Concetti fondamentali della teoria degli insiemi1
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Indice della lezione
Gli insiemi
Concetti fondamentali della teoria degli insiemiStoria della teoria matematica degli insiemi
Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Sottoinsiemi Insieme delle parti e partizioni
Lavorare con gli insiemiOperazione fra insiemi Proprietà delle operazioni fra insiemi
Numero degli elementi di un insieme Insiemi finiti ed infiniti
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Gli insiemi
Concetti fondamentali della teoria degli insiemi
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Storia della teoria matematica degli insiemi
La teoria matematica degli insiemi nasce negli untimi anni del XIX secolo con George Cantor (1845-1918),
matematico tedesco di origine russa, mentre affrontava lo studio delle quantità infinite, volendo rispondere a
domande del tipo:
La teoria agli inizi non ebbe molto successo, ma solamente dal 1920 venne presa in considerazione dai matematici e successivamente giustamente applicata in molti ambiti.
“Quanti sono i numeri interi?”
“Sono di più i numeri interi o i numeri pari o dispari?”
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio Concetto di insieme
In matematica l’insieme è considerato un concetto primitivo, che non ha bisogno di ulteriori definizioni, quindi per comprenderne il significato si usa considerare le sue proprietà.
Esempi
• Le città italiane sono un insieme.• Le grandi città italiane non sono un insieme, perché avendo indicato l’aggettivo “grande”,
queste sono di difficile individuazione.• I monumenti più belli della città non sono un insieme, in quanto, avendo indicato l’aggettivo
“belli”, non è sufficientemente chiaro cosa si intende per “belli”. Un monumento può essere bello per alcuni e non per altri.
• I fiumi d’Italia sono un insieme.• Le persone alte 1,98 sono un insieme.• N indica l’insieme dei numeri naturali: 0,1,2,3,4,5,6 …….• Z indica l’insieme dei numeri interi : ….., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ……• Le lettere dell’alfabeto internazionale sono un insieme.• Le ragazze simpatiche della scuola non sono un insieme, perché il concetto di simpatia varia
da persona e persona.
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Il criterio oggettivo, in base al quale si costruisce un insieme, rappresenta la
proprietà caratteristica degli elementi di un insieme.
Si può affermare che:
un insieme è un raggruppamento di oggetti, di natura
qualsiasi, individuabile tramite un criterio
oggettivo
un insieme è correttamente definito
quando con esattezza si può decidere se un elemento qualsiasi
appartiene o no all’insieme
oppure
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B, C, …X,Y, Z) mentre gli oggetti appartenente all’insieme, detti elementi, si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto (a, b, c, …x, y, z).
Am
AbInoltre due insiemi si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi.
Per indicare che l’elemento m appartiene all’insieme A delle lettere dell’alfabeto che costituiscono la parola matematica si scrive:
mentre per indicare che l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive:
Elementi di un insieme
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Sono insieme universo i seguenti insiemi:
• N per l’insieme dei numeri pari• Z per l’insieme dei numeri negativi• L’alfabeto italiano per l’insieme A così individuato
}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA
Un insieme che non ha elementi viene detto insieme vuoto e si indica con il simbolo oppure con il simbolo { }.
Sono vuoti gli insiemi:
• degli alunni delle scuole superiori aventi meno di 4 anni• le persone che abitano il pianeta Venere• l’insieme dei numeri negativi compresi tra 7 e 100
Un qualunque insieme si può sempre considerare contenuto in un insieme più ampio detto insieme ambiente o anche insieme universo ed a volte si indica con U.
Insieme vuoto e insieme universo
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
• per elencazione o rappresentazione tabulare
• mediante rappresentazione caratteristica
• tramite i diagrammi di Eulero-Ven
Gli insiemi si possono rappresentare principalmente in tre diversi modi:
Rappresentazione degli insiemi
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Nel rappresentare gli insiemi per elencazione si usa scrivere fra parentesi graffe tutti gli elementi dell’insieme ricordando che:
};;;;;{ cietamA
• l'ordine con il quale si elencano gli elementi non è importante
• ciascun elemento va indicato una sola volta.
L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione per elencazione, si scrive:
Elencazione
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
• il nome generico degli elementi dell’insieme
• una barra verticale che si legge “tali che”
• la proprietà caratteristica
}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA
L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione mediante caratteristica, si scrive:
Nel rappresentare gli insiemi tramite caratteristica, fra parentesi graffe, si usa scrivere:
Caratteristica
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Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Nel rappresentare gli insiemi tramite Eulero-Venn, si traccia una linea chiusa e non intrecciata che evidenzi una regione di piano in cui sono contenuti tutti gli elementi dell'insieme.
Per l’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione di Eulero-Venn, si ha:
In prossimità della figura viene indicato il nome dell’insieme, all’interno della linea si esplicitano gli elementi; a volte questi possono essere sottintesi.
Eulero-Venn
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Sottoinsiemi
Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A e si scrive:
AB
AC
BAoppureAB
Definizione di sottoinsieme
Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.
Quindi ogni insieme ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme vuoto e se stesso, detti anche
sottoinsiemi impropri di A.
Qualsiasi altro sottoinsieme di A viene detto sottoinsieme proprio, per evidenziare che B è un sottoinsieme proprio di A si scrive:
Se un insieme C non è sottoinsieme di A si scrive:
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Sottoinsiemi
Insieme complementare
BxeAxxBABC A /
Esempio
L’insieme complementare di B rispetto ad A è l’insieme C di tutti gli elementi x che appartengono ad A e non appartengono ad B. In simboli si scrive:
100/ xeNxxA
50,2/ neNnnxxB
AneNnnxxBAC 50,12/
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Sottoinsiemi
ATTENZIONE
simbolo di non appartenenza simbolo di appartenenza
aA bA
simbolo di inclusione propria simbolo di inclusione impropria
I simboli di inclusione esprimono sempre un legame tra insiemi mai tra l’insieme ed i suoi elementi. Il nome del sottoinsieme è scritto a sinistra e quello dell'insieme a destra.
BA BA
I simboli di appartenenza esprimono sempre un legame tra un elemento ed un insieme, mai tra due insiemi o tra due elementi. Il nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello dell'insieme a destra.
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Insieme delle parti e partizioneInsieme delle parti
Dato un insieme A si chiama insieme delle parti, e si indica con P(A), l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A, propri ed impropri.
Esempi
nottegiornoA ; nottegiornonottegiornoAP ,;;;)(
cbaB ;; cbacbcabacbaBP ;;;;;;;;;;;;)(
L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, P(A)={}.
Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di un insieme A dipende dal numero di elementi di A. Vale la regola che se il numero degli elementi di A è n, il numero degli elementi di P(A) è 2n.
Elementi di A Elementi di P(A)
n 2n
Nel primo esempio l’insieme A è costituito da 2 elementi, P(A) quindi da 22=4 elementi.
Nel secondo esempio l’insieme B è costituito da 3 elementi, P(A) quindi da 23=8 elementi.
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Insieme delle parti e partizione
Nelle due ore di Educazione Fisica, gli alunni della classe 1°A possono scegliere se frequentare il corso di nuoto o di pallavolo o di tennis.Al momento della lezione gli studenti vengono divisi in gruppi e successivamente ciascuno si reca nella propria palestra.Indicato con A l’insieme degli alunni della classe, i vari corsi vengono così indicati:
,, ABeABAB TPN
Se per l’insieme A e i sottoinsiemi BN, BP e BT valgono le proprietà sopra elencate,
si dice che BN, BP e BT costituiscono una partizione di A.
Partizione di un insieme
• BN, gruppo di alunni che frequentano il corso di nuoto;
• BP, gruppo di alunni che frequentano il corso di pallavolo;
• BT, gruppo di alunni che frequentano il corso di tennis.
Le proprietà dei vari sottogruppi sono:
• BN, BP e BT sono diversi dall’insieme vuoto, cioè contengono almeno un alunno, altrimenti il corso non sarebbe stato attivato;
• BN, BP e BT sono sottoinsieme dell’insieme A, alunni della classe 1°;
• ogni alunno della classe 1° frequenta un solo corso, quindi un alunno che frequenta il corso di nuoto non può frequentare né quello di pallavolo, né quello di tennis;
• mettendo insieme gli alunni che frequentano nuoto, con quelli di pallavolo e tenni, si ottiene l’intera classe 1° A e quindi si può ricostruire l’insieme A di partenza.
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Insieme delle parti e partizione
Generalizzando si può affermare che:
• ogni sottoinsieme Bi per i=1,…, n è diverso dall’insieme ;
• ogni elemento di A appartiene ad un solo Bi per i=1,…, n, cioè non esistono elementi che appartengono a più Bi;
• prendendo tutti gli elementi di ciascun Bi per i=1,…, n, si ottiene tutto l’insieme A di partenza.
dato un insieme A e considerati n sottoinsiemi Bi di A, si dice che i Bi costituiscono una partizione di A se si verificano le seguenti condizioni:
,.......}6,5,4,3,2,1,0{N
costituiscono una partizione di
Esempio
,.......}5,3,1{,.......}6,4,2,0{ DP NeN