Claudio Cinti

SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO INTEGRALEINTEGRALECALCOLO INTEGRALE

PRIMITIVE INT. INDEF. METODI INT. INT. DEF. CALC. AREE

Derivate Esempi

Int.Elementari Int.Esatti Int.Quasi

Esatti

Decompos. Sostituz. Per parti F.raz.fratte Sost.particolari

Esempi Esempi Casi speciali

1

Claudio Cinti

CALCOLO INTEGRALE

1. PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE

2. INTEGRALI INDEFINITI

3. METODI DI INTEGRAZIONE

4. INTEGRALI DEFINITI

5. CALCOLO DI AREE

2

Schema

Claudio Cinti

PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE

Definizione: si chiama primitiva di una funzione f(x), ognuna delle funzioni, F(x), la cui derivata è la stessa f(x).

Cioè: F(x) è una primitiva di f(x) se

)()(

)( xfdx

xdFxF

EsempiF(x) è una primitiva di f(x) perché: F’(x)=f(x)

Osservazione importante:data una funzione f(x) le sue primitive sono infinite, perché

Definizione: l’insieme infinito delle primitive di una funzione si chiama l’integrale indefinito della funzione e si scrive:

2x x2 xxdx

d22

21

1

x)arctg(x

21

1)arctg(

xx

dx

d

)()(')( xfxFcxFdx

d

cxFdxxf )()(

3

Schema

Claudio Cinti

TABELLE DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Funzione: y=f(x) Funzione derivata: y=f’(x)

costantey 0yxy 1 xyxy 1yn xy n nxn

y1

1

xy

1 2

1

xy

4

Schema

Claudio Cinti

senxy xy costgxy senxy ctgxy )1( 2xctgy

xya

logax

yln

1

xy lnx

y1

xay aay x lnxey xey

arcsenxy 21

1

xy

5

Schema

Claudio Cinti

xy arccos21

1

xy

arctgxy 21

1

xy

arcctgxy 21

1

xy

costante)(K)( xkfy )(xfky

)()( xgxfy )()( xgxfy

)()( xgxfy )()()()( xfxgxgxfy

6

Schema

Claudio Cinti

)(

)(

xg

xfy 2)(

)()()()(

xg

xfxgxgxfy

)]([ xgfy )()]([ xgxgfy

xy lnx

y1

nxfy )]([ )()]([ 1 xfxfny n

)(ln xfy )(

)(

xf

xfy

)( xfey )( xfey

7

Schema

Claudio Cinti

Esempi di primitive di funzioni

Ricorda che: data una funzione f(x) sai calcolare la sua funzione

Derivata f’(x)= . Per esempio: dx

xdf )()cos()3)(( xxsen

dx

d

Pertanto la funzione derivata f’(x) di una funzione f(x), se esiste, è unica: f(x) f’(x) unica.

Mentre: data una funzione f(x), se F(x) è una sua primitiva [F’(x)=f(x)], ne esistono infinite altre: f(x) F(x)+c infinite.

Esempi è una primitiva di perchè

è una primitiva di perchè

3

3x2x

23

)3

( xx

dx

d

)(xnx

1x

xndx

d 1))((

8

Schema

Claudio Cinti

Segue Esempi

è una primitiva di perchè 3

)(3 xsen )cos()(2 xxsen )cos()(]3

)([ 2

3

xxsenxsen

dx

d

9

Schema

Claudio Cinti

INTEGRALI INDEFINITI

L’integrale indefinito di una funzione f(x) é l’insieme infinito delle sue primitiveF(x)+c. Si scrive :

La determinazione di una primitiva,o dell’integrale indefinito, di una funzione f(x)costituisce sostanzialmente la operazione inversa della derivazione di una funzioneo meglio della sua differenziazione; infatti si tratta di trovare una funzione F(x)conoscendo la sua derivata F’(x)=f(x).

La difficoltà nel calcolo degli integrali indefiniti consiste proprio in questo:individuare una funzione conoscendone la sua derivata.

Esamineremo pertanto alcune classi di funzioni per le quali è crescente il grado didifficoltà per la determinazione dei corrispondenti integrali indefiniti.

Precisamente: integrali elementari, integrali esatti o immediati, integrali quasiesatti. Esistono dei teoremi analoghi a quelli sulle derivate.

)()(:,)()( xfxFsecxFdxxf

10

Schema

Claudio Cinti

Integrali di funzioni elementari

Teoremi o regole di integrazione indefinita

1)

2)

Dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari si ottiene la tabella degli integrali indefiniti: basta avere presente che si tratta di individuare una funzione,la primitiva,di cui si conosce la derivata.

Nota: è molto importante sapere riconoscere se un integrale è elemen

tare, immediato o quasi esatto, per risolverlo rapidamente e corretta=

mente, senza ricorrere ai vari metodi di integrazione.

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

dxxfkdxxfk )()(

11

Schema

Claudio Cinti

Tabella di alcuni integrali Tabella di alcuni integrali elementari.elementari.

nxy

1

1

n

xdxx

n

n

xy

1 xdx

xln

1

axy

ln

1 xdx

ax alog

ln

1

aay x ln xx aaa ln

12

Schema

Claudio Cinti

xey xx edxe

xy cos senxdxx cos

xtgy 21 tgxdxxtg 21

senxy xdxsenx cos)1( 2xctgy ctgxdxxctg )1( 2

21

1

xy

arcsenxdx

x

21

1

21

1

xy

xdx

xarccos

1

12

13

Schema

Claudio Cinti

21

1

xy

arctgxdx

x

21

1

21

1

xy

arcctgxdx

x

21

1

14

Schema

Claudio Cinti

Integrali esatti o immediati

Ricorda che: la tabella degli integrali elementari è stata ricavata dalla tabella delle

derivate elementari.

Teorema di derivazione di una funzione di funzione:

Sulla base di questo teorema si può costruire una tabella di integrali, più complicati, ma

esatti.

Esempi:

è primitiva di perché

)('))(('))(([ xgxgfxgfdx

d

)(2 xnx

xn1

)(2 x

xnxndx

d 1)(2)]([ 2

15

Schema

Claudio Cinti

Generalizzazione degli integrali elementari

Per ciascuno dei casi della tabella degli integrali elementari, si può realizzare una generalizzazione da cui si ottiene una tabella di integrali, apparentemente complicati, ma esatti di cui si può scrivere immediatamente il risultato.

La generalizzazione avviene così al posto di x si pone f(x) e al posto di dx si sostituisce f’(x)dx :

x f(x) , dx f’(x)dx .

Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi

1.

2.

)1(,1

1

ncn

xdxx

n

n

cn

xfdxxfxf

n

n

1

)()()(

1

' cxsen

dxxxsen4

)()cos()(

4

3

cx

dxx

x6

)(ln1)(ln

6

5

cx

dxxx2

)7(2)7(

22

2

cxdxx

||ln1 cxfdxxf

xf|)(|ln)('

)(

1

cxxdxxx

x|3|ln

3

32 2

2

cxsendxxsen

x |)(|ln

)(

)cos(

cedxe

e x

x

x

|5|ln5

2 2

2

2

16

Schema

Claudio Cinti

Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi

3.

4.

5.

6.

7.

cxdxxsen )cos()( cxfdxxfxfsen )(cos)(')( cedxeesen xxx cos

cxdxxxsen 323 cos3

cxdxxsen 114cos4114

cxsendxx )()cos( cxfsendxxfxf )()(')(cos cxsendxx )13(3)13cos(

cxsendxx

x2

1cos

cxsendxx

x )ln(

)ln(cos

cxtgdxx

)()(cos

12

cxtgdxxtg )()(1 2

cxtgdxxx

43

424

)(cos

1

cxftgdxxfxf

)()(')(cos

12

cxftgdxxfxftg )()(')(1 2 cxtgdxxtg )1()1(1 2

cxctgdxxsen

)()(

12 cxfctgdxxf

xfsen)()('

)(

12

cxctgdxxctg )()(1 2 cxfctgdxxfxfctg )()(')(1 2

cxctgdxxsen

)4(4)4(

12

cxctgdxx

xctg))(ln(

))(ln(1 2

cedxe xx cedxxfe xfxf )()( )( cedxxe xsenxsen )()( )cos(

17

Schema

Claudio Cinti

Integrali elementari Generalizzazione:integrali esatti Esempi

8.

9.

10.

11.

cxarcsendxx

)(1

12

cxfarcsendxxf

xf)(

)(1

)(2

cxarcsendxx

x)(

1

2 2

4

cxdxx

)arccos(1

12

cxdxx

x)arccos(

1

3 3

6

2

cxfdxxf

xf

)(arccos)(1

)(2

cxarctgdxx

)(1

12

cxfarctgdxxf

xf)(

)(1

)(2

cxarctgdxxx

)ln(1

)(ln1

12

cxarcctgdxx

)(1

12

cxfarcctgdxxf

xf)(

)(1

)(2

cearcctgdxe

e x

x

x

21

18

Schema

Claudio Cinti

Integrali quasi esatti

Di questi integrali non si riesce (se non dopo un po’ di pratica), a scrivere immediatamente il risultato, perché non sono esatti. Però, ricordando in particolare il teorema: lo possono diventare.

Esempi

1) infatti

Ciò che si deve capire è che: l’integrale dato va moltiplicato, al suo esterno per e al suo interno per

, in questo modo l’integrale diventa esatto.

2)

3)

4)

5)

6)

dxxfkdxxfk )()(

cxdxxsendxxsen )3cos(3

13)3(

3

1)3( )3(3)3(

3

1)3cos(

3

1xsenxsencx

dx

d

3

1

3

cxxarctgdx

xx

xxdx

xx

xx13

3

1

131

23

3

1

131

2 23223

2

223

2

cxcxcx

dxxxdxxx322

32

12

12

2

122 7

3

17

3

2

2

1

121

7

2

127

2

17

cearcsendxe

e x

x

x

)(2

1

1

2

4

2

cx

arctgdxx

dxx

)3

(3

1

919

1

9

122

cxctgdxxsen

dxxsen

77

1

7

7

7

1

7

122

19

Schema

Claudio Cinti

7)

8)

cxdxx

xdx

x

x 222

1ln2

1

1

2

2

1

1

20

cxarctgdxx

xdx

x

xdx

x

x)(

2

1

)(1

2

2

1

112

22224

Schema

Claudio Cinti

METODI DI INTEGRAZIONESe l’integrale che si deve risolvere non si riconosce come elementare, immediato o quasi

esatto, allora si ricorre a uno dei metodi di integrazione. Infatti non esiste un metodo

generale per determinare l’integrale indefinito di una qualsiasi funzione continua, ecco

perché è importante sapere riconoscere gli integrali e classificarli: per scegliere la via della

risoluzione.

Vi sono vari metodi di integrazione: per scomposizione, per sostituzione, per parti, per le

funzioni razionali fratte, per sostituzioni particolari.

21

Schema

Claudio Cinti

Integrazione per scomposizione

Il metodo consiste nello scomporre la funzione che si deve integrare nella somma algebrica di funzioni delle quali è noto o più facile il calcolo dell’integrale indefinito.

Esempi

1)

2)

3)

4) perché:

5)

6) perché:

7)

cxxdx

xdxx

x|1|ln

1

11

1

cxctgxtgdxxsen

dxx

dxxxsen

xxsendx

xxsen)()(

)(

1

)(cos

1

)(cos)(

)(cos)(

)(cos)(

12222

22

22

cxsenxxc

xsenxxdxdxdx

xxdxsen cos

2

1

2

2

2

12cos

2

1

2

2cos12

cxsenxxxdx cos2

1cos2

cx

tgcx

senx

dxx

sen

x

dxx

xsen

dxxx

sen

xxsen

dxsenx

|2

|ln|2

|ln|2

cos|ln2

1

2

2cos

2

1

2cos

2

2cos

22

2cos

2122

cx

tgdxx

|42

|lncos

1

2

2cos1cos

xx

2

xsencox

cx

xdxx

xdxx

dxx

x

4

ln||ln

ln1ln1 433

22

Schema

Claudio Cinti

Integrazione per sostituzione o per cambiamento di variabile

Qualche volta può accadere che il calcolo di un integrale diventa più semplice se si cambia la

variabile di integrazione x con un’altra variabile t legata alla precedente da una relazione x=g(t) che ha

la sua inversa t=h(x).

Il procedimento si sviluppa attraverso i seguenti passaggi:

1) Si stabilisce la sostituzione x=g(t), [oppure t=h(x)]

2) Si calcola il differenziale della x che risulta:

3) Nell’integrale da risolvere alla x e al dx si sostituiscono le espressioni che si sono ricavate:

e

4) Si calcola l’integrale che ora ha per variabile di integrazione la t

5) Al risultato dell’integrale si sostituisce ora al posto della t la sua espressione t=h(x)

Osservazioni

Questo metodo si rivela utile quando, attraverso la sostituzione x=g(t) , l’integrale si trasforma in uno di

quelli che si sanno risolvere. Si tratta sostanzialmente di una generalizzazione degli integrali quasi immediati.

Non ci sono regole per stabilire quale sia la sostituzione per rendere più semplice il calcolo dell’integrale, si

deve fare un po’ di pratica con calcoli su vari esempi.

dxxf )(

dttgdx )(

)(tgx dttgdx )(

23

Schema

Claudio Cinti

Esempi

A) Seguendo il procedimento si ottiene:

1) Sostituzione iniziale

2) Calcolo del differenziale

3) Sostituzione nell’integrale

4) Calcolo dell’integrale

5) Sostituzione nel risultato.

B)

C) Si procede così: Oppure anche così:

dxx 35cos

5

3;35

t

xtx

dtdx5

1

dttdxx5

1cos35cos

csentdtt 5

1

5

1cos

cxsendxx 355

135cos

dxx

x41

nesostituziotxtx :242

aledifferenzidt

xdxdtxdx :2

2

egralecarcsenxcarcsentt

dtint:

2

1

2

1

12

2

2

dx

xxI

2ln1

1

dtedxextx tt ln

cxarcsencarcsentte

dteI

t

t

ln1 2

dtdxx

tx 1

ln

cxarcsencarcsentdtt

I ln1

12

24

Schema

Claudio Cinti

Integrazione per parti

Questo metodo è utile quando la funzione integranda è costituita dal prodotto di due funzioni:

Si può dimostrare la validità della seguente formula:

Come si vede dalla formula, f(x) e g(x) hanno ruoli diversi: f(x) si chiama “fattore finito” mentre g(x)

é il “fattore differenziale”.

Per dimostrare la formula consideriamo date u(x) e v(x) continue e con derivate continue, risulta:

integrando questa ultima relazione e ricordando che si ottiene

Se confrontiamo con la formula iniziale risulta: u(x) è il fattore finito, dv=v’dx è il fattore differenziale,

é evidente che:

Osservazione

Nell’applicare la regola di integrazione per parti occorre prestare attenzione ai diversi ruoli che hanno il fattore finito e il fattore differenziale, in generale: si prende come fattore differenziale l’espressione che è facilmente integrabile, mentre come fattore finito si assume quello che si semplifica attraverso la derivazione.

Gli esempi successivi chiariscono il procedimento.

dxxgxf )()(

dxdxxgxfdxxgxfdxxgxf )()()()()()(

dxuvuvddxvudxuvdxvuvduudvxvxud )()()(

cuvuvd )( dxuvuvdxvu

cvdvdxv

25

Schema

Claudio Cinti

Esempi

1) , assumiamo x come fattore finito e senxdx come fattore differenziale, si ottiene:

. .

Se avessimo assunto come fattore finito senx e come fattore differenziale xdx avremmo ottenuto:

,

come si vede l’integrale che si deve calcolare è più complicato di quello di partenza,ciò è dovuto alla scelta

sbagliata del fattore finito e del fattore differenziale.

2) : , fattore finito, fattore differenziale:

3) , fattore finito, fattore differenziale:

4) , fattore finito, fattore differenziale.

riassumendo: , da cui si ottiene , quindi

5) ,assumendo cosx come fattore finito e cosxdx come fattore differenziale si ottiene:

da cui si ricava

xsenxdxI

csenxxxxdxxxdxsenxdxsendxxxsenxdx coscoscos1

dxxx

xsenxdxxdxxxdxsenxxsenxdx

2cos

2cos

22

dxxeI x x xe cexedxdxedxexdxxe xxxxx

xdxI ln xln dx

cxxxxdx

xxxdxdx

xdxxxdx ln

1ln

1lnln

senxdxeI x

senx dxex

dxesenxexesenxdxesenxexesenxdxexesenxdxsenxeI xxxxxxxxx coscoscos

IxesenxeI xx cos xesenxeI xx cos2 cxesenxe

Ixx

2

cos

26

xdxI 2cos

IxxsenxI cos

cxxsenx

xdxI2

coscos2

Schema

Claudio Cinti

Funzioni razionali fratte 27

Schema

Vi sono vari casi di integrazione di funzioni razionali fratte in corrispondenza alla composizione della frazione.

Claudio Cinti

Sostituzioni particolari 28

Schema

Si presentano numerosi tipi di sostituzioni, algebriche o goniometriche, in relazione alla funzione che si deve integrare.

Claudio Cinti

INTEGRALI DEFINITIIntroduzione

Uno dei problemi che portarono all’invenzione del calcolo infinitesimale (derivazione o differenziazione e

integrazione), fu quello di determinare l’area di superfici a contorno curvilineo, (l’altro problema fu quello di

determinare la retta tangente a una curva in un suo punto) . Archimede, attraverso un procedimento da lui

inventato, determinò l’area della superficie compresa tra un arco di parabola e l’asse delle ascisse. Il metodo

di Archimede considera due successioni, formate dalle somme delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti

all’arco di parabola, le quali per n che tende all’infinito hanno uguale limite:tale limite comune rappresenta

l’area della superficie individuata dalla curva e dall’asse delle ascisse. L’area della superficie sottesa all’arco

di parabola di equazione nell’intervallo è .Con la simbologia degli integrali tale risultato

si scrive così : .

Generalizziamo il ragionamento fatto per la parabola:

consideriamo una funzione y=f(x) definita e continua

in un intervallo chiuso [a,b] e, in tale intervallo per

esempio positiva; quindi dividiamo l’intervallo in n

parti uguali e in ognuno degli n intervalli consideriamo

il massimo e il minimo della funzione che indichiamo con

. A questo punto la somma rappresenta l’area della somma dei rettangoli

inscritti, mentre la somma rappresenta l’area della soma dei rettangoli circoscritti al grafico

della funzione nell’intervallo [a,b]. L’ampiezza di ogni intervallo è .

29

2xy a,0 3

3

1a

Aadxxa

3

0

2

3

1

a0

A

)(min),(max ff nn

n

iin hfs

1

)(min

n

iin hfS

1

)(max

n

abh

Schema

Claudio Cinti

29/ARisulta che: la successione e la successione per n che tende all’infinito hanno lo stesso limite

e tale limite è assunto per definizione come l’area della superficie individuata dall’asse delle ascisse e dal grafico della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b], cioè:

Definizione

Si chiama integrale definito della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b] il limite comune delle due successioni e si scrive :

Per definizione si pone :

Significato geometrico: l’integrale definito fornisce l’area, con segno, compresa fra il grafico della

funzione y=f(x) , l’asse delle ascisse e le rette x=a e x=b data da :

se

se

ns nS

erficienn AreaSnsn sup)lim()lim(

nn Ss ,nn

b

a

Snsndxxf )lim()lim()( 0)(

a

a

dxxf

b

a

dxxfAbainxf )(,0)(

b

a

dxxfAbainxf )(,0)(

positivaA :

negativaA :

Schema

Claudio Cinti

29/BTeoremi

-Teorema 1.

-Teorema 2 . Se due funzioni continue f(x) e g(x) sono tali che per ogni allora

-Teorema 3 (Teorema della media). Data la funzione y=f(x) continua nell’intervallo [a,b] , esiste un

numero reale , tale che :

-Teorema fondamentale del calcolo integrale4. Data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo [a,b]

la sua funzione integrale è una sua primitiva, cioè risulta:

-Teorema 5 (Formula di Newton-Leibniz). L’integrale definito di una funzione si calcola in questo

modo: , dove F(x) è una primitiva di f(x).

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfbacSe )()()(,:

a bc

)()( xgxf bax ,

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

bac , abcfdxxfb

a

)()(

x

a

dttfxH )()( )()( xfxH

b

a

ba aFbFxFdxxf )()()()(

Schema

Claudio Cinti

29/COsservazioni

-L’integrale indefinito di una funzione é l’insieme delle sue funzioni primitive.

-L’integrale definito di una funzione in un intervallo [a,b] è un numero reale e esprime a meno del segno l’area della superficie sottesa al grafico della funzione.

-La formula di Newton-Leibniz, collega il calcolo dell’integrale definito a quello delle funzioni primitive, cioè al calcolo degli integrali indefiniti.

-La formula di Newton-Leibniz suggerisce il procedimento per calcolare un integrale definito ,che è sostanzialmente rimandato al calcolo di integrali indefiniti ovvero al calcolo della primitiva di una funzione .

-Significato geometrico dell’integrale definito:se la funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] è tutta positiva o tutta negativa, l’integrale definito in detto intervallo rappresenta l’area (a meno del segno), della superficie compresa fra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le rette x=a e x=b.

-Dal significato geometrico si desume facilmente che gli integrali definiti sono un metodo per calcolare delle aree.

Funzioni integrabili

L’integrale definito è stato introdotto soltanto per funzioni continue, si può tuttavia estendere il concetto di integrale definito a un insieme di funzioni più vasto.

Esempi di funzioni integrabili anche se non continue sono quelle che hanno un numero finito di punti di discontinuità e sono nell’intervallo di integrazione [a,b] limitate; in questo caso basta considerare gli integrali definiti in tutti gli intervalli in cui la funzione è continua e sommarli.

Schema

Claudio Cinti

29/DEsempi di calcolo di integrali definiti

1) Significato geometrico:

2) Significato geometrico:

3) Significato geometrico:

4) pertanto:

4

15

4

1

4

4

42

24

1

24

1

x

dxx

02

2

3

dxxx

4

15Area

3

144

1

dxx

3

14Area

duu

udxuxueeueuposizionedxeI xxxx

1

21ln111:;1

2222

2ln

0

2

2)(21

112

1

2 10

1

02

1

02

2

uarctgudu

udu

u

uI

Schema

Claudio Cinti

29/E

5)

6)

7)

2

2ln02ln2ln

2

11ln

2

2ln|cos|ln)( 4

0

4

0

xdxxtg

04

2

2

3 2

20coscoscos 0

0

xsenxdx

20

3ln3ln1ln|3|ln3

1 20

2

0

xdxx

Schema

Claudio Cinti

CALCOLO DI AREEIntroduzione-Una delle applicazioni degli integrali definiti consiste nel calcolare aree a contorno curvilineo. Sappiamo già

che, per una funzione continua in un intervallo [a,b] e tutta positiva (negativa) in tale intervallo, l’integrale

definito è un numero reale positivo (negativo) che rappresenta l’area della superficie sottesa al grafico, cioè

la regione di piano limitata da: l’arco di grafico della funzione e le rette x=a , x=b , y=0 .

-Nel caso in cui la funzione f(x) nell’intervallo [a,b] sia positiva e negativa intersecante per esempio in un

punto x=c l’asse delle ascisse, per calcolare l’area della superficie sottesa dalla curva nell’intervallo citato

non si deve calcolare l’integrale , il cui valore non ha alcun riscontro geometrico, bensì si devono

calcolare due integrali separatamente considerando il segno, così:

l’area della superficie sottesa A non è data dall’integrale

definito

si deve invece calcolare

tenendo conto del segno che hanno i valori dei due integrali.

30

b

a

dxxf )(

a bc

b

a

dxxfA )(

b

c

c

a

dxxfdxxfA )()(

Schema

Claudio Cinti

30/AArea di una superficie compresa tra due grafici

Teorema: date due funzioni continue nell’intervallo [a,b] e tali che per ogni si ha ,

l’area della superficie S compresa tra i grafici delle due funzioni e le rette x=a e x=b è:

Esempi di calcolo di aree

1) Determinare l’area della regione finita di piano individuata dai grafici delle funzioni:

I punti intersezione delle due curve hanno ascisse:

L’area richiesta,essendo le due curve simmetriche

rispetto all’origine, è data da:

2)Determinare l’area compresa tra:

Le due curve sono tangenti in O(0,0) e si intersecano

in P(2,8), l’area è:

)()( xgxf bax ,

b

a

dxxgxfSarea )()()(

.2,3 xyxy

2

2

1S

2S

21 SS

xy 23xy

21 SS

0

2;0;2

24

2222

0

42

2

0

3

x

xdxxx

32 ,2 xyxy

0 2

22xy 3xy

Area

3

4

4322

2

0

432

0

32

xx

dxxxArea

Schema

Claudio Cinti

30/B

3) Calcolare l’area delimitata dai grafici delle tre funzioni:

I punti intersezione hanno coordinate:

L’area è data da:

4) Calcolare l’area della regione finita delimitata dalle due curve, grafici delle funzioni:

I punti intersezione delle due curve sono:

L’area risulta dall’integrale:

.2:,:,2: 22 xyhxygxyf

O

A B

22xy 2xy xy 2

Area

).,(:)4,2();,(:)2,1();,,(:)0,0( hgBhfAhgfO

2

1

21

0

222

1

1

0

122)()()]()([ dxxxdxxxdxxgxhdxxgxfArea

xxyx

xy 2;

1

2 3

O

A

B

Area

xxy 23

1

2

x

xy

).4,2();1,1();0,0( BAO

0

1

3

4

52ln2

1

22 dx

x

xxx

Schema

Claudio Cinti

30/C5)

Osservazione

Fino ad ora gli esempi che si sono considerati hanno riguardato casi di aree di superfici limitate; però si possono prendere in considerazione anche aree di regioni di piano illimitate. C’è da dire che una superficie illimitata può avere come area un numero reale definito, ma anche risultare infinita. Per determinare l’area di superfici illimitate si calcolano degli integrali che si chiamano integrali impropri o generalizzati : il loro calcolo avviene sostanzialmente attraverso la determinazione del limite di un integrale definito.

itatailSuperficie lim: itatailSuperficie lim:

Schema