I.T.I.S. “V.Volterra”S.Donà di PiaveA.S.2009/2010

CLASSE 5CVERIFICHE SVOLTE DI MATEMATICA

Esercizi di integrazione riconducibile ad immediata 7 ottobre 2009

Esercizi di integrazione per parti e delle funzioni razionali fratte Calcolo di aree

11 novembre 2009

Esercizi di integrazione generalizzata 16 dicembre 2009

Teoria dell’integrazione definita, indefinita, generalizzata 18 dicembre 2009

Simulazione di terza prova: integrazione definita, indefinita, impropria 15 gennaio 2010

Simulazione di terza prova: serie numeriche 29 gennaio 2010

Verifica per il recupero dell’insufficienza del 1° quadrimestre: integrazione8 marzo 2010

Simulazione di terza prova: serie di funzioni19 marzo 2010

Esercizi sulle equazioni differenziali del 1° ordine21 aprile 2010

Simulazione di terza prova: equazioni differenziali del 2° ordine7 maggio 2010

Simulazione di terza prova: integrazione, serie, equazioni differenziali4 giugno 2010

Verifica: Esercizi di integrazione riconducibile ad immediata7 ottobre 2009

Verifica: Esercizi di integrazione per parti e delle funzioni razionali fratteCalcolo di aree

11 novembre 2009

Da cui, portando a primo membro l’ultimo integrale:

Poiché, si ha

Da cui che risolto dà

Poiché, si ha

Da cui che risolto dà

Calcola l’area della regione di piano compresa fra i grafici delle funzioni e e le

rette verticali e .

Trattandosi di funzioni pari e sempre positive, l’area richiesta è data da 2 .

=

Calcola l’area della regione di piano compresa fra il grafico della funzione e le rette verticali e .

Trattandosi di funzione dispari, l’area richiesta è data da .

Verifica: Esercizi di integrazione generalizzata16 dicembre 2009

Calcola ed usa un criterio di convergenza per ciascuno dei seguenti integrali:(15 punti per esercizio: 5 integrale indefinito, 5 calcolo limite, 5 criterio)

1.

2.

3.

4.

Per si ha che è una funzione test con integrale

convergente

Per si ha che è una funzione test con integrale convergente

Per si ha che è una funzione test con

integrale convergente

Per si ha che è una funzione test con integrale convergente

Verifica: Teoria dell’integrazione definita, indefinita, generalizzata18 dicembre 2009

Fornisci la definizione:

1. continua in e

(18 punti)

2. continua in

(6 punti)

3. integrale improprio su un intervallo illimitato

(12 punti)

4. La conseguenza del teorema di Torricell essendo una primitiva

di

(12 punti)

5. converge

(12 punti)

1. Sia continua in con

Si vuole risolvere il problema del calcolo dell’area della regione di piano individuata dal grafico

della funzione, l’asse delle ascisse e le rette verticali e , detta trapezoide.

Si divide l’intervallo in n sottointervalli di ampiezza ; in ciascun sottointervallo la

funzione è continua e quindi per Weierstrass ammette massimo e minimo assoluti: siano essi

ed nell’i-esimo sottointervallo.

Il plurirettangolo circoscritto e il plurirettangolo inscritto al trapezoide sono rispettivamente

costituiti dai rettangoli di base e di altezze ed .

Si ha e, nelle nostre ipotesi, si dimostra che,

passando al limite per , e tale limite comune definisce

quindi l’area del trapezoide, simbolicamente indicata da (si legge integrale definito

di fra a e b).

2. Sia continua in

Con la scrittura (si legge integrale indefinito di ) si indica la totalità delle

primitive di , essendo una primitiva di in quando .

Due primitive di differiscono per una costante, quindi .

3. Integrale improprio su un intervallo illimitato

Al punto 1. si è visto come una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammetta

integrale definito. Se cade l’ipotesi della limitatezza dell’intervallo (sia esso per esempio

), ma si conserva l’ipotesi della continuità di in , si calcola il

e se questo esiste finito si pone .

4. Per il teorema di Torricelli è una primitiva di .

Sia un’altra primitiva di .

Si ha ,

e quindi

ossia, usando come primitiva ed x come incognita,

.

5. se purchè sia

positivo l’esponente di cioè sia , altrimenti il limite è

se

Riassumendo, si ha che converge e converge al valore

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato15 gennaio 2010

1. Calcola dopo aver dimostrato la convergenza con l’uso di un criterio:

funzione test con integrale convergente

2. Esponi il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli)

Sia una funzione continua in ed la sua funzione integrale in .

Si dimostra che la funzione integrale è derivabile in ed inoltre .

Dim.:

Per il teorema della media con c in o in .

Per si ha ed essendo continua, .

Quindi .

3. Calcola l’area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione di equazione

, l’asse delle ascisse e le rette di equazione e .

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato29 gennaio 2010

1. Calcola la somma della serie

da cui che risolto dà

2. Dimostra che la serie armonica diverge

La serie armonica è a termini non negativi, quindi non può essere indeterminata.

Inoltre, se convergesse, dovrebbe valere Cauchy, ossia:

ed invece, per , si ha

Pertanto la serie armonica non converge e quindi diverge.

3. Determina il carattere delle seguenti serie:

la serie converge per il criterio del

rapporto

la serie diverge (è a termini non negativi); in

alternativa si può usare il criterio della radice:

la serie converge per il criterio del confronto

asintotico

la serie diverge (è a termini non negativi)

la serie converge per il criterio del confronto

Verifica per il recupero dell’insufficienza del 1° quadrimestre8 marzo 2010

diverge

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato19 marzo 2010

1. Determina l’intervallo di convergenza specificando se la convergenza è assoluta o semplice:

In forma normale ; calcolo del raggio di convergenza

diverge (armonica)

converge (armonica alternata)

Convergenza assoluta in ; convergenza semplice in .

2. Sviluppa in serie di MacLaurin e quindi calcola il limite

con

3. Dimostra la formula di Eulero oppure che

essendo e

essendo valide le proprietà degli sviluppi in serie di potenze anche in campo complesso.

essendo soddisfatte le ipotesi per lo scambio del segno di sommatoria col segno di integrale.

Pongo e calcolo il raggio di convergenza

da cui ed anche

Agli estremi dell’intervallo (ossia per ) si ottiene una serie convergente per Leibniz, quindi si ha convergenza assoluta in ; convergenza semplice in .

Verifica: Esercizi sulle equazioni differenziali del 1° ordine21 aprile 2010

Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per i punti a fianco indicati per ciascuna equazione differenziale a variabili separabili:

(per parti il 2° integrale)

Integrale generale:

Integrale particolare:

Integrale generale:

Integrale particolare:

Data l’ equazione differenziale lineare:

Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per , e dei quali traccia i grafici; quanti integrali particolari passano per ? Spiega la risposta usando il teorema di Cauchy.

se

se

Integrale generale:

È una famiglia di parabole passanti per l’origine: determiniamo gli integrali particolari:

Integrale particolare:

Integrale particolare:

Integrale particolare:

Per passano tutti gli integrali particolari, in quanto sostituendo nell’integrale generale si ottiene: , risolta da ogni valore della costante.

Per il teorema di Cauchy, per ogni punto interno al dominio D di continuità di e di

, come sono i punti , e , passa uno ed un solo integrale

particolare; per un punto della frontiera, come è il punto , può passare l’integrale singolare (che ha tutti i suoi punti sulla frontiera, ma in questo caso la frontiera non è soluzione dell’equazione differenziale) oppure possono passare degli integrali particolari che hanno i rimanenti punti all’interno di D (è così per gli integrali particolari trovati ed anzi possiamo affermare che tutti gli infiniti integrali dell’equazione differenziale passano per l’origine, punto della frontiera di D).

Data l’ equazione differenziale lineare:

Determina l’integrale generale e gli integrali particolari passanti per , e .

Integrale generale:

Determiniamo gli integrali particolari:

Integrale particolare:

Integrale particolare:

Integrale particolare:

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato7 maggio 2010

1. Dimostra la formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del 1° ordine.Data l’equazione differenziale lineare del 1° ordine , con e funzioni continue in un intervallo I, supponiamo dapprima che . L’equazione è a variabili separabili:

Integrale generale:

Supponiamo che l’integrale nel caso abbia forma analoga: , determiniamo la derivata e sostituiamo nell’equazione data in modo da imporre che sia effettivamente la soluzione

e quindi, sostituendo nell’equazione di partenza:

,

semplificando , da cui

e quindi , pertanto l’integrale generale è dato da:

1. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti costanti omogenea e quindi l’integrale particolare passante per ed avente ivi tangente con coefficiente angolare .

Equazione caratteristica: da cui Integrale generale:

Integrale particolare: con grafico sottostante (compreso di tangente)

2. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti costanti non omogenea .

Equazione caratteristica dell’omogenea associata: da cui e

Integrale generale dell’omogenea associata:

Integrale particolare della non omogenea: Sostituendo nell’equazione data: da cui, per il principio di identità dei polinomi:

Integrale generale dell’equazione data:

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato4 giugno 2010

1. Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del grafico della funzione attorno all’asse delle ascisse sull’intervallo dopo aver dimostrato, mediante l’uso di un criterio di convergenza, che tale integrale converge e successivamente rappresenta graficamente tale volume di rotazione.

Il volume cercato è dato da

La convergenza si dimostra mediante il criterio del confronto:

per si ha e l’integrale test converge essendo .

L’integrale è calcolabile mediante il passaggio al limite:

Quindi il volume richiesto è

2. Data la serie di potenze , determina l’intervallo di convergenza e la somma della

serie.

Il polo o punto iniziale è , il raggio di convergenza si calcola mediante la formula:

Non vanno controllati gli estremi, dato che il raggio di convergenza è infinito.La serie pertanto converge assolutamente su tutto l’asse reale.

Inoltre, poiché e ricordando lo sviluppo in serie di McLaurin della

funzione esponenziale , sostituendo in essa al posto di , la somma della serie è

data da:

3. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti

costanti omogenea , successivamente l’integrale particolare passante per ed avente ivi tangente con coefficiente angolare ed infine rappresenta

graficamente la funzione ottenuta.

Equazione caratteristica: da cui e Integrale generale:

Integrale particolare: con grafico sottostante (compreso di tangente)

Simulazione di terza prova d’Esame di Stato4 giugno 2010

1. Calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del grafico della funzione attorno all’asse delle ascisse sull’intervallo dopo aver dimostrato, mediante

l’uso di un criterio di convergenza, che tale integrale converge e successivamente rappresenta graficamente tale volume di rotazione.

2. Data la serie di potenze , determina l’intervallo di convergenza e la somma

della serie.

3. Determina l’integrale generale dell’equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti costanti omogenea , successivamente l’integrale particolare passante per ed avente ivi tangente con coefficiente angolare ed infine rappresenta graficamente la funzione ottenuta.