Controlli Automatici 2

Stefano Miani1

1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e MeccanicaUniversita degli Studi di Udine

tel: 0432 55 8262email: miani.stefano@uniud.it

web: www.diegm.uniud.it/smiani

A.A. 2004-05

Testo di riferimento

Bolzern, Scattolini, SchiavoniFondamenti di controlli automatici,McGraw-Hill37 euro

Contenuti del corsoFunzione di trasferimento

Legame ingresso-uscitaStruttura della f.d.t.CancellazioniInvarianza della f.d.t.Rappresentazioni della f.d.t.F.d.t associata a un ritardo e ad azione proporzionale, integralee derivativaRisposta impulsivaRisposta al gradino

Schemi a blocchiConnessione serieConnessione paralleloRetroazione

RealizzazionePassaggio da stato a f.d.t.Passaggio da f.d.t. a statoForma di stato del sistema serieCancellazioniCancellazioni algebriche

Risposta in frequenzaDeterminazione della c.i.A asintoticamente stabileIngressi sinusoidali per sistemi asint. stabiliProprieta bloccanti degli zeriSegnali periodiciDiagrammi di Bode

Legame tra forma di stato e funzione di trasferimento

Sistema lineare e stazionario

x = Ax + Buy = Cx + Du

con u ∈ IRm, x ∈ IRn, y ∈ IRp.

sX (s)− x(0) = AX (s) + BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)

X (s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU(s)

Y (s) = C (sI − A)−1 x(0) +(C (sI − A)−1 + D

)︸ ︷︷ ︸

W (s)

U(s)

X (s) = Xel(s) + Xef (s)Y (s) = Yel(s) + Yef (s)

La f.d.t. W (s) contiene informazioni sul solo legameingresso-uscitau(t) = δ(t) =⇒ U(s) = 1 =⇒ Y (s) = W (s)

funzione di trasferimento = trasformata di Laplace della rispostaall’impulso g(t)

Per u(t) generica vale

yef (t) =

∫ t

0g(t − τ)u(τ)dτ

Struttura della funzione di trasferimento per sistemi SISO(m = p = 1)

W (s) = C (sI − A)−1 B + D

(sI − A)−1 =adj(sI − A)

det(sI − A)

Numeratore: matrice n × n di polinomi di grado al piu (n − 1)Denominatore: φA(s)=polinomio caratteristico della matrice A, digrado n

C (sI − A)−1 B =Cadj(sI − A)B

det(sI − A)=

n1(s)

φA(s)

n1(s) di grado ≤ (n − 1)

W (s) =n1(s)

φA(s)+ d =

n1(s) + dφA(s)

φA(s)=

n(s)

φA(s)

d 6= 0 ⇒ n(s) ha grado n.Se alcuni zeri zi di n(s) coincidono con gli autovalori di A (sidimostri che se cio accade allora ci sono cancellazioni tra gli zeri din1(s) e gli zeri di φA(s)) ⇒ grado di W (s) e < n.Effettuate le cancellazioni,zeri del numeratore di W (s)=zeri della f.d.t.zeri del denominatore di W (s)=poli della f.d.t.

poli ⊆ autovalori

Invarianza della funzione di trasferimento

x = Ax + Buy = Cx + Du

=⇒ G (s) = C (sI − A)−1B + D

Cambio di base, T invertibile: x = Tx

˙x =

A︷ ︸︸ ︷TAT−1 x +

B︷︸︸︷TB u

y = CT−1︸ ︷︷ ︸C

x + D︸︷︷︸D

u

G (s) = C (sI − A)−1B + D = CT−1(sI − TAT−1)−1TB + D

=⇒ G (s) = G (s)

Zeri, poli e rappresentazioni

Forma poli-zeri

G (s) =ρ

∏i (s + zi )

∏i (s

2 + 2ζiαni s + α2ni )

sg∏

i (s + pi )∏

i (s2 + 2ξiωni s + ω2

ni )

Forma di Bode

G (s) =µ

∏i (1 + sτi )

∏i (1 + 2ζi

sαni

s + s2

α2ni)

sg∏

i (1 + sTi )∏

i (1 + 2ξis

ωnis + s2

ω2ni)

ρ: costante di trasferimentog : tipo−zi , − pi : zeri e poli realiαni , ωni : pulsazioni naturali delle coppie di zeri e poli complessiconiugatiζi , ξi : smorzamenti delle coppie di zeri e poli complessi coniugatiµ: guadagnoτi , Ti : costanti di tempo degli zeri e dei poli reali

µ =ρ

∏i τi

∏i αni∏

i Ti∏

i ωni

τi =1

zi, Ti =

1

pi

Ritardo, proporzionale, integrale e derivativa

Dato il segnale u(t), il segnale ritardato di τ > 0 secondi ey(t) = u(t − τ). Trasformando entrambi i membri si ottiene

Y (s) = e−sτU(S)

ovvero la f.d.t. associata al ritardo e G (s) = e−sτ . Le f.d.t.associate all’azione proporzionale, integrale e derivativa sono:

GP(s) = KP

GI (s) = 1s

GD(s) = s

Risposta impulsiva di sistemi elementari

G (s) =K

1 + sT⇒ g(t) =

K

Te−t/T

G (s) =1

s⇒ g(t) = δ−1(t)

G (s) = K ⇒ g(t) = Kδ(t)

G (s) = K ω2n

s2+2ξωns+ω2n

⇒ g(t) = Kωn√1− ξ2

e−ξωnt sin(ωnt

√1− ξ2

)

Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1s )

G (s) =bmsm + bm−1s

m−1 + . . . b0

sn + an−1sn−1 + . . . a0

Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G (s)G (s) e stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa

G (s) =

µ∏

i (1 + sτi )∏

i

(1 + 2ξni

sωni

+(

sωni

)2)

sg∏

i (1 + sTi )∏

i

(1 + 2ξdi

sωdi

+(

sωdi

)2)

G (s) = µ1+sT

y(t) = µ(1− e−t/T

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

G (s) = µ

1+2ξs/ω+(s/ω)2

y(t) = µ

(1− 1√

1−ξ2e−ξωt sin

(ωt

√1− ξ2 + arccos ξ

))

Schemi a blocchi

Sistemi n-dimensionali, m = p = 1 (SISO)

W (s) =n(s)

d(s)= K

∏(s − zi )∏(s − pi )

C(s) P(s)r u y

Wry (s) = P(s)C (s) = C (s)P(s)

C(s)r +

+

P(s)

y

Wry = C (s) + P(s)

C(s)

H(s)

r +y

P(s)−

Wry (s) =C (s)P(s)

1 + H(s)C (s)P(s)

Realizzazione

x = Ax + Buy = Cx + Du

Wuy (s) = C (sI − A)−1B + D =Cadj(sI − A)B

det(sI − A)+ D

E univoco!!!

W (s) di ordine n in forma minima: le forme di stato che larealizzano sono infinite. Le forme di stato di dimensione minimahanno n stati.

W (s) =bns

n + bn−1sn−1 + · · ·+ b0

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0

W (s) = d +b1n−1s

n−1 + · · ·+ b10

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a0

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 0 00 . . . 0 1 00 . . . . . . 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−1

B =

00...01

C =

[b10 b1

1 . . . . . . b1n−1

]D = d

Serie: W1(s) = (A1,B1,C1,D1) e W2(s) = (A2,B2,C2,D2),u2 = y1

Atot =

[A1 0

B2C1 A2

]Btot =

[B1

B2D1

]Ctot =

[D2C1 C2

]Dtot = D2D1

Esercizio: si determinino le forme di stato delle connessioniparallelo e retroazione. Si verifichi che per la connessione inretroazione in generale λ(Atot) 6= λ(A1)

⋃λ(A2)

r u y

s−3s+1s−3

s+2

Wry (s) =s + 1

s + 2

Il sistema non e’ internamente stabile, ovvero esistono c.i. percui l’uscita di evoluzione libera diverge.

W1(s) : A1 = −2, B1 = 1, C1 = −5, D1 = 1

W2(s) : A2 = 3, B2 = 1, C2 = 4, D2 = 1

Atot =

[−2 0−5 3

]

Le cancellazioni algebriche introdotte per semplificare ladeterminazione della fdt sono ammesse. L’eventuale cancellazionezero-polo instabile e’ virtuale.

r +y

−

10 1s−1s+5

1s−1

1s−1

r +

−

10s+5

yy1

Wry (s) =10

(s + 5)(s − 1) + 10Wry1(s) =

10(s − 1)

(s + 5)(s − 1) + 10

Nota: se il sistema di partenza avesse realmente avuto larappresentazione con y1, il sistema complessivo sarebbe risultatoinstabile internamente.

Risposta in frequenza

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

G (s) = C (sI − A)−1B + D (1)

Dato u(t) = eλt+β, ∃ x(0) tale che x(t) = x(0)eλt+β?

x(t) = λx(0)eλt+β = Ax(0)eλt+β + Beλt+β

λx(0)eλt+β = Ax(0)eλt+β + Beλt+β (2)

x(0) = (λI − A)−1B

y(t) =[C (λI − A)−1 B + D

]eλt+β = G (λ)eλt+β

Cambio di variabile:

x(t) = x(t)− x(0)eλt+β

x(0) = x(0)− x(0)eβ

Ingresso: u(t) = eλt+β

˙x(t) = x(t)− λx(0)eλt+β =

= Ax(t) + Beλt+β − Ax(0)eλt+β − Beλt+β

dove si e’ utilizzata l’espressione (2)

Dunque (ricorda: x(t) = x(t)− x(0)eλt+β)

˙x(t) = Ax(t)− Ax(0)eλt+β = A(x(t)− x(0)eλt+β) = Ax(t)

A e’ asintoticamente stabile, allora ∀ x(0), ovvero, ∀ x(0):

x(t) → 0 =⇒ x(t) → x(0)eλt+β

Riassumendo: se A e’ asintoticamente stabile, l’uscitacorrispondente all’ingresso u(t) = eλt+β, per qualsiasi condizioneiniziale, e tale che

y(t) = Cx(t) + Du(t) → y(t) = G (λ)eλt+β

u(t) = sin(ωt + ϕ0) =e j(ωt+ϕ0) − e−j(ωt+ϕ0)

2j=

=eλ1t+β1 − e−(λ1t+β1)

2j=

u1 − u2

2j

Sistema lineare (sovrapposizione effetti) e A asintot. stabile =⇒considero le due risposte asintotiche separatamente:

y1 = G (jω)e j(ωt+ϕ0), y2 = G (−jω)e−j(ωt+ϕ0)

y =y1 − y2

2j

G (s) e la trasformata di un segnale reale:

G (−jω) = G (jω)

G (jω) = |G (jω)|e∠G(jω) G (−jω) = |G (jω)|e−∠G(jω)

y =y1 − y2

2j= |G (jω)|e

j(ωt+ϕ0+∠G(jω)) − e−j(ωt+ϕ0+∠G(jω))

2j

= |G (jω)| sin(ωt + ϕ0 + ∠G (jω))

Esercizio: si giunga allo stesso risultato mediante sviluppo diHeaviside della trasformata della risposta forzata. considerandol’ingresso U(s) = ω

s2+ω2

G (λ) = 0 =⇒ il segnale eλt viene asintoticamente bloccato

R

Cin

V

+

−

+ −

+

−

vin − vR − vC = 0vR = RiRiC = CvC

i = iR = iC

vin − RiR − vc = 0 =⇒ vin − RCvC − vc = 0

vc = − 1

RCvc +

1

RCvin, vC (0) = 0

VC (s) =1

1 + sRCVin(s) = GC (s)Vin(s)

VR(s) = Vin(s)− VC (s) =sRC

1 + sRCVin(s) = GR(s)Vin(s)

La capacita si comporta come una circuito aperto in continua,infatti GR(0) = 0, in continua la tensione cade tutta ai capi dellacapacita’.

Un segnale periodico f (t) di periodo T ammette uno sviluppo inserie di Fourier

F0 = 1T

∫T f (t)dt

F cn = 2

T

∫T f (t) cos(n 2π

T t)dtF s

c = 2T

∫T f (t) sin(n 2π

T t)dt

f (t) = F0 ++∞∑n=1

[F c

n cos

(n2π

Tt

)+ F s

n sin

(n2π

Tt

)]

Esempio: f (t) = |t − 0.5|, di periodo T = 1.

F0 = 14

F cn = 4

(2nπ)2(1− (−1)n))

F sn = 0;

f (t) =1

4+0.2026 cos(2πt)+0.0225 cos(6πt)+0.0081 cos(10πt)+. . .

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Si consideri il sistema dinamico

P(s) =1

1 + s

con u(t) = f (t) = 14 + 0.2026 cos(2πt) + 0.0225 cos(6πt) + . . . ;

Il segnale di regime permanente in uscita e’ la somma dei singolicontributi di regime permanente.

yRP(t) = |P(j0)|14 + |P(j2π)|0.2026 cos(2πt + ∠P(j2π))+|P(j6π)|0.0225 cos(6πt + ∠P(j6π)) + . . .

P(0) = 1 |P(2jπ)| = 0.1572, ∠P(2jπ) = −1.4130(|P(6jπ)| = 0.0530)

yRP = 0.25 + .0318 cos(2πt − 1.4130) + [0.0012 cos(6πt + . . . )]

Confronto tra la risposta di regime permanente ottenuta con u(t)e con u(t) troncato alla prima armonica

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Diagrammi di Bode

Funzione di trasferimento W (s) stabile

u(t) = A sin(ωt + φ)

Y (s) = W (s)U(s)

I modi del sistema decadono =⇒ restano i modi in ingresso

yrp(t) = A|W (iω)| sin (ωt + φ + arg (W (iω)))

Se il sistema e stabile si comporta come un guadagno e unosfasatore (variabili) alle varie frequenze

W (s) =1

(s + 1)(s + 3)

u(t) = sin(t) =⇒ y(t) =

∣∣∣∣ 1

(1i + 1)(1i + 3)

∣∣∣∣ sin(t+∠1

(1i + 1)(1i + 3))

G (iω) = |G (iω)|e i arg(G(iω)): risposta in frequenzaRappresentazione grafica di modulo e fase

|G (iω)|dB = 20 log10 |G (iω)|

|G (iω)|dB = |µ|dB +∑

j |1 + iωτj |dB +∑

j

∣∣1 + 2iξNj ω/ωN

j − ω2/ω2j

∣∣dB−

g |ω|dB −∑

j |1 + iωTj |dB −∑

j

∣∣1 + 2iξDj ω/ωD

j − ω2/ω2j

∣∣dB

arg (G (iω)) = arg(µ) +∑

j arg (1 + iωτj) + · · · −∑j arg

(1 + 2iξD

j ω/ωDj − ω2/ω2

j

)µ 1/s 1/ (1 + sT ) 1/ (1 + 2ξs/ωn + s2/ω2

n)

|µ|dB = 20 log10 |µ| arg(µ) =

{0 se µ > 0−π se µ < 0∣∣∣∣ 1

(iω)g

∣∣∣∣dB

= −20g log10 ω arg

(1

(iω)g

)= −g

π

2

∣∣∣∣ 1

1 + iωT

∣∣∣∣dB

=

{0 se ω � 1/|T |−20 log10 ω − 20 log10 |T | se ω � 1/|T |

arg

(1

1 + iωT

)=

{0 se ω � 1/|T |−π

2 sign(T ) se ω � 1/|T |

∣∣∣∣ 1

1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n

∣∣∣∣dB

=

{0 se ω � ωn

−40 log10ωωn

se ω � ωn

arg

(1

1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n

)=

{0 se ω � ωn

−π sign(ξ) se ω � ωn