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1

Effetto della tensione media sulla vita a fatica

Come affrontare il progetto di un componente sollecitato contemporaneamente da un carico statico e da una sollecitazione ciclica?

2


È molto importante, quindi, valutare l’effetto sulla durata di una tensione costante sovrapposta ad una sollecitazione di fatica alterna simmetrica, per la quale sia disponibile la curva di Wöhler.

Le prove di fatica, come si è detto, vengono effettuate in genere con cicli a media nulla (R= –1).

Nella pratica costruttiva accade molto di frequente che le sollecitazioni cicliche siano caratterizzate da una tensione media, non nulla, di trazione o di compressione.

I dati riportati nella figura rappresentano una serie di prove effettuate con diversi valori della tensione media.

Come si vede la σadecresce all’aumentare della tensione media di trazione.

Quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σmprima di sentirne l’effetto e diminuire.

Tra i dati sono riportati solo quelli per i quali la rottura è avvenuta ad un particolare numero di cicli, uguale per tutti.


Si possono immaginare diversi modelli che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.

a

m

N

N = costante

Relazione lineare di Goodman:

a

Nlog

N

N

Curva di Wöhler(R= –1)

RR SS

1R

m

N

a

Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.

3

a

m



1S

m

N

a


N

N = costante

Relazione lineare di Soderberg:

RR SS

a

m



12

R

m

N

a


N

N = costante

Relazione parabolica di Gerber:

RR SS

4

a

m



122

R

m

N

a


N

N = costante

Relazione ellittica:

RR SS


Dati sperimentali relativi a due diversi materiali sovrapposti ai modelli di Goodman e di Gerber.

Acciaio

Alluminio

Goodman

Gerber

Goodman

Gerber

5


Tra i modelli descritti, si utilizza quello lineare di Goodmanperché rappresenta in modo sufficientemente accurato la realtà ed è di semplice applicazione.

È anche utilizzato il modello lineare di Soderberg che ha il vantaggio di essere più conservativo rispetto a quello di Goodman.

a

Nlog

N

N


Area di sopravvivenza ad N cicli (Goodman)

In accordo con l’evidenza sperimentale

non c’è riduzione della σa in caso di tensione statica di compressione.

1

1

R

S

1

R

S

N

a

R

m

1R

m

N

a

1S

m

N

a

Area di sopravvivenza ad N cicli (Soderberg)

σmax

σmin

σmedio


a

Nlog

N

N


Il diagramma di Goodman Smith

σN

-σN

σR

σR

N cicli

σ

t

6

σmax

σmin

σmedio


a

Nlog

N

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

σmax

σmin

σmedio


a

Nlog

N

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

7

σmin


a

Nlog

N

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

σmax

σmedio

σmin


a

Nlog

N

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

σmax

σmedio

8

σmin


a

Nlog

N

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

σmax

σmedio

σmax

σmin

σmedio

Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

Costruzione del diagramma di Goodman Smith per un numero N di cicli.

N cicli

All’interno dell’area di sopravvivenza: vita superiore ad N cicli

Sulla linea di bordo:vita di N cicli

All’esterno dell’area:vita inferiore ad N cicli

9

σmax

σmin

σmedio


σS

σS

-σS

-σS

Costruendo il diagramma per un numero maggiore di cicli N si avrà una tensione σN minore.

N cicliσR

σR

σN

-N

-σN

σN

σmin


σS

σS

-σS

-σS

Costruendo il diagramma per un numero minore di cicli N si avrà una tensione σN maggiore.

N cicliσR

σR

σN

-σN

σmax

σmedio

10


Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.

A tale scopo conviene suddividerlo in

quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.

N cicli

NSm SN

σmedio

zona a) SNmS

zona b) 0 mSN σmin

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

Nel punto indicato dal cerchio giallo il valore della tensione media vale:

quindi:

σmax

σmedio




N cicli

σmedio

zona a) S min

zona b) mN min

σmin

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

Nm min

Nelle zone a) e b), relative ad uno stato di compressione media, il valore della tensione minima di picco può essere espresso come segue:


σmax

σmedio

11




N cicli

NR

NSRm

σmin

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

rNS

1

R

Nr

Nel punto indicato dal cerchio giallo il

valore di σmedio può essere ottenuto dall’equazione della retta passante per i punti:

RR

N

yx

yx

22

11 0

Sm yx ?


σmax

σmedio




N cicli

σmin

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

zona c)r

NSm

10

zona d) SmNS

r

1



Nelle zone c) e d) il campo di validità della tensione media è dato da:


σmax

σmedio

RR

N

yx

yx

22

11 0

Sm yx ?

12




N cicli

σmin

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

zona c)R

NRmN

max

zona d) S max

mN r 1max

Il valore della tensione massima di picco è dato da:


σmax

σmedio

RR

N

yx

yx

22

11 0

Sm yx ?




mN r 1max

S max

rNS

m

1

0

SmNS

r

1

SNmS

0 mSN

S min

Nm min

Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:

Campo di validità della tensione media

zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Tensione massima / minima

2minmax

mRicordando la definizione di tensione media: è possibile riscrivere

le due prime relazioni in termini di tensione massima, invece che di tensione minima.

maxmin 2 m

13


mN r 1max

S max

rNS

m

1

0

SmNS

r

1

SNmS

0 mSN



zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Tensione massima

Nm max

Sm 2max


mN r 1max

S max

rNS

m

1

0

SmNS

r

1

SNmS

0 mSN



zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Condizione di danneggiamento:

Nm max

Sm 2max

14


I diagrammi Master (di Weyrauch e Kommerell)

Una diversa forma di presentazione dell’interazione tra resistenza ad una sollecitazione ciclica e ad un carico statico è quella dei cosiddetti “diagrammi Master”.

σm

ass

ima

σminima

R = 0R = -1 R = 1R = -0.5 R = 0.5A = 1 A = 0A = ∞

σR

σN1

σN2

N1 < N2

N1 N2

minmax minmax

Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master

15



16

a

Nlog


a

m

Il piano di Soderberg

1N

L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata

anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm

ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.


R

1N

1N

a

Nlog


a

m


1N




2N


R

2N

2N

1N

1N

17

a

Nlog


a

m


1N




2N

3N


R

2N

2N

1N

1N

3N

3N

a

m


1N


anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm


m

a P

2N

3N

mR

NNa

Per un qualsiasi punto P sul segmento la si può esprimere come segue:

N Ra


S

S R

rNS

1

In modo analogo a quanto è stato fatto sul diagramma di Goodman Smith si evita di superare la tensione di snervamento del materiale.

La linea rossa rappresenta il limite elastico.

18

a

m

N

RSr

NS

1

m

a P

Limitando l’area con un segmento σN σS si restringe ulteriormente il campo di progetto, andando a favore della sicurezza, e la relazione precedente può essere modificata.

mS

NNa

Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il piano di Soderberg

Per un qualsiasi punto P sul segmento la si può esprimere come segue:

N Ra

mR

NNa

Nell’area verde il componente ha una vita superiore ad N

Sulla linea blu la vita è esattamente N

All’esterno della linea blu la vita è inferiore ad N


anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm


σmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

N cicli


La stessa semplificazione può essere rappresentata sul diagramma di Goodmann Smith:

19

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica

F

F

A

Fn

Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.


F

F

A

Fn

Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.

F

F

Zona di concentrazione delle tensioni

nlocale k

k dipende dalla forma dell’intaglio

20


Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale

Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dellìintaglio immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.


Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale

Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dell’intaglio immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.

Per l’effetto Poisson questa zona tenderebbe a contrarsi, ma non può farlo per congruenza con il materiale circostante.

La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.

21

Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno dell’intaglio e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.

Il fattore di triassialità dello stato di tensione




Nella vista dall’alto la contrazione laterale dei parallelepipedi appare evidente

Imponendo la congruenza

Prima dell’applicazione del carico

Dopo applicazione del carico

Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno dell’intaglio e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.

22


Per effetto della contrazione laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.

Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.



Per effetto della contrazione laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.

Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.

Effetto dell’intaglio sullo stato di tensione.


23


Molti organi meccanici hanno, per motivi funzionali, una forma che provoca effetti locali di intaglio.

Naturalmente si cerca di ridurre al massimo la severità dell’intaglio con raggi di raccordo ampi, per quanto possibile.

Tuttavia, come mostrano gli schizzi in figura, spesso non è possibile evitare le brusche variazioni di forma e la tensione locale può raggiungere valori pari ad oltre 3÷4 volte la tensione nominale.

ntK

max

Fattore di intaglio teorico

Fattore di intaglio


x

y

x

y

La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.

Fattore di intaglio

yy

xTensione nominale

24


La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.

ntK

max

Nel caso di foro circolare (di piccole dimensioni rispetto a quelle della piastra) il fattore di intaglio vale 3.

3

Fattore di intaglio

y

x

1

2

3

4

R

Tensione nominale

max

Nel caso più generale di lastra piana con un foro ellittico il massimo valore della tensione dipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.

b

an 21max

a

n 21max

Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è

a

b2

per cui si ha:

Il fattore di intaglio quindi vale:


a

Kt 21

Fattore di intaglio

25


E

EK s21

sE = modulo secante

Il comportamento plastico del materiale può ridurre il fattore di concentrazione della tensione.

Ne risulta, tuttavia, incrementato il fattore di concentrazione della deformazione.

E

EKK s

tP 11 (foro circolare)

Fattore di intaglio

sE

E


ntK

max

Nei casi più complessi si ricorre a diagrammi che forniscono il fattore di intaglio in base al tipo di carico applicato ed alle caratteristiche geometriche salienti.

Fattore di intaglio

26


14.0d

r

7.1tK

5.1d

D

ntK

max

Fattore di intaglio

5.1tK

16.0d

r

2.1d

D

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio

ntK

max

2.1tK

16.0d

r

2.1d

D

27

Effe

tto d

elle

con

cent

razi

oni d

i ten

sion

e su

lla v

ita a

fatic

aFattori di intaglio


Torsione Flessione Torsione Flessione Torsione Flessione

1,3 1,6 1,3 1,3 1,6 2,01,6 2,0 1,6 1,6 2,4 3,0

Ricotto

Temprato

Incastrata AmericanaDrittaCondizione del

materiale dell'albero

Tipo di chiavetta o linguetta

Fattori di intaglio per un albero sede di una cava per chiavette o linguette

Torsione

1,4 1,7

Flessione

Fattori di intaglio per un alberosede di collegamento forzato

28


Nel progetto di un componente che sarà sollecitato a fatica è necessario curare il disegno in modo tale che, pur assicurando la funzionalità, sia minimo il fattore di intaglio.

L’intensificazione locale della tensione è maggiore dove le linee isostatiche sono maggiormente addensate.

Fattore di intaglio

Miglioramento

Effe

tto d

elle

con

cent

razi

oni d

i ten

sion

e su

lla v

ita a

fatic

a

Curare il disegno per rendere

minimo il fattore di intaglio.

29


Effetto dei fori ausiliari sul fattore di intaglio.

Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.

Fattore di intaglio


30




Fattore di intaglio

31



Fattore di intaglioE

ffetto

del

le c

once

ntra

zion

i di t

ensi

one

sulla

vita

a fa

tica

Curare il disegno per rendere

minimo il fattore di intaglio.

32


La sensibilità all’intaglio.

1

1

t

e

K

Kq

I materiali metallici sono più o meno sensibili alla presenza di un intaglio.

Può essere definito un fattore di sensibilità all’intaglio, definito come segue:

dove Ke rappresenta il fattore effettivo di intaglio, mentre Kt indica, come sempre, il fattore teorico di intaglio.

r

q

1

1Il fattore q può essere calcolato come segue:

Dove è una caratteristica del materiale ed r è il raggio di raccordo

(Neuber)

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.

Andamento del parametro in funzione della tensione di rottura del materiale

33


r

q

1

1

Per elementi cilindrici a sezione circolare

dR

S 27.11108.5

3

valida in mm

dove d è il diametro del componente.

Il fattore q si trova in letteratura espresso anche da una relazione leggermente differente:

può essere dato dalla relazione:

br

aq

1

1

Un’altra espressione di q è quella di Haywood:

dove: a è una costante funzione del materiale

b dipende dal tipo di intaglio

b =1

M M

M M

b =0.35

b =0.26

M M

r è il raggio di raccordo

Tipo di materiale a (mm)^0.5

Acciai al C

Leghe di Magnesio

0,328

0,151

0,353

0,453

0,222

Acciai legati

Leghe di Rame

Leghe di Alluminio


34


Valore di q in funzione del raggio di raccordo r


Valore di q in funzione del raggio di raccordo r

35

11 te KqK

Il fattore effettivo di intaglio può dunque essere espresso dalla relazione:


Il fattore effettivo di intaglio è applicabile ai materiali duttili nel caso di sollecitazione ciclica

Per i materiali fragili si applicherà sempre il valore teorico del fattore di intaglio:

tK

Ciò equivale a considerare, per tali materiali la massima

sensibilità all’intaglio: q = 1


Valore del fattore di intaglio applicabile

Materiali duttili

Materiali fragili

Sollecitazionestatica

Sollecitazioneciclica

1

Kt Kt

Ke

Fattore di intaglio

36


Nel caso di materiali duttili, il fattore di intaglio effettivo andrà applicato solo alla parte alterna della sollecitazione.

eaintaglioa K

1 mintagliom

Ke aa

t

mintagliom

Sollecitazione realeapplicata al componente con intaglio.

Sollecitazione amplificataapplicata ad un componente privo di intaglio.

aem K max

max

Effetto delle dimensioni sulla vita a fatica

σN reale= b1 * σN

Diametro (mm)

Fat

tore

di c

orre

zion

e b 1

D

37

Effetto della finitura superficiale sulla vita a fatica

a = lucidatura fine Ra ≈1 μmb = lucidatura media Ra ≈1.5÷2 μm c = rettifica fine Ra ≈2.5÷6 μm d = rettifica media Ra ≈6÷16 μm e = sgrossatura buona Ra ≈100÷160 μm f = sgrossatura normaleg = grezzo di laminazione h = con corrosione in acqua dolce i =con corrosione in acqua di mare

σN reale= b2 * σN

σN reale= b1* b2 * σN

Ni

irealeN σbσ

Considerando anche il coefficiente relativo alle dimensioni si ha:

In generale si può scrivere:

Fat

tore

di c

orre

zion

e b 2

Carico di rottura (kgf / mm2 )

Il coefficiente di sicurezza

a

mR

N

Si consideri il comportamento a fatica rappresentato sul piano di Soderberg:è possibile definire il limite di danneggiamento e la relativa area di sopravvivenza.

m

a P

mR

NNa

ma max

Limite N 1 N

R

m

Ricordando l’espressione della σa in funzione della σm :

N cicli

Si può calcolare la tensione massima di ciclo σmax :

mmR

NN

38


a

mR

N

m

a

Un qualsiasi punto P all’interno dell’area sottesa dal segmento N R

può giungere al limite tramite un incremento di moppure tramite un incremento di aoppure variando entrambi i valori.

che è rappresentato da una coppia di valori maN cicli

P


a

mR

N

F

N

X

S

R

X

m

a

Per fare ciò possono essere definiti due coefficienti di sicurezza, XF per la parte ciclica e XS per la parte statica della sollecitazione che stabiliscano i rispettivi valori ammissibili per le sollecitazioni.

Stabilire un coefficiente di sicurezza, in questo caso, equivale a tracciare un secondo segmento, interno all’area di sopravvivenza, che stabilisca il confine “ammissibile”della sollecitazione a fatica con media non nulla.

P

Nel progetto di un organo meccanico si impone che il punto Psi trovi sul segmento individuato dalle tensioni ammissibili.

Nella verifica il punto P dovrà trovarsi all’interno dell’area in verde.

F

N

XF

0S

R

XS

0

ma P

N cicli

39


a

mR

N

F

N

X

S

R

X

In base al valore limite della tensione massima di ciclo, calcolato prima:N cicli

Limite N 1 N

R

m

0 N

XF

1 NXS

XF R

m

è possibile definire il valore ammissibile della tensione massima di ciclo:

Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:

FS XX X


a

mR

N

F

N

X

S

R

X

In base al valore limite della tensione massima di ciclo, calcolato prima:N cicli

Limite N 1 N

R

m

è possibile definire il valore ammissibile della tensione massima di ciclo:

0 N

XF

1 NXS

XF R

m

La tensione ammissibile può dunque essere riscritta: 0 N

X 1

N

R

m

Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:

FS XX X

40

La relazione di progetto

a

mR

N

F

N

X

S

R

X

N cicli

0 N

X 1

N

R

m 0

N

X 1 r m

R

Nr

Ricordando la definizione di r :

Per tenere conto delle reali condizioni del componente da progettare è necessario introdurre i vari coefficienti di riduzione delle prestazioni del materiale,

quali ad esempio b1 che tiene conto delle dimensioni

e b2 che tiene conto della finitura superficiale:

0 b1b2 LF

X 1 b1b2r m

0 b1b2 N

X 1

b1b2 N

R

m

Nel caso di progetto a vita infinita la relazione può essere riscritta come segue:


a

mR

N

F

N

X

S

R

X

N cicli

Nel caso in cui sia concentrazione di tensione, dovuta ad un intaglio, la tensione massima vale:

mR

NN bbX

bb

21

210 1

aem K max

Dal confronto tra la tensione massima applicata e la tensione ammissibile, ne deriva una semplice relazione di progetto:

m Ke a b N

X 1 b

N

R

m

Ke a brm b LF

X

La relazione di progetto può essere ulteriormente semplificata nel caso

di vita infinita (r = σLF / σR ) :

i

ibbdove si è indicato sinteticamente:

La tensione ammissibile vale:

41


a

mR

N

F

N

X

S

R

X

N cicliLa relazione di progetto può essere scritta anche in base al modello di Soderberg, più conservativo, sostituendo

alla σR la σS :

m Ke a b N

X 1 b

N

R

m

m Ke a b N

X 1 b

N

S

m

S

S

S

X


N cicliRappresentazione grafica della relazione di progetto (Soderberg)

ma f a

m

a

m S

S

S

X

F

N

X

N

Soluzione progettuale

m Ke a b N

X 1 b

N

S

m

X b N

Ke a b N

R

m

Progetto

Verifica

42


Rappresentazione grafica di una procedura di calcolo della durata

N cicli

a

m

a

m R

S

R

X

N

Soluzione progettuale (d, F)

F

N

X

N

N

a

Nlog


Durata

N Ke a

bX b

m

R

Esempio di calcolo

B

H1H2

r

F

L1L2

Fmax = 6 kN

Fmin = -2 kN

Specifica:

Il supporto è soggetto ad un carico Fvariabile nel tempo ciclicamente.

Verifica della resistenza a fatica

Materiale: Acciaio C40

σR = 710 MPa σS = 500 MPa σLF = 280 MPa

Dimensioni: B = 20 mmH1 = 60 mmH2 = 72 mmL1 = 200 mmL2 = 50 mmr = 4.8 mm

Coefficiente di sicurezza minimo: XS = 1.4 Durata: illimitata

Condizione di finitura della superficie del supporto: rettifica media

F

t

Fmax

Fmin

43

Esempio di calcolo


Calcolo delle tensioni

B

H1H2

r

F

L1L2

ASezione di incastro A

f

ff W

M

22

216

HB

LLF

MPa

HB

LLFf 8.86

072.002.0

05.02.060006622

2

21maxmax

MPa

HB

LLFf 9.28

072.002.0

05.02.020006622

2

21minmin

Esempio di calcolo



B

H1H2

r

F

L1L2

ASezione B

B

44

Esempio di calcolo


H1H2

r

F

L1L2

AB


Sezione B

In questa vista è più evidente la posizione della Sezione B

Esempio di calcolo



B

H1H2

r

F

L1L2

ASezione B

B

f

ff W

M

21

16

HB

LF

MPaHB

LFf 100

06.002.0

2.060006622

1

1maxmax

MPaHB

LFf 3.33

06.002.0

2.020006622

1

1minmin

La sezione B è la più sollecitata, anche senza tenere conto del fattore di intaglio.

Quindi per la verifica sarà considerata solo la sezione B.

45

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


H1 = 60 mmH2 = 72 mmr = 4.8 mm

r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20

Determinazione del fattore di intaglio teorico:

K t = 1.8

Esempio di calcolo

0.08

r / H1 = 0.08

H2 / H1 = 1.20

46

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2

Determinazione del fattore di intaglio teorico:Verifica della resistenza a fatica

H1 = 60 mmH2 = 72 mmr = 4.8 mm

r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20

K t = 1.8

Fattore di sensibilità all’intaglio:

r

q

1

1

1

327.1

1108.5HR

S

1287.060

27.11

710

500108.5

3

86.0

8.41287.0

1

1

11 te KqKCalcolo del fattore di intaglio effettivo:

7.1688.118.186.01 eK

Questa relazione non è valida per le sezioni non circolari ma, in prima approssimazione, possiamo accettarla:

Esempio di calcolo

H1 = 60 mm

60

b1 = 0.74

Determinazione dei fattori b1(dimensioni) e b2 (finitura superficiale)

47

Esempio di calcolo

R = 710 MPa

710

finitura della superficie: rettifica media

curva d

b2 = 0.88

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


b2 = 0.88

b1 = 0.74

K e = 1.7

2minmax

a

σmax = 100 MPa

σmin = – 33.3 MPa

MPa7.66

2

3.33100

2minmax

m

MPa3.33

2

3.33100

I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:

È necessario ancora calcolare σa e σm :

48

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


X

bbrK LF

mae

A questo punto è possibile utilizzare la relazione

b = b1· b2 = 0.74 ·0.88 = 0.6512

r = σLF / σR = 280 / 710 = 0.3944

σLF = 280 MPa

3.333944.06512.07.667.1

2806512.0

X 49.19.121

3.182

Essendo richiesto dalla specifica

XS ≥ 1.4il componente rispetta

la specifica

b2 = 0.88

b1 = 0.74

K e = 1.7 σmax = 100 MPa



σm = 33.3 MPa

σa = 66.7 MPa

dove:

mae

N

brK

bX

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


X

bbrK LF

mae

A questo punto è possibile utilizzare la relazione

r = σLF / σS = 280 / 500 = 0.56

σLF = 280 MPa

b2 = 0.88

b1 = 0.74

K e = 1.7 σmax = 100 MPa



σm = 33.3 MPa

Se si utilizza la retta di Soderberg il

rapporto r sarà calcolato diversamente:

di conseguenza il coefficiente di sicurezza risulterà modificato.

3.3356.06512.07.667.1

2806512.0

X 45.15.125

3.182

Il componente è ancora in specifica

mae

N

brK

bX

σa = 66.7 MPa

49

Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione

mS

NN bX

b

10aem K max

2aem K

22 4 e

È molto frequente nelle costruzioni meccaniche che la sollecitazione di fatica si sviluppi in uno stato piano di tensione.

Ipotesi.

Componenti di tensione non nulle: σ e τ

Nel caso monoassiale la verifica di resistenza è data dal confronto tra le quantità:

Tensione massima di lavoro

Tensione ammissibile

Ammettendo valido il criterio di Tresca, la tensione equivalente, nel caso siano presenti solo le

componenti σ e τ del tensore tensione, assume la forma:

Nel caso di tensione piana la tensione di lavoro deve essere espressa da una quantità scalare equivalente, la quale possa essere confrontata con la tensione ammissibile monoassiale.

2aem K

Le componenti di tensione, essendo la sollecitazione di fatica, possono essere espresse in termini di valore medio ed alterno.

Inoltre deve essere considerato l’effetto del fattore di intaglio.


TL

L

SL

L

0

TL

L

SL

L

0

L’esperienza ha dimostrato che nel caso di sollecitazione di fatica il rapporto tra le

tensioni limite σL e τL è diverso da quello osservato nel caso statico.

2

TL

L

Il valore teorico di tale rapporto previsto dalla teoria di Tresca vale:

Nel caso della fatica il rapporto tra le tensioni limite può essere determinato sperimentalmente e risulta:

2

SL

L

Può essere introdotto un coefficiente in modo tale da porre l’eguaglianza:

σ0 che è noto come “coefficiente di Bach”può quindi essere definito come:

E se si considera applicabile il criterio di Tresca si ha:

SL

L

2

1

50


mSe

N

e

NL K

bK

b

1

mSe

N

e

NL K

bK

b

1 m

Se

N

e

N

mSe

N

e

N

Kb

K

b

Kb

K

b

1

1

2

10

202

max 4 aemaem KK

I valori sperimentali delle tensioni limite, ottenuti per un numero di cicli N oppure a vita infinita, se il materiale presenta limite di fatica, sono dati dalle seguenti espressioni:

quindi σ0 è calcolato dal rapporto

Può dunque essere calcolata la tensione equivalente, intesa come valore massimo di una tensione ciclica monoassiale la quale crea nel componente in esame lo stesso danno della sollecitazione reale, in un numero stabilito di cicli N.


2

02

max 4 aemaem KK

La relazione di progetto o di verifica a fatica nel caso di stato di tensione piano è la seguente

mS

NN bX

b

10

Tensione equivalente massima di lavoro Tensione ammissibile

mS

NNaemaem

b

X

bKK

14

2

02

Relazione di progetto

51


321

Come procedere nel caso più generale di stato triassiale di tensione?

Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione

aaaaaaaaaaeqv 31322123

22

21

Caso in cui le tensioni principali abbiano media nulla:

X

b N 0

Tensione equivalente alterna di lavoro Tensione alterna ammissibile

aeqv

1

2 xa

ya 2

ya za

2 za

xa 2

6 xya

2 yza

2 xza

2 Tensione equivalente alterna di lavoro

Metodo di Sines:

mmmeqv zyxm

Tensione equivalente media di lavoro

Le tensioni medie di taglio non influenzano la resistenza a fatica

Caso in cui lo stato di tensione non sia a media nulla:

2minmax xx

xa

52

aeqv

1

2 xa

ya 2

ya za

2 za

xa 2

6 xya

2 yza

2 xza

2 Tensione equivalente alterna di lavoro

Tensione equivalente media di lavoro

Metodo di von Mises:

Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione

meqv

1

2 xm

ym 2

ym z

m 2

zm x

m 2

6 xym

2 yzm

2 xzm

2

SEQA 2

13

4Q2 1

3

2Q2 cos2

9

16Q4

Metodo SEQA:

σ =Tensione normale alterna dovuta alla flessione

2Q τ =Tensione tangenziale alterna dovuta alla torsione

φ =angolo di fase tra i valori massimi di flessione e torsione

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