Matematica e statisticaVersione didascalica: parte 1

• Sito web del corsohttp://www.labmat.it/didattica

• Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste• e-mail: inverniz@units.it

2. Derivata e integrale

2.1. Il problema delle tangenti

0 0( , ( ))P x f x=

• è una retta che passa per P, e che assumeremo non verticale(ossia non parallela all’asse y)

• ha quindi equazione (retta per un punto, in rosso le variabili))

0 0( ) ( )f x ay x x= + −

dove il numero a è la pendenza. La pendenza a della retta tangenteal grafico di una funzione f in un punto (x, y) è la derivata della funzione f nel punto x (la ascissa del punto di tangenza). Ma: Cosa è la retta tangente al grafico di una funzione f in un punto?

La retta tangente al grafico di una funzione f in un punto

2.2. La derivata in un punto

Il “conteggio delle intersezioni” non identifica la retta tangente(delle rette che passano per il punto indicato la tangenteè l’unica che ha infinite intersezioni con la curva)

(continua)

A proposito dell’espressione “due punti coincidenti”:

Due euro

Due euro coicidenti

L’idea dello zoomVisione microscopica: (si leggano bene le coordinate, finestra larga 0.002, alta 0.00006): la curva blu “si confonde graficamente” con la retta rossa.

Intuitivamente:la retta tangente al grafico di una funzione f in un suo punto P è quella retta che, in una visione microscopica centrata nel punto P, è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione.

Simbologia per la derivata

'( )f x

• Notazione di Leibniz: la derivata della funzione y = f (x) nel puntox si indica con

dydx

• La notazione di Leibniz è preferibile quando la funzione non ha un nome, ma è indicata solo da una formula, per esempio:

22(3 5 2) (3 5 2)d x x ddx dx x x+ −

+ −=

[si legge: “effe-primo-di-ics”]

[si legge: “di-ipsilon-su-di-ics”]

• Notazione di Lagrange: la derivata della funzione y = f (x) nel punto x si indica con

Calcolo numerico della derivata

( ) ( )2'( )

f x h f x hhf x

+ − −≈

• Valori tipici per il passo: h = 0.01, h = 0.001• In termini multiscala: il sistema ha una scala macroscopica in cui la grandezza caratteristica ha dimensione ≈ 1, ed una scalamicroscopica (dove la curva si confonde con la retta tangente) in cui le dimensioni tipiche hanno un ordine di grandezza inferiore, come h = 0.01, h = 0.001. Una ulteriore analoga diminuizione degliordini di grandezza porta a dimensioni fisiche non valutabili, per cui ad esempio h² ≈ 0.

Formula dei tre punti (o della differenza centrale)

Rappresentazione grafica della formula dei tre punti

( ) ( )2'( )

f x h f x hhf x

+ − −≈

Il quoziente di Newton

( ) ( )2'( )

f x h f x hhf x

+ − −≈

• Se è possibile calcolare f sia nei tre punti x, x+h ed x-h si usal’approssimazione dei tre punti:

• Se interessa o è possibile calcolare f solo nei due punti x, ed x+h(con h > 0) si usa il quozientequoziente didi Newton Newton destrodestro

( ) ( )'( )

f x h f xhf x

+ −≈

• Se interessa o è possibile calcolare f solo nei due punti x-h, ed x(con h > 0) si usa il quozientequoziente didi Newton Newton sinistrosinistro

( ) ( )'( )

f x f x hhf x

− −≈

La derivata come rate of change, I

• Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t).• All’istante to la grandezza vale Xo . • L’unità di tempo è così piccola che la grandezza ha solo variazioni

“microscopiche” in un’unità di tempo. • Quindi essendo interessati al futuro useremo il quoziente di Newton(destro)

0 0 0'( ) ( 1) ( )X t X t X t≈ + −

La derivata X’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la grandezzaX in una (brevissima!) unità di tempo a partire dall’istante to, ed è per definizione la velocità di crescita (istantanea) all’istante to

La derivata come rate of change, II

• Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t).• All’istante to la grandezza vale Xo . • Nell’unità di tempo la grandezza ha variazioni macroscopiche• Però in un intervallo di h [unità di tempo] << 1 la grandezza ha solo

variazioni “microscopiche”• Quoziente di Newton (destro): 0 0 0'( ) ( ) ( )hX t X t h X t≈ + −

• Il prodotto h X’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la grandezza X in h unità di tempo (un tempo brevissimo) a partiredall’istante to. • La derivata X’(to) = h X’(to) / h è una stima di quanto crescerebbein assoluto la grandezza X in 1 unità di tempo (un tempo lungo) se la velocità fosse sempre la stessa per tutta la (lunga) unità di tempo.

• Il grafico del ROC / NYSE usa in ascissa come unità di misuradel tempo 1 = 1 anno, e tipicamente come passo 6 o 10 gg, ossiah = 0.016 [anni] oppure = 0.027 [anni].

• In ordinata “1 Year Rate of Return”, ossia quanto renderebbe un capitale se la velocità di crescita fosse sempre la stessa per tuttol’anno uguale a quella rilevata alla data in ascissa

Derivata e tassi, I

• Il rapporto X’(to) / X(to) è una stima di quanto cresce in percentualela grandezza X in un’unità di tempo (assunta breve) a partire daltempo to, ed è detto tasso di crescita

0 0 0

0 0

'( ) ( 1) ( )( ) ( )

X t X t X tX t X t

+ −≈

• Una popolazione ha nel 2001 tasso di natalità del 0.18% annuo:• All’anno to = 2001, ci sono X(to) = 42,136,500 individui. • X’(to) / X(to) = X’(to) / 42,136,500. = 0.18% = 0.18/100 = 0.018• X’(to) = 42,136,500 × 0.018 = 758,457 individui/anno• All’anno to + 1 = 2002, sono stimati 42,136,500 + 758,457 =

42,894,957 individui

Derivata e tassi, II

• Nelle applicazioni (assumendo sempre breve l’unità di tempo) iltasso di crescita X’(to) / X(to) si valuta rapportando la variazionedella granezza alla media aritmetica dei valori della grandezzaall’inizio ed alla fine del periodo [to , to + 1] considerato

0 0 0

0 0 012

'( ) ( 1) ( )( ) [ ( ) ( 1)]

X t X t X tX t X t X t

+ −≈

+ +

2.3. La derivata come funzione

• Se il grafico di y = f (x) ha la tangente in ogni punto, si dice che la funzione f è derivabile.

• Se la funzione f è derivabile possiamo associare ad ogni ascissa x(ammissibile) la pendenza della retta tangenteal grafico di f nel punto (x, f (x)), ossia la derivata f '(x).

• Abbiamo una funzione f ' , detta la derivata (prima) di f

2.4. Derivata di alcune funzioni base

• Calcoliamo la derivata di alcune funzioni di base definite esplicitamente da una formula (lo zoo).

• Se fosse necessario distinguerela variabile x della funzionedalla variabile della derivata, indicheremocon xo l’ascissa in cui viene calcolata la derivata.

2.4.1. Derivata di

2

0

2 20 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0 0 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )2

2 22

4 22

( )

2

|a x h b x h c a x h b x h c

h

ax ax h h bx bh c ax ax h h bx bh ch

ax h bhh

dx xdx ax bx c

ax b

+ + + + − − − − −

+ + + + + − + − − +

+

=

−

+ +

+

≈

=

==

2( )f x ax bx c= + +

2.4.2. Derivata di f(x)=1/x

0 0

0 0

0 0

2

0

2

2

20

11

2 2

( ) 1/

'(

[1/ ] | 1

)

/ |

0

dx x x xdx

x h x hx +h x h x

xh h

f x x

f x

x xh

= =

− − −1− −

−

= −

=

≈ ≈

≈ 0

⇒

=

2.4.3 Derivata dell’esponenziale

0 0

0 0

0

0

0

00

( ) 2(2 2 ) /(2 )

(2 2 2 / 2 ) /(2 )2 (2 2 ) /(2 )

[2 ]

2 ] |2

|

2 [

xdx x

x

x h x h

x x

dx

x x

h h

x h h

x

dxdx

f xh

hh

=+

−

=

−

=

≈ −

= −

= −

≈ × 0.69314

×

7...

≈

Funzione esponenziale di base a (a > 0, a ≠ 1): ( ) xf x a=

0 0

0 0

0

0

0

0

0

( ) 5(5 5 ) /(2 )

(5 5 5 / 5 ) /(2

[5 ] |

)5 (5 5 ) /

5 [5 ]5

|

(2 )

xdx xd

x

x h x h

x xh h

x h h

x

x

x xdxdx

f xh

hh

+ −

−

=

=

=

≈ −

= −

= −

≈ × 1.60944..

≈ ×

( ) 5xf x =Derivata di

0 0

0 0

0

0

0

0

0

( )( ) /(2 )

( / ) /(2 )( ) /(

[ ] |

[ ] |

2 )

x

x h x h

x xh h

x h

xdx x

h

x

dx

x

xdxdx

ef x e

e e h

e e e e he

ee

e e he

=

=

+ −

−

=

≈ −

= −

= −

≈

≈

=

× 1.

1.

( ) xf x e=

2.71828...e =

Numero di NeperoNAPIER John (1550-1617)

Derivata di

L’esponenziale di base e è l’unica ad avere tangente nel punto (0, 1) inclinatadi 45° (di equazione y = x + 1):vedasi lo zoom. Le altre due esponenziali raffiguratehanno base 2 e base 5

Il grafico di y = exp(x) cresce così rapidamente da essere rappresentabile nel display con difficoltà: per rappresentarlo fino a x = 5 occorre una scala dimetrica con rapporto 1:10fra le ordinate e le ascisse (cioé nella figura la unità di misura sull'assedelle ordinate è 1/10 dell'unità di misura sull'asse delle ascisse):

-4 -2 2 4

20

40

60

80

100

2.4.4. Derivata del seno

Nel grafico il seno sin(x) e lasua derivata numerica ad h=.001che differisce (in v.a.) da cosenoal max di 1.5×10^(-7)

In effetti si prova che:

sin( ) cos( )ddx x x=

2.4.5. Derivata del coseno

Nel grafico il coseno cos(x) e lasua derivata numerica ad h=.001che differisce (in v.a.) da -senoal massimo di 1.5×10^(-7)

In effetti si prova che:

cos( ) sin( )ddx xx −=

Derivata del seno con x in gradi

Se si misurano gli angoli in gradiil seno, la funzione sin(x in gradi),viene molto appiattita e la suaderivata diventa

0.0175633... cos(x in gradi)

La misura in radianti rende =1 il coefficiente.

Derivata del seno con x in giri

Se si misurano gli angoli in giriil seno, la funzione sin(x in giri),viene compressa come una molla,e la sua derivata diventa

6.28319... cos(x in giri)

La misura in radianti rende =1 il coefficiente.

Perché e e perché π

• La scelta di e = 2.71828... come base per gli esponenziali e• la scelta di π = 3.14159... come base per le funzioni circolari• consente di avere tutte semplificate le formule delle derivate con valore =1 del coefficiente di proporzionalità

2.5. Regole di derivazione

• Calcoliamo la derivata di funzioni costruite con operazioni “dibase” (addizione, moltiplicazione, ...) a partire da “ingredienti”(addendi, fattori, ...) derivabili.

• Se fosse necessario distinguere la variabile x della funzione dallavariabile della derivata, indicheremo con xo l’ascissa in cui vienecalcolata la derivata.

2.5.1. Derivata della somma di due funzioni

0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0

( ) ( ) '( )( )( ) ( ) '( )( )

[ ( ) ( )] ( ) ( )][ ( ) ( )] | '( ) '( )

[ '( ) '( )]( )d

x xdx

f x f x f x x xg x g x g x x xf x g x f x g x f x g x

f x g xx x

f x g x=⇒ + = +

≈ + −

≈ + −+ ≈ [ + + + −

2.5.2. Derivata del prodotto di due funzioni

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

20 0 0

0 0 0

0

( ) ( ) '( )( )( ) ( ) '( )( )[ ( ) ( )]( ) ( )] [ (

[

) '( ) '( ) ( )]( )

'( ) '( )( )

{ 2 '( ) '(

( ) ( )] | [ ( ) '( )

)(

'(

}

]

|

)

)

( )dx xd

x x

x

f x f x f x x xg x g x g x x x

f x g xf x g x f x g x f x g x x xf x

f x g x f x g x fg x x x

f x g x x x

x g x=

=

≈ + −≈ + −

⇒ ≈[ + + −

−

= +

+ −

⇒

+

2.5.3. Derivata della funzione composta

• Nella funzione g composto f agisce prima f e poi agisce g• La composizione non è commutativa• La composta della retta z = cy+d con la retta y = ax+b è la retta z = c (ax + b ) + d = ca x + (cb + d)

• Nel caso di due rette, la pendenza della compostaè il prodotto delle pendenze.

Derivata della funzione composta

0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

( ) ( ) '( )( ) ( )( ) ( ) '( )( )

( ( )) ( ) '( )( )( ( )) ( ( ) )( ( )) ( )

[[ ( ( ))] | '( ( )) '(

( ), '( ), '( ))

]d

x xdx

y f x f x f x x x y a x xz g y g y g y y y

g f x g y g y y yg f x c y a x x yg f x ca x x

yg f x g f x f xf x a f x c g y

=

= ≈ + − = + −

= ≈ + −

⇒ ≈ + −= + + − −

= + −

=

= = =

⇒

Derivata di 1/q(x)

0

2 00

0

1[ ( )]

2

( ) 1/1/ ( ) ( ( ))

[ '( ( )) '( )] |

'(

[1/ ( )] |

[ '( ) / ( ] |) )|

dx xdx

x

x x

x xq x x

g y yq x g

q x

q x

q xg q x q

q x

x

q x=

=

=

−=

==

⇒ =

=

=

−

2.5.4. Derivata di p(x)/q(x)

2 2

( ) 1( ) ( )

1 1( ) ( )

( )( )

'( ) ( ) ( ) '( )[

'( )1( ) [ ( ) ( ]] )

( )

'( ) ( ) ][

'( ) ( )

]dd

ddxx

p xq x q x

q x q xp xq x

p xq xq x

q x p xx

q xq q x

p x

p x p x

p x p x −−

= ×

= ×⇒ + × [ =

+ =

Tabella di derivazione, I

2

2

( ) [ '( ) ( )] [ ( ) '( )]( ) [ (

2

/ /

( ( )) '( ( )) '( )

( ) ( ) '( ) '( )

( ) ( ) '( ) ( )] [ ( ) '( )]

( ) '( )]

[ ]

[ ]

[ ][ ][ ][ ] [[ ]

[ ]

ddx

ddx

ddxddxddxddxddx

ddx

p x p x q x p x q xq x q x

ax b a

ax bx c ax b

k x k x

g f x g f x f x

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

k g x g xk× − ×

+

+ + +

×

+ +

× × + ×

× ×

=

=

= −

=

=

=

=

= 2)]

2.5.5. Derivata della funzione inversa

1

1

11

1

1

( ( ))( ( ))

'( ( )) [ ]'( )1[ ]'( ) '( ( ))

1

d ddx dx

f f x xf f x x

f f x f x

f x f f x

−

−

− −

−−

=

=

× =

⇒ =

La pendenza della retta rossa è= 1/(pendenza della retta blu)

34 2( ) 1 x xf x = + +

1( ) .....?.....f y− =

x ( )y f x= y 1( )x f y−=

La funzione inversa:qui:

34 2( ) 1 x xf x = + +

1( ) .....?.....f y− =

1( )f x− =

È possibile dimostrare che qui la funzione inversa è(nella variabile x):

2.5.6.a. Derivata del logaritmo

1

11

1 1ln( ) e

( ) exp( )

xp(ln( ))

'( ) exp( )( ) ln( )

1[ ]( ) '( ( ))

x

x

ddx

ddx x

f x x ef x x ef x x

f x f f

x x

x

−

−−

=

= =

= =

=

=

=

Il grafico di y = ln(x) cresce cosi' lentamente da essere rappresentabilenel display con difficoltà: vediamone i valori fino a x = 100 in scala isometrica (rapporto 1:1 fra ordinate e ascisse):

20 40 60 80 100-6-4-224

Lo stesso grafico in scala dimetrica (espandiamo le ordinate di un fattore 10):

20 40 60 80 100

-4

-2

2

4

2.5.6.b. Derivata delle potenze

2

ln( ) ln(

1

)

ln( )

1 2

1/ 2 1/ 2

2

3 2

1

1 1

12(1 / 2)

1( )

( ln(

2

)

1

3

)

a

a addx

ddx

d

a x a x

dx

a x addx

dd

ddx

ddx

x

ddx

x x

x

xx ax

x

f x x e ee a x x a

x x

x

x

x x

x x

−

−

−

−

=

=

= = −

= = =

= × = × =

= =

= −

=

2.5.6.c. Derivata degli esponenziali

ln( ) ln( )

ln( ) ln( )

2 2 ln(2) 2 0.693147...

5 5 ln(5) 5 1.60944...

2.71828... 2.71828..

( )( ln

. ln(2.71828...) 1

)

.

( )

x

x xddx

x x xddx

x x xddx

x x x x

x a x a

x a d

dx

d

d

xa af x a e e

e x a a

e e

= =

×

= × = ×

= × = ×

= × = ×

× =

=

=

=

2.5.6.d. Tangente e arcotangente

2

2 2

2 2

2

2

1

sin( )cos( )

sin( ) cos( ) cos( ) sin( )[ sin( )]cos( ) [cos( )]

[cos( )] [sin( )] 1[cos( )] [cos( )]

11

( )

( ) ( )

( ) tan( )

tan

tan 1 [tan ]

( ) arctan( )

arctan( )

d ddx dx

ddx

ddx

xx

x x x x xx x

x xx x

x

x x

x

f x x

f x x

x

−

× − −

+

+

=

=

=

+

=

=

=

=

⇒

= =

Tabella di derivazione, II

1 1

1

ln( )

1ln( )

[ ] '( ) 1 '( ( ))

ln( )

log ( )

1

x xddx

ddx

a addx

x xddx

dadx

a

x a

f x f f x

e e

x

x

a a

x

xax

− −

−

⋅

=

=

=

=

= ⋅

=

2

( )

( )

( )

( )

(

(

12

sin cos( )

cos sin( )

sin) cos( )

cos) sin( )

1 1ddx

ddx

ddxddxddxddx

x

x

x

x

x

x

x

x

x xx x

−

−

=

= −

= −

=

= −

=

2.6. Derivate di ordine superiore

2( 2 ) 2 ( ) ( 2 )

4"( ) f x h f x f x hhf x + − + −≈

• Derivando... la derivata (prima) f '(x) di f (x) ...• La derivata di f '(x) è f "(x) , la derivata seconda di f (x) • La derivata di f "(x) è f "'(x) , la derivata terza di f (x)• La derivata di f "'(x) è f (4)(x) , la derivata quarta di f (x)• La derivata di f (4)(x) è f (5)(x) , la derivata quinta di f (x)• .....• La derivata seconda di f (x) può essere approssimata usando

tre volte la formula dei tre punti: