Classe 5Ccm Recupero di Matematica 1 Novembre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. Si risolvano i seguenti integrali indefiniti.

(a) (⇤/3 punti)

Zarcsenx dx

(b) (⇤/3 punti)

Zdx

x ln

3x

(c) (⇤/3 punti)

Zx+ 2

x(x

2 � 3x+ 2)

dx

(d) (⇤/4 punti)

Z1� 1

e

x

dx ??

2. Si calcolino i seguenti integrali definiti.

(a) (⇤/3 punti)

Z 3

�1

2

x� 3

4

dx

(b) (⇤/3 punti)

Z ⇡3

�⇡6

1

cos

2x

dx

(c) (⇤/5 punti)

Z 1

0

p1� x

2dx ??

3. (a) (⇤/3 punti) Calcolare il volume di un semisfera di raggio 2 ottenuta facendo

ruotare attorno all’asse delle ascisse la funzione f(x) =

p4� x

2. ?

(b) (⇤/3 punti) Calcolare la superficie laterale di un cono di altezza h = 4

ottenuto facendo ruotare attorno all’asse delle ascisse la retta di equazione

y = x� 23 . ?

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /13

c� s� p� f� d� i� r�

2 /11

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /30 ⇤ Ordine

Classe 5Ccm Test di Matematica 14 Dicembre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. (⇤/6 punti) Rappresentare il dominio della seguente funzione

f(x, y) = ln(x

2+ y

2 � 4)

2. (⇤/6 punti) Calcolare il gradiente della funzione

f(x, y) = y

2e

�x

3. (⇤/6 punti) Calcolare la matrice Hessiana della funzione

f(x, y) = x

2+ 2xy � xy

2

4. (⇤/6 punti) Rappresentare la sezione lungo il piano p

xz

della funzione

f(x, y) = lnx sen y � lnx

Classe 5Ccm Recupero di Matematica 20 Gennaio 2016

Cognome e nome: Voto:

1. Si consideri la funzione

f(x, y) =

ln(6y � x

2 � 9)p117� 9x

2 � 13y

2

(a) (⇤/7 punti) Determinarne il dominio rappresentandolo graficamente.

(b) (⇤/5 punti) Calcolare l’area della porzione de piano p

xy

corrispondente

al dominio della funzione.

2. Si consideri la funzione

f(x, y) =

x

2

4

� y

2

9

(a) (⇤/4 punti) Determinare l’equazione della sezione tale sezione lungo il

piano p

xz

e rappresentarla graficamente

(b) (⇤/4 punti) Calcolare l’area sottesa dalla sezione (rispetto l’asse x)

nell’intervallo definito dai punti A(�2, 0, 1) e B(2, 0, 1).

Piano Tangente ad una Superficie

Data una funzione z = f(x, y) di↵erenziabile in (a, b) l’equazione del piano

tangente alla sua superficie nel punto P (a, b, f(a, b)) e:

z = f(a, b) + f

x

(a, b) · (x� a) + f

y

· (y � b)

3. Si considerino la funzione f(x, y) = e

x/y

+ xy + 2 ed il punto P (1, 0, f(1, 0))

(a) (⇤/4 punti) Calcolare il gradiente rf(x, y)

(b) (⇤/2 punti) Determinare i valore del gradiente nel punto P .

(c) (⇤/4 punti) Determinare l’equazione del piano tangente alla superficie

di f(x, y) nel punto P .

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /12

c� s� p� f� d� i� r�

2 /8

c� s� p� f� d� i� r�

3 /10

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /30 ⇤ Ordine

Classe 5Ccm Recupero di Matematica 17 Febbraio 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 18 puntisvolgendo gli esercizi di seguito proposti.

E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamente, neicalcoli e nelle procedure, almeno quattro integrali o un eserciziosulle funzioni in due variabili.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento

della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.

1. Determinare le primitive dei seguenti integrali immediati.

(a) (⇤/3 punti)

Z3x

2 � x

3

3

+ 5x� 11 dx

(b) (⇤/3 punti)

Z2x

x

2+ 4

dx

(c) (⇤/3 punti)

Z7

x

2dx

(d) (⇤/3 punti)

Zctg(2x+ 1) dx

(e) (⇤/3 punti)

Z(x� 2)(x+ 3)

x

dx

2. Data la funzione f(x, y) = ln(1� x

2 � y

2)

(a) (⇤/4 punti) se ne calcolino dominio e segno rappresentandoli

graficamente;

(b) (⇤/4 punti) studiarne la sezione lungo il piano y = 0.

3. Data la funzione f(x, y) =

p4� y

2 � x

2

(a) (⇤/4 punti) calcolare e rappresentare il suo dominio;

(b) (⇤/8 punti) calcolare e rappresentare sul precedente grafico le curve di

livello L1 e L3

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /15

c� s� p� f� d� i� r�

2 /8

c� s� p� f� d� i� r�

3 /12

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /35 ⇤ Ordine

Terza Prova - Matematica

Congnome e Nome: Classe: Data

1. Data la funzione f(x, y) = ln(x

2+ y

2) rappresentarne graficamente il dominio e le curve di livello

Lln 2 e Lln 5.

2. Si dia una definizione di punto stazionario per una funzione in due variabili, descrivendo le varie

casistiche possibili. Facendo poi riferimento alla funzione del punto precedente se ne determinino,

se esistono, i punti stazionari. Giustificare in ogni caso la risposta.

3. Si indichi quale tra le seguenti funzioni genera ruotando attorno all’asse delle ascisse un solido di

rotazione la cui superficie laterale nell’intervallo I[0, 1] e pari a S =

1312⇡.

A. f1(x) =(x� 2)

4

16

B. f2(x) =2

(2x+ 1)

2

C. f3(x) =(x� 2)

2+ 1

8

D. f4(x) =1

2x+ 1

4. Se nel punto x = x0 si ha che f(x0) = 0 e in tale punto la funzione f(x) e crescente, allora ogni

primitiva F (x) di f(x)

A. ha un punto di minimo in x0

B. ha un punto di massimo in x0

C. ha un punto di sella in x0

D. ha uno zero in x0

5. Si determini la soluzione del seguente problema di Cauchy :

(y

0=

cosx

e

y

y(0) = 2

A. y(x) = ln(senx) · 2B. y(x) = ln(senx+ e

2)

C. y(x) = ln(cosx+ e

2)

D. y(x) = ln(senx+ 2)

6. Secondo il Teorema di Schwarz se in un certo aperto A ✓ R2una funzione ammette derivate

parziali seconde miste continue, allora

A. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono crescenti

B. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono costanti

C. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste sono nulle

D. 8P 2 A le derivate parziali seconde miste coincidono

Classe 5Ccm Test di Matematica 23 Aprile 2016

Cognome e nome: Voto:

1. Si enunci il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

2. Si dia una definizione di curva di livello per una funzione in due variabili,

descrivendone l’utilizzo per lo studio della funzione stessa.

3. Facendo riferimento alla funzione f(x, y) =

px

2+ y

2 � 9 si utilizzino le curve

di livello per dedurne l’andamento.

4. Si determinino le soluzioni della seguente equazione di↵erenziale

ln

2x · y0 = 1

x cos 2y

5. Si consideri come universo l’insieme U = {↵,�, �, �, ✏}. Si costruisca lo spazio

dei campioni considerando estrazioni in blocco di campioni di numerosita 3

considerando di↵erenti due campioni se di↵eriscono per almeno un elemento.

Terza Prova - Matematica

Congnome e Nome: Classe: Data

1. Si dia una definizione dello stimatore media campionaria X, illustrandone la distribuzione

di frequenza nel caso di estrazioni bernoulliane di campioni di numerosita n = 2 dall’universo

U = {1, 3, 5, 7}. Si relazione infine tale stimatore con la media µ dell’universo.

2. Si descriva la procedura risolutiva di equazioni di↵erenziali mediante l’utilizzo del fattore inte-

grante per i casi del tipo y0 + a(x) · y = b(x).

3. La sezione della superficie di f(x, y) = ln(x+y�3)x�2y�3 con il piano xOz considerando ascisse nell’inter-

vallo di ascisse [4, 6] ha area

A.

ln

23

2

B.

ln 3

2

C.

ln

32

2

D. ln

23

4. Sapendo che mediante estrazione in blocco si ottiene la seguente distribuzione campionaria delle

medie

X 0 1 3 5 7

p

2

25

6

25

9

25

5

25

3

25

la media campionaria ha una varianza di

A. �2X

⇡ 3, 6

B. �2X

⇡ 5

C. �2X

⇡ 3

D. �2X

⇡ 5, 6

5. Si determini a quale problema di Cauchy e associata la soluzione y(x) = ln(senx+ 2)

A. y0 =cosx

ey^ y(0) = 2

B. y0 =cosx

ey^ y(0) = ln 2

C. y0 =senx

ey^ y(0) = 2

D. y0 =cosx

ey^ y(0) = 1

6. La primitiva della funzione f(x) = x cos(3x2 + 2) e

A. sen(3x2 + 2) + c

B. cos(3x2 + 2) + c

C.

1

6

sen(3x2 + 2) + c

D.

1

6

cos(3x2 + 2) + c

Classe 5Ccm Recupero di Matematica 13 Settembre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. (⇤/6 punti) Data la funzione f(x) =

x

2

lnx+1

(a) determinarne gli intervalli di positivita;

(b) calcolarne i limiti agli estremi del dominio.

(c) Tracciare il grafico probabile della funzione.

2. (⇤/6 punti) Calcolare il valore dei seguenti limiti.

(a) lim

x!�1

x

4 � 3 + x

3 � 6x

x

3 � 4 + x

(b) lim

x!3�

✓x+

1

x� 3

◆

(c) lim

x!⇡

sen(x� ⇡)

⇡ � x

3. Calcolare le seguenti derivate.

(a) (⇤/2 punti) D [2 tg x� 1]

(b) (⇤/2 punti) D

3x

2 � 7x+ 1

4� x

2

�

(c) (⇤/2 punti) D [ln(1� cosx)]

4. (⇤/6 punti) Studiare l’andamento della funzione �(x) =

e

x�e

�x

x

2 , classificando gli

eventuali punti di massimo e di minimo, motivando la risposta.

5. Determinare le primitive dei seguenti integrali immediati.

(a) (⇤/2 punti)

Z3x

2 � x

3

3

+ 5x� 11 dx

(b) (⇤/2 punti)

Z2x

x

2+ 4

dx

(c) (⇤/2 punti)

Z7

x

2dx

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /6

c� s� p� f� d� i� r�

2 /6

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /6

c� s� p� f� d� i� r�

5 /6

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /30 ⇤ Ordine