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SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZACONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

Luigi Biagiotti Controllo in frequenza -- 2Sistemi di Controllo

Relazione tra specifiche e proprietRelazione tra specifiche e proprietàà di L(s)di L(s)

• Nell’analisi dei sistemi in retroazione si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano esseretradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello.

• Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di L(s)


StabilitStabilitàà robustarobusta

• Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d’anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase)

Limite inferiore su Mf e Ma


Specifiche staticheSpecifiche statiche• Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)

L’inverso del modulo di |L(jω)| nel campo di frequenze in cui è confinato il riferimento e\o il disturbo rappresenta il fattore di attenuazione a regime sull’errore di inseguimento

R(s)-+ G(s)

++

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

0 dB

Regione proibita per |L(jω)|

Mag

nitu

de(d

B)

Livello di attenuazione desiderato su e

A dB

Range di pulsazioni in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

Limite inferiore su |L(jω)|


Per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e a disturbi sull’uscita costanti e necessario che:• se• se

Specifiche staticheSpecifiche statiche• Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

0 dB

Vincoli sulla pendenza iniziale del diagramma di |L(jω)|

L(s) deve avere almenoun polo nell’origine

R(s)-+ G(s)

++


Specifiche staticheSpecifiche statiche• Caso di interesse pratico: riferimento/disturbo a gradino

• Sfruttando la sovrapposizione degli effetti

dal teorema del valore finale risulta

dove è assegnato, mentre è possibile agire su tramite Quindi la specifica è soddisfatta se

R(s)-+ G(s)

++


Specifiche staticheSpecifiche statiche• Caso di interesse pratico: riferimento a gradino e disturbo sinusoidale

• Anche in questo caso si procede sfruttando la sovrapposizione degli effetti

• La specifica sarà soddisfatta imponendo

tramite

R(s)-+ G(s)

++


Specifiche staticheSpecifiche statiche

• Disturbi di misura (usualmente confinati ad alte frequenze)

R(s)-+ G(s)Il modulo di |L(jω)| nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull’errore

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

Livello di attenuazione desiderato su e

Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

-A dB

0 dB

Regione proibita per |L(jω)|Limite superiore su |L(jω)|


Specifiche dinamicheSpecifiche dinamiche

• Usualmente date in termini di tempo di assestamento e sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino

• È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su L(jω)

Se la funzione d’anello L(jω) è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento ωc e un margine di fase Mf allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da


Specifiche dinamicheSpecifiche dinamiche

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45

Frequency - log scale

Phas

e(d

egre

es)

-1

Limite inferiore su Mf

Limite inferiore su ωc


Moderazione del controllo e realizzabilitModerazione del controllo e realizzabilitàà fisica del fisica del controllorecontrollore

• La moderazione dello sforzo di controllo si ottiene:• Limitando la pulsazione di attraversamento ωc (rispetto alla

pulsazione di attraversamento del sistema controllato)• Realizzando regolatori passa-basso

• Affinchè il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo ≥0), occorre che il grado relativo di L(s) sia ≥ di quello di G(s)

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

0 dBPendenza a frequenza elevata di |L(jω)| almeno

pari a quella di |G(jω)|


10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

10 100

101

102

103-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e(d

egre

es)

RiepilogoRiepilogo

-1

Limite sup. per ωc dato da:-Robustezza ai ritardi-Moderazione di controllo

Specifica dinamica su S% + robustezza stabilità

Specifica statica per n definito spettralmente

Fisica realizzabilitàcontrollore + moderazione controllo

Specifica dinamica su Ta

Specifica statica per ysp, d definito spettralmente

Specifica statica per ysp, e d costanti


Approccio al controlloApproccio al controllo

• È conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore:

Regolatore “dinamico”: parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di misura) e le specifiche dinamiche

Regolatore “statico” : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa frequenza (disturbi sull’uscita e/o riferimenti)


Approccio al controllo (1Approccio al controllo (1°° parte parte –– Progetto Progetto RRss(s))(s))

• Gli obbiettivi dietro al progetto di Rs(s) sono:• Rispettare le specifiche sul massimo errore e(t) ammesso a fronte

di:Ingressi di riferimento ysp noti (gradino, rampa, …);Disturbi sull’uscita d(t), costanti o comunque definiti spettralmente (sinusoidi a frequenze comprese in un rangenoto);



• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali costanti

h = numero dei polinell’origine di G(s)



• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali a rampa


Approccio al controllo (2Approccio al controllo (2°° parte parte –– Progetto Progetto RRdd(s))(s))

• Gli obbiettivi dietro al progetto di Rd(s) sono:• Imporre ωc in un certo intervallo frequenziale• Garantire un certo margine di fase• Garantire una certa attenuazione e pendenza a frequenze elevate

• Non bisogna apportare modifiche alla parte statica del regolatore, giàprogettata (ad es. modificando il guadagno statico)

NOTA BENE: tali obbiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso



• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:• Nel range di valori ammissibili per ωc esiste un intervallo in cui il

valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e(d

egre

es)

-1

Intervallo in cui la fase è buona

Occorre tramite il progetto diRd(s) dare attenuazione al fine diavere l’attraversamento di Ge(jω)nell’intervallo in cui la fase èbuona

Variazione guadagno staticoIntroduzione di poli



• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:• Nel range di valori ammissibili per ωc non esistono pulsazioni in cui

il valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de(d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e(d

egre

es)

-1

Occorre tramite il progetto diRd(s) dare anticipo di fasenell’intervallo di attraversamentodesiderato

Introduzione di zeri

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