Classificzione delle superfici del secondo ordine in uno spazio semigalileano

RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Scrie II, Tomo L (2001), pp. 359-376

C L A S S I F I C A Z I O N E D E L L E S U P E R F I C I

D E L S E C O N D O ORDINE IN U N O S P A Z I O S E M I G A L I L E A N O

GIUSEPPE RUSSO - VINCENZO PIPITONE*

In questo lavoro si dimostra che nello spazio semigalileano esistono 69 tipi di quadriche classificabili, mediante gli invarianti e i semi-invarianti delle loro equazioni, in 25 famiglie.

Ricordiamo che lo spazio semigali leano G3 ~ uno spazio affine con

una giacitura speciale e una direzione speciale su di essa.

Nel r i fer imento avente il piano Oyz con giacitura speciale e l 'asse delle

Oz con direzione speciale, le t rasformazioni affini che lasciano invariate la

giacitura e la direzione speciali, possono essere scritte nella forma

X = ~.IX' d- a ,

y = Otx' + ~.2Y' + b,

z = f ix ' + y y ' + 3.3z' + c,

con c~, fl, y , a , b, c, ~-I, ~2, ~,3 numeri reali e ~.1~,2~,3 ~;& 0.

* Con il contributo del M.U.R.S.T. (60%)

360 GIUSEPPE RUSSO - VINCENZO PIPITONE

Le precedenti trasformazioni mutano un segmento e un angolo di G3 in un segmento e in un angolo proporzionali. Cosf essi formano il sottogruppo H9 delle similitudini di G3.

Se poniamo ~-i = ~.2 = ~.3 ~-- ~. ~;& 0 , otteniamo il sottogruppo H7(C H9) delle trasformazioni equiformi di G3.

In ci6 che segue Aij rappresenta l 'aggiunto dell 'elemento aij nella ij matrice del quarto ordine [[aijll e Ahk il minore del secondo ordine di

Ilaij II con elementi delle righe i-esima e h-esima e delle colonne j-esima e k-esima.

1. Classificazione delle superfici dei secondo ordine

Nella geometria semigalileana, definita dai movimenti

(1)

x - - - - x '+a ,

y = otx' + y ' + b,

z = f ix ' + y y ' + z' + c,

sono fisse ia direzione dell'asse Oz e la giacitura del piano Oyz.

L'equazione

(2) al lx 2 q-- a22Y 2 + a33z 2 -4- 2al2xy -Jr 2al3xZ

+ 2a23YZ + 2al4x + 2a24Y + 2a34z + a44 = 0

di una quadrica si trasforma per le (1) nell'equazione

(2') a,llX,2 + a~2yC2 _ , ,2 , , , , , , .-I- a33z + 2a12x y + 2a13x z

! ! l I I I ! ! I !

q- 2a23Y Z q- 2a14x 4- 2a24Y 4- 2a34z q- a44 -- 0

C L A S S I F I C A Z I O N E D E L L E SUPERFICI DEL S E C O N D O O R D I N E IN U N O S P A Z I O S E M I G A L I L E A N O 361

con

all = al l + al20t + al3fl + (a12 + a220t + a23~)ff-t-

+ (a13 + a23 Of + a33fl)fl,

a'12 = a12 + a220/+ a23fl + (a13 + a230/+ a33fl)Y,

a;2 = a22 + 2a23Y + a33Y 2,

a'13 ---- a13 + a230t + a33fl,

a23 = a23 + a33Y,

a33 = a33,

a14 = alia + al2b + al3c + a14 + (al2a + a22b + a23c + a24)ot+

a24 =

a34 I

a44 =

+ (al3a + a23b -t- a33c + a34)fl,

al2a + a22b "b a23c -t- a24 + (al3a -t- a23b "-1- a33c -Jr- a34)Y,

al3a + a23b + a33c + a34,

( a l i a + al2b + a13 c + a la )a + (al2a + a22 b + a23c + a24)b+

+ (al3a + a23b + a33c + a34)c + alaa + a24b + a34c + a44.

Esaminiamo i vari casi:

I. a33 ~ 0. Assumendo ), - -

Esaminiamo le seguenti possibilith:

a23 ' 0 e ' - - , si ha a23 = a22 --

a33 a33

II. / x ~ ~ O. Per ~ - A~2 A ~ A~2' fl -- A3322

A44 all -- 22 �9

A33 Questo caso si suddivide in due sottocasi:

, (a'14) 2 I l l . A445~ 0. La (2'), essendo ~44 = a44

all A

- - , si scrive A44

' ' O e si ha a 1 2 = a , 3 =

(a;4) 2 (a~4) 2 , !

a22 a33

(3) al l x'-'l-ai4"~2-l-a22 y'+---;-- -t-a33 Z' a;4"~2 A a',, ] a22 ]

= 0 .

! ! ,

Da questa, posto x' + al4 -- X, y' -t- a24 -- Y, z' -t- a34 -- Z, ! , I

a I I a22 a33 , l , in base alla distribuzione dei segni di al l , a22, a33, A44 e A, si ottiene la

famiglia di quadriche


i ,~h "'~ lag, ~/A,,

1 • • • ~.

2 • • • +

3 • :g ~ •

4 • T- •

5 • + ~. :g

6 : • ~- :1: :I:

71 + ~ + •

8 • • :I: •

9 • • • 0

10 • :I: q: 0

11 • :l: • 0

12 • • -T- 0

Equazione canonica Superficie

X 2 y s Z 2 Ellissoide - - + + = 1 a s ~ -~-

X s y 2 Z s Ellissoide immaginario - - + + ~ = - 1 a 2 ~ c 2

X s y S Z2 = - 1 Iperboloide iperbolico a l b 2 c 2

X s yS Z s - - - - - + = 1 iperboloide iperbolico a 2 b s -~- di prima specie X 2 y 2 Z 2 - - + b-- T - c--- T = 1 lperboloide iperbolico a 2 di seconda specie

X 2 yS Z 2

a s b 2 c s

Iperboloide ellittico =1

X 2 y 2 Z 2 - - - + - - = -1 Iperboloide ellittico a 2 b 2 c 2 di prima specie

X 2 y S Z s a-- i- + b~ c2 = -1 lperboloidedi seconda ellittiCOspecie

X 2 y 2 Z 2 Cono immaginario ~ + + - - = 0 a2 - ~ c 2

X 2 y2 Z2 = 0 Cono a 2 b 2 c 2

X 2 y2 Z 2 Cono a--- T - b-- T + - = O c2 di prima specie

X 2 y 2 Z 2 Cono - - + b-- ~ - c-- T = 0 di seconda specie a 2

I12. A44 = 0. Questo caso si scinde in due sottocasi:

1121. A I 4 ~ 0 . L a (2') si s c r i v e

(4)

a 2 2 ( Y ' + a 2 4 ~ 2 + d 3 3 ( Z ' + ~ )

at44 (a~4) 2 + 2 A 1 4 ( X ' +

\ 2 A 1 4 2a~,2A14

e, con le trasformazioni !

y' + a24 = Y, z ' + a34

a22 a33 - - Z , x ' + - -

assume la forma

( a ~ 4 ) 2 )

2 a ~ 3 A ] 4 = 0 ,

a ~ (a~4) 2 (a34)2 - - X ,

2A 14 2a~2A 14 2a~ 3 A 14

( 4 ' ) a ~ 2 Y 2 + a ~3 Z 2 + 2 A I 4 X = 0,

CI..ASSIFICAZIONE DELLE SUPERt"ICI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 363

da cui si deduce la famiglia di quadriche

13 • •

1 4 + :I:


yZ Z 2 b 2 ,I- ~ = 2pX Paraboloidedi prima specieellittic~

y2 Z 2

b2 c2 = 2pX Paraboloide

iperbolico di prima specie

! 1122- AI4 = 0. La (4), essendo fi44 = a44

/ !

posto y ' + a24 -- Y, z' + a34 -- Z, si scrive ! t

a22 a33

A l l a~2Y 2 + a'33 Z2 +

e d~t origine alia famiglia di quadr iche

(a~4)2 (a~4) 2 All t t 22 '

a22 a33 A33

= 0 ,

Ill a[2 a;3 Ail/A~

15 • • ~:

1 6 + 7+ q:

17 + :1: a:

1 8 + _+ •

19 • • 0

20 + :1: 0


y2 Z z b2 + -~- = 1 Cilindro ellittico

y2 Z 2

b 2 c 2

y2 Z 2

b 2 C 2

y2 Z 2 b2 t- c2

y2 Z 2 - - = 0

b 2 + c z

y2 Z 2 - - - - - - ~ 0 b 2 c 2

Cilindro iperbolico semispeciale di prima specie

Cilindro iperbolico semispeciale di seconda

specie

Cilindro immaginario

Coppia di piani immaginari di seconda specie

Coppia di piani reali e distinti

di seconda specie

, I2. A 22 = O. Allora a12 --

a33

364 G I U S E P P E R U S S O - V I N C E N Z O P I P I T O N E

I21. A~ 2 :f= 0. La (2') si scrive

' ( a ' ) 2 AI2 ( a33 Z' + 34 2 33 + _-77-- + _-$7"- x'

a33 a33

, (a34)2 -k- a44 ?

a33

a24a33 ) ( q- 12 ) A~ Y' ai4a;3A33 l ! !

2 a14a24a33 =- O,

da cui si deduce

IV a~3 A/A~

21 • •

22 •

23 + 0

Equazione canonica Superficie Iperboloide ellittico

Z 2 + 2pXY + k 2 = 0 semispeciale

Iperboloide iperbolico Z 2 +2pXY - k Z =0 semispeciale

Cono Z ~ + 2pXY = 0 semispeciale

a13 + a23• = = = ' = 0 e I22. A~ 2 0. Allora AM 0. Per fl si ha al3

a33 l / ? q

, A ~ , A ~ Ques to d/i origine ai seguenti quattro sottocasi: all -- ,a24 = ~ . a33 a33

Iz21. A~ =/= 0, A~ ~ 0. La (2') si scrive

, X' q- a14a33 + a~3 z'-k- V ~ ]

A23 / t , , , 2 t 2 t ,~ + 2 - ~ ~y' "1- a44a33 (a14033) (a34) a33 ) 9Al l A23 ")All A23 a33 A23] 3 ~ 3 3 '--~M *-'--~ 33 "-'*34

da cui

=0,

V

24

25

+

Equazione canonica Superficie X 2 Z ~ -~- + -~- = 2pY Paraboloide ellittico

di seconda specie

X 2 Z ~

a~ cZ = 2pY Paraboloide iperbolico

di seconda specie

CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFIC1 DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 365

I222. A~ ~ 0, A~ 3 = 0. La (2') si scrive

A~ ( , , )2 ( a' \2 , x ' + a14a33 q-a~ 3 z '+ 3_~_4) -k A22 --0,

da cui

V] a~3 A~ A n Equazione canonica X z Z z

26 + + + = - 1 a-- i- + c--- T X 2 Z 2

27 _+ + V- "~-+'~'T =l

X 2 Z 2 2 8 + - -T- t t 2 C2 = l

2 9 + - - •

30 + + 0 !

31 • I - 0 i

Superficie

Cilindro ellittico immaginario semispeciale

Cilindro ellittico semispeciale

Cilindro iperbolico di prima specie

X z Z 2 . . . . . 1 Cilindro iperbolico a 2 c 2 semispeciale di seconda specie

X2 Z2 = 0 Coppia di piani immaginari a "-T- + c ' ' T di prima specie

X 2 Z 2 . . . . 0 Coppia di piani reati e distinti a 2 c 2 di prima specie

1223. A~ = 0, A~43 ~ 0. La (2') si scrive

' ( Z a~4 ~ ? 2 A2343 ( +-'S---x + - - a33 I + _'-7-" + , Y' a'14 - '

a33 ,] a33 a24

da cui

a~4 (a34)2 ) 2a 4 2a 4a 3 =0,

VII Equazione canonica

32 Z2 + 2qY = O

Superficie

Cilindro parabolico di seconda specie

' ' 0 , ' I224- A ~ = A 23 = 0 . Si h a a l l = a24 = a14 = , -. a33

i due sottocasi: 12241- A~ 3 5~ 0 . Dalla (2') si ottiene

Si distinguono


VIR Equazione canonica

33 Z 2 + 2pX = 0

Superficie

Cilindro parabolico di prima specie

12242. A~ 3 ~ -0 . La (2') si scrive

d a c u i

a ' ) 2 33 ' + + a33 Z' 34 A44

_"77- a33 a33

= 0 ,

34 •

35 i : t -

3 6 • 0


Z 2 + k z = 0 Coppia di piani immaginari paralleli

Z ~ - k 2 = 0 Coppia di piani paralleli distinti

Z 2 = 0 Coppia di ptam coincidenti

II. Questo caso ~ caratterizzato da a33 = 0 e subordina due sottocasi:

II1. a23 ~ 0. Assumendo oe - -

A 4 4 / l ' 0 ~ ' ha a12 -= a13 = a22 = all -- a2

23 I l l l . A44 ~;& 0. La (2') si scrive

a13 AI2 a22 ' f l - a 2 ' Y - 2a23 a23 23

m , s i

A44 ( ai4"~ 2 2 a ~ 3 ( y , _ k a ' 3 4 ~ ( - k - ~ 2 3 J (a-~3)2 x ' - k all ,] - 72 .3 ] z' a~4 '~

t (all4)2 a24al34 - a 4 4 + ~ + 2 = 0 , ! f

a i ! a23

(a'14)2 -- 2 a24a34 / f a 11 a23

A

A44 ' - - - si ottiene la famiglia da cui, essendo a44

CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 367

X A Equazione canonica Superficie 37 + X 2 + 2pYZ - k 2 = 0 fperboloide iperbolico speciale

di primo tipo lperboloide ellittico speciale

38 - X 2 +2pYZ +k 2 =0 diprimo tipo Cono speciale

39 0 X2+2pYZ =0 .diprimotipo

II12. A44 = 0. La (2/) si scrive

( al ) ( a24"~ I ( + ~ + 2d14,] ! 34 + a23 ] + al 4 x I at34a24 a23 y1+ ~ z I ~ "~ al14a~3

AI4 con a114 - - a~ 3 . Si presentano i due sottocasi:

II121. A14 ~ 0. Si o t t iene

=0 ,

XI Equazione canonica

40 F-Z - 2pX = 0

Superficie

Paraboloide iperbolico speciale di secondo tipo

11122. AI4 = 0. Si ottiene

XiI Ait Equazione canonica Superficie

41 + YZ + p = 0 Cilindro iperbolico speciale - di primo tipo

Coppia di piani di cui uno 42 0 I"Z = 0 speciale

di secondo tipo

112. a23 = 0. Si hanno quattro sottocasi:

1121. a22#0, a13#0. Per or=

' ' = 0 e la (2') si scrive si ha al l = a12

( a ' ) 2 ( a34 "~ ( 1 24 t a22�9 yl + ~ 2 2 +2a13 x t + al 3t ,] Zt

al2 + a l3F e f t =

a22

atl4 ~ _ t (a24)2 + _L'7-- l -t-a44 - I

u13 / a22

a22

I ! 2 a14a34

t a13

- - = 0

368 G I U S E P P E R U S S O - V I N C E N Z O PIPITONE

Da questa si ottiene

[ ~II a~ A F.quazione canonica

43 + - Y2+2pXZ +kz=O

44 • + y2+2pXZ-k~=O

45 + 0 y2+2pXZ=O

Superficie

lperboloide ellittico speciale di secondo tipo

lperboloide iperbolico speciale di secondo tipo

Cono speciale di secondo tipo

a12 II22. a22 5 k 0, a13 ---- 0. A l l o r a A44 = 0 e pe r c, - -

a22 l /

, A~�89 , 0. Questo, a sua volta, presen ta qua t t ro so t tocas i : a l l - - , a l 2 a22

II221. A ~ ~ 0 , a34 ~ 0 . D a l l a ( 2 ' ) s i o t t i e n e

si ha

" Equazione canonica KIV A~ 4 6 + X 2 y2

a~ § = 2rZ

47 X 2 y2 . . . . . 2rZ a 2 b z

Superficie

I paraboloide ellittico speciale

Paraboloide iperbolico

speciale di primo tipo _.

II222. A ~ 5/= 0, a34 -----0. Dalla (2') si ottiene

X V , d22

48~ • +

4 9 + + :~

50 • _ •

51 :t: - :1:

52 + + 0

53 + _ 0

A'~ A33 ' Equazione canonica X 2 y2 + a2 ,I- --~- = -- [

Superficie

Cilindro immaginario

X 2 y2 Cilindro ellittico speciale 7+gr=' X 2 y2

~2 2 b 2

X2 y2

a 2 b 2

Cilindro iperbolico speciale di terzo tipo

Cilindro iperbolico speciale di secondo tipo

X 2 y2 ~- - - - = O Coppia di pinni immaginari

a 2 b 2 - speciali X 2 y2

a 2 6 2 Coppia di piani speciali

di secondo tipo

CLASSIFICAZ1ONE DELLE SUPERFICI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 369

11223. A l l : 0 , a345 ~ 0 . P e r / 3 - - - -

si h a a22aM

' = 0 e da l la (2 ' ) r i s u l t a a14

XVI Equazione canonica

54 y 2 + 2pZ = O

Superficie

Cilindro parabolico speciale di secondo tipo

, 2

11224. A l l = 0, aM = 0. A l l o r a a14 - - a22

II2241. A 12 ~6 0, si ottiene

- - - - e si p r e s e n t a n o i due casi :

XVI] Equazione canonica

55 Y2 +2pX =0

Superficie

Cilindro parabolico speciale di primo tipo

' = 0 e s i h a 112242. A/42 = 0. R i su l t a a14

XVIII A~ Equazione canonica

56 + Y2+kz=O

57 - y2 _ k 2 = 0

58 0 y2 = 0

Superficie

Coppia di piani immaginari parallelA di seconda specie

Coppia di piani paralleli reali di seconda specie

Coppia di ptam coincidenti speciali di secondo tipo

a12 1123. a22 = 0, a13 ~ 0. A l l o r a A44 = 0 e, p e r y - - - - , /3 ----

a13 a l l + 2a12ot A412

' ' = 0, ' Si h a n n o cosi i due , s i h a a l l = a12 a14 = . 2a13 a13

so t tocas i :

370 GIUSEPPE RUSSO - VINCENZO PIP1TONE

II231. m41 ~ r O. Si ottiene

59


XZ + 2qY = 0 Paraboloide iperbolico iperspeciale di primo tipo

11232. A 12 : 0. Si ha

6C +

61 0


XZ + k = 0 Cilindro iperbolico iperspeciale

XZ = O

di. primo tipo

Coppia di piani di cui uno speciale di primo tipo

II24. a22 : a13 = 0.

II241. a~2 r 0. Per a --

II2411. a34 ~ 0. Da cui

a l l

2a12 ' = 0 e si hanno i due casi: risulta al l

XXI, Equazione canonica

62 X Y + 2rZ = 0

Superficie

Paraboloide iperbolico iperspeciale dg secondo tipo

112412. a34 : 0. Si ha

~X~ A33 Equazione canonica

63 + XY + k = 0

64 0 X Y = 0

Superficie

Cilindro iperbolico iperspeciale di secondo tipo

Coppia di piani speciali di tipo diverso

11242. a12 = 0. Al lora a l l -r 0 e si hanno i seguenti due casi:

CLASS1FICAZIONE DELLE SUPERHCI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 371

112421. a34 ~ 0. Per y = - - - a24

6t34 ' 0 e si h a , r i su l t a a24 =

X)(Ill Equazione canonica Superficic

Cilindro parabolico iperspeciale 65 X z + 2rZ = 0 di secondo tipo

II2422. a34 = 0. Si p r e s e n t a n o i d u e u l t imi s o t t o c a s i :

II24221. a24 ~ 0. Da cui

XXIV Equazione canonica Superficie

66 Cilindro parabolico iperspeciale X 2 + 2qY = 0 di primo tipo (Superfieie ciclica)

1124222. a24 = 0. Si ha

,l Equazione canonica XXV ~q

67 + X ~ - k ~ = 0

68

69 0

Superficie

~f~ra

Coppia di piani immaginari paralleli X 2 +'k ~ = 0 speciali

di primo tipo

Coppia di piani coincidenti speciali X 2 = 0 diprimo tipo

372 G I U S E P P E R U S S O - VINCENZO P I P I T O N E

II. Classificazione delle superfici del secondo ordine mediante gli invarianti e i semMnvarianti delle loro equazioni generali.

1. Invarianti relativamente al cambiamento del sistema di coordinate.

Rispetto al gruppo (1) delle trasformazioni della geometria semigali-

leana gli invarianti della quadrica di equazione (2) sono

all a12 a13 a 12 a22 a23 a13 a23 a33 a14 a24 a34

a14

a24

a34

a4a

jla 02 a311 a 12 a22 a23 a 13 a23 a33

= A44,

l al I a12 I 22 a12 a22 = A33' a33

A44 22 A44 a33A44 A44 I = a33 -3t- A2~ q- 22 J A33 + + 22 I a33 -or-

a33 A33 a33 A33 a33

2. Determinazione dei coefficienti dell 'equazioni canoniche delle qua-

driche con l'aiuto degli invarianti e semi-invarianti.

Determinano adesso i coefficienti delle equazioni delle famiglie I, II . . . . XXV di quadriche in funzione degli invarianti.

l ! ! Se a33 5~ 0 e A 22 r 0, i coefficienti a u, a22, a33 sono le soluzioni dell 'equazione caratteristica

p3 _ ip2 + j p _ A44 = O.

Per l 'equazione (3) della famiglia (I) di quadriche si ha

A =

a' l o o o ' 0 0 0 a22

' 0 0 0 a33 0 0 0 a44

I , I - -

al l a22a33a44 ~--- A44a44

A e &4 --

A44 -- - - , e pub scriversi nella forma

' X 2 a ' Z 2 A arl -1- a22 Y2 q- 33 + ~ -- A44

- - 0 .

CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERF1CI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 373

! ! ' ~- 0, A44 = 0; a22, a33 sono le so luz ion i dell'equazione Nella (4') ~ all

p2 _ l p + J = 0 e A = -J(a'~4) 2 # 0. Allora l'equazione della famiglia (II) di quadriche si scrive nella forma

t 2 t 2 / I ~ . _ ~ _ X = O . a22Y + a33Z 4- 2V - J

' = 0 , ' = 0 e si ha # 0 , J 22 Per la famiglia (III) $ all a14 a33 ~--- A33 # 0, ' 0 0 1 a22

' 0 ' ' - Jfi44 A44 = 0, AI4 = 0, quindi All = 0 a33 = a22a33a44 = 0 0 fi44

un invariante relativo (semi-invariante) e la sua equazione pub scriversi

a' Z 2 All -- 0. a22 Y2 + 33 '{- j

Pe r la (IV) si ha a33 # 0, A44 5~ 0, A322 = 0, J ----- - ( a t l 2 )2 5~ 0, A =

a44A44 e la sua equazione si scrive

A a33 Z2 -t- 2 x / Z - - j X Y + ~ --

A44 --0.

Nella (V) ~ a33 # 0, A3232 ~--- 0, A44 = 0, J 5; & 0, A = - J ( a ~ 4 ) 2 • 0

e si scrive

all X2 + a33Z 4- 2 " Y = 0.

Nella (VI) ~ a33 # 0, A~ = 0, A44 = 0, J :~ 0, A = 0; A22 = Jfi44 ~ un invariante relativo e l'equazione si scrive

ailX 2+a~3Z 2 + A22 --0. J

Nella (VII) ~ a33 5~ 0, A~ 2 -- 0, A44 = 0, A = 0, J = 0; t t 2 - a33 (a24 ) r 0 ~ un invariante relativo e l'equazione si scrive

a33 Z2 -4- 2 ~ - Alia33 y = 0.

A l l -~.

I1 caso 12241, relativo alia famiglia (VIII), comporta a33 5~ 0, A 22 = p t 2 A44 = A = J = 0; A22 = --a33(a14) ~ 0 ~ un inva r i an t e re la t ivo e si


ottiene

a33 Z2 -4- 2 ~ - A22a33 X = 0.

Nel caso 12242, relativo alia famiglia (IX), ~ a33 ~ 0, ' - ~ un invariante relativo e si ha A = J = 0; A ~ = a33a44

a33Z 2 + A ~ = 0 . a33

= a 4 4 =

Per la famiglia (X) di quadriche ~ a33 ----- 0, A44 ---- --a'li(a~3 )2 !

0, A232 ---- J -- - (a~3 )2, I ---- al l ~ 0, A _-- a44A44 e la sua equazione si scrive

I x Z + 2~/-S--jyz + A - 0 . A44

t 2 t 2 Perla(XI) si had33 = 0, J = A~ 2 = -(a~3) 2 ~ 0, A = (a23) (al4) = -(a~4)2J :~ 0 e si ottiene

V/ A CZTrz• - - - x = 0 . J

22 = Per la (XII) si ha a33 --- 0, A44 -- 0, J = A33 --(a~3 )2 r 0; --a'll(a;3) 2 ~ un invariante relativo e si ottiene

All 4-2v/Z-JYZ + -- O.

J

A l l

I t 2 Nella (XIII) ~ a33 = 0, A44 = --a22(a13) ~ 0, t 9

--(a13)-, A = a44A44 e la sua equazione si scrive

I y 2 4 - 2 x / - ~ X z + A _ 0 . A44

, j = l -- a22,

! ! Nel caso 11221, relativo alia famiglia (XlV), all e a22 sono soluzioni

dell'equazione p 2 _ i p + J = 0 , si ha a 3 3 = A ~ 2 = A 4 4 = 0 , J----A~ l : f i 0, A = - J ( a ~ ) 2 e si ottiene

,x2 a 2 2 2( 0 al l "{- __ __

CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI DEL SECONDO ORDINE IN UNO SPAZIO SEMIGALILEANO 375

! ! Nel caso 11222, relativo alia famigl ia (XV), al l e a22 sono soluzioni

del l 'equazione p 2 _ t p + J = 0 , a 3 3 = A 2 2 - - A 4 4 = A = 0 , J = A ~

0, A33 = J~44 (invariante relativo) e si ottiene

A33 -- 0. all X2 + a;2 Y2 + j

! Per la (XVI), da a33 : A~ 2 : J = A44 = A = 0, I = a22 ~ 0, Al I :

--l(a~4) 2 r 0 (invariante relativo) si ott iene

[ All

IY z -4- 2 . / - Z = O. V I

,

Per la (XVII), da a33 : A ~ : J -- A44 ---- A : 0,

A33 : - - I ( a ' 1 4 ) 2 ~ 0 (invariante relativo) si ott iene

I y 2 .4- 2 . / - A33 V I

X = 0 .

!

I = a22 :#

Per la famigl ia (XVIII), da a33 : A~ 2 = J : A44 = A = 0, t 22 a22 ~= 0, A44 = Ia44 (invariante relativo) si ottiene

I Y Z + A4422 _ 0 . , I

i __

Nel caso 11231, relativo alia (XIX), si ha a33 = I = A2~ = A44 =

0, A/~ ---- J ---- -(a~13) 2 ~ 0, A = - J ( a ~ 4 ) 2 ~ 0 e si ott iene

,

/ A ~ - J X Z - 4 - , / - - - Y = O. u J

Nel caso 11232, relativo alia (XX), si ha a33 = I ---- A ~ = A44 = A =

A ~ = J = -(a'13) 2 ~ 0, A22 = Jh44 (invariante relativo) e si ottiene

+2~/-Z--jX Z + A22 _ 0. J

La (XXI), essendo a33 = I = A3z3z = A44 = 0, A~_~ = J = -(a'12) 2 :/: 0, A = - J ( a ~ 4 ) 2 ~: 0, ha l ' equazione

376 G I U S E P P E R U S S O - V I N C E N Z O PIPITONE

P e r l a f amig l i a ( XXI I ) , daa33 = I = A2~ = A44 = A = 0 , A ~ =

J = -(a'~2) 2 :fi 0, A33 = Jt~44, (invariante relativo) si ha

A33 • + - o.

J

! Per la (XXlII), da a33 = A 22 = J = A44 = A = 0, I = al l 5~

0, A22 = -- /(a~4 )2 r 0 (invariante relativo) si ha

I X 2 + 2 ~ - A221 Z = 0.

t Per la (XXIV), da a33 = A3232 = J = A44 = A = 0, I = al l r 0, A33 = -- l (a~4) 2 # 0 (invariante relativo) si ha

/ A33 I X 2 -4- 2 , / - Y = O.

V I

Infine, per la famiglia (XXV), da a33 = A~ 2 = J = A44 = A = 0, I = a'll :/: 0, A ~ = h544 (invariante relativo) si ha

1X 2 + A44II _ 0 . I

BIBLIOGRAFIA [ 1 ] Makarova N. M., Second order curves in flat parabolic geometry, Uc. Zap. Mosk.

Ped. Inst., (1963), 222-51. [2] Yaglom I. M., A simple non-euclidean geometry and its physical basis, Springer-

Verlag New York, (1979).

Pervcnuto il 20 d iecmbte 1999

Universit& di Palermo Dipartimento di Matematica

ed Applicazioni Via Archirafi 34 90123 Palermo

Classificzione delle superfici del secondo ordine in uno spazio semigalileano

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