Statistica: Concetti Fondamentali

8/19/2019 Statistica: Concetti Fondamentali

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Non mi fido molto delle statistiche, perchéun uomo con la testa nel forno acceso e i

piedi nel congelatore statisticamente ha unatemperatura media.attr. a Charles Bukowski


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Cos’e’ la Statistica? La

statistica

è una scienza che studiaquantitativamente i fenomeni collettivi diqualche interesse in un determinato ambito.


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Due statistiche• L’intera collettività oggetto di studio si chiama

popolazione

ouniverso

. La statistica che descrivel’andamento di fenomeni riguardanti tutto l’insieme è definita statistica descrittiva.

• Se invece si prende in considerazione una parte(detta campione) della popolazione e da essa siintuiscono gli altri valori, si parla di statisticainferenziale

.


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Indagine statisticaSi chiamaindagine statistica

l’analisi di fenomenicollettivi eseguita secondo criteri statistici. Se eseguitasull’intera popolazione si parla in genere di

censimento; se prende in esame solo una parte (dettacampione ), si definisce rilevazione campionaria.

La proprietà che si vuole misurare o enumerare è dettacarattere

. Esso è:• quantitativo (variabile statistica ), se le varianti con

cui si presenta sono numeri o misure (dettivalori

)• qualitativo (mutabile ), se le varianti con cui si

presenta sono “qualità” (dette modalità)


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I passi di un’indagine statistica 1. Analisi del problema2. Definizione degli obiettivi dell’indagine 3. Rilevazione (autocompilazione o intervista),

spoglio e classificazione dei dati4. Elaborazione dei dati e presentazione sintetica dei

risultati con grafici e tabelle5. Interpretazione dei risultati


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FrequenzeOgni studio statistico ha a che fare con un numero piùo meno ampio di dati: la loro classificazione èfondamentale per rendere più agevole e preciso il

lavoro di elaborazione e interpretazione. L’utilizzo diindici numerici per indicare la frequenza con cui unamodalità (caratt. qualitativo) ritorna nell’indagine haproprio questa specifica funzione.La frequenza assoluta indica il numero di volte in cuiuna modalità ricorre.La frequenza relativa è il rapporto fra la frequenzaassoluta e il numero totale di rilevazioni (spessoindicata in percentuale).


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Freq. assoluta Freq. relativa

Apple 1 4,76%

LG 1 4,76%

Nokia 13 61,90%

Samsung 6 28,57%

TOTALE 21 100,00%

Brand dei cellulari nella II B


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Classi

Nella classificazione invece di caratteri quantitativi, puòessere necessario raggruppare le frequenze in classi (ointervalli ) fra due valori, detti limiti (inferiore e

superiore), in modo da semplificare la lettura delletabelle e l’elaborazione, ammettendo una piccolaperdita in precisione.

Lavorando con dati raggruppati per classi è possibileanche utilizzare lafrequenza cumulata

(relativa oassoluta), che equivale alla somma della frequenza dellaclasse stessa con tutte quelle che precedono.


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Gli amici di Facebook nella II B

Classi Freq. assoluta Freq. relativa

Freq. cumul.

assoluta

Freq. cumul.

relativa

0-100 0 0% 0 0%

101-200 4 22% 4 22%

201-300 2 11% 6 33%

301-400 6 33% 12 67%

401-500 3 17% 15 83%

501-600 2 11% 17 94%601-700 1 6% 18 100%

TOTALE 18* 100%

*18 sono le persone iscritte a Facebook


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Istogramma per classi

0

1

2

3

4

F r e q u e n z a

Mesi di nascita nella II B


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Istogramma in pila

0

50

100

150

200

250

T e

m p o i n m i n u t i

Studenti II B

Finalita’ dell’utilizzo del computer nella II B

Altro

Facebook


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Istogramma in pila in %

0%

20%

40%

60%

80%

100%

T

e m p o i n m i n u t i

Studenti II B

Finalita’ dell’utilizzo del PC nella II B

AltroFacebook


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Areogramma (diag. a torta)1; 4% 1; 5%

13; 59%

6; 27%

1; 5%

Brand dei cellulari nella II B

Apple

LG

Nokia

Samsung

Sony-Ericsson


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Diagramma a linee (cartesiano)

0

50.000100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

1985 1990 1995 2000 2005

Libri pubblicati e stampati in Italia

Opere pubblicate

Tiratura complessiva

(in migliaia di copie)

[Dati Istat]


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Ideogramma

DTV 8

Satellite 14

Rai 13

SKY 12

Mediaset 11

Premium 1

Alice TV 1

Generi di TV “frequentati” nella II B


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Diagrammma a radar

0

10

20

30

40IV

V

III

IIIMaterie

Ore

Ore2

[Dati Liceo Sarpi](Ore=curv.scientifica vecchioordinamento;ore2=nuovo ord.)

I quadri orari settimanali del Sarpi


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Cartogramma a colori

Cina 6

Vietnam 7

Indonesia 5

Italia 3

Luoghi di produzione delle scarpe della II B


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Cartogramma deformante

[WorldMapper]

Distribuzione della popolazione mondiale


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ModaMedianaMedia


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Moda• In statistica, la moda o norma della

distribuzione di frequenza X è la modalità

(o la classe di modalità) caratterizzatadalla massima frequenza e viene spessorappresentata con la simbologia ν 0 . Inaltre parole, è il valore che compare più

frequentemente.• Nel caso ci siano più valori «pari» si parla

di distribuzione bimodale , trimodale ecc.


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Mediana• La mediana è il valore centrale mettendo

una serie di valori in ordine crescente, in

caso di valori uguali al centro si calcolacome media matematica dei due valoricentrali.

• Ha il pregio di non essere particolarmenteinfluenzata da numeri particolarmentediversi dagli altri, che sono però esclusi einfluenzano invece la media aritmetica.


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Una proprieta’ della mediana• Consideriamo la somma delle differenze in valore

assoluto fra ogni valore e la mediana. Questa somma èminore di quella che otterremmo utilizzando, invece dellamediana, qualsiasi altro valore tra i dati raccolti.

• Esempio: un’impresa deve rifornire sei supermercati lungouna strada la cui distanza dal capoluogo èrispettivamente:3 6 13 19 22 25L’impresa vuole costruire un magazzino in posizione

centrale, cosicché sia minima la somma delle sue distanzedai supermercati.Si trova con la mediana ((13+19)/2=16), infatti laseguente somma è la minima possibile:

|3-16|+ |6-16| + |13-16| + |19-16| + |22-16| + |25-16|

= 44


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Premessa alle medie: sommatoria e

produttoria


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Media aritmetica• Dati 5 numeri: 2, 5, 6, 7, 9, la loro

media è data da:


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Media aritmetica ponderata• Supponiamo di avere una serie di valori (x1,x2,...,xn) e

supponiamo di conoscere con quale frequenza si ripeteognuno di essi (f1,f2,...,fn): nella media ponderata(pesata), i singoli valori, prima di essere sommati vengonomoltiplicati con il peso (ponderazione) a loro assegnato. Il

peso di ciascun valore è in genere rappresentato dalnumero di volte in cui i valori figurano (frequenza), mapuò significare anche l'importanza (oggettiva o soggettiva)che il singolo valore riveste nella distribuzione. Ladivisione di conseguenza non viene fatta con il numero divalori, ma con la somma dei pesi.

• Esempio: i CFU universitari, supponiamo di averesuperato un esame da 3 crediti con 30, uno da 2 con 27 euno da 4 con 29. La media sarà:


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Media geometrica• La media geometrica, basandosi su prodotti e

non su somme, risente di meno della presenzadi termini "estremi", ovvero lontani dal gruppo.

• Ad esempio data la distribuzione: 10, 9, 11, 14,97 la media aritmetica (28,2) risente dellapresenza di quel 97 così alto, mentre lageometrica (16,8) da un risultato più vicino a

quella che potrebbe essere la moda. Diciamoche la media geometrica fa sì che eventualipicchi anomali nella distribuzione non necondizionino l'analisi.


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Media geometrica• Essa ha un chiaro significato geometrico: ad esempio la

media geometrica di due numeri è la lunghezza del lato diun quadrato equivalente ad un rettangolo che abbia i lati

di modulo pari ai due numeri. Lo stesso vale in unnumero di dimensioni superiore.• La media geometrica trova impiego soprattutto dove i

valori considerati vengono per loro natura moltiplicati tradi loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi dicrescita, come i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione.

• Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla mediaaritmetica) sono molto più influenti dei valori grandi. Inparticolare, è sufficiente la presenza di un unico valorenullo per annullare la media.


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La media geometrica


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Media quadratica• La media quadratica è quella che viene

maggiormente influenzata dai valori

molto piccoli e molto grandi delladistribuzione e quindi viene usata perevidenziare i valori che si discostano

molto dai valori centrali.• Essa è altresì usata per quei casi in cui ivalori sono elevati al quadrato.


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Media quadratica


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Media armonicaGiorno Tempo

impiegato

Velocità

media

Lunedì 30 28

Martedì 20 42

Mercoledì 24 35

Giovedì 21 40

Venerdì 35 24

Si riporta il tempo impiegatoda un dipendente chepercorre 14 chilometri da

casa al posto di lavoro e lavelocità media.

Per determinare la velocitàmedia usiamo la mediaarmonica, in quanto si tratta

di una media di un rapporto:

La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulominore: rispetto alla media aritmetica risente meno dell'influenza di outlier

(valori anomali) grandi, ma è influenzata notevolmente dagli outlier piccoli.


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La scelta della media• La media aritmetica rappresenta globalmente i dati e si può

sostituire ad essi senza mutare il significato generale, ma va unita amoda e mediana .

• La mediana ha la caratteristica di non essere influenzata dai valoriparticolarmente differenti.

• La moda indica il valore che più spesso si verifica effettivamente.• La media geometrica ha un valore tendenzialmente simile alla

mediana , ed è utilizzata per analizzare fenomeni che variano nel

tempo.• La media armonica è utile per calcolare valori medi che nascono

dal rapporto di altri dati• La media quadratica permette di tener contro di valori

particolarmente distanti dai centrali


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Campo di variazioneScarto semplice medioScarto quadratico medioCoefficiente di variazione


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Gli indici di variabilita’


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Il campo di variazione


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Lo scarto semplice medio


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Lo scarto quadratico medio (deviazione standard)


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Il coefficiente di variazione

• Permette di confrontare due fenomeni,anche differenti per unità di misura.

• Esempio:

Fenomeno Media σ

Stipendi 1070 € 348 € 32,5 %

Età 38 anni 10 anni 26,3 %


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Uso e caratteristiche


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Come nasce la Curva di Gauss• Se analizziamo la distribuzione di un campione di persone che

seguono un certo programma televisivo per decadi di età,potremmo otteniamo un grafico come quello a sinistra

• Si tratta di una curva dalla classica forma a campana che ha unmassimo attorno alla media dei valori misurati e può essere più omeno stretta a seconda della deviazione standard (dispersione)

• La distribuzione di Gauss è spesso detta normale. L'aggettivo èsignificativo perché indica che moltissimi fenomeni possono esseredescritti da una curva gaussiana, o essere Gauss-like : hanno unadistribuzione normale le stature, i pesi, le misure toraciche dellepersone, i valori ottenuti con misurazioni ripetute di una stessagrandezza (se esse sono soggette solo ad errori accidentali), i valoridei pezzi lavorati dalle macchine (soggetti ad errori di lavorazionee di misurazione).

• Nelle distribuzioni normali media aritmetica, moda e mediana

coincidono nel valore M, calcolabile, nel quale la curva raggiunge ilsuo valore massimo• Supponiamo di considerare l'altezza degli italiani maschi.

Analizziamo un campione di 1.000 soggetti. Probabilmenteotterremmo una curva a campana, centrata attorno a una media,del tipo 174 cm di media con una "deviazione standard" di circa 20cm, cioè il 95% dei soggetti analizzati sarebbe compreso fra 154 cme 194 cm.


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Come nasce

• Prendendo inconsiderazione un graficoche rappresenti le

frequenze, più aumenta ilnumero di misurazioni,più questo si avvicineràad una forma a campana(detta curva di Gauss)che si può calcolare con

la seguente equazione:


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Distribuzione normale• I risultati rispetteranno le frequenze

indicate in figura, se la misurazione èstata effettuata correttamente.

• Ad esempio, se tra 1000 persone siosserva un peso medio di 73 Kg conuno scarto quadratico medio di 5 Kg,si può affermare che circa 683persone hanno un peso compreso fra68 e 78 Kg, e circa 954 personehanno un peso compreso tra 63 Kg e83 Kg.

• Così, se le lampadine prodotte dauna ditta hanno una durata media di900 ore con uno scarto quadraticomedio di 30 ore, si può affermareche il 68,27% delle lampadine avràuna durata compresa fra 870 ore e930 ore, e la quasi totalità dellelampadine (il 99,73%) avrà unadurata compresa fra 810 e 990 ore.


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La curva normale standardizzata


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Con il calcolo integrale si ottiene:


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Minimi quadratiUso peculiare della curva di Gauss


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Il problema dell’errore • Nelle misurazioni è sempre possibile fare errori

sistematici (che però si possono correggerefacilmente una volta compresi) ed erroriaccidentali , che hanno sempre interessato glistatisti, specie poiché molto comuni nelle raccoltedi dati e determinanti per la credibilità sia dellestatistiche che delle previsioni.

• In particolare nascono due domande correlate: – Come si correggono gli errori accidentali?[esigenza pratica] – Come si distribuiscono gli errori accidentali?

[esigenza puramente scientifica]


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Come si correggono• La correzione degli errori si basa sul

principio secondo cui «la media aritmetica

di molteplici misure discordanti diun’unica grandezza fornisce la valutazionepiù plausibile della grandezza e siidentificherebbe con essa se il numerodelle misure fosse infinitamente grande»

(principio di Legendre)• Base numerica: il principio dei minimi

quadrati.


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Come si distribuiscono: Gauss• Supponiamo ora di effettuare tante misurazioni di una stessa

grandezza con uno strumento; avremo risultati differenti,dovuti all'inevitabile imprecisione del nostro strumento e delnostro operato, che sono detti errori accidentali.

• Se rappresentiamo le misure ottenute su un grafico, se il numerodi misurazioni è molto grande, al limite infinito, la curva cheotterremo è proprio la curva di Gauss.

• In una popolazione la distribuzione dei dati assume unadistribuzione simmetrica. Se σ è molto piccolo (e dunque lo è loscarto dalla media) i dati sono molto concentrati rispetto alla

media stessa, dunque tanto più precisi sono i dati.


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Pendolo


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Cos’e’ il calcolo combinatorio?

Ci sono determinate situazioni in cui può esserenecessario valutare quanti raggruppamenti sianopossibili partendo da un numero di oggetti.

Un esempio: nel gioco del Superenalotto si deveindovinare una serie di sei numeri compresi fra 1 e 90.Si può sapere quante sono tutte le sestine possibili equindi quanti soldi sono necessari per giocarle tutte?

Proprio di questo si occupa il calcolo combinatorio:studia i modi per raggruppare e/o ordinare gli elementidi un insieme definito.


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Disposizione sempliceSi dice

disposizione semplice

di n oggetti di classe k ogniallineamento di k oggetti scelti fra gli n, dove l’ordine

degli elementi ha importanza (es. 4-3-2 è diverso da 3-4-2)

elementi k

k n k n n n n D ..

, 1...21


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Ad esempio: nel nostro giardino vogliamo

piantare 3 piante da frutto e abbiamo a disposizione4 diversi tipi (A,B,C,D). In quanti modi li possiamodisporre?

Questo stesso risultato si può ottenere con la formuladella diapositiva precedente:

A

B

C D

C

B D

D

B C

B

A

C D

C

A D

D

A C

C

A

B D

B

A D

D

A B

D

A

B C

B

A C

C

A B

242341341443,4 D


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Disposizione con ripetizioniPuò essere necessario calcolare il numero possibile didisposizioni

, nelle quali sia contemplata anche

un’eventuale ripetizione degli elementi. Con un insiemedi n elementi diversi da raggruppare in disposizioni da k elementi ciascuna:

k r

k n n D

,


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Un interessante esempio ci viene dalla decifrazione delcodice genetico: gli scienziati agli inizi del XX secolo

ormai sapevano che i geni si trovavano sul DNA e leinformazioni erano codificate dalle 4 diverse tipologiedi nucleotidi (A,G,C,T); inoltre erano propensi acredere che l’espressione del messaggio genetico

avvenisse secondo la relazione un gene-una proteina. Sisapeva che le unità base delle proteine erano i 20amminoacidi. Ma come potevano 4 soli nucleotidicodificare per ben 20 amminoacidi? Evidentemente erapossibile che un gruppo di nucleotidi (anche con

ripetizioni) codificasse per un singolo amminoacido.Ma quanti elementi per gruppo?

triplettaunadacodificatoèoamminoacidogni,644

164

3

3,4

2

2,4

si D

no D

r

r


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PermutazioniLe permutazioni sono disposizioni semplici particolari incui n=k. In tal senso da un insieme di n elementi siformeranno gruppi di n elementi che differiscono soloper l’ordine.

Il prodotto di un numero n con tutti i numeri interi chelo precedono escluso lo zero si chiama fattoriale e siindica con

n

123...21

1...211...21,

n n n P

n n n n n k n n n n D

n

n n


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Ad esempio: 5 persone hanno a disposizione 5 poltrone

per sedersi. Se vogliamo sapere il numero delle possibilicombinazioni, basta calcolare5 (“cinque fattoriale ”).

12012345!5

123...21!

5

P

n n n n P n


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Permutazioni con ripetizioniEsistono dei casi particolari di permutazione in cui idiversi allineamenti possono presentare ripetizioni delmedesimo elemento. In una

permutazione con

ripetizioni

, se i diversi raggruppamenti sono formati da

n elementi non distinti e:• il primo è ripetuto r 1 volte• il secondo r 2 volte• …

• l’n-esimo r n volteallora:

n

r r r n

r r r

n P n

...!!

!

21

..., 21


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Ad esempio: vogliamo calcolare con precisione il

numero di anagrammi possibili (anche senza significato)della parola tovaglia . Sono 8 elementi con la ripetizionedella a (2 volte).

20160!2

!82,8 r P


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Combinazione sempliceLe

combinazioni

, a differenza delle disposizioni, sonoallineamenti di k elementi presi da un insieme di n

elementi, senza considerare l’ordine con cui vengonodisposti. Così unacombinazione semplice

di n oggetti diclasse k:

!

1...21!,

,k

k n n n n k

D C k n k n


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43949268123458687888990

!

1...21

5,90

,

C

k

k n n n n C k n

Un esempio: nel gioco della tombola, quante sono lecinquine che si possono fare? Le cinquine non possonodifferire tra loro solo per l’ordine, ma almeno per unnumero: quindi il risultato è dato dalle combinazionisemplici di classe 5 dall’insieme dei 90 numeri.


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Combinazione con ripetizioniAnalogamente alle disposizioni, che si dividono insemplici e con ripetizioni, così anche le

combinazioni

,

oltre a quelle semplici, possono contemplare anchel’eventualità delle ripetizioni. Le combinazioni conripetizioni di n elementi di classe k si risolvono:

!

1...21,

k

k nnnnC

r

k n


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Un esempio:Quanti modi ci sono di distribuire a 2 bambini distinguibili 4

caramelle indistinguibili, contando anche i casi in cui uno deibambini non riceve nessuna caramella?

Infatti sono: 0-4, 1-3, 2-2, 3-1, 4-0.Equivalentemente, le combinazioni con ripetizioniinformano sul numero di possibili n-ple di addendi non

negativi la cui somma sia k (considerando diverse n-ple in cuieguali addendi compaiano in ordine differente); nel suddettoesempio, sono mostrate le cinque diverse duple di somma 4.

5

!4

)!142(4,2

r

k nC


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La teoria delle probabilità è in fondosoltanto senso comune ridotto acalcolo.

Pierre Simon Laplace


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Dal certo alla non determinazione

Quando Galileo Galilei nel XVII secolo iniziò acomprendere l’utilità della matematica applicata allescienze sperimentali, essa cominciò un percorso di

“unione” della certezza dei suoi nessi con la probabilitàdell’esperienza. Molti problemi reali, infatti, eranotanto complessi che l’utilizzo degli strumenti classici sirese impossibile. Alla matematica del certo, così, siimposero i

modelli non deterministici

, che, con

strumenti matematici, lavorano in contesti dove laparzialità delle conoscenze o la complessità deiproblemi non assicurano piena certezza ai risultati.


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Termini di baseEvento aleatorio è l’oggetto del calcolo delleprobabilità (ad es. il lancio di un dado).Esperimento aleatorio è un esperimento dall’esito

imprevedibile (ad es. lanciare il dado e leggerne lafaccia superiore).Spazio campionario

è la totalità di tutti i possibili esiti diun esperimento aleatorio (ad es. {1-2-3-4-5-6} per il

lancio del dado) e si indica con .Punto campionario

è un singolo esito di un esperimentoaleatorio (ad es. {1} per il lancio del dado).


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EventiL’evento elementare è costituito da un singolo punto campionario(ad es. esce {1} lanciando un dado).L’evento composto è un evento non elementare (ad es. esce prima{1}, poi {2} nel lancio del dado).L’evento impossibile non si può mai verificare (ad es. che esca {-3});

l’evento certo è quello che coincide con (che esca un numerocompreso fra 1 e 6).L’evento unione A∪B è quello che si realizza quando si realizza o Ao B o entrambi.L’evento intersezione A∩B è quello che si realizza se si realizzano siaA sia B.L’evento contrario di A è quello che si realizza se non si realizza A eche unito a questo coincide con Ω.Due eventi sono incompatibili se il realizzarsi dell’uno esclude ilrealizzarsi dell’altro e la loro intersezione è impossibile.


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La probabilita’ Lo scopo del calcolo delle probabilità è di attribuire ungrado di aspettativa

(un numero) ad un evento.

La probabilità di un evento E è quel numero cherappresenta la fiducia che attribuiamo al fatto che E siverifichi.


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Definizione classicaLa probabilità di un evento aleatorio è uguale alrapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numerodei casi ugualmente possibili.

Un esempio: qual è la probabilità che, estraendo unacarta da un mazzo di 52 carte, ne esca una di cuori chenon sia l’asso? I casi favorevoli sono 12 (13 meno l’asso)

mentre i possibili 52.

231,052

12p


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Definizione frequentistaNel caso di molti eventi aleatori non è possibile usare ladefinizione classica o perché è ignoto il numero di casifavorevoli o possibili, o perché i casi possibili non sonopossibili alla medesima maniera. In tal caso si preferisceassumere come probabilità empirica di un evento la suafrequenza relativa

. Naturalmente, rispetto al calcoloteorico offerto dalla def. classica, la definizione

frequentista si riferisce sempre a rilievi e indagini fattenel passato, che possono non conservare il medesimovalore nell’attualità.


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Definizione soggettiva

A volte, nella quotidianità, può capitare di fareriferimento al concetto di probabilità riferendosi adeterminati eventi, quali possono ad es. essere attivitàagonistiche o situazioni meteorologiche. In un casocome: «Sono sicuro al 90%», non si può parlare diprobabilità “matematica”, perché non c’è davvero unostudio precedente che dia all’affermazione un valorenecessario; piuttosto si potrebbe parlare di

grado di

fiducia che si attribuisce al verificarsi di un determinatoevento dopo aver coerentemente preso in esame tuttele informazioni a disposizione, anche senza osservazionistatistiche o calcoli di casi favorevoli e possibili.


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La legge dei grandi numeriSia la probabilità frequentista sia quella soggettiva sibasano su osservazioni statistiche più o meno accurate eprecise che si basano su una legge che fonda di fatto la

probabilità: in una serie di prove ripetute, un evento simanifesta con una frequenza relativa che, al crescere delnumero delle prove, tende ad avvicinarsi al valoreteorico della probabilità, desumibile dalla definizioneclassica.È proprio questa legge a creare un collegamento fraprobabilità classica ed empirica, e fra queste e lastatistica.


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Certezza e probabilita’:

un’applicazione

Per poter determinare conprecisione la posizione e lavelocità (e quindi l'energia) di uncorpo in movimento è necessarioche noi non modifichiamo con lanostra osservazione il fenomeno

che vogliamo studiare.


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Bibliografia• Wikipedia• Statistica descrittiva, Bergamini-Trifone-Barozzi

• Argomenti di statistica descrittiva, GiancarloBettuzzi• Dispense di probabilità, Dario Palladino• Nozioni introduttive al calcolo della

probabilità, Giampietro Betti• Matematica a colori, Sebastiano Nicosia• Altri materiali vari

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