ricostruzione corretta è possibile solo se la risposta del filtro è molto rapida (filtro ideale), cioè

in grado di separare nettamente le due bande. È ovvio che con un filtro reale (risposta non verticale ma

inclinata), avente una risposta simile a quella indicata con il tratteggio in figura, la ricostruzione del segnale

originario produce degli effetti di distorsione in quanto una parte delle componenti di frequenza,

appartenenti alla banda inferiore, viene lasciata passare insieme con quelle del segnale utile.

Infine nel terzo caso (𝑓𝑐𝑎 < 2𝑓𝑚𝑎𝑥), caso c), in cui il segnale viene campionato con una frequenza o velocità

di campionamento inferiore alla condizione limite, definita dal teorema di Shannon, a maggior ragione,

rispetto al caso precedente, si avrà perdita di informazione con conseguente distorsione in ricezione dovuta

alla ricostruzione del segnale così campionato.

Infatti le frequenze, che normalmente capitano fuori dalla banda di frequenza del segnale originario,

considerato non sinusoidale, sono traslate entro tale banda (sovrapposizione delle due bande) e perciò,

dopo il processo di ricostruzione (filtraggio), il segnale inviato a destinazione risulta distorto.

Tale effetto viene chiamato aliasing (frequenze fantasma).

5 Quantizzazione.

Per poter quindi passare da una rappresentazione analogica ad una rappresentazione digitale occorre

inserire alcuni processi uno dei quali è il processo di campionamento già considerato nei paragrafi

precedenti. A questa vanno aggiunte le operazioni di:

• la quantizzazione;

• la codifica.

La quantizzazione è un processo che trasforma un segnale analogico in un segnale discreto a più livelli,

tramite un'opportuna approssimazione dei campioni.

In altri termini si deve suddividere il campo del segnale in un determinato numero di livelli prefissati (ad

esempio otto livelli positivi nel caso riportato in figura:

Ciascuno di questi livelli approssimerà il segnale analogico più prossimo purché compreso fra due valori

“+Vmax e –Vmax” ritenuti come valori di massima tensione che ciascun livello può assumere. In questo modo

ai valori continui di ampiezza di ogni impulso campionato, compresi entro un certo intervallo ∆𝑉, si può

assegnare un unico valore discreto; i livelli di tensione così ottenuti vengono chiamati quantizzati ed i valori

discreti assegnati prendono il nome di livelli di quantizzazione.

L'intervallo che intercorre tra due livelli di quantizzazione contigui . ∆𝑉 viene chiamato passo di

quantizzazione; esso è un parametro importante per la definizione dell'errore di quantizzazione, dovuto

all'approssimazione dei campioni.

Esistono due tipi di quantizzazione che descriviamo in seguito:

• quantizzazione lineare;

• quantizzazione non lineare o logaritmica

6 Quantizzazione lineare.

La quantizzazione si dice lineare quando il passo di quantizzazione ∆𝑉 è costante, cioè regolare. Le

normative internazionali che definiscono lo standard telefonico impongono, per una buona

approssimazione del segnale analogico, 256 livelli di quantizzazione, di cui 128 livelli positivi (+ Vmax

associata al livello + 128) e 128 livelli negativi (- Vmax associata al livello - 128). Tali livelli poi nella terza

fase vengono codificati, utilizzando un codice binario formato da 8 bit (28 = 256).

Il passo di quantizzazione ∆𝑉 è definito tramite la seguente relazione:

∆𝑉 =2 ∗ 𝑉𝑚𝑎𝑥

2𝑛

in cui n rappresenta il numero dei bit utilizzati per esprimere livelli di quantizzazione. Nel caso specifico di

n=8 bit si ha:

∆𝑉 =2 ∗ 𝑉𝑚𝑎𝑥

28=𝑉𝑚𝑎𝑥

128

Nell'effettuare l'operazione della quantizzazione si commette un certo errore, detto errore di

quantizzazione (𝐸𝑞), dovuto all'approssimazione dei campioni; il fenomeno dà origine ad un disturbo che

prende il nome di rumore di quantizzazione. L'errore di quantizzazione è definito teoricamente come la

differenza tra il valore del segnale analogico 𝑆𝑛(𝑡) e quello del segnale quantizzato 𝑆𝑞(𝑡):

𝐸𝑞(𝑡) = 𝑆𝑛(𝑡) − 𝑆𝑞(𝑡)

Esso varia nell’intervallo:

�−∆𝑉2

𝑒 +∆𝑉2 �

Per cui l’errore massimo che si può commettere per ogni campione nell'eseguire l'operazione di

quantizzazione, è pari a metà dell'ampiezza del passo di quantizzazione, ossia:

±∆𝑉2

È altresì ovvio dedurre che l'errore risulta tanto minore quanto più piccolo è il passo di quantizzazione,

ossia la differenza tra i due livelli discreti contigui entro cui appartiene il valore di un generico campione

𝑆𝑛(𝑡), cioè quanto più elevato è il numero dei livelli di quantizzazione.

𝐸𝑞(𝑡) si può calcolare tramite la seguente formula:

𝐸𝑞(𝑡) =∆𝑉√12

L'errore di quantizzazione (assoluto) si esprime in volt e dipende dal passo di quantizzazione.

7 Breve cenno alla quantizzazione non lineare

Poiché la quantizzazione lineare non è ottimizzata in quanto la maggior parte del segnale ha piccola

ampiezza o come si dice in gergo ha una dinamica di basso livello (piccoli segnali), si può migliorare tale

rapporto aumentando il numero dei livelli, nell’intorno dello zero e diminuendo invece il numero di livelli

man mano che ci allontaniamo dallo zero.

In tal modo si mantiene lo stesso numero dei livelli di quantizzazione, cioè 256, ma si ha un considerevole

aumento della qualità. A tale scopo si adotta la quantizzazione non lineare anche detta logaritmica in

quanto si basa su una scala di tipo logaritmico, il cui andamento è riportato in figura:

La caratteristica logaritmica inoltre mira a mantenere costante la qualità del segnale in tutto il suo range

di definizione. Infatti si nota che essa presenta un passo di quantizzazione non più costante; più

precisamente presenta passi di quantizzazione piccoli neII'intorno deII'origine (per segnali bassi) e

sempre più grandi allontanandosi da essa. In altri termini si quantizza di più (passi di quantizzazione più

fitti) dove è maggiore la probabilità che il segnale sia presente, mentre si quantizza di meno (passi di

quantizzazione più laschi) dove la probabilità è minore (segnale più forte). In questo modo la

quantizzazione consente di commettere un errore di quantizzazione piccolo per segnali di basso liveIIo e

grande per segnali di alto liveIIo. La caratteristica quindi del quantizzatore logaritmico si ottiene da

quella lineare, se si espandono i bassi livelli, esaltando cosi i segnali deboli, e si comprimono i livelli alti,

reprimendo i segnali più forti.

In questo caso l’errore di quantizzazione è pari a:

𝐸𝑞(𝑡) =∆𝑉

2 ∗ √12

8 Codifica

L’operazione di codifica è ormai chiara, si tratta semplicemente di assegnare ad ogni livello una opportuna

sequenza di bit che sia unica per ogni livello. Ciò comporta che un numero maggiore di livelli di

quantizzazione richieda un maggior numero di bit per codificare ogni singolo livello di quantizzazione per

cui sarà necessario scegliere l’opportuno compromesso al fine di barattare banda (numero di bit da

trasmettere per singolo livello) e qualità (minori livelli, minori bit da trasmettere, minore qualità).