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Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina i/127

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica

Prof. Paolo Riva

Dipartimento di Progettazione e Tecnologie Facoltà di Ingegneria

Università di Bergamo V. Marconi, 5 – 24044 Dalmine (BG)

E-Mail: [email protected]

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina ii/127

INDICE

pag. A.K. Chopra, “Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering 2nd Edition, “ Prentice Hall, 2000..................................................................................................................................................................... v

1. INTRODUZIONE............................................................................................................................................... 7

1.1 Performance Based Design.............................................................................................................................. 10

2. RICHIAMI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE..................................................................................... 15

2.1 Oscillatore ad 1 Grado di Libertà .................................................................................................................... 15

2.1.1 Equazione del moto: ................................................................................................................................. 15

2.1.2 Vibrazioni Libere di un oscillatore NON smorzato:................................................................................. 16

2.1.3 Risposta di un oscillatore non smorzato soggetto ad un carico impulsivo ............................................... 17

2.1.4 Risposta di un oscillatore non smorzato soggetto ad una forzante qualsiasi ............................................ 17

2.1.5 Vibrazioni Libere di un oscillatore smorzato: .......................................................................................... 18

2.1.6 Risposta di un oscillatore smorzato soggetto ad una forzante qualsiasi ................................................... 19

2.1.7 Risposta di un oscillatore smorzato soggetto ad una Sollecitazione Sismica ........................................... 19

2.1.8 Definizione di Spettro di Risposta............................................................................................................ 21

2.2 Sistemi a N Gradi di Libertà............................................................................................................................ 27

2.2.1 Risposta Sismica di Sistemi ad n gradi di libertà...................................................................................... 29

2.2.2 Il Metodo delle Spettro di Risposta per Sistemi ad N g.d.l....................................................................... 32

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2.3 Metodo di Rayleigh-Ritz per l’analisi modale................................................................................................. 35

2.4 Il Metodo delle Forze Statiche Equivalenti ..................................................................................................... 37

2.5 Esempio di calcolo di telaio piano................................................................................................................... 41

2.5.1 Risposta dinamica di uno Shear Building................................................................................................. 41

2.5.2 Esempio di analisi..................................................................................................................................... 42

2.5.3 Spettro di risposta ..................................................................................................................................... 44

2.5.4 Analisi modale.......................................................................................................................................... 45

2.5.5 Combinazione modale .............................................................................................................................. 54

2.5.6 Analisi statica lineare................................................................................................................................ 56

2.6 Determinazione del I Modo di vibrare: metodo di Rayleigh ........................................................................... 58

3. TEORIA DEL FATTORE DI DUTTILITÀ................................................................................................... 63

4. INTRODUZIONE ALLA PROGETTAZIONE SISMICA........................................................................... 67

4.1 Regole Base ..................................................................................................................................................... 67

4.2 Misure Specifiche ............................................................................................................................................ 68

4.3 Terreno di Fondazione..................................................................................................................................... 68

5. DETERMINAZIONE DELLE FORZE DI PROGETTO............................................................................. 69

5.1 Spettro di Risposta Elastico e di Progetto........................................................................................................ 72

6. CAPACITY DESIGN ....................................................................................................................................... 80

6.1 Esempio – Portale Semplice ............................................................................................................................ 84

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6.2 Verifica delle Deformazioni (Duttilità Locale) ............................................................................................... 86

6.3 Duttilità dei Pilastri.......................................................................................................................................... 87

6.4 Esempio di Calcolo di Telaio Piano ................................................................................................................ 88

6.4.1 Dimensionamento..................................................................................................................................... 98

6.5 Verifica Collasso ............................................................................................................................................. 99

7. CARATTERISTICHE GENERALI DEGLI EDIFICI ............................................................................... 103

7.1 Regolarità ...................................................................................................................................................... 103

7.2 Elementi strutturali secondari ........................................................................................................................ 110

8. MODELLAZIONE DELLA STRUTTURA ED ANALISI......................................................................... 111

8.1 Analisi da Normativa..................................................................................................................................... 112

8.1.1 Analisi Statica Lineare............................................................................................................................ 112

8.1.2 Analisi Dinamica Modale ....................................................................................................................... 114

8.1.3 Analisi Statica Non Lineare (Analisi Push-Over)................................................................................... 115

8.2 Combinazione delle Componenti dell’Azione Sismica ................................................................................. 120

8.3 Fattori di Importanza ..................................................................................................................................... 120

8.4 Valutazione degli Spostamenti ...................................................................................................................... 121

8.5 Considerazione di elementi non strutturali .................................................................................................... 121

8.6 Impianti.......................................................................................................................................................... 123

9. VERIFICHE DI SICUREZZA ...................................................................................................................... 124

9.1 Duttilità e capacità di spostamento ................................................................................................................ 126

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9.2 Stato Limite di danno .................................................................................................................................... 126

9.3 Giunti sismici................................................................................................................................................. 127

9.4 Diaframmi orizzontali.................................................................................................................................... 127

BIBLIOGRAFIA

T. Paulay, M.J.N. Priestley, “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings,” John Wiley, 1992.

G.G. Penelis, A.J. Kappos, “Earthquake Resistant Concrete Structures,” E&FN Spon, 1998.

R.E. Englekirk, “Seismic Design of Reinforced and Precast Concrete Buildings,” John Wiley, 2003. A.K. Chopra, “Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering 2nd Edition, “ Prentice

Hall, 2000.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina vi/127

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 7/127 1. INTRODUZIONE

MAPPA DELLA PERICOLOSITÀ SISMICA MONDIALE

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 8/127

MAPPE DELLA PERICOLOSITÀ SISMICA ITALIANA E LOMBARDA


CLASSIFICAZIONE SISMICA 2004

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 10/127 1.1 Performance Based Design

Processo di Progettazione per il “Performace Based Design” (Progetto Prestazionale)

Selezionare Obiettivi Prestazionali

Effettuare il Progetto Preliminare

Verificare l’Effettiva Capacità di Soddisfare il Criterio Prestazionale

Progetto Esecutivo Sperimentazione Verifiche

Costruzione


Tipici criteri prestazionali e deformativi per Strutture Duttili

Tipici criteri prestazionali e deformativi per Strutture Non Duttili

Esemplificazione del Performance Based Design.


Tipici Stati Limite e Livelli Prestazionali Associati con Probabilità di Occorrenza (FEMA) Obiettivi Stato

Limite Funzionale Danneggiamento Criterio Prestazionale Probabilità

Evento Sismico

Servizio

Occupazione continua delle strutture senza

significative interruzioni di servizio

Nessun danno significativo alle strutture, agli elementi

non-strutturali, o al contenuto dell’edificio

Forze inferiori al valore di snervamento (comp.elastico). Spostamenti e sbandamento

inferiori alla soglia di danno. Accelerazioni limitate per minimizzare il rischio di crolli.

x1% in y1 anni (50% in 30

anni) Frequente (43 anni)

Danno

Possibilità di continuare ad usufruire delle strutture, dopo

qualche interruzione di servizio.

Danno limitato agli elementi non-strutturali ed al

contenuto dell’edificio, ma nessun danno significativo

alle strutture. Struttura riparabile.

Forze appena superiori al limite elastico. Spostamenti e sbandamenti leggermente

superiori alla soglia di danno. Accelerazioni limitate per minimizzare il rischio di crolli.


anni) Raro

(73 anni)

Ultimo

Occupanti non corrono rischi vitali.

Mantenere la potenziale operatività

degli utenti o del proprietario.

Sopravvivenza degli occupanti. Nessun collasso o

significativi rischi di crolli. Limitare il danno strutturale alla soglia che ne consenta

una riparazione economicamente

conveniente.

Meccanismo di deformazione plastico, con rotazioni plastiche inferiori alla soglia di

capacità ultima. Limitare sbandamento e spostamenti per evitare instabilità. Limitare le accelerazioni per evitare crolli o aggiungere

elementi che consentano di prevenire il distacco e la caduta di parti. Limitare rotazioni

e spostamenti a valori che consentano la riparazione. Localizzare il danno a zone

facilmente riparabili.


anni) Raro

(475 anni)

Pre Collasso

Occupanti non corrono rischi vitali,

ma l’edificio difficilmente può essere riparato

Danno severo, ma collasso strutturale impedito. Elementi

non strutturali possono collassare, Riparazione

generalmente non possibile.

Meccanismo di deformazione plastico, con rotazioni plastiche appena inferiori alla soglia di capacità ultima. Limitare sbandamento e

spostamenti per evitare instabilità. Ci possono essere crolli parziali.

x4% in y4 anni (10% in 100

anni) Molto Raro (970 anni)


Tipici Livelli di sbandamento Laterale (Drift) Ammissibili (FEMA)

Stato Limite Massimo Valore Ammissibile del Drift (%) Drift Permanente Ammissibile (%)

Servizio 0.2 trascurabile

Danno 0.5 trascurabile

Ultimo 1.5 0.5

Pre Collasso 2.5 2.5

PERFORMANCE BASED DESIGN – COME SI FA?

• Approccio agli Stati Limite (evidente dalle definizioni!)

• Capacity Design (Criterio della Gerarchia delle Resistenze) EC8, Ordinanza 3274, Praticamente tutte le Normative Moderne;

• Displacement Based Design (Criterio Basto sul Controllo degli Spostamenti) Approccio Futuro. Argomento di ricerca, ma non ancora recepito dalle normative.


PERFORMANCE BASED DESIGN – APPROCCIO INTERDISCIPLINARE

Diagramma di flusso che illustra le discipline che contribuiscono alla “Performance Based Seismic Engineering”

e le connessioni che intercorrono tra esse (Chandler & Lam, 2001).

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 15/127 2. RICHIAMI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE 2.1 Oscillatore ad 1 Grado di Libertà

2.1.1 Equazione del moto:

Forzante Generica

Moto del Terreno FI(t) + FD(t) + FE(t) = F(t) Equilibrio all’istante t

)()( tumtFI &&= Forza d’inerzia )()( tumtFD &= Forza dovuta allo smorzamento )()( tkutFE = Forza di richiamo elastico

)(tFkuucum =++ &&&

gt uuu &&&&&& += Accelerazione della massa )()( tumtF tI &&= Forza d’inerzia )()( tumtFD &= Forza dovuta allo smorzamento )()( tkutFE = Forza di richiamo elastico

gt umkuucumkuucum &&&&&&&& −=++⇒=++ 0

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 16/127 2.1.2 Vibrazioni Libere di un oscillatore NON smorzato:

tutsinutuuu ωωω

ω cos)(;0 002 +==+&

&&

dove: mk /=ω (rad/sec) è la frequenza circolare dell’oscillatore, 0u& e 0u sono la velocità e lo spostamento iniziali del sistema, rispettivamente. La frequenza ed il periodo proprio dell’oscillatore si esprimono come:

)(2

Hzfπ

ω= e .)(sec21

ωπ

==f

T .

L’ampiezza del moto risulta infine:

20

20 u

uR +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ω&

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 17/127 2.1.3 Risposta di un oscillatore non smorzato soggetto ad un carico impulsivo

Se t1 << T ⇒ u(0) ≅ 0

Ponendo: ∫=Δ Fdtum & quantità di moto dell’impulso

⇒ mFdt

u ∫=0&

⇒ tmFdt

tu

u ωω

ωω

sinsin0 ∫==&

2.1.4 Risposta di un oscillatore non smorzato soggetto ad una forzante qualsiasi La risposta può essere vista come la somma delle risposte ad una sequenza di carichi impulsivi. Definendo con du(τ) l’incremento di spostamento per un impulso che termina al tempo τ ed ha durata dτ si ottiene:

ττωω

ωω

ττ dtm

tFtm

dtFdu )(sin)('sin)()( −==

⇒ ∫ −=t

dtm

tFtu0

)(sin)()( ττωω

(Integrale di Duhamel)

Essendo la soluzione basata sul principio di sovrapposizione degli effetti, è valida solo per sistemi elastici lineari

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 18/127 2.1.5 Vibrazioni Libere di un oscillatore smorzato:

Equazione del Moto: 02 2 =++ uuu ωξω &&&

Dove: crcc

mc

==ω

ξ2

è lo smorzamento relativo allo smorzamento critico (fattore di smorzamento). Per valori del fattore di smorzamento inferiori ad 1, le vibrazioni libere risultano:

)cossin()( 000 tut

uuetu DD

D

t ωωω

ξωξω ++

= − &

Dove: 21 ξωω −=D

è la frequenza circolare dell’oscillatore con smorzamento

L’ampiezza del moto risulta:

20

200 u

uueR

D

t +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +== −

ωξω

ρρ ξω &

Vibrazioni libere di un oscillatore smorzato

Risposta di un oscillatore con smorzamento critico

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 19/127 2.1.6 Risposta di un oscillatore smorzato soggetto ad una forzante qualsiasi

L’integrale di Duhamel per un sistema smorzato risulta:

ττωωτ τξω dtsine

mFtu D

tt

D)()()( )(

0−= −−∫

2.1.7 Risposta di un oscillatore smorzato soggetto ad una Sollecitazione Sismica

La risposta di un oscillatore soggetto a sollecitazione sismica si ricava dall’integrale di Duhamel imponendo che la forzante sia uguale a:

)()( ττ gumF &&−=

Inoltre, se ξ ≤ 0.20 ⇒ ω ≈ ωD (strutture in c.a. ξ ≈ 0.05÷0.07, strutture in acciaio ξ ≈ 0.03÷0.05)

Si ottiene: )(1)(sin)(1)( )(

0tVdteutu t

t

g ωττωτ

ωτξω =−≅ −−∫ && (1)

Si pone infine: )()()()( 2 tVmtumtkutQ ωω ==≅ (Forza sismica efficace → taglio alla base)

NB Il segno è irrilevante ai fini della valutazione della risposta.


• La struttura tende ad oscillare con periodo proprio prossimo a quello del sistema; • Gli spostamenti massimi tendono a crescere all’aumentare del periodo proprio; • Gli spostamenti massimi diminuiscono all’aumentare del fattore di smorzamento.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 21/127 2.1.8 Definizione di Spettro di Risposta

Ottenere la risposta sismica ad ogni istante tramite l’eq. (1) è estremamente oneroso. Dal punto di vista della progettazione, in molti casi è sufficiente valutare lo spostamento relativo massimo, il che equivale a valutare il valore massimo di V(t). Tale valore viene indicato con Sv (pseudo-velocità spettrale):

max

)(

0)()(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= −−∫ ττωτ τξω dtsineuS tt

gv && (pseudo-velocità spettrale) (2)

ωv

dSS = (spostamento relativo massimo o spostamento spettrale) (3)

va SS ω= (pseudo-accelerazione spettrale) (4)

da tali relazioni si ottiene:

2max ωωav

dSSSu === (spostamento relativo massimo) (5)

avdd mSSmSmkSQ ==== ωω 2max (taglio alla base massimo) (6)

valutando l’eq.(2) per sistemi caratterizzati da ω diversi e diagrammando i valori di Sv, si ottiene una curva di pseudo-velocità spettrali che viene detta spettro di risposta.


OSSERVAZIONI

1. Sv ha le dimensioni di una velocità. Si chiama PSEUDO Velocità poiché vSuω1

max = è esatta, a meno

dell’approssimazione ωD ≅ ω, mentre la effettiva velocità massima dell’oscillatore sarebbe data da:

vt

t

g Studteuu ≠⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= −−∫max

)(

0max )()(cos)( ξωττωτ τξω&&&

Tale relazione potrebbe essere utilizzata per costruire un vero spettro di velocità. Peraltro, Sv è più utile, essendo correlata al massimo spostamento, e quindi alle massime forze di richiamo elastico.

2. Dall’equazione del moto si ha:

)(2 2 uuuu g &&&&& +−=+ ωξω

Se lo smorzamento è piccolo, il primo termine è trascurabile. Quindi si ottiene:

)(2 uuSS gda &&&& +−=≅ ω (Pseudo-accelerazione spettrale) da cui si deriva che la massima forza d’inerzia dell’oscillatore risulta essere uguale a Fi,max = mSa.

3. La massima forza di richiamo elastica per l’oscillatore risulta pari a: Fe,max = kSd = ω2mSd =mSa


Spettri di risposta per il terremoto di El Centro, 1940


• Per periodi propri alti (T→∞) la pseudo-accelerazione massima tende a zero; • Per periodi propri bassi (T→0) la pseudo-accelerazione massima tende all’accelerazione del suolo massima.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 27/127 2.2 Sistemi a N Gradi di Libertà

• Equazione del moto:

)(tfKuuCuM =++ &&&

dove M, C, K sono le matrici delle masse, di smorzamento e di rigidezza, rispettivamente, u è il vettore degli spostamenti ed f(t) è il vettore delle forze nodali.

• Vibrazioni Libere (Non Smorzate):

0KuuM =+&&

moto armonico )(sin;)(sin 02

0 tttt −−=−=⇒ ωωω φφ uu &&

jisecon jt

ijt

iii ≠==⇒=−⇒ 0;0,)( 2 φφφφφ KM0uMK ωω (autovettori ortogonali)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 28/127 • Disaccoppiamento delle equazioni del moto:

Def.

2

22

21

221 ];,,,[

n

n

ω

ωω

OL == ΩφφφΦ

yu Φφφφ =+++=⇒ nn yyy L2211 dove yi sono dette coordinate principali.

eq. del moto: )(tfyKyCyM =++ ΦΦΦ &&& (2.2.1)

premoltiplicando la (2.2.1) per Tnφ , tenendo presente che per l’ortogonalità degli autovettori si ha:

⎩⎨⎧

=≠

=⎩⎨⎧

=≠

=nmKnm

nmMnm

nm

Tn

nm

Tn

0;

0φφφφ KM

ed assumendo: ⎩⎨⎧

=≠

=nmCnm

nm

Tn

0φφ C si ottiene:

)()( tftyKyCyM nT

nnnnnnn ==++ fφ&&& (2.2.2)

inoltre: nnnnT

nnT

n MK 20 ωω =⇒=− φφφφ 2 MK

ponendo infine: nnnn MC ωξ2= si ottiene :

n

nnnnnnn M

tfyyy )(2 2 =++ ωωξ &&& (2.2.3)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 29/127 2.2.1 Risposta Sismica di Sistemi ad n gradi di libertà

Nel caso di sisma: gg uut &&&& Mrmf −=−=)( dove, con le ipotesi di edificio tipo shear building, [ ]1,,1L=Tr

gngnn uutf &&&& L==⇒ MrTφ)( dove Ln = fattore di partecipazione modale

gn

nnnnnnn u

Myyy &&&&&

L=++⇒ 22 ωωξ

)(1)(sin)(1)( )(

0tV

Mdteu

Mty

nn

nn

tt

gnn

n n

ωττωτ

ωτξω LL

=−=⇒ −−∫ && (2.3.1)

∑∑ ==⇒n

nn

nin

n

nini tVM

tytu11

)(1)()(ω

φφL

(2.3.2)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==⇒ )(1)( tVM

tnn

nω

LΦΦyu (2.3.3)

per quanto riguarda le forze di richiamo elastiche si può scrivere:

yKKuf Φ== )(tS osservando che 2ΦΩΦ MK = si ottiene:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

== )()( 2 tVM

t nn

nS ω

LΦΦΩ MyMf (2.3.4)

la (2.3.4) fornisce la distribuzione di forze lungo la struttura al tempo t.


Nel caso di shear buildings, il taglio alla base può essere calcolato come:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=== ∑ )()()(0 tVM

ttfV nn

nTS

TSi ω

LΦMrfr

n

1 (t)

poiché [ ]nT LLL L21=ΦMr si ottiene: ∑=

n

1 (t) )(

2

0 tVM

V nn

n ωL (2.3.5)

dove:

n

n

M

2L ha le dimensioni di una massa e viene detta massa modale efficace;

nL = fattore di partecipazione modale; nM = massa modale.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 31/127 Per shear buildings, la massa modale efficace può essere interpretata come la quota parte della massa totale che risponde al sisma per ciascun modo proprio. Infatti, per edifici tipo shear building si può scrivere:

Mrr TTM = , dove r è il consueto vettore con componenti = 1. Tale vettore può essere espresso in “coordinate

principali” come:

yr Φ= , dove le quantità scalari yn possono essere determinate pre-moltiplicando r per MTnφ :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒=⇒===n

n

n

nnnnnnnn

n

n MMyyMy

LL

LΦφφΦφφ rMyMMr TTT

321

∑=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=n

n

n

n

n

n

TT

n

n

n

nTT MMMdimatriceMM

M1

2LLLL43421 ΦΦΦ MMr QED

Inoltre, se i modi propri vengono normalizzati in modo che:

))(

(12/1

,,

nn

jnjnnn

φφφφ

MM T

T φφ ==

si ottiene 1=nM . Quindi, la massa modale efficace è pari a 2nL , cioè al quadrato del fattore di partecipazione modale,

mentre la massa totale della struttura risulta essere pari alla somma dei quadrati dei fattori di partecipazione.

Tale metodo per la normalizzazione dei modi propri viene detto “orto-normalizzazione” ed è adottato da diversi codici di calcolo commerciali, quali quelli della famiglia SAP ed affini.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 32/127 2.2.2 Il Metodo delle Spettro di Risposta per Sistemi ad N g.d.l.

Adottando la tecnica della sovrapposizione modale la soluzione di un sistema a N g.d.l. può essere affrontato come sol. di N sistemi ad 1 g.d.l.

gn

nnnnnnn u

Myyy &&&&&

L=++ 22 ωωξ

)(1)(sin)(1)( )(

0tV

Mdteu

Mty

nn

nn

tt

gnn

n n

ωττωτ

ωτξω LL

=−=⇒ −−∫ &&

per shear buildings si può scrivere:

)(1)()( tVM

tytunn

ninninin ω

φφL

==⇒ spostamento piano i per il modo n

)()()( 2., tV

Mtytu

n

ninnninneffin

Lφωφω ==⇒ && accelerazione efficace al piano i per il modo n

)()()( 2, tV

Mmtymtf

n

ninnininninsi

Lφωφω ==⇒ forza al piano i per il modo n

Dal punto di vista del comportamento sismico, siamo interessati ai valori massimi dello spostamento e della forza a ciascun piano. Dalla definizione di pseudo-velocià e pseudo-accelerazione spettrale possiamo scrivere:

2max,max,n

an

n

nn

n

vn

n

nnnnn

SM

SM

yωω

LLφφφ ===u


vnnn

nnan

n

nnnnsn S

MS

My ω

LLφφφ MMMf === max,max, &&

dove un è il vettore degli spostamenti massimi, fsn è il vettore delle forze massime di piano, Svn è la pseudo velocità spettrale, e San è la pseudo-accelerazione spettrale relativamente al modo n.

PROBLEMA: modo per modo conosco i valori massimi di forza e spostamento, ma non gli istanti in cui essi si manifestano e neppure il loro segno. Come si definiscono pertanto i valori massimi per la struttura?

Gli effetti vengono generalmente combinati sulla base di considerazioni statistiche. Il metodo di combinazione più comune è la

SRSS (Square Root of Sum of Squares):

[ ]∑=n

knk utu1

2max,)(max

[ ]∑=n

knk qtq1

2max,)(max

Questa approssimazione è generalmente (ma non necessariamente) conservativa e si basa sull’ipotesi che i modi siano completamente scorrelati. Da buoni risultati quando le frequenze proprie sono distanti.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 34/127 Altre alternative che riducono gli errori sono: CQC (Complete Quadratic Combination):

∑ ∑=i j

kjijkik uutu ρ)(max ; ∑ ∑=i j

kjijkik qqtq ρ)(max

dove i coefficienti ρij vengono detti coefficienti di cross-correlazione modale e sono funzione della durata e del contenuto in frequenza dell’input sismico, delle frequenze modali, e del coefficiente di smorzamento della struttura. Se la durata del terremoto è lunga rispetto al periodo proprio della struttura, se lo spettro di risposta è continuo su un campo ampio di frequenze per un dato smorzamento, il coefficiente di cross-correlazione può essere approssimato come:

( )( ) ( ) ( ) 222222

2/3

4141

8

jijijijijiji

jijjiijiij

rrrr

rr

ξξξξ

ξξξξρ

++++−

+=

dove: i

jjir

ωω

= , ρij=1 se ωi = ωj, ρij≈0 se ωi>> ωj, ξi, ξj sono i coefficienti di smorzamento relativi ai modi i e j.

NUREG 1.92 (Nuclear Reg. Commission – 10% method):

( )∑ ∑<

+=n ji

kjkiknk uuutu 2)(max 2

dove i e j includono tutti i modi “vicini”, per i quali:

jiconj

ji <<−

1.0ω

ωω

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 35/127 2.3 Metodo di Rayleigh-Ritz per l’analisi modale

Dato un sistema ad N gradi di libertà, si vogliono determinare le frequenze proprie del sistema e le forme modali.

La deformata modale può essere definita come:

tZ 000 sin)( ωψtu = dove: 0ψ è la forma modale, arbitrariamente assunta e Z0 è l’ampiezza,

la velocità risulta pertanto:

tZ 0000 cos)( ωω ψtu =&

Sotto tali ipotesi, la massima energia cinetica del sistema risulta ( 2maxmax 2

1 umT &= per sistemi ad 1gdl):

0020

20maxmax 2

121 MψψuMu TT ZT ω== &&

Similmente, la massima energia potenziale del sistema risulta ( 2maxmax 2

1 kuV = per sistemi ad 1gdl):

0020maxmax 2

121 KψψKuu TT ZV ==

Dal principio di conservazione dell’energia (Tmax = Vmax) si ottiene:

00

0020 Mψψ

KψψT

T=ω

se ψ0 approssima sufficientemente bene la I forma modale, ω0 è una buona approssimazione della pulsazione propria del primo modo di vibrare.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 36/127 L’approssimazione può essere migliorata utilizzando come nuova forma modale la deformata che si ottiene applicando alla struttura la distribuzione di forze di inerzia che risulta dalla iterazione precedente.

00max Zψu = spostamento massimo dall’iterazione iniziale;

⇒ Mψf 020

0max, ZI ω= massime forze di inerzia all’iterazione iniziale;

⇒ 0max,

11max IfKu −= spostamento massimo all’iterazione 1 dovuto alle forze di inerzia dell’iterazione 0;

⇒ tZtI 101

0201

0max,

11 sinsin ωωω MψKfKu −− == spostamento relativo all’iterazione 1;

La massima energia potenziale e la massima energia cinetica risultano pertanto:

01

020

40

1,0max,max 2

121 MψMKψuf −== TT

I ZV ω

011

020

40

21

1,1maxmax 2

121 MψMKMKψuMu −−== TT ZT ωω&&

Dal principio della conservazione dell’energia si ottiene infine l’autovalore cercato:

0

110

01

021 MψMKMKψ

MψMKψ−−

−= T

Tω

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 37/127 2.4 Il Metodo delle Forze Statiche Equivalenti

Il Metodo delle Forze Statiche Equivalenti si basa sull’ipotesi che la risposta sismica della struttura possa essere caratterizzata solamente dal I modo di vibrare. In particolare, se la risposta fosse governata esclusivamente dal I modo di vibrare, il massimo valore delle forze elastiche agenti su di una struttura può essere valutato come:

11

11

21

1

1

11

1

1

1

11max,111

max)(max

a

avS

SM

SM

SM

yt

L

LL

φ

φφφ

M

KKKKuf

=

====ωω

Pertanto, osservando che in questo caso la massa totale può essere espressa come:

1

11 M

MTL

φMr T=

si ottiene che la forza totale agente sulla struttura è pari a:

1

1

1, aTkST SMfF ∑ == (2.4.1)


IL METODO DELLE FORZE STATICHE EQUIVALENTI SI ARTICOLA NEI SEGUENTI PUNTI:

1. Stima del I Modo di vibrare;

2. Scelta del coefficiente sismico appropriato (ordinata dello spettro di risposta);

3. Calcolo della risultante delle Forze Sismiche Equivalenti;

4. Distribuzione sulla struttura delle Forze orizzontali sismiche;

5. Analisi statica della struttura soggetta alle forze sismiche equivalenti;

6. Stima degli spostamenti e dello spostamento di interpiano.

1. Valutazione del I Modo di vibrare

Si può usare l’analisi modale ed estrarre solo il I modo.

Altrimenti, utilizzando il metodo di Rayleigh il I modo è dato da:

∑

∑

Δ

Δ= n

ii

n

ii

Fg

WT

1

1

2

1 2π

dove Fi è un sistema di forze orizzontali di tentativo con distribuzione qualsiasi (ad esempio lineari con l’altezza), Wi è il peso del piano i-esimo, Δi è lo spostamento elastico del piano i-esimo dovuto alle forze Fi,, e g è l’accelerazione di gravità.


Infine, possono essere usate formule approssimate quali quella suggerita dall’Ordinanza che, per edifici che non superino i 40m di altezza fornisce il seguente valore di T1:

4/311 HCT ≅ , con H altezza dell’edificio dal piano di fondazione, espressa in metri, C1 = 0,085 per edifici

con struttura a telaio in acciaio, C1 = 0,075 per edifici con struttura a telaio in c.a., C1 = 0,050 per edifici con qualsiasi altro tipo di struttura.

2. Scelta del coefficiente sismico

Tale coefficiente è dato dall’ordinata dello spettro di risposta di progetto, definito dalla normativa in funzione della tipologia strutturale, dell’importanza dell’edificio, delle caratteristiche del sito, ecc.

3. Calcolo della risultante delle Forze Sismiche Equivalenti (Taglio alla Base)

)( 1TSMF aTT =

4. Distribuzione sulla struttura delle Forze orizzontali sismiche

La forza al piano i-esimo può essere definita come:

∑=

jj

iiTi Wu

WuFF con ui ed uj spostamenti dovuti al modo 1.

Oppure, assumendo una distribuzione lineare di forze:

∑=

jj

iiTi Wz

WzFF dove zi e zj sono le quote dei piani i e j.


Gli effetti torionali accidentali possono essere considerati amplificando le forze da applicare a ciascun elemento verticale con il fattore δ risultante dalla seguente espressione:

δ = 1 + 0,6x/Le dove: x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata;

Le è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.

5. Analisi statica della struttura soggetta alle forze sismiche equivalenti

Tale analisi può essere effettuata con qualsiasi metodo di analisi strutturale.

6. Stima degli spostamenti e dello spostamento di interpiano

Gli spostamenti effettivi della struttura sono ottenuti moltiplicando gli spostamenti ricavati dall’analisi statica per un coefficiente di struttura che consente di considerare il comportamento non-lineare della struttura.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 41/127 2.5 Esempio di calcolo di telaio piano

2.5.1 Risposta dinamica di uno Shear Building Le ipotesi alla base del modello considerato sono:

o Le masse sono concentrate a livello dei piani. o Gli impalcati sono infinitamente rigidi. o Le colonne sono assialmente indeformabili. o Non si tiene conto dello smorzamento e si suppone un comportamento perfettamente elastico della struttura.

y3(t)

y1(t)

y2(t)

ag

m3

m2

m1

k1(y1)

k2(y1-y2)

k3(y2-y3)

m1·a1,T

m2·a2,T

m3·a3,T

ai,T = ag + ai

Fig. 2-1 - Equilibrio dinamico.

( )

( ) ( )( )

1 1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 1 3 3 2 2

3 3 3 3 2 3

a k y k y y a

a k y y k y y a

a k y y a

g

g

g

m m

m m

m m

⎧ + − − = −⎪⎪ + − − − = −⎨⎪ + − = −⎪⎩

(1) gaM a K y M r⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ (2)

1

2

3

0 00 00 0

Mm

mm

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 2

2 2 3 3

3 3

k k k 0k k k k0 k k

K+ −⎡ ⎤

⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 1

2 2

3 3

a y 1a y 1a y 1

a y = r =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 42/127 2.5.2 Esempio di analisi

In questo paragrafo viene presentato il calcolo delle azioni sismiche su di un telaio piano in acciaio. Lo scopo è di fornire un esempio per il calcolo della risposta dinamica di una struttura tipo “Shear Building”.

2.5.2.1 Specifiche

Si analizza un telaio in acciaio di un edificio multipiano. L’orditura in pianta è a maglia quadrata con lato di 6 m, l’interpiano è di 3.5 m per un totale di 3 piani fuori terra (Fig. 2-2).

3.5

6.0 6.0 6.0

3.5

3.5

6.0

Fig. 2-2 - Schema del telaio.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 43/127 2.5.2.2 Profili

Le colonne che compongono l’edificio sono HE 400 B, con momento d`inerzia pari a 5.77⋅10-4 m4. Le travi sono HE 360 B, con momento d’inerzia pari a 2.52⋅10-4 m4. Il modulo di elasticità dell’acciaio è stato assunto pari a 200⋅106 kN/m2.

2.5.2.3 Carichi

Si considera un carico permanente g pari a 8 kN/m2 e un carico variabile q pari a 3 kN/m2.

2.5.2.4 Ipotesi sul modello di calcolo

Nel modello si sono adottate le seguenti ipotesi:

o Le masse sono concentrate a livello dei piani.

o Gli impalcati sono infinitamente rigidi.

o Le colonne sono assialmente indeformabili.

o Si trascura la massa delle colonne.

o Non si tiene conto dello smorzamento e si suppone un comportamento perfettamente elastico della struttura.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 44/127 2.5.3 Spettro di risposta Lo spettro di risposta di progetto è calcolato in base Ordinanza n° 3274 del 20/03/2003. Si suppone che la struttura sia ubicata su un terreno di categoria C, utilizzando i seguenti parametri per il calcolo delle forze sismiche agenti sul telaio: Fattore di struttura q: 6,5 Accelerazione orizzontale massima del terreno ag: 0,35⋅g Fattore del profilo stratigrafico S: 1,25 Periodi che separano i diversi rami dello spettro dipendenti dal profilo stratigrafico del suolo: TB = 0,15 sec TC = 0,50 sec TD = 2 sec

S d (T)

a g S

a g S 2.5/ q

0,20a g

T B T C T D T

gDC

gdD

CgdDC

gdCB

BgdB

aT

TTq

SaTSTT

TT

qSaTSTTT

qSaTSTTT

qTTSaTSTT

2,05,2)(

5,2)(

5,2)(

)15,2(1)(0

2≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅=≤≤

Fig. 2-3 Spettro di progetto per il calcolo delle azioni sismiche orizzontali.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 45/127 2.5.4 Analisi modale

y3

y2

y1

Fig. 2-4 - Gradi di libertà della struttura.

m1

m2

m3

Fig. 2-5 - Modello di calcolo.

Calcolo delle masse: ( )1 2 3 18 6 3 8 /9.81 121 tm m m= = = ⋅ ⋅ + ≅⎡ ⎤⎣ ⎦

Matrice delle masse M: 121 0 0

0 121 00 0 121

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M (3)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 46/127 Calcolo del coefficienti di richiamo elastico per una colonna del telaio (Fig. 2-6):

8 44

3 3

12 12 2 10 5.77 10 3.23 10 kN/m3.5

s cE Jkh

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

1

k

Fig. 2-6 - Coefficienti di richiamo elastico.

Il calcolo della matrice di rigidezza è effettuato tramite la sovrapposizione degli effetti, imponendo uno spostamento unitario a tutti i gradi di libertà e sommando i diversi contributi:

1

k

Fig. 2-7 - Procedura per il calcolo della matrice di rigidezza.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 47/127 Matrice di rigidezza K:

258400 129200 0129200 258400 129200

0 129200 129200

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ − ⎥⎣ ⎦

K (4)

Calcolo autovalori e frequenze proprie del sistema:

( )2det 0− ⋅ =K Mω (5)

2 2 21 2 3211.49 1660.34 3467.02= = = ω ω ω (6)

2 1j j

j j

T fT

= = πω

(7)

Primo modo Secondo modo Terzo Modo

ω1 =14.54 (rad/sec) ω2 = 40.75 ω3 = 58.88

f1=2.33 (Hz) f2 = 6.67 f3 = 9.09

T1=0.43 (sec.) T2=0.15 T3=0.11

Tabella 1 - Valori della pulsazione, frequenza e periodo proprio per ogni modo.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 48/127 Calcolo degli autovalori del sistema (forme modali del telaio):

( )j j2K M 0− ⋅ ⋅ =ω φ (8) 1 2 3

1 1 11.80 0.45 1.252.25 0.80 0.55

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

φ φ φ

1

1.80

2.25 -0.80

0.45

1 1

-1.25

0.55

1 2 3

Fig. 2-8 - Modi principali di oscillazione del modello.

Ortonormalizzazione dei modi principali:

( )1/ 2j

j Tj jM

φφ

φ φ=

⋅ ⋅ (9) 1 2 3

0.0298 0.0670 0.05370.0537 0.0298 0.0670.0669 0.0537 0.0298

φ φ φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(10)

dove: 0j

Tiφ φ⋅ =

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 49/127 Calcolo dei fattori di partecipazione:

111

Tj jL = M r r φ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(11) L1 = 18.22 L2 = 5.22 L3 = 2.00

Calcolo della massa modale efficace per ciascun modo ( 2jL ) e relative percentuali rispetto alla massa totale ( 2

./ 100j TotL M ⋅ ):

Primo Modo Secondo Modo

Terzo modo

Massa modale efficace (t) 331.81 27.18 4.08

Percentuale (%) 91.4 7.5 1.1

Calcolo le azioni sismiche di progetto per ciascun modo in base ai periodi propri:

Primo modo: 2

,1

2,5 2,50,35 9,81 1,25 1,65 /6,5d gS a S m sec

q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = (12)

Secondo modo: 2

,2

2,5 2,50,35 9,81 1,25 1,65 /6,5d gS a S m sec

q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = (13)

Terzo modo: 2

,3

2,5 0,11 2,51 1 0,35 9,81 1 1 1,88 /0,15 6,5d g

B

TS a S m secT q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + − = ⋅ ⋅ + − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (14)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 50/127 Calcolo delle massime forze (kN) d’inerzia per ogni modo:

,max ,j

j j d jTj j

LSF M

Mφ

φ φ= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ (15) 1,max 2,max 3,max

108,43 69,73 24,47195,40 31,03 30,52243,66 55,93 13,57

F F F⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Le azioni interne modo per modo si ricavano dal prodotto della matrice di rigidezza dei pilastri per gli spostamenti nodali: ,max

i i ij j jv K y= ⋅ (16)

dove: j = j-esimo Modo; i = i-esimo piano., K ij = Matrice di rigidezza del pilastro al i-esimo piano per il j-esimo modo;

,maxyij = Massimi spostamenti orizzontali della i-esima colonna nel j-esimo modo.

I momenti nei pilastri si ricavano dalla relazione riportata in Fig. 2-9:

v2

v1

m

m

lm= v1·l/2

Fig. 2-9 - Azioni interne in una singola colonna.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 51/127 Primo modo

( )211,max 1 ,1 1

0,0042/ 0,0076

0,0095dL S my ω φ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3_

43 3

12.92 12.9212 / 12 /10 ( / )

12.92 12.9212 / 12 /ij

EJ l EJ lkN m

EJ l EJ lK K

−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦

_11

0 547,490,0042 547,49

v K−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

21

0,0042 439,050,0076 439,05

v K−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

31

0,0076 243,660,0095 243,66

v K−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

195,39

F(kN)

136,87

V(kN)

109,76 108,43

60,91

243,66

547,47 239,52

192,08

106,7

53,33

106,66

298,74

298,74149,37

431,6

431,56215,7

M(kNm)

Fig. 2-10 - Distribuzione azione di taglio e forze di piano su una colonna e diagramma dei momenti (1o modo).

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 52/127 Secondo modo

V(kN)9,95

6,22

55,9

13,97

69,52

F(kN)

12,23

17,42

24,31

10,89

35,35

6,53

M(kNm)

17,74

3,27

31

6,53

24,45

24,31

35,35

44,63

Fig. 2-11 – Distribuzione azione di taglio e forze di piano su una colonna e diagramma dei momenti (2o modo).

( )222,max 2 ,2 2

0,00035/ 0,00015

0,0003dL S my ω φ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⎢ ⎥⎢− ⎥⎣ ⎦

_12

0 44,840,00035 44,84

v K−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

22

0,00035 24,890,00015 24,89

v K ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

32

0,00015 55,920,0003 55,92

v K ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 53/127 Terzo modo

F(kN)V(kN)

24,47

30,53

13,6

3,4

M(kNm)

1,88

4,23

3,31

3.73

7,41

4,1

1,45 0,72

2,06

2,97

1,45

4,10

5,96

7,54

Fig. 2-12 - Distribuzione azione di taglio e forze di piano su una colonna e diagramma dei momenti (2o modo).

( )233,max 3 ,3 3

0,00006/ 0.00008

0.00003dL S my ω φ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

_13

0 7,530,00006 7,53

v K−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

23

0,00006 16,930.00008 16,93

v K ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

_

33

0.00008 13,570.00003 13,57

v K− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 54/127 2.5.5 Combinazione modale

SRSS:

( )n 2

i j,i1

max y y= ∑ (17)

dove:

yi = massimo spostamento dell`i-esimo grado di libertà.

yj,i = massimo spostamento dell’i-esimo grado di libertà del j-esimo modo.

n = numero di modi considerati.

max

4,267,6 mm9,5

y ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Si applica lo stesso procedimento (17) alle forze di interpiano:

max

131,11200,16 kN250,35

F ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2maxF 547,47 44,63 7,54 549,3 kN= + + =

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 55/127 CQC (Complete Quadratic Combination):

n n

i j,i j,k k ,ij 1 k 1

y y y= =

= ⋅ ⋅∑∑ ρ (18)

dove: yi = massimo spostamento dell`i-esimo grado di libertà; yj,i = massimo spostamento dell’i-esimo grado di libertà del j-esimo modo: yk,i = massimo spostamento dell’i-esimo grado di libertà del k-esimo modo; ρj,k = Coefficienti di cross-correlazione modale. I coefficienti di cross-correlazione modale sono in funzione della durata e del contenuto in frequenza del carico, delle frequenze modali e del coefficiente di smorzamento della struttura. Se la durata del sisma è lunga rispetto al periodo della struttura, se lo spettro di risposta è continuo su un campo ampio di frequenza per un dato smorzamento, i coefficienti di correlazione possono essere presi pari a:

( )

( ) ( ) ( )

1.5j k j k , j k k , j

2j,k 2 2 2 2 2kj j k k , j i ,k j k k , j

8 r r

1 r 4 r 1 r 4 r

⋅ ⋅ ⋅ +=

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅

ξ ξ ξ ξρ

ξ ξ ξ ξ (19)

dove: ξi = Coefficiente di smorzamento per l`i-esimo modo; kk, j

j

r =ωω

; ρj,k = 1 se ωk è uguale a ωj e ρj,k = ρk,j.

Si suppone un coefficiente di smorzamento pari al 5% per ciascun modo. Nella seguente tabella sono riportati i valori riassuntivi

ρ1,2 0,0137 y1 4,22 mm

ρ1,3 0,0066 y2 7,60 mm

ρ2,3 0,023 y3 9.50 mm

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 56/127 2.5.6 Analisi statica lineare

Il calcolo delle azioni orizzontali è basato sull’Ordinanza n° 3274 del 20/03/2003, paragrafo 4.5.2: ( ) /( )i h i i j j

jF F z W z W= ⋅ ⋅ ⋅∑ (20)

dove: ,1h dF S W= ⋅ ⋅ λ

Fi è la forza da applicare al piano i; Wi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamente; zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni; Sd,1 è l`ordinata dello spettro di risposta di progetto del primo modo di vibrare; W è il peso complessivo della costruzione; λ è un coefficiente pari a 0.85, avendo l`edificio più di tre piani e avendo un primo periodo proprio inferiore a 1s Per l’edificio in oggetto si sono considerati i seguenti valori:

1,65 121 3 0,85 509,11 kNhF = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 2 33,5 7 10,5z z z= = =

1 509,11 (3,5 121) /[121 (3,5 7 10,5)] 84,85 kNF = ⋅ ⋅ ⋅ + + = 2 509,11 (7 121) /[121 (3,5 7 10,5)] 169,7 kNF = ⋅ ⋅ ⋅ + + =

3 509,11 (10,5 121) /[121 (3,5 7 10,5)] 254,56 kNF = ⋅ ⋅ ⋅ + + = Taglio totale alla base = 84,85 + 169,7 + 254,56 = 509,11 kN

L’analisi statica equivalente fornisce dei valori minori rispetto al primo modo dell’analisi modale e alla combinazione modale SRSS. Ciò è dovuto al coefficiente λ=0,85. Si osserva che il rapporto tra il taglio alla base dato dall’analisi statica equivalente e quello derivante dall’analisi modale è praticamente uguale, a meno del coefficiente λ, alla percentuale di massa partecipata nel primo modo (rapporto tra la massa modale efficace al primo modo e la massa totale).

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 57/127 Analisi Statica Lineare:

1

84,85169,7 kN254,56

F ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Taglio totale alla base = 84,85 + 169,7 + 254,56 = 509,11 kN SRSS:

SRSS

131,11200,16 kN250,35

F ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Taglio totale alla base = 2 2 2547,47 44,63 7,54 549,3 kN+ + = (91.7% Statica Equiv./λ)

Primo modo:

1,max

108,43195,39243,66

F⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Taglio totale alla base = 108,43 + 195,39 + 243,66 = 547,6861 kN (91.4% Statica Equiv./ λ)

Inoltre, si osserva che, sempre a meno del coefficiente λ=0,85, l’analisi statica equivalente sovrastima le forze di piano nella parte bassa della struttura e le sottostima nella parte alta.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 58/127 2.6 Determinazione del I Modo di vibrare: metodo di Rayleigh

Si suppone in prima approssimazione la seguente deformata modale per dimostrare l’efficacia del metodo:

m1

m2

m3

1

0

111

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

φ ; 121 0 0

0 121 00 0 121

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M ; 258400 129200 0129200 258400 129200

0 129200 129200

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ − ⎥⎣ ⎦

K

0 0 363 tT M⋅ ⋅ =φ φ

0 0 129200 kN/mT K⋅ ⋅ =φ φ

1,0129200 18.87 rad/sec

363= =ω

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 59/127 Prima iterazione:

Calcolo massime forze di inerzia: 21,0

2 2I,max 1,0 0 1,0

21,0

121 43085.3121 43085.3 KN121 43085.3

f Mω

ω φ ωω

⎡ ⎤⋅ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Calcolo massimi spostamenti di interpiano:

1,11

1,2 I,max 1,1

1,3 1,2

43085.3 3/129200 1.043085.3 2 /129200 1.67 m

43085.3/129200 2.0K f−

φ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥φ = ⋅ = φ + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥φ φ + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

m1

m2

m3

1.01

1.67

2.01

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 60/127 Calcolo energia potenziale V:

( )T 5I,max 1,max

1 1 4305.3 1 1.67 2.0 1.0056 10 KJ2 2

V f φ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + = ⋅

Calcolo energia cinetica T:

[ ]2 2 21,1 ,max I,max 1,1 1,1

121 0 0 1.01 1 1.0 1.67 2.0 0 121 0 1.67 471.23 KJ2 2

0 0 121 2.0

TIT Mω φ φ ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 -21,1

100560 213.4 sec471.23

ω = =

Il valore esatto della pulsazione propria del primo modo calcolato precedentemente è pari a 212.28 sec-2.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 61/127 Un metodo più rapido per calcolare un valore approssimato della prima pulsazione propria del sistema è di entrare direttamente nella prima iterazione con una distribuzione lineare delle forze di inerzia di interpiano, tramite la seguente espressione:

( ) i ii i

i i

W hf = WW h

⋅⋅

⋅∑ ∑

1780.5 KN

593.5 KN

1187 KN

1,11

1,2 I 1,1

1,3 1,2

(593.5 1187 1780.5) /129200 0.028(1187 1780.5) /129200 0.051 m

1780.5/129200 0.065K f−

φ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥φ = ⋅ = φ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥φ φ + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

m

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 62/127 Calcolo energia potenziale V:

[ ]TI 1

0.0281 1V 593.5 1187 1780.5 0.051 95.42 KJ2 2

0.065f φ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Calcolo energia cinetica T:

[ ]2 2 21,1 1 1 1,1 1,1

121 0 0 0.0281 1T 0.028 0.051 0.065 0 121 0 0.051 0.45 KJ2 2

0 0 121 0.065

T Mω φ φ ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 -21,1

95.42 212.04 sec0.45

ω = =

Come si può vedere questa procedura fornisce un valore in prima approssimazione più preciso di quella vista precedentemente, tramite un numero inferiore di calcoli.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 63/127 3. TEORIA DEL FATTORE DI DUTTILITÀ

Se si effettua una analisi dinamica sismica di una struttura caratterizzata da comportamento elasto-plastico, si osserva che il taglio risultante alla base dovuto ad un evento sismico è minore del taglio alla base che si avrebbe per il medesimo evento se il comportamento della struttura fosse indefinitamente elastico lineare. In altre parole, la risultante delle forze dovute al sisma è minore nel caso di comportamento elasto-plastico rispetto al caso elastico lineare.

In particolare, analisi dinamiche non-lineari di oscillatori semplici elasto-plastici, con resistenza al limite di snervamento R volte inferiore del valore delle forza elastica dovuta al sisma (Fy=FE/R), mostrano che la risposta è funzione del periodo proprio dell’oscillatore.


Con riferimento alle figure, si osserva quanto segue:

per strutture con periodo proprio T>Tm, lo spostamento massimo nel caso di comportamento elasto-plastico ha entità molto simile allo spostamento massimo per comportamento indefinitamente elastico lineare. Ciò implica che la duttilità del sistema μ è uguale al fattore di riduzione delle forze sismiche R:

μ = R ‘principio’ di uguaglianza degli spostamenti;

per strutture con periodo T ≤ Tm, l’area sottesa al diagramma forza spostamento nel caso elastico lineare o elasto-plastico è circa uguale. Tale area rappresenta l’energia totale assorbita dall’oscillatore per spostamento monotonicamente crescente fino al valore Δm, ed il fattore di duttilità può essere espresso come:

μ = (R2 + 1)/2 ‘principio’ di uguaglianza delle energie


per strutture con periodo molto basso, al limite T → 0, si osserva che duttilità ancora superiori possono essere richieste. In questo caso si può affermare che se una struttura rigida non è in grado di sostenere l’accelerazione del terreno, allora si avrà il collasso. In questo caso si avrà, indipendentemente dal fattore di duttilità della struttura:

R = 1 ‘principio’ di uguaglianza delle accelerazioni.

È importante osservare che tali ‘principi’ hanno valore qualitativo, più che non rigorosamente quantitativo.

Quanto esposto costituisce quella che viene comunemente indicata come ‘Teoria del Fattore di Duttilità’.

Sulla base di tale teoria, si deduce che le effettive forze sismiche su di una struttura possono essere determinate con una analisi elastica utilizzando uno spettro di risposta anelastico, avente ordinate scalate rispetto allo spettro di risposta elastico della struttura in proporzione al coefficiente di duttilità della struttura stessa, secondo i principi elencati.

Infine, poiché l’analisi viene effettuata considerando un comportamento elastico lineare, mentre la struttura soggetta al sisma esibisce comportamento non-lineare, gli spostamenti reali della struttura saranno ottenuti moltiplicando gli spostamenti elastici per il coefficiente di duttilità: Δ = μ Δel

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 67/127 4. INTRODUZIONE ALLA PROGETTAZIONE SISMICA 4.1 Regole Base

• Le strutture devono essere progettate e costruite così da garantire che: non avvenga il collasso per il sisma di progetto; venga limitato il danneggiamento per il sisma di esercizio.

• Stato Limite Ultimo Stabilità (SLU): dopo il terremoto (evento con probabilità di essere ecceduto non maggiore del 10% in 50anni), la struttura deve

avere resistenza e rigidezza residua nei confronti delle azioni orizzontali e l’intera capacità portante nei confronti dei carichi verticali;

la struttura deve quindi avere resistenza e duttilità specificate; resistenza e duttilità che una struttura deve avere sono legate all’estensione accettabile per il comportamento non-

lineare. Tale equilibrio tra i valori di resistenza è duttilità è espresso dal “fattore di comportamento” q;

• Stato Limite di Servizio Danneggiamento (SLD): le costruzioni nel loro complesso, includendo gli elementi strutturali e quelli non strutturali, ivi comprese le

apparecchiature rilevanti alla funzione dell’edificio, non devono subire danni gravi ed interruzioni d’uso in conseguenza di eventi sismici che abbiano una probabilità di occorrenza più elevata di quella della azione sismica di progetto (non maggiore del 50% in 50 anni);

un grado adeguato di affidabilità deve essere garantito nei riguardi di danni inaccettabili per strutture importanti dal punto di vista della protezione civile, rigidezza e resistenza devono essere tali da

garantire l’uso in seguito ad un evento sismico con appropriato periodo di ritorno.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 68/127 4.2 Misure Specifiche

• Le strutture devono avere forme semplici e regolari. Se necessario possono essere divise in sottostrutture;

• per assicurare un comportamento globalmente duttile, rottura fragile o formazione di meccanismi di collasso instabili devono essere evitati. Ciò può essere ottenuto impiegando il Criterio della Gerarchia delle Resistenze (Capacity Design);

• i dettagli strutturali nelle regioni critiche devono essere tali da garantire la capacità di trasmettere forze e dissipare energia sotto azioni cicliche di tipo sismico;

• l’analisi deve essere effettuata su modelli strutturali adeguati.

4.3 Terreno di Fondazione

• Il sito di costruzione ed i terreni in esso presenti dovranno in generale essere esenti da rischi di instabilità di pendii e di cedimenti permanenti causati da fenomeni di liquefazione o eccessivo addensamento in caso di terremoto. L’occorrenza di tali fenomeni dovrà essere indagata e valutata secondo quanto stabilito nelle “Norme tecniche per il progetto sismico di opere di fondazione e di sostegno dei terreni” e dalle disposizioni vigenti, in particolare dal D. M. 11.3.1998 ed eventuali sue successive modifiche ed integrazioni.

• Scopo delle indagini è anche quello di classificare il terreno ai fini della definizione dello spettro di risposta elastico e di progetto.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 69/127 5. DETERMINAZIONE DELLE FORZE DI PROGETTO

• Le forze di progetto possono essere determinate mediante:

1. Analisi modale semplificata + Analisi statica equivalente Tale metodo è adeguato per edifici semplici e regolari, sia in pianta che in elevazione, ed aventi periodo fondamentale T ≤ 2.5TC (da 1.0sec a 2.0sec).

2. Analisi dinamica con Spettro di Risposta. In tale caso si deve considerare un numero di Modi tale da garantire che la somma delle Massa Modali Efficaci sia almeno pari al 85% della Massa dell’edificio, e che tutti i Modi con Massa Modale Efficace ≥ 0.05MT siano inclusi;

3. Metodi alternativi (Analisi non-lineare ‘Push-Over’, Analisi Dinamica Non-Lineare passo-passo, etc.)

• Ai fini della Ordinanza il territorio nazionale viene suddiviso in zone sismiche, all’interno delle quali la pericolosità sismica può essere ritenuta costante;

• per gran parte delle applicazioni la pericolosità sismica è definita da un singolo parametro, l’accelerazione di picco del terreno su roccia o terreno compatto.

• ag = accelerazione di progetto del terreno (PGA)

• l’accelerazione di progetto corrisponde ad un periodo di ritorno di 475 anni, oppure evento che ha il 10% di probabilità di essere ecceduto in 50 anni;

• l’azione sismica può essere rappresentata da uno spettro di risposta elastico;

• l’azione sismica orizzontale è descritta da due componenti ortogonali considerate come indipendenti e caratterizzate dal medesimo spettro;

• l’azione sismica verticale può essere rappresentata da uno spettro di risposta verticale;

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 70/127 • A causa del comportamento non-lineare delle strutture, le forze sismiche reali risulteranno inferiori a quelle ottenute

utilizzando lo spettro di risposta elastico. Al fine di evitare una analisi non-lineare, è possibile effettuare l’analisi utilizzando uno spettro di risposta di progetto, ottenuto dallo spettro di risposta elastico scalando le ordinate mediante un coefficiente di comportamento q (analogo al coefficiente di duttilità), che tiene conto della potenziale duttilità della strutture (vd. Teoria del Fattore di Duttilità) e del coefficiente di smorzamento;

• Il valore di progetto Ed delle forze sismiche per lo SLU e SLD deve essere determinato combinando le azioni come segue:

Ed = γIE + ΣGkj + Pk + Σψ2iQki

dove: Σ implica la combinazione degli effetti; Gkj sono i valori caratteristici dell’azione permanente j γI è il fattore di importanza della struttura; E valore di progetto dell’azione sismica per il periodo di ritorno di riferimento. Pk è il valore caratteristico della azioni di precompressione, scontate le perdite; ψ2i è il coefficiente che fornisce il valore quasi permanente delle azioni variabili; Qki è il valore caratteristico dell’azione accidentale i.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 71/127 • Gli effetti dell’azione sismica Ed per lo SLU e SLD devono essere valutati considerando la presenza di tutti i carichi

gravitazionali secondo la combinazione seguente:

ΣGkj + ΣψEiQki

dove: ψEi è un fattore di combinazione per l’azione accidentale i che tiene conto della probabilità che i carichi accidentali

agiscano contemporaneamente. Vale ϕψ2i.

Destinazione d’uso ψ2i Abitazioni, Uffici 0.30 Uffici aperti al pubblico, Scuole, Negozi, Autorimesse 0.60 Tetti e coperture con neve 0.20 Magazzini, Archivi, Scale 0.80 Vento 0.00

Carichi ai Piani ϕ Carichi Indipendenti Ultimo Piano 1.0 Altri Piani 0.5 Archivi 1.0 Carichi correlati ad alcuni piani Copertura 1.0 Piani con Carichi correlati 0.8 Altri Piani 0.5

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 72/127 5.1 Spettro di Risposta Elastico e di Progetto

Spettro di Risposta Elastico Orizzontale:

S e (T)

a g S η2.5

a g S

T B T C T D T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅=≤≤

25,2)(

5,2)(

5,2)(

)15,2(1)(0

TTTSaTSTT

TTSaTSTTT

SaTSTTTTTSaTSTT

DCgeD

CgeDC

geCB

BgeB

η

η

η

η

dove: ag accelerazione del terreno di progetto per terreni Tipo A;

55.0)5/(10 ≥+= ξη fattore di correzione per ξ ≠ 5% (ξ = fattore di smorzamento viscoso equivalente); S parametro che dipende dalle caratteristiche del terreno; TB, TC, limiti del tratto ad accelerazione costante; TD limite del tratto a spostamento costante.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 73/127 Per strutture con fattore di importanza γI > 1, erette sopra o in vicinanza di pendii con inclinazione > 15° e dislivello superiore a circa 30 metri, lo spettro di risposta elastico dovrà essere incrementata moltiplicandola per un coefficiente di amplificazione topografica ST. In assenza di studi specifici si potranno utilizzare per ST i seguenti valori:

a) ST = 1,2 per siti in prossimità del ciglio superiore di pendii scoscesi isolati; b) ST = 1,4 per siti prossimi alla sommità di profili topografici aventi larghezza in cresta molto inferiore alla larghezza

alla base e pendenza media > 30°; c) ST = 1,2 per siti del tipo b) ma con pendenza media inferiore.

Il prodotto S*ST può essere assunto non superiore a 1.6. Classificazione delle tipologie di Sottosuolo

Ai fini della definizione della azione sismica di progetto si definiscono le seguenti categorie di profilo stratigrafico del suolo di fondazione (le profondità si riferiscono al piano di posa delle fondazioni): A - Formazioni litoidi o suoli omogenei molto rigidi caratterizzati da valori di VS30, superiori a 800 m/s , comprendenti

eventuali strati di alterazione superficiale di spessore massimo pari a 5 m. B - Depositi di sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti, con spessori di diverse decine di metri,

caratterizzati da un graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con la profondità e da valori di VS30 compresi tra 360 m/s e 800 m/s (ovvero resistenza penetrometrica NSPT > 50, o coesione non drenata cu >250 kPa).

C - Depositi di sabbie e ghiaie mediamente addensate, o di argille di media consistenza, con spessori variabili da diverse decine fino a centinaia di metri, caratterizzati da valori di VS30 compresi tra 180 e 360 m/s (15 < NSPT < 50, 70 < cu <250 kPa).

D - Depositi di terreni granulari da sciolti a poco addensati oppure coesivi da poco a mediamente consistenti. caratterizzati da valori di VS30 < 180 m/s (NSPT < 15, cu < 70 kPa).

E - Profili di terreno costituiti da strati superficiali alluvionali, con valori di VS30 simili a quelli dei tipi C o D e spessore compreso tra 5 e 20 m, giacenti su di un substrato di materiale più rigido con VS30 > 800 m/s.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 74/127 In aggiunta a queste categorie, per le quali nel punto 3.2 vengono definite le azioni sismiche da considerare nella progettazione, se ne definiscono altre due, per le quali sono richiesti studi speciali per la definizione dell’azione sismica da considerare:

S1 - Depositi costituiti da, o che includono, uno strato spesso almeno 10 m di argille/limi di bassa consistenza, con elevato indice di plasticità (PI > 40) e contenuto di acqua, caratterizzati da valori di VS30 < 100 m/s (10 <cu< 20 kPa)

S2 - Depositi di terreni soggetti a liquefazione, di argille sensitive, o qualsiasi altra categoria di terreno non classificabile nei tipi precedenti

Nelle definizioni precedenti VS30 è la velocità media di propagazione entro 30 m di profondità delle onde di taglio e viene calcolata con la seguente espressione:

∑=

=

ni i

iS

VhV

,1

3030

dove h, e V, indicano lo spessore (in m) e la velocità delle onde di taglio (per deformazioni di taglio γ < 10-6) dello strato i-esimo, per un totale di N strati presenti nei 30 m superiori. Il sito verrà classificato sulla base del valore di VS30, se disponibile, altrimenti sulla base del valore di NSPT.

Valori dei parametri per la definizione dello spettro elastico Categoria suolo S TB TC TD

A 1,00 0,15 0,40 2,0 B, C, E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 75/127 Spettro di Risposta Elastico Verticale:

S ve (T)

0,9a g S η3,0

0,9a g S

T B T C T D T

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅=>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅⋅=≤≤

20,39,0)(

0,39,0)(

0,39,0)(

)10,3(19,0)(0

TTT

SaTSTT

TT

SaTSTTT

SaTSTTTTTSaTSTT

DCgeD

CgeDC

geCB

BgeB

η

η

η

η

Valori dei parametri per la definizione dello spettro Verticale

Categoria suolo S TB TC TD A, B, C, D, E 1,00 0,05 0,15 1,0

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 76/127 Spettro di Risposta di Progetto (SLU):

Componente Orizzontale S d (T)

a g S

a g S 2.5/ q

0,20a g

T B T C T D T

gDC

gdD

CgdDC

gdCB

BgdB

aT

TTq

SaTSTT

TT

qSaTSTTT

qSaTSTTT

qTTSaTSTT

2,05,2)(

5,2)(

5,2)(

)15,2(1)(0

2≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅=≤≤


Componente Verticale Sv d (T)

0,9a g S

0,9a g S 3,0/ q

T B T C T D T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅⋅=≤≤

20,39,0)(

0,39,0)(

0,39,0)(

)10,3(19,0)(0

TTT

qSaTSTT

TT

qSaTSTTT

qSaTSTTT

qTTSaTSTT

DCgdD

CgdDC

gdCB

BgdB

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 78/127 Spettro di Risposta per lo Stato Limite di Danno (SLD:

Lo spettro viene calcolato utilizzando lo spettro elastico, scalato per un coefficiente = 2.5.

S SLD (T)

a g S η

a g S/2,5

T B T C T D T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅=≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅

⋅=≤≤

2)(

)(

)(

)15,2(15,2

)(0

TTT

SaTSTT

TT

SaTSTTT

SaTSTTTTTSa

TSTT

DCgSLDD

CgSLDDC

gSLDCB

B

gSLDB

η

η

η

η


CONFRONTO TRA SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICO, DI PROGETTO, E DI DANNO

SLU

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.001.101.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

T (sec)

S (g

)

Sel. - Sag=0,4375gSslu - q = 5Sdanno

Confronto tra gli Spettri di risposta da Normativa

Fel

FSLD (elastica!)

FSLU=Fel/q

Δy ΔSLU =qΔy ΔSLD

Spostamenti per lo SLU e SLD secondo Teoria del Fattore di Duttilità

(Uguaglianza degli Spostamenti)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 80/127 6. CAPACITY DESIGN

Le strutture in zona sismica dovrebbero essere progettate in maniera tale da garantire che per il ‘sisma di esercizio’ (SLD) il comportamento sia prevalentemente elastico lineare.

Nel caso di ‘sisma di progetto’ (SLU), si ammette che la struttura esibisca comportamento non-lineare, tale comunque da non compromettere la stabilità della stessa. La struttura deve pertanto essere dimensionata in maniera da garantire un comportamento sufficientemente duttile.

Nella progettazione è quindi di fondamentale importanza dimensionare la struttura in maniera tale che i meccanismi di comportamento non-lineare che si possono instaurare sotto azioni sismiche siano caratterizzati da elevata duttilità e comportamento stabile (meccanismi flessionali), inibendo lo sviluppo di meccanismi di rottura fragile (taglio per il c.a. e fenomeni di instabilità).

Esempi di comportamento ciclico di alcuni componenti strutturali (Paulay & Priestley, 1992).


Schema di formazione di cerniera plastica all’estremità di

travi.

-150 -100 -50 0 50 100 150Displacement (mm)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Loa

d (k

N)

Specimen: P3Section: 200x300Reinforcement: 4#16Stirrups: 1#8@75mmRe = 536 MPaRm = 632 MPaAgt = 12%No Axial Load

Esempio di Comportamento non-lineare stabile -Mensola

ad armatura simmetrica soggetta a carico concentrato all’estremità.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 82/127 La progettazione di strutture nei confronti di azioni sismiche può essere efficacemente effettuata secondo i principi del ‘Capacity Design’, che possono essere così elencati:

• Un meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile viene preliminarmente individuato.

Meccanismi di collasso tipici per alcune tipologie strutturali (Paulay & Priestley, 1992).

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 83/127 • Tale meccanismo deve esser tale da consentire la massima duttilità possibile in termine di spostamenti, con la minima

richiesta possibile di duttilità locale nelle singole sezioni.

Confronto tra meccanismi indesiderabili (a) e preferibili (b) (Paulay & Priestley, 1992).

• Le zone di potenziale sviluppo di cerniere plastiche per la struttura sono quindi individuate. Queste regioni devono essere dimensionate così da sviluppare una resistenza di progetto (Rd) il più prossima possibile ai valori di sollecitazione di progetto (Sd). I dettagli costruttivi in tali regioni devono quindi essere particolarmente curati al fine di garantire che la duttilità richiesta possa essere effettivamente sviluppata.

• Meccanismi di comportamento non-lineare non desiderabili in elementi nei quali è prevista la formazione di cerniere plastiche vengono inibiti garantendo che le forze necessarie allo sviluppo di tali meccanismi siano superiori alle forze massime che possono essere sviluppate dalle cerniere plastiche, tenendo conto di una eventuale sovraresistenza (γRdRd).

• Regioni potenzialmente fragili, o comunque non adatte allo sviluppo di meccanismi stabili di dissipazione, sono progettate in maniera tale che la loro resistenza sia superiore alla resistenza massima, considerando anche eventuali sovrareristenze, sviluppata dalle cerniere plastiche. Ciò comporta che tali regioni rimangano elastiche per qualsiasi valore delle azioni sismiche.

• Il meccanismo scelto risulta l’unico meccanismo di collasso possibile ed, oltre che essere cinematicamente ammissibile, risulta anche staticamente ammissibile. In conseguenza di ciò, il carico associato al meccanismo è l’effettivo carico ultimo della struttura.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 84/127 6.1 Esempio – Portale Semplice

L

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 85/127 Si vuole assicurare che il meccanismo di collasso sia duttile (formazione di cerniere plastiche a flessione nei punti di estremità dei pilastri).

• Progetto a flessione delle sezioni:

MRd,i ≥ MSd,i, dove MSd,i sono i momenti derivati dall’analisi;

• Progetto a taglio:

è sufficiente progettare le sezioni a taglio in maniera che il taglio resistente sia superiore al valore delle forze di taglio che si manifestano per il meccanismo di collasso prescelto nell’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico delle sezioni. Nello scrivere l’equilibrio limite è pertanto di fondamentale importanza considerare il massimo momento resistente che potrebbe essere effettivamente sviluppato dalle cerniere plastiche. In particolare, osservando che MSd viene calcolato introducendo dei fattori di sicurezza sui materiali (coefficienti γM) si potrebbe usare il valore caratteristico MRk del momento flettente. Per sezioni a comportamento duttile, si può scrivere:

MRk≈ γS MRd (γS=1.15)

In realtà, i materiali impiegati hanno generalmente caratteristiche meccaniche migliori di quelle espresse dai valori caratteristici. In particolare, l’acciaio da armatura è caratterizzato da un comportamento incrudente, con valori della resistenza ultima (ft) ben superiori al valore dello snervamento caratteristico (fyk) utilizzato nel calcolo. Pertanto, in corrispondenza delle cerniere plastiche potrebbero riscontrarsi dei momenti resistenti superiori al valore caratteristico. L’equilibrio limite viene quindi scritto considerando dei valori più elevati dei momenti plastici, ottenuti moltiplicando il momento resistente di progetto MRd per un coefficiente di sovraresistenza γRd (es. γRd=1.25) che tiene conto sia del coefficiente di sicurezza applicato al materiale sui valori caratteristici, che di altri effetti, quale l’incrudimento dell’acciaio, che possono comportare valori più elevati del momento plastico.

Un esempio di valutazione del taglio di progetto è riportato in figura.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 86/127 6.2 Verifica delle Deformazioni (Duttilità Locale)

La struttura viene progettata ipotizzando un coefficiente di duttilità μ assegnato. Lo spostamento massimo risulterà:

max |u(t)| = μuy e max |up| = max |u(t)|- uy = (μ -1) uy con riferimento alla figura, ipotizzando che la rotazione plastica avvenga attorno ad un asse passante per il punto medio della cerniera, si potrà scrivere:

6)1(

)1(6)1(

)1()1()(maxmax

2 LLLLL

uLL

tuy

py

pp

y

p

pp φ

αμφ

αμμ

θ−

−=

−−

=−

−=

−=

dove si è posto: Lp=αpL; φy=My/EI = curvatura al limite elastico, uy=φyL2/6 per il portale in esame. Ipotizzando che la rotazione plastica possa essere espressa come: θp=φpLp =αpφpL si ottiene che la curvatura plastica della sezione dovrà essere: y

ppp φ

ααμφ

)1(6)1(max

−−

=

da cui si ottiene che le sezioni critiche dovranno avere un coefficiente di duttilità minimo in termini di curvatura:

)1(61

pp ααμ

μφ −−

≥ Δ

pertanto, se per la struttura si ipotizza un coefficiente di duttilità μΔ=5, e si assume che il coefficiente αp≈ 0.05, si ottiene:

14)05.01(05.06

15≈

−⋅⋅−

≥φμ

Risulta pertanto evidente che, ai fini di garantire una prefissata duttilità in termini di spostamento di interpiano di una struttura, è sufficiente garantire che le sezioni critiche abbiano duttilità sufficiente.

θ

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 87/127 6.3 Duttilità dei Pilastri • Dal diagramma di interazione M-N si osserva che il picco corrisponde ad una sezione per cui si ha il primo

snervamento dell’armatura tesa. Quindi, il momento ultimo in questo caso coincide con il momento di primo snervamento (MRD = MY e φu = φy). Ne consegue che per valori dell’azione assiale superiori al valore in corrispondenza del quale si ha il picco, la sezione non ha alcuna duttilità (in realtà c’è comunque una duttilità, seppur modesta, dovuto al fatto che il calcestruzzo è confinato e l’acciaio non è elastico-perfettamente plastico);

• Ai fini del predimensionamento, per strutture ad alta duttilità, si dovrebbe scegliere una dimensione di sezione per cui l’azione assiale sia inferiore a quella a cui corrisponde il picco di momento flettente. Il valore adimensionale dell’azione assiale per cui si ha il picco risulta circa pari a:

5.0]/([85.085.0

≈⋅+⋅

=⋅⋅

⋅⋅⋅≈

⋅=

hd

fhbfbx

fAN sycucu

cd

cd

cdc

sdD

εεεν (x = pos. asse neutro, εcu = 3.5%o, εsy = fsyd/Es).

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 88/127 6.4 Esempio di Calcolo di Telaio Piano TELAIO PIANO IN C.A. (NODI RIGIDI) Dimensioni: Campate: L = 6,50m Altezza di Interpiano: H = 3,40m Travi: bxh = 40x45cm Pilastri: 45x45cm Materiali: Calcestruzzo: C25/30 (fck = 25 MPa) Armatura: FeB 44k (fyk = 430MPa) Coefficienti Parziali: γc = 1,6: γs = 1,15

ANALISI DEI CARICHI Zona Sismica Z=1 (a5 = 0,35g) – Terreno C (S=1,25) Permanenti: Distribuiti 650kg/m2 (450 kg/m2 cop.) = 6,5 kN/m2 (4,5 kN/m2) → Gk = 45 kN/m sulle travi incl. P.Travi → Gk = 30 kN/m sulle travi in copertura Variabili: Uso Abitazione: Piano I e II 200kg/m2 = 2 kN/m2 → Qk,1 = 13 kN/m sulle travi Neve: Tetto = 130 kg/m2 = 1,3 kN/m2 → Qk,2 = 8,5 kN/m sulle travi

Vento: (Rugosità B Categoria IV) Da + 0,0m a 8,0m Sopravvento : p = 50,9 kg/m2 = 0,51 kN/m2 → Qk,3 = 3,3 kN/m sui pilastri Sottovento : p = 25,5 kg/m2 = 0,25 kN/m2 → Qk,3 = 1,65 kN/m sui pilastri Sommità (Lineare da +8,00m) Sopravvento : p = 56,3 kg/m2 = 0,56 kN/m2 → Qk,3 = 3,65 kN/m sui pilastri Sottovento : p = 28,2 kg/m2 = 0,28 kN/m2 → Qk,3 = 1,83 kN/m sui pilastri

3,40

6,50


CONDIZIONE DI CARICO 1 – PERMANENTE Gk

45 kN/m

45 kN/m 45 kN/m

30 kN/m

CONDIZIONE DI CARICO 2 – PERMANENTE Gk

45 kN/m 45 kN/m

45 kN/m

30 kN/m 30 kN/m

CONDIZIONE DI CARICO 3 – ACCIDENTALE Qk1

13 kN/m

13 kN/m 13 kN/m

CONDIZIONE DI CARICO 4 – ACCIDENTALE Qk1

13 kN/m 13 kN/m

13 kN/m


CONDIZIONE DI CARICO 5 – NEVE Qk2

8.5 kN/m

CONDIZIONE DI CARICO 6 – NEVE Qk2

8.5 kN/m 8.5 kN/m

CONDIZIONE DI CARICO 7 – VENTO Qk3

3.3

kN/m

3.3

kN/m

3.3

kN/m

<|>

3.6

5 kN

/m

1.65

kN

/m1.

65 k

N/m1

.65

kN/m

<|>

1.8

3 kN

/m

CONDIZIONE DI CARICO 8 – VENTO Qk3

-1.6

5 kN

/m-1

.65

kN/m-1

.65

kN/m

<|>

-1.8

3 kN

/m

-3.3

kN

/m-3

.3 k

N/m-

3.3

kN/m

<|>

-3.6

5 kN

/m


SLU CARICHI VERTICALI 1.4xC1 + 1.0xC2 + 1.5xC3 + 1.5xC5

SLU CARICHI VERTICALI 1.0xC1 + 1.4xC2 + 1.5xC4 + 1.5xC6

SLU CARICHI VERTICALI + VENTO

1.4xC1 + 1.0xC2 + 0.7x1.5xC3 + 0.7x1.5xC5 + 1.5xC7 SLU CARICHI VERTICALI + VENTO

1.0xC1 + 1.4xC2 + 0.7x1.5xC4 + 0.7x1.5xC6 + 1.5xC7


SLU – DIAGRAMMA INVILUPPO (Momenti all’estremità delle Travi in kNm)

135.9 154.2 152.2

237.6 236.0 237.4

230.3 248.3 243.5


CALCOLO DEL PERIODO CON IL METODO DI RAYLEIGH COMBINAZIONE SISMICA – PESI

Gk + ΣψEiQki

dove: ψEi = ϕψ2i PI: ψEi = 0,5x0,3 - PII: ψEi = 1,0x0,3 - Cop.: ψEi = 1,0x0,2

46.95 kN/m 46.95 kN/m 46.95 kN/m

48.9 kN/m 48.9 kN/m 48.9 kN/m

31.7 kN/m 31.7 kN/m 31.7 kN/m

AZIONI ORIZZONTALI

Forze di piano: ii

iiTi zW

zWFF

Σ=

dove: FT = WTot è il peso di tutta la struttura; Wi è il peso del piano i-esimo zi è la quota del piano i-esimo;

76.1

5 kN

All loads15

8.6

kN

All loads

154.

2 kN

All loads

152.

3 kN

All loads

317.

3 kN

All loads

308.

5 kN

All loads

152.

3 kN

All loads

317.

3 kN

All loads

308.

5 kN

All loads

76.1

5 kN

All loads

158.

6 kN

All loads

154.

2 kN

All loads


METODO DI RAYLEIGH (SPOSTAMENTI VALUTATI CON E = 0.5Ec) RISULTATO DA ANALISI

sec7.0)5.184.9259.138.9514.69.456(981

5.181.5809.139.8944.62.8592

2

222

2

=

=⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

=ΔΣΔΣ

=

π

πii

iiFg

WT

CALCOLO CON SHEAR BUILDING

m1

m2

m3

1.01

1.67

2.01

cmkNLEIk /6.839

31012/451525124124 3

4

31 =⋅⋅

⋅=⋅=

cmkNLEIkk /5.1139

28012/4515251241243 3

4

32 =⋅⋅

⋅=⋅==

u1 = 2334.2/839.6 = 2.78cm = 27.8mm u2 = u1 + 1877.3/1139.5 = 4.43cm = 44.3mm u3 = u2 + 925.4/1139.5 = 5.24cm = 52.4mm

sec40.0)24.54.92543.48.95178.29.456(981

24.51.58043.49.89478.22.8592

2

222

2

=

=⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

=ΔΣΔΣ

=

π

πii

iiFg

WT

18.5

13.9

6.4

5.24

4.43

2.78


SPETTRO DI RISPOSTA DI PROGETTO (q=5.85)

SLU

0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

T (sec)

Sd

Z1 - ag = 0,35gZ2 - ag = 0,25gZ3 - ag = 0,15g

SLU Zona 1 – ag = 0.35

Terreno C – s = 1.25 Periodo da Analisi: T1 = 0.70sec Pseudo Accelerazione Spettrale: Sa = 0.133g Taglio Alla Base: FT = WTSa = 2334.2x0.133 = 310.5kN Periodo da Shear Building: T1 = 0.40sec Pseudo Accelerazione Spettrale: Sa = 0.188g Taglio Alla Base: FT = WTSa = 2334.2x0.188 = 438.8kN

COMBINAZIONE SISMICA – AZIONI VERTICALI Gk + Σψ2iQki

P.I e P II: ψ2i = 0,3 - Copertura: ψ2i = 0,2

48.9 kN/m 48.9 kN/m 48.9 kN/m

48.9 kN/m 48.9 kN/m 48.9 kN/m

31.7 kN/m 31.7 kN/m 31.7 kN/m

COMBINAZIONE SISMICA – FORZE D’INERZIA

Forze di piano: ii

iiTai zW

zWWSF

Σ=

10.1

3 kN

All loads

21.1

kN

All loads

20.5

2 kN

All loads

20.2

6 kN

All loads

42.2

kN

All loads

41.0

3 kN

All loads

20.2

6 kN

All loads

42.2

kN

All loads

41.0

3 kN

All loads

10.1

3 kN

All loads

21.1

kN

All loads

20.5

2 kN

All loads


AZIONI VERTICALI AZIONE SISMICA

VERTICALE + SISMA VERTICALE – SISMA


SISMA – DIAGRAMMA INVILUPPO

(Momenti all’estremità delle Travi ed alla Base dei Pilastri in kNm)

128.1 148.4 140.3

239.1 249.2 242.7

257.6 274.0 260.1

184.2 120.5 176.9174.8

110.4

125.6

1.6

28.9

99.6 94.5

100.3 107.3

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 98/127 6.4.1 Dimensionamento

I calcoli svolti dimostrano che il momento sollecitante all’estremità delle travi e nei pilastri è governato, come atteso, dalla combinazione di carico sismica, mentre il momento in campata è governato dai carichi gravitazionali in condizioni non sismiche.

Sulla base del diagramma inviluppo della combinazione sismica si possono pertanto determinare le armature flessionali all’estremità delle travi. Tali armature possono essere determinate con una usuale verifica flessionale allo stato limite ultimo. Ad esempio, la verifica può anche essere effettuata in via approssimata con l’usuale formula:

df

AMs

yksRd 9.0⋅⋅≈

γ.

Per ciò che riguarda le armature alle estremità delle travi, si rammenta che l’armatura compressa deve essere almeno pari a metà di quella tesa, da cui si deduce che il momento che tende le fibre sotto è sempre almeno pari alla metà del momento resistente che tende le fibre sopra (M+

Rd ≥ 0.5 M-Rd). Per quanto riguarda il dimensionamento delle armature a

taglio nelle travi e delle armature nei pilastri, si deve fare ricorso al Capacity Design: Taglio sollecitante nelle Travi

Momento sollecitante nei pilastri

Mp2,analisi

MRD,t1

Mp1,analisi

p

RtRD M

MΣ

Σ= γα

MRD,t2

• Se i momenti dei pilastri hanno verso discorde, il minore va sommato ai momenti resistenti delle travi

• Per sezione di base, utilizzare il maggiore tra il momento dell’analisi e quello all’intradosso dell’impalcato superiore

L


PROGETTO DELLE SEZIONI CRITICHE

6.5 Verifica Collasso La verifica a collasso sotto azioni orizzontali può essere svolta assumendo che il legame momento rotazione delle sezioni critiche sia rigido-plastico, ed assumendo che le cerniere plastiche si formino all’estremità delle travi ed alla base delle colonne. Con tale ipotesi, il meccanismo di collasso risulta essere quello illustrato in figura (meccanismo cinematicamente ammissibile). Se i criteri di dimensionamento (Capacity Design) consentono di garantire che le cerniere scelte siano le uniche possibili, tale meccanismo r di collasso risulta essere l’unico possibile, e quindi il carico determinato è l’effettivo carico di collasso. Tale carico rappresenta il massimo taglio alla base che la struttura è in grado di sopportare.


Il carico di collasso si determina mediante applicazione del principio dei lavori virtuali, imponendo l’uguaglianza tra il lavoro esterno ed interno:

bbbbbbccccI

ctttE

MMMMMMMML

HFHFHFL

θθθθθθθθ

θ

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+⋅+⋅=−+−+−+332211

21 33333322

)3396.02408.0196.0(

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 101/127 Da cui, osservando che H=3,4m ed utilizzando la relazione tra rotazione delle cerniere delle travi e delle colonne illustrata in figura e i valori dei momenti resistenti precedentemente calcolati, si ottiene:

{ }kNF

MMMMMML

FHFHFHFL

t

cccI

ctctttE

8.60748.7

15.1)]6.853.171(3)5.1289.256(6[)8.2645.235(215.1)](3)(6[)(2

48.7)3396.02408.0196.0(

331121

=+++++

=⇒

⋅⋅+++++=

⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅=−+−+ θ

θθ

Il taglio alla base resistente risulta essere notevolmente superiore al taglio alla base utilizzato per il dimensionamento. Pertanto, l’effettivo fattore di struttura utilizzato risulterà essere pure considerevolmente inferiore rispetto a quello inizialmente ipotizzato:

99.28.607

5.31085.5, ===≈x

FqF

FF

qt

sd

t

elteff

Essendo tutta l’analisi basata sulla risposta di solamente un modo di vibrare, quanto ottenuto ha carattere qualitativo più che non quantitativo. È comunque evidente che la struttura, data la sovraresistenza che discende dal dimensionamento dell’armatura flessionale, ha caratteristiche di resistenza parecchio in eccesso da quanto inizialmente richiesto. Si osserva infine che il calcolo del taglio alla base resistente ultimo è stato fatto a prescindere dall’eventuale sovraresistenza delle sezioni critiche. Pertanto, l’effettivo taglio resistente sarà ulteriormente superiore. Da quanto esposto, risulta evidente che la richiesta di duttilità sulla struttura progettata sarà sensibilmente inferiore a quanto preventivamente ipotizzato. Sulla base delle precedenti considerazioni, si potrebbe pensare di progettare la struttura sfruttando le attese proprietà di sovraresistenza delle sezioni terminali delle travi. A titolo di esempio, si può pensare di ridurre l’armatura in tutte le sezioni critiche, come mostrato nella figura successiva.


PROGETTO DELLE SEZIONI CRITICHE BASATO SUL COMPORTAMENTO PLASTICO

Con i medesimi calcoli precedentemente svolti si ottiene:

52.3562

5.31085.56.51648.7

15.1)]56112(3)112219(6[)8.2645.235(2 , ===≈=+++++

=x

FqF

FF

qkNFt

sd

t

eltefft

Risulta evidente che un dimensionamento basato sul calcolo plastico comporterebbe notevoli risparmi. È importante osservare che in tal caso risultano particolarmente importanti i dettagli costruttivi, al fine di garantire adeguata duttilità, e le verifiche allo SLU per le condizioni non sismiche, con particolare riferimento al vento, che potrebbe risultare critico, soprattutto per zone a bassa sismicità.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 103/127 7. CARATTERISTICHE GENERALI DEGLI EDIFICI 7.1 Regolarità

Gli edifici devono avere quanto più possibile caratteristiche di semplicità, simmetria, iperstaticità e regolarità, quest’ultima definita in base ai criteri di seguito indicati. In funzione della regolarità di un edificio saranno richieste scelte diverse in relazione al metodo di analisi e ad altri parametri di progetto. Si definisce regolare un edificio che rispetti sia i criteri di regolarità in pianta sia i criteri di regolarità in altezza.

Un edificio è regolare in pianta se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:

a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;

b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui l’edificio risulta inscritto è inferiore a 4;

c) eventuali rientri o sporgenze non superano il 25% della dimensione totale dell’edificio nella direzione del rientro o della sporgenza

d) i solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali.


Effetti torsionali indotti dall’eccentricità tra centro delle

rigidezze e centro delle masse.

Configurazioni geometriche in pianta sfavorevoli e

favorevoli (Penelis, Kappos 1997)

Sfavorevole Favorevole

Effetti di disposizioni sfavorevoli e favorevoli di elementi strutturali (Penelis, Kappos 1997)


Un edificio è regolare in altezza se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:

a) tutti i sistemi resistenti verticali dell’edificio (quali telai e pareti) si estendono per tutta l’altezza dell’edificio;

b) massa e rigidezza rimangono costanti o variano gradualmente, senza bruschi cambiamenti, dalla base alla cima dell’edificio (le variazioni di massa da un piano all’altro non superano il 25 %, la rigidezza non si abbassa da un piano al sovrastante più del 30% e non aumenta più del 10%); ai fini della rigidezza si possono considerare regolari in altezza strutture dotate di pareti o nuclei in c.a. di sezione costante sull’altezza o di telai controventati in acciaio, ai quali sia affidato almeno il 50% dell’azione sismica alla base

c) il rapporto tra resistenza effettiva e resistenza richiesta dal calcolo nelle strutture intelaiate progettate in Classe di Duttilità Bassa non è significativamente diverso per piani diversi (il rapporto fra la resistenza effettiva e quella richiesta calcolata ad un generico piano non deve differire più del 20% dall’analogo rapporto determinato per un altro piano); può fare eccezione l’ultimo piano di strutture intelaiate di almeno tre piani;

d) eventuali restringimenti della sezione dell’edificio avvengono in modo graduale, rispettando i seguenti limiti: ad ogni piano il rientro non supera il 30 % della dimensione corrispondente al primo piano, né il 20 % della dimensione corrispondente al piano immediatamente sottostante. Fa eccezione l’ultimo piano di edifici di almeno quattro piani per il quale non sono previste limitazioni di restringimento


Sfavorevole Favorevole Sfavorevole Favorevole

Configurazioni geometriche in elevazione sfavorevoli e favorevoli (Penelis, Kappos 1997)


Irregolarità in elevazione

Discontinuità di disallineamento di travi e colonne che possono creare problemi nella risposta sismica dell’edificio


Irregolarità dovute a diverse quote di

imposta in fondazione

Irregolarità dovute alla presenza di un mezzanino

Irregolarità dovute alla presenza di

tamponamenti che riducono la luce dei pilastrii


Edificio con rientri in pianta che soddisfano alla

Normativa ((Penelis, Kappos 1997)

Criteri di regolarità in Elevazione (EC8)

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 110/127 7.2 Elementi strutturali secondari

Alcuni elementi strutturali dell’edificio possono venire definiti “secondari”. Sia la rigidezza che la resistenza di tali elementi viene ignorata nell’analisi della risposta. Tali elementi tuttavia devono essere in grado di assorbire le deformazioni della struttura soggetta all’azione sismica di progetto mantenendo la capacità portante nei confronti dei carichi verticali, pertanto i particolari costruttivi definiti per gli elementi strutturali si applicano limitatamente al soddisfacimento di tale requisito.

La scelta degli elementi da considerare secondari può essere cambiata a seguito di analisi preliminari, ma in nessun caso tale scelta può determinare il passaggio da struttura “irregolare” a struttura “regolare”.

EC8 fornisce i seguenti criteri (punto 5.7):

1. Elementi secondari soggetti a deformazioni significative nella condizione di progetto sismica devono essere progettati in maniera tale da mantenere la loro capacità di sopportare le azioni gravitazionali, qualora siano soggetti alle massime deformazioni compatibili con le azioni sismiche;

2. Le massime deformazioni dovute alla condizione di carico sismico devono essere calcolate dall’analisi strutturale, considerando adeguatamente eventuali effetti P-Δ. Esse devono essere calcolate utilizzando un modello strutturale nel quale il contributo di rigidezza degli elementi secondari sia trascurato, e gli elementi sismo-resistenti primari siano modellati utilizzando la rigidezza flessionale ed a taglio fessurata (ad esempio 0,50Ig);

3. Gli elementi secondari soddisfano il criterio in (1) se il momento ed il taglio sollecitante dovuto alle deformazioni impresse calcolate secondo (2), utilizzando la rigidezza fessurata degli elementi secondari, risultano inferiori ai momenti e tagli resistenti valutati secondo EC2.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 111/127 8. MODELLAZIONE DELLA STRUTTURA ED ANALISI

Il modello della struttura su cui verrà effettuata l’analisi dovrà rappresentare in modo adeguato la distribuzione di massa e rigidezza effettiva considerando, laddove appropriato (come da indicazioni specifiche per ogni tipo strutturale), il contributo degli elementi non strutturali.

In generale il modello della struttura sarà costituito da elementi resistenti piani a telaio o a parete connessi da diaframmi orizzontali. Se i diaframmi orizzontali, tenendo conto delle aperture in essi presenti, sono sufficientemente rigidi, i gradi di libertà dell’edificio possono essere ridotti a tre per piano, concentrando masse e momenti di inerzia al centro di gravità di ciascun piano.

Gli edifici regolari in pianta possono essere analizzati considerando due modelli piani separati, uno per ciascuna direzione principale.

In aggiunta all’eccentricità effettiva, dovrà essere considerata un’eccentricità accidentale, spostando il centro di massa di ogni piano, in ogni direzione considerata, di una distanza pari al ±5% della dimensione massima del piano in direzione perpendicolare all’azione sismica.

Nel caso di edifici con struttura in cemento armato, composta acciaio-calcestruzzo e in muratura, la rigidezza degli elementi può essere valutata considerando gli effetti della fessurazione, considerando la rigidezza secante a snervamento. In caso non siano effettuate analisi specifiche, la rigidezza flessionale e a taglio di elementi in cemento armato può essere assunta pari sino al 50% della rigidezza dei corrispondenti elementi non fessurati, ad esempio in funzione dell’influuenza dello sforzo normale permanente.

Valori usuali per strutture in c.a. Pilastri: 0,4-0,7 Ig in funzione di N (cresce al crescere di N); Travi in c.a.: 0,4-0,5 Ig

Pareti in c.a.: 0.3-0.5 Ig

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 112/127 8.1 Analisi da Normativa

8.1.1 Analisi Statica Lineare

L’analisi statica lineare può essere effettuata per costruzioni regolari in altezza, anche considerando due modelli piani separati, a condizione che il primo periodo di vibrazione della struttura (T1) non superi 2.5Tc. Per edifici che non superino i 40 m di altezza, in assenza di calcoli più dettagliati, T1 può essere stimato utilizzando la formula seguente.

4311

/HCT =

Dove H è l’altezza dell’edificio, in metri, dal piano di fondazione e C1 vale 0,085 per edifici con struttura a telaio in acciaio, 0,075 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo e 0,050 per edifici con qualsiasi altro tipo di struttura.

L’analisi statica consiste nell’applicazione di un sistema di forze distribuite lungo l’altezza dell’edificio assumendo una distribuzione lineare degli spostamenti. La forza da applicare a ciascun piano è data dalla formula seguente:

∑=

jj

iihi Wz

WzFF

dove: Fh = Sd(T1) W λ Fi è la forza da applicare al piano i Wi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamente zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni Sd(T1) è l’ordinata dello spettro di risposta di progetto W è il peso complessivo della costruzione, calcolato secondo quanto indicato per ogni tipo strutturale λ è un coefficiente pari a 0,85 se l’edificio ha almeno tre piani e se T1 < 2 Tc , pari a 1,0 in tutti gli altri casi

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 113/127 Gli effetti torsionali accidentali possono essere considerati amplificando le forze da applicare a ciascun elemento verticale con il fattore (δ) risultante dalla seguente espressione:

δ = 1 + 0.6 x/Le

dove:

x è la distanza dell’elemento resistente verticale dal baricentro geometrico dell’edificio, misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica considerata.

Le è la distanza tra i due elementi resistenti più lontani, misurata allo stesso modo.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 114/127 8.1.2 Analisi Dinamica Modale

L’analisi modale, associata allo spettro di risposta di progetto, è da considerarsi il metodo normale per la definizione delle sollecitazioni di progetto; va applicata ad un modello tridimensionale dell’edificio. Due modelli piani separati possono essere utilizzati a condizione che siano rispettati i criteri di regolarità in pianta. Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%, e comunque un numero di modi per i quali la somma delle masse partecipanti sia superiore all’85% della massa totale.

La combinazione dei modi al fine di calcolare sollecitazioni e spostamenti complessivi potrà essere effettuata calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS) dei risultati ottenuti per ciascun modo, a condizione che il periodo di vibrazione di ciascun modo differisca di almeno il 10% da tutti gli altri. In caso contrario dovrà essere utilizzata una combinazione quadratica completa (CQC).

(SRSS) ∑= 2iEE

(CQC) ∑∑=i j

jiij EEE ρ

dove: E è il valore totale della componente della risposta sismica che si sta considerando Ei è il valore della medesima componente dovuta al modo i Ej è il valore della medesima componente dovuta al modo j

222222

2/32

8)1(4)1(

)1(8

ijijijij

ijijij

βξββξβ

ββξρ

+++−

+= è il coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j

ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente βij è il rapporto tra le frequenze di ciascuna coppia i-j di modi (βij = ωi/ωj).

Gli effetti torsionali accidentali possono essere considerati in modo analogo a quanto indicato per il caso di analisi lineare statica.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 115/127 8.1.3 Analisi Statica Non Lineare (Analisi Push-Over)

I metodi precedenti, essendo basati su un comportamento elastico-lineare della struttura, non sono in grado di tener conto in maniera esplicita della duttilità strutturale e dell’evoluzione del comportamento non-lineare della struttura. In essi, la duttilità viene considerata esclusivamente mediante il coefficiente di struttura.

Questi metodi non sono pertanto in grado di cogliere i cambiamenti nella risposta della struttura che si manifestano man mano che ciascun elemento abbandona il comportamento elastico e si comporta in modo duttile. A tal fine, la Normativa suggerisce che possano essere utilizzati metodi di analisi statica non-lineare (metodi di analisi “push-over”), i quali consentono di studiare l’evoluzione in campo non-lineare della struttura, rivelandosi strumenti molto utili in fase di analisi di una struttura al fine di verificare la correttezza delle ipotesi inerenti la sua effettiva duttilità strutturale e l’entità degli spostamenti massimi.

L’analisi statica non lineare consiste nell’applicare all’edificio i carichi gravitazionali ed un sistema di forze orizzontali monotonamente crescenti fino al raggiungimento delle condizioni ultime.

Il metodo così come definito nella norma è applicabile solo alle strutture in pianta ed in elevazione, per le quali l’analisi possa essere affrontata studiando la risposta di due modelli piani scelti secondo due direzioni ortogonali. In questo caso, infatti, la risposta della struttura, oltre che essere disaccoppiata nelle due direzioni, è dominata da un solo modo di vibrare, che è caratterizzato da una massa modale efficace generalmente compresa tra il 60% ed il 90% della massa totale del sistema.

L’analisi push-over consiste nell’applicare in maniera incrementale delle particolari distribuzioni di forze laterali statiche ad un modello matematico della struttura soggetto ai carichi gravitazionali, considerando il comportamento non-lineare dei materiali e gli effetti del II ordine.

Le forze orizzontali vengono scalate, mantenendo costante il rapporto tra le medesime, in modo da far crescere monotonamente, fino a collasso, lo spostamento di un punto di controllo, generalmente posto in corrispondenza del baricentro dell’ultimo impalcato. La curva taglio alla base – spostamento del punto di controllo rappresenta la capacità

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 116/127 della struttura. Il massimo spostamento verrà quindi confrontato con il massimo spostamento che la struttura si suppone subisca sotto il sisma di progetto.

In corrispondenza di ogni punto della curva di capacità è inoltre possibile verificare l’effettivo comportamento della struttura con riferimento sia alla sua resistenza che deformabilità.

Al variare della distribuzione delle forze orizzontali applicate e del maniera in cui si valuta lo spostamento del nodo di controllo si distinguono diverse tipologie di analisi statica non-lineare. Il metodo proposto dalla Normativa si articola nei punti seguenti.

1. Determinazione della risposta non-lineare della struttura e di un legame forza-spostamento di un punto di controllo del sistema a NGDL

Si applicano ad un modello piano della struttura alternativamente due distribuzioni di forze orizzontali definite come:

a. distribuzione di forze di piano proporzionale al prodotto delle masse di piano per lo spostamento di piano relativo al I modo di vibrare. Questa distribuzione di forze è rappresentativa della risposta dinamica della struttura in campo elastico;

b. distribuzione di forze di piano proporzionale alla sola massa di ciascun piano. Tale distribuzione è rappresentativa del comportamento dinamico della struttura in campo plastico.

Data che le distribuzioni di forze considerate rappresentano le condizioni limite per la struttura, vanno analizzate entrambe, eseguendo le verifiche esposte nel seguito.

Definite le forze, si esegue una analisi non-lineare incrementale fino a collasso, mantenendo costante il rapporto tra le forze applicate, e si determina un legame forza-spostamento dove la forza è il taglio alla base, e lo spostamento è quello relativo ad un punto di controllo, generalmente coincidente con il baricentro della sommità della struttura.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 117/127 2. Determinazione delle caratteristiche di un sistema non-lineare equivalente ad 1GDL

Una volta determinata l’autovettore φ1 (forma modale) relativo al primo modo di vibrare, normalizzato rispetto allo spostamento del punto di controllo posto uguale ad 1, si calcola il suo coefficiente di partecipazione come:

∑∑

=Γ21,

1,

ii

ii

m

m

φ

φ dove mi e φi,1 sono la massa e lo spostamento del piano i, rispettivamente.

In campo elastico, la forza F* e lo spostamento d* sono legati al taglio alla base ed allo spostamento del punto di controllo dalle relazioni:

Γ

= bFF * e

Γ= cd

d * .

Una volta definita dall’analisi non-lineare push-over la curva Fb-dc, si definisce un legame elasto-plastico equivalente caratterizzato dai seguenti valori allo snervamento:

Γ

= buy

FF * e *

**

k

Fd y

y = .

Dove k* è la rigidezza secante equivalente determinata imponendo l’uguaglianza delle aree illustrate in figura.

Il periodo proprio del sistema equivalente ad 1GDL risulta pertanto: *

** 2

kmT π= dove ∑= 1,

*iimm φ

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 118/127 3. Determinazione dello spostamento massimo atteso del sistema equivalente mediante lo spettro di risposta

Se T* ≥ Tc, il massimo spostamento per il sisma di progetto può essere valutato mediante l’utilizzo dello spettro elastico per il sisma di progetto (principio di uguaglianza degli spostamenti):

)( *,max,

*max TSdd ede ==

altrimenti, se T* < Tc, lo spostamento massimo del sistema non-lineare è maggiore di quello del sistema elastico e risulta:

max,**

*max,*

max )1(1 ece d

TTq

qd

d ≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

dove q* è un fattore di riduzione della forza elastica massima pari al rapporto tra la forza elastica massima (prodotto tra la pseudo accelerazione spettrale Se(T*) e la massa equivalente m*) e la forza al limite di snervamento del sistema equivalente (F*

y)

1)(*

*** ≥=

y

e

FTSmq

4. Verifica dello spostamento massimo del sistema non-lineare

La verifica consiste nel confrontare lo spostamento massimo del punto di controllo ottenuto dall’analisi non-lineare con lo spostamento massimo atteso precedentemente ottenuto, scalato per il coefficiente di partecipazione. La verifica risulta pertanto:

*max50,1 ddc Γ≥

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 119/127 Noto lo spostamento del punto di controllo è inoltre possibile eseguire la verifica dell’edificio, controllando in particolare la compatibilità degli spostamenti tra elementi duttili ed elementi fragili della struttura.

L’analisi illustrata consente di ricavare utili informazioni sulla effettiva risposta strutturale. In particolare, è indicata per i seguenti scopi:

• valutare i rapporti di sovraresistenza αu/α1 della struttura;

• valutare l’effettiva richiesta di resistenza su elementi ritenuti fragili;

• valutare l’effettiva richiesta di duttilità negli elementi duttili;

• valutare una realistica distribuzione di domanda anelastica degli edifici progettati con un coefficiente di struttura q;

• possibilità di controllare gli effetti della perdita di resistenza di un elemento sulla risposta dell’intera struttura;

• individuare le zone critiche nelle quali è richiesta la maggiore duttilità;

• valutare la risposta di edifici esistenti.

Per gli edifici in muratura il metodo prevede solo una verifica globale in spostamento, e non le verifiche nei singoli elementi. Le proprietà degli elementi possono essere basate, salvo diversa indicazione, sui valori medi delle proprietà dei materiali.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 120/127 8.2 Combinazione delle Componenti dell’Azione Sismica

Le componenti orizzontali e verticali dell’azione sismica saranno in generale considerate come agenti simultaneamente. I valori massimi della risposta ottenuti da ciascuna delle due azioni orizzontali applicate separatamente potranno essere combinati calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati, per la singola componente della grandezza da verificare, oppure sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione il 30 % dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione.

L’azione sismica verticale dovrà essere obbligatoriamente considerata nei casi seguenti: presenza di elementi pressoché orizzontali con luce superiore a 20 m, di elementi principali precompressi, di elementi a mensola, di strutture di tipo spingente, di pilastri in falso, edifici con piani sospesi. L’analisi sotto azione sismica verticale potrà essere limitata a modelli parziali comprendenti gli elementi indicati. In ogni caso il modello, parziale o globale, dovrà prendere correttamente in conto la presenza di masse eccitabili in direzione verticale. Quando per gli elementi di cui sopra l’azione orizzontale produce effetti superiori al 30 % di quelli dovuti alle azioni verticali in qualche sezione, si considereranno gli effetti massimi risultanti dall’applicazione di ciascuna delle azioni nelle tre direzioni sommati al 30 % dei massimi prodotti dall’azione in ciascuna delle altre due direzioni.

8.3 Fattori di Importanza

Categoria Edifici Fattore di Importanza γI

I Edifici la cui funzionalità durante il terremoto ha importanza fondamentale per la protezione civile (ad esempio ospedali, municipi, caserme dei vigili del fuoco)

1.4

II Edifici importanti in relazione alle conseguenze di un eventuale collasso (ad esempio scuole e teatri)

1.2

III Edifici ordinari, non compresi nelle categorie precedenti 1.0

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 121/127 8.4 Valutazione degli Spostamenti

Gli spostamenti indotti dall’azione sismica relativa allo stato limite ultimo potranno essere valutati moltiplicando gli spostamenti ottenuti utilizzando lo spettro di progetto corrispondente per il fattore di struttura q e per il fattore γI di importanza utilizzati. Gli spostamenti indotti dall’azione sismica relativa allo stato limite di danno potranno essere valutati moltiplicando gli spostamenti ottenuti utilizzando lo spettro di progetto corrispondente per il fattore di importanza utilizzato (spostamenti allo SLD uguali agli spostamenti relativi allo SLU divisi per 2,5).

In caso di analisi non lineare, statica o per integrazione delle equazioni del moto, gli spostamenti saranno ottenuti direttamente dall’analisi. 8.5 Considerazione di elementi non strutturali

Tutti gli elementi costruttivi senza funzione strutturale, il cui danneggiamento può provocare danni a persone, dovranno in generale essere verificati all’azione sismica, insieme alle loro connessioni alla struttura.

L’effetto dell’azione sismica potrà essere valutato considerando una forza (Fa) applicata al baricentro dell‘elemento non strutturale, calcolata secondo la relazione seguente:

a

Iaaa q

γSW F =

Dove: Wa è il peso dell’elemento; γI è il fattore di importanza della costruzione; qa è il fattore di struttura dell’elemento, da considerare pari ad 1 per elementi aggettanti a mensola (quali ad

esempio camini e parapetti collegati alla struttura solamente alla base) e pari a 2 negli altri casi (ad esempio per pannelli di tamponamento e controsoffitti)


Sa è il coefficiente di amplificazione di cui alla relazione seguente

g

Sa

TTHZ

gSa

S g

a

ga ≥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+

+= 5,0

)/1(1)/1(3

21

dove: Sag è l’accelerazione di progetto al terreno; Z è l’altezza del baricentro dell’elemento rispetto alla fondazione; H è l’altezza della struttura; g è l’accelerazione di gravità; Ta è il primo periodo di vibrazione dell’elemento non strutturale nella direzione considerata, valutato anche in modo approssimato. T1 è il primo periodo di vibrazione della struttura nella direzione considerata

Gli effetti dei tamponamenti sulla risposta sismica vanno considerati nei modi e nei limiti descritti per ciascun tipo costruttivo

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 123/127 8.6 Impianti Le prescrizioni riportate nel seguito riguardano gli elementi strutturali che sostengono e collegano tra loro e alla struttura principale i diversi elementi funzionali costituenti l’impianto. Ciascun elemento di un impianto che ecceda il 30% del carico permanente totale del solaio su cui è collocato o il 10% del carico permanente totale dell’intera struttura, non ricade nelle prescrizioni successive e richiederà uno specifico studio. L’effetto dell’azione sismica potrà essere valutata considerando una forza (Fa) applicata al baricentro di ciascuno degli elementi funzionali componenti l’impianto, calcolata utilizzando le equazioni di cui sopra. La progettazione degli elementi strutturali che sostengono e collegano i diversi elementi funzionali costituenti l’impianto tra loro e alla struttura principale dovrà seguire le stesse regole adottate per gli elementi strutturali degli edifici. Gli eventuali componenti fragili dovranno essere progettati per avere resistenza allo snervamento doppia di quella degli eventuali elementi duttili ad essi contigui, ma non superiore a quella risultante da un’analisi eseguita con coefficiente di struttura pari ad 1. Gli impianti non dovranno essere vincolati all’edificio contando sul solo effetto dell’attrito. Dovranno esser soggetti a verifica sia i dispositivi di vincolo che gli elementi strutturali o non strutturali cui gli impianti sono fissati. Gli impianti potranno essere collegati all’edificio con dispositivi di vincolo rigidi o flessibili; gli impianti a dispositivi di vincolo flessibili sono quelli che hanno periodo di vibrazione T ≥ 0,1 s. Se si adottano dispositivi di vincolo flessibili i collegamenti di servizio dell’impianto dovranno essere flessibili e non dovranno far parte del meccanismo di vincolo. Impianti a gas dimensionati per un consumo superiore ai 50 m3/h dovranno essere dotati di valvole per l’interruzione automatica della distribuzione in caso di terremoto. I tubi per la fornitura del gas, al passaggio dal terreno all’edificio, dovranno essere progettati per sopportare senza rotture i massimi spostamenti relativi edificio-terreno dovuti all’azione sismica di progetto. I corpi illuminanti dovranno essere dotati di dispositivi di sostegno tali da impedirne il distacco in caso di terremoto; in particolare, se montati su controsoffitti sospesi, dovranno essere efficacemente ancorati ai sostegni longitudinali o trasversali del controsoffitto e non direttamente ad esso.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 124/127 9. VERIFICHE DI SICUREZZA

Per tutti gli elementi strutturali e non strutturali, inclusi nodi e connessioni tra elementi, dovrà essere verificato che il valore di progetto di ciascuna sollecitazione (Ed), calcolato in generale comprendendo gli effetti del secondo ordine e le regole di gerarchia delle resistenze (Capacity Design) indicate per le diverse tecniche costruttive, sia inferiore al corrispondente valore della resistenza di progetto (Rd), calcolato secondo le regole specifiche indicate per ciascun tipo strutturale.

Gli effetti del secondo ordine potranno essere trascurati nel caso in cui la condizione seguente sia verificata ad ogni piano:

θ = Pd/Vh < 0.1

dove: P è il carico verticale totale di tutti i piani superiori al piano in esame d è lo spostamento interpiano, ovvero la differenza tra gli spostamenti al solaio superiore ed inferiore V è la forza orizzontale totale al piano in esame h è l’altezza del piano

Quando θ è compreso tra 0.1 e 0.2 gli effetti del secondo ordine possono essere presi in conto incrementando le forze sismiche orizzontali di un fattore pari a l/(l-θ).

θ non può comunque superare il valore 0.3.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 125/127 Si noti inoltre che θ rappresenterebbe l’inverso del moltiplicatore critico del carico assiale P:

a)

d

h

k

r

P

Condizione di equilibrio indifferente:

θ===→=→==VhPd

PP

mdVhPVkd

hdP r

crcrrcrr

rcr 1

Poiché le sollecitazioni del 2° ordine possono essere ottenute, in modo approssimato, moltiplicando le sollecitazioni del 1° ordine per 1/(1-1/mcr), risulta spiegata la prescrizione dell’Ordinanza per θ<0,2.

Per 0,2<θ<0,3 l’Orinanza 3431 e l’Eurocodice 8 prescrivono l’analisi del 2° ordine senza però dare indicazioni sulla sua esecuzione. Una possibilità consiste nell’eseguire una analisi a spettro di risposta (o un’analisi statica equivalente), eseguita tenendo conto degli effetti del 2° ordine dovuti alle azioni assiali P effettive, ed utilizzando lo spettro elastico. I risultati di tale procedura non sono necessariamente realistici. Per 0,2<θ<0,3 sarebbe quindi corretta solo l’analisi dinamica non lineare!

Si ritiene quindi generalmente più semplice ed opportuno limitare θ a 0,2.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 126/127 9.1 Duttilità e capacità di spostamento

Dovrà essere verificato che i singoli elementi strutturali e la struttura nel suo insieme possiedano una duttilità coerente con il fattore di struttura (q) adottato. Questa condizione si potrà ritenere soddisfatta applicando le regole di progetto specifiche e di gerarchia delle resistenze indicate per le diverse tipologie costruttive. Alternativamente, e coerentemente con modello e metodo di analisi utilizzato, si dovrà verificare che la struttura possieda una capacità di spostamento superiore alla domanda. 9.2 Stato Limite di danno

Per l’azione sismica di progetto per lo SLD dovrà essere verificato che gli spostamenti strutturali non producano danni tali da rendere temporaneamente inagibile l’edificio. Questa condizione si potrà ritenere soddisfatta quando gli spostamenti interpiano ottenuti dall’analisi (dr) siano inferiori ai limiti indicati nel seguito.

a) per edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura che interferiscono con la deformabilità della stessa dr ≤ 0.005 h

b) per edifici con tamponamenti progettati in modo da non subire danni a seguito di spostamenti di interpiano drp , per effetto della loro deformabilità intrinseca ovvero dei collegamenti alla struttura: dr ≤ drp ≤0.010 h,

c) per edifici con struttura portante in muratura ordinaria dr ≤ 0.003 h

d) per edifici con struttura portante in muratura armata dr ≤ 0.004 h

dr = spostamento di interpiano; differenza tra gli spostamenti al solaio superiore ed inferiore e h è l'altezza del piano. In caso di coesistenza di diversi tipi di tamponamenti o struttura portante nel medesimo piano dell'edificio dovrà essere assunto il limite di spostamento più restrittivo. Qualora gli spostamenti di interpiano siano superiori a 0.005 h (caso b) le verifiche della capacità di spostamento degli elementi non strutturali vanno estese a tutti i tamponamenti, alle tramezzature interne ed agli impianti.

Comportamento delle strutture in c.a. in zona sismica Pagina 127/127 9.3 Giunti sismici

Il martellamento tra strutture contigue deve essere evitato, creando giunti di dimensione non inferiore alla somma degli spostamenti allo stato limite ultimo delle strutture medesime. In ogni caso la distanza tra due punti degli edifici posti alla medesima altezza non potrà essere inferiore ad 1/100 della quota dei punti considerati misurata dallo spiccato delle strutture in elevazione, moltiplicata per ag/0,35g. Lo spostamento massimo di un eventuale edificio contiguo esistente non isolato alla base potrà essere stimato in 1/100 dell’altezza dell’edificio, moltiplicato per ag/0,35g.

9.4 Diaframmi orizzontali

I diaframmi orizzontali devono essere in grado di trasmettere le forze tra i diversi sistemi resistenti a sviluppo verticale. A tal fine si considereranno agenti sui diaframmi le forze ottenute dall’analisi, aumentate del 30 %.

Quando tale verifica sia necessaria si considereranno agenti sui diaframmi le forze ottenute dall’analisi, aumentate del 30%. I solai potranno essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano, a condizione che le aperture presenti non ne riducano significativamente la rigidezza, se realizzati in cemento armato, oppure in latero-cemento con soletta in c.a. di almeno 40 mm di spessore, o in struttura mista con soletta in cemento armato di almeno 50 mm di spessore collegata da connettori a taglio opportunamente dimensionati agli elementi strutturali di solaio in acciaio o in legno. Nel caso di altre soluzioni costruttive l'ipotesi di infinita rigidezza dovrà essere valutata e giustificata dal progettista

In ogni caso, risulta di fondamentale importanza l’organizzazione dell’impalcato, soprattutto in presenza di pareti, le quali scambiano notevoli azioni tangenziali con gli impalcati. In particolare, è importante introdurre cordoli e lesene che siano in grado di incassare le azioni derivanti dai setti.

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