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Capitolo 2 Algebra delle parentesi di Poisson c 2004 by Paolo Caressa. NB: Questo testo pu`o essere riprodotto anche parzialmente e distribuito purch´ e non a fini di lucro, e l’autore non si assume nessuna responsabilit relativa all’utilizzo del materiale ivi contenuto. This text can be reproduced even partially and distributed for all nonprofit purposes, and the author does not accept any responsibility or liability about the usage of the contents of this page. In questo capitolo affrontiamo le strutture di Poisson da un punto di vista formale con lo scopo di trattare in modo completo e generale il calcolo differenziale di Poisson: inquadreremo quindi la teoria delle parentesi di Poisson nel contesto delle algebre associative, e faremo intervenire il calcolo differenziale nel contesto algebrico, sviluppan- do per questo scopo gli usuali strumenti di calcolo (differenziali e connessioni); su una variet` a di Poisson esiste una teoria differenziale “duale che coinvolge i campi vettoriali e le loro potenze esterne piut- tosto che le forme differenziali: si pu`o dare una trattazione di questo calcolo, dovuto sostanzialmente a Lichnerowicz, Koszul, Bhaskara e Viswanath (cfr. [64], [57], [9]), in modo puramente algebrico, e que- sto ` e quello che faremo applicando le nozioni algebriche introdotte in precedenza. 2.1 Algebre di Poisson La definizione di variet`a di Poisson che abbiamo dato coinvolge in realt`a solo l’algebra delle funzioni differenziabili: possiamo in effetti dare questa definizione in un contesto astratto nel quale l’algebra non sia necessariamente quella delle funzioni differenziabili di una variet`a; a noi interessa solo questo caso 1 ma, specie per sviluppare il calcolo tensoriale, ` e utile considerare un contesto pi` u astratto. Fissiamo dunque un anello commutativo con unit`a K: gli esempi principali che abbiamo in mente sono i PID (come Z, o le serie formali su un PID) e i campi (e.g. reali o complessi). Definizione 2.1.1 Un’algebra di Poisson ` e una terna (A, ·, {}) tale che: (1) A sia una K-algebra associativa rispetto al prodotto ·; (2) A sia una K-algebra di Lie rispetto alle parentesi {}; 1 La teoria generale delle algebre di Poisson non ` e mai stata oggetto di ricerca: il prin- cipale motivo ` e senza dubbio l’assenza di esempi non geometrici; l’unico aspetto che ha suscitato interesse e diverse ricerche ` e il rapporto con il caso non commutativo (cfr. [38], [?]), studiato nella teoria della quantizzazione per deformazione (cfr. [?], [44], [?]). 41

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Capitolo 2

Algebra delle parentesi di Poisson

c 2004

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In questo capitolo affrontiamo le strutture di Poisson da un punto divista formale con lo scopo di trattare in modo completo e generale ilcalcolo differenziale di Poisson: inquadreremo quindi la teoria delleparentesi di Poisson nel contesto delle algebre associative, e faremointervenire il calcolo differenziale nel contesto algebrico, sviluppan-do per questo scopo gli usuali strumenti di calcolo (differenziali econnessioni); su una varieta di Poisson esiste una teoria differenzialeduale che coinvolge i campi vettoriali e le loro potenze esterne piut-tosto che le forme differenziali: si puo dare una trattazione di questocalcolo, dovuto sostanzialmente a Lichnerowicz, Koszul, Bhaskara eViswanath (cfr. [64], [57], [9]), in modo puramente algebrico, e que-sto e quello che faremo applicando le nozioni algebriche introdottein precedenza.

2.1 Algebre di Poisson

La definizione di varieta di Poisson che abbiamo dato coinvolge in realtasolo lalgebra delle funzioni differenziabili: possiamo in effetti dare questadefinizione in un contesto astratto nel quale lalgebra non sia necessariamentequella delle funzioni differenziabili di una varieta; a noi interessa solo questocaso1 ma, specie per sviluppare il calcolo tensoriale, e utile considerare uncontesto piu astratto. Fissiamo dunque un anello commutativo con unita K:gli esempi principali che abbiamo in mente sono i PID (come Z, o le serieformali su un PID) e i campi (e.g. reali o complessi).

Definizione 2.1.1 Unalgebra di Poisson e una terna (A, , { }) tale che:(1) A sia una K-algebra associativa rispetto al prodotto ;(2) A sia una K-algebra di Lie rispetto alle parentesi { };

1La teoria generale delle algebre di Poisson non e mai stata oggetto di ricerca: il prin-cipale motivo e senza dubbio lassenza di esempi non geometrici; lunico aspetto che hasuscitato interesse e diverse ricerche e il rapporto con il caso non commutativo (cfr. [38],[?]), studiato nella teoria della quantizzazione per deformazione (cfr. [?], [44], [?]).

41

42 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

(3) a, b, c A {ab, c} = a{b, c}+ {a, c}b (identita di Leibniz).Loperazione associativa si dice prodotto e loperazione di Lie { } si dice

parentesi di Poisson.

Dunque unalgebra di Poisson e caratterizzata da tre assiomi: lassociativitarispetto al prodotto, lidentita di Jacobi rispetto alle parentesi e la regola diLeibniz, che costituisce una condizione di compatibilita fra la struttura diLie e quella associativa. A priori unalgebra di Poisson non e necessariamen-te commutativa rispetto al prodotto benche sia sempre anticommutativarispetto alle parentesi di Poisson { } (il che fornisce una blanda motivazio-ne estetica alla considerazione di algebre commutative: in questo caso esisteinfatti una maggior simmetria fra la struttura associativa e quella di Lie).

Esempio. Se A e unalgebra associativa allora possiamo renderla unalgebradi Lie [A] ponendo [a, b] = ab ba; rispetto a questa struttura() [ab, c] = (ab)c c(ab) = a(bc) a(cb) + (ac)b (ca)b = a[b, c] + [a, c]be quindi abbiamo unalgebra di Poisson. Si noti che, tuttavia, la strutturadi Poisson, cos come quella di Lie, e completamente determinata da quellaassociativa.

Esempio. Se g e unalgebra di Lie allora la sua algebra inviluppante uni-versale U(g) e unalgebra di Poisson per via dello stesso calcolo (*) o, se sivuole, per il fatto che i funtori che assegnano ad unalgebra associativa Alalgebra di Lie [A] e allalgebra di Lie g la sua inviluppante universale U(g)sono aggiunti.

Esempio. Banalmente ogni algebra di Lie e ogni algebra associativa sonoalgebre di Poisson rispettivamente rispetto alla struttura associativa e allastruttura di Lie nulla.

In generale gli esempi che ci interessano di algebre di Poisson sono tutti deltipo A = C(M) ove M e una varieta di Poisson: in effetti dire che M e unvarieta di Poisson equivale ad affermare che C(M) e unalgebra di Poisson.Per questo motivo ci limitiamo, dora in poi, a considerare esclusivamentealgebre commutative e con unita: con algebra di Poisson si intendera dunqueunalgebra di Poisson commutativa con unita.

Questa restrizione, vediamo immediatamente, elimina alcune situazionitautologiche, come gli esempi precedenti nei quali la struttura di Poisson erain realta contenuta in una struttura associativa o di Lie. In effetti, imponendoche A sia commutativa, la struttura di Poisson, se non e banale, non puo esserela struttura di Lie indotta dal prodotto associativo di A, che infatti e abeliana.

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 43

I due esempi principali di algebre di Poisson sono i seguenti: li abbiamogia considerati ma qui sono presentati svestiti dei loro panni geometrici.

Esempio. Consideriamo uno spazio vettoriale V , il suo duale V e lalgebrasimmetrica Sym(V V ) sulla somma diretta dei due spazi (se V e uno spaziovettoriale topologico si considerera lalgebra dei tensori simmetrici continui).Questultima e unalgebra associativa commutativa (in un certo senso e, fratali algebre, la piu generale possibile) isomorfa a Sym V Sym V , che pos-siamo rendere unalgebra di Lie rispetto alle parentesi simplettiche con unadefinizione induttiva sul grado degli elementi di Sym(V V ): fra un elementoqualsiasi s e un elemento di grado zero c (una costante) si pone per definizione{s, c} = 0; sugli elementi di grado uno si pone

{ f, g} = (f) (g)(, V e f, g V ) e si estende in grado superiore per bilinearita in mo-do da rispettare lidentita di Leibniz. Poiche la parentesi fra due elementiqualsiasi e una costante, lidentita di Jacobi e banalmente verificata, e quindiotteniamo una struttura di Poisson che si dice simplettica sullo spazio vetto-riale V . Se V = Rn otteniamo semplicemente la restrizione della struttura diPoisson canonica alle funzioni polinomiali in C(R2n).

Esempio. Consideriamo di nuovo lalgebra simmetrica ma stavolta su unospazio vettoriale V il cui duale sia unalgebra di Lie g (ad esempio, in di-mensione finita, basta V = g). Le parentesi che vogliamo definire stavoltanon sono costanti, ma lineari: sia U(g) lalgebra inviluppante universale dig; il teorema di PoincareBirkhoffWitt (cfr. [94, 3]) afferma che esiste unisomorfismo di algebre graduate

GrU(g) = Sym(g)fra lalgebra graduata associata alla filtrazione naturale dellalgebra invilup-pante universale e lalgebra simmetrica su g. Possiamo rendere GrU(g) equindi Sym(g) unalgebra di Poisson usando la struttura di Lie su g comesegue: ricordiamo intanto che lalgebra g si immerge in U(g) e che lalgebrainviluppante universale e filtrata come (cfr. [94, 3])

U0 U1 U2 ... Uk ...ove U0 = K e Uk e generato da K e dai prodotti x1...xh (con h k) di elementidellalgebra di Lie (da cui U1 = K g). Allora

GrU(g) =

k0

Uk+1Uk

44 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Un elemento di grado k e dunque una classe di equivalenza [x] di prodot-ti di al piu k elementi di g; possiamo allora definire una mappa bilineareantisimmetrica { } : Uk Uh Uh+k1 come

{[x], [y]} := [xy yx](si noti che limmagine e in Uh+k1 e non Uh+k in virtu della proprieta univer-sale dellalgebra inviluppante: ad esempio se x, y hanno grado uno, e quindisono elementi di g, xyyx ha pure grado uno venendo a coincidere con [x, y]).

Rispetto alle parentesi { } lalgebra GrU(g) e di Poisson: lidentita diLeibniz si verifica agevolmente

{[x][y], [z]} = {[xy], [z]} = [xyz zxy] = [xyz xzy + xzy zxy]= [x(yz zy)] + [(xz zx)y] = [x]{[y], [z]}+ {[x], [z]}[y]

mentre lidentita di Jacobi segue da quella per le parentesi di Lie in gradouno e, per induzione, in grado qualsiasi.

Osserviamo che Sym(g) puo vedersi come lalgebra delle funzioni polino-miali sullo spazio g e quindi la struttura di Poisson su questa algebra difunzioni e la struttura di LiePoisson da noi introdotta nel caso reale: pre-cisamente, se K = R e dim g < , allora Sym(g) C(g) e le parentesiappena introdotte sono esattamente la restrizione ai polinomi delle parentesidi LiePoisson. Una discussione dettagliata di questo approccio alle strutturedi LiePoisson e del legame fra algebre di Lie e varieta di LiePoisson (adesempio con una dimostrazione del teorema di PoincareBirkhoffWitt chefaccia intervenire questa struttura di Poisson) si puo trovare in [17].

Lesempio precedente ammette una generalizzazione, come osservato daKrasilscik e Vinogradov [60]: in effetti supponiamo che A sia una K-algebraassociativa con unita (non necessariamente commutativa) e filtrata, cioe espri-mibile come unione

nNAn di sottospazi tali che

A0 A1 A1 ... An1 An An+1 ...in modo che il prodotto associativo sia compatibile con la filtrazione:

Ai Aj Ai+jSupponiamo ora che lalgebra A soddisfi alla ulteriore condizione

(KV ) [Ai, Aj] Ai+j1ove [ ] e il commutatore indotto dal prodotto associativo (stiamo cioe suppo-nendo che ab ba Ai+j1 se a Ai e b Aj. Allora lalgebra graduataassociata

Gr A =n1

AnAn1

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 45

e unalgebra di Poisson rispetto al prodotto associativo e al commutatorepassati al quoziente: questo si vede esattamente come nel caso A = U(g).

In effetti questa generalizzazione non e tale, perche unalgebra filtrata chesoddisfi alla ipotesi (KV) e sempre lalgebra inviluppante di qualche algebradi Lie; precisamente basta considerare A1, notare che la condizione (KV)diviene [A1, A1] A1 e quindi che A1 e unalgebra di Lie la cui inviluppanteuniversale e, per definizione, A stessa.

Esempio. Un altro esempio di origine geometrica di algebra filtrata e lal-gebra degli operatori differenziali su una varieta: possiamo infatti definire ilconcetto di operatore differenziale su unalgebra associativa A come segue(cfr. [60], [59], [10]); per prima cosa definiamo, fissato a A, la mappa

a : A A

di moltiplicazione a sinistra: a(b) = ab, e, se X EndK(A), poniamo

Da(X) = [a, X]

Si tratta di una mappa K-lineare tanto nella a quanto nella X; definiamoinoltre

Da0a1...ak = Da0Da1 ...Dak

Definizione 2.1.2 Un operatore differenziale e un operatore K-lineare X :A A tale che

a0 a1... an Da0a1...ak(X) = 0n si dice lordine delloperatore.

Se A = C(M) e lalgebra delle funzioni di una varieta otteniamo il clas-sico concetto di operatore differenziale (cfr. [30, XVII-13]): la condizione cheD sia un operatore differenziale di ordine n puo piu semplicemente scriversiDn+1(X) = 0. Consideriamo ora lo spazio

Dn(A) = {X EndK(A) |Dn+1(X) = 0}

Evidentemente D0(A) = {a}aA e

Dn(A) Dn+1(A)

Allora linsieme

D(A) =

nNDn(A)

46 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

e unalgebra associativa filtrata: si puo dimostrare, per induzione sullordinedegli operatori (cfr. [10]), che

[Dn(A),Dm(A)] Dn+m1(A)

e quindi possiamo definire sul graduato associato Gr D(A) una struttura diPoisson: ma questo graduato associato non e altro che lalgebra commutativadei simboli degli operatori differenziali.

Come esempio possiamo considerare uno spazio vettoriale V e lalgebradegli operatori differenziali D(V ) che si ottiene con la costruzione precedenteconsiderando lalgebra simmetrica A = Sym(V ); si tratta, fissata una base(e1, ..., en) dellalgebra dei polinomi, e un operatore differenziale equivale siscrive come

X =

||np

ove = (a1, ..., an) e un multiindice e = a11 ...

ann essendo i la derivazione

associata allelemento ei (iej = ij). Possiamo allora considerare il simbolo

delloperatore X, cioe la funzione X : V V K definita come

X(v, ) =

||=np(v)

a11 ...

ann

ove =

i iei nella base (e1, ..., en) duale di (e1, ..., en). Non e difficile

verificare che

XY = XY

e in effetti il simbolo si puo identificare con un elemento del graduato associatodi D(V ), come e evidente dalla definizione. Poiche si tratta di una funzionepolinomiale abbiamo

: D(V ) Sym(V V )

funzione che passa al quoziente definendo un isomorfismo di algebre associa-tive

: Gr D(V ) Sym(V V )La prima e unalgebra di Poisson in quanto graduata associata ad unalgebrafiltrata (che soddisfa la (KV)), la seconda e unalgebra di Poisson (il nostroprimo esempio): si puo dimostrare (cfr. [10]) che e un isomorfismo di algebredi Poisson. Questo e un esempio astratto di riduzione di Poisson, fenomenoassai studiato nel caso delle varieta simplettiche [74] e di Poisson [?].

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 47

Osserviamo che le algebre di Poisson su K formano ovviamente una ca-tegoria, rispetto ai morfismi di Poisson, vale a dire rispetto ai morfismif : A B di algebre associative che siano anche morfismi di algebre diLie:

f{a, b} = {f(a), f(b)} e f(ab) = f(a)f(b)Naturalmente abbiamo le seguenti definizioni:

Definizione 2.1.3 Una sottoalgebra di Poisson di unalgebra di Poisson A euna sottoalgebra associativa di A che sia anche una sottoalgebra di Lie. Unasottoalgebra di Poisson e un ideale di Poisson se e un ideale associativo e unideale di Lie.

La piu importante sottoalgebra di unalgebra di Poisson e la sottoalgebra diCasimir (o spazio degli elementi di Casimir), che e semplicemente il centrodellalgebra di Lie (A, { }):

Cas A = {c A | a A {a, c} = 0}In termini meccanici gli elementi di Casimir sono le costanti del moto di unqualsiasi sistema hamiltoniano relativo alle parentesi di Poisson dellalgebraA. Si noti che Cas A non e un ideale di Poisson ma solo un ideale di Lie:infatti se c Cas A e a, b A allora {ca, b} = c{a, b}.

Si consideri ad esempio lalgebra A = C(S) di Poisson di una varietasimplettica S: abbiamo gia osservato come le sue funzioni di Casimir sianoquelle localmente costanti:

{f, g} = (Xf , Xg) = 0per ogni g implica (dato che la forma e non degenere) che df = 0. Questoci induce a considerare le algebre delle funzioni differenziabili delle varietasimplettiche come semplici, anche se non nel senso algebrico del termine2

ovvero, con locuzione piu appropriata, non degeneri.Possiamo anche, nella categoria delle algebre di Poisson, considerare le

usuali costruzioni algebriche per produrre nuove algebre a partire da alge-bre date, ad esempio intersezioni, somme dirette e quozienti per ideali; dato

2Trattando oggetti di dimensione infinita e quasi impossibile imbattersi in algebre sem-plici nel senso algebrico del termine (senza ideali non banali, nel caso delle algebre di Lie):in effetti le algebre di funzioni che stiamo considerando sono cos grandi che debbonoper forza contenere almeno le funzioni localmente costanti: se vogliamo questo e dovutoal fatto che sono anche algebre associative che posseggono lidentita, il che rende R unasottoalgebra in modo automatico; questo e del tutto analogo a quanto accade nel caso dellateoria delle algebre di Von Neumann, nella quale i fattori, che giocano il ruolo delle algebresemplici, sono le algebre il cui centro e ridotto alle sole costanti.

48 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

che per noi sono essenziali gli esempi geometrici (le nostre algebre sono sem-pre algebre di funzioni) e bene tenere a mente come queste costruzioni nellacategoria delle algebre si riverberano nella categoria degli spazi soggiacenti.

In generale, consideriamo una categoria concreta C (ad esempio la ca-tegoria degli insiemi, dei gruppi, delle varieta differenziabili) che contengalanello K come oggetto e il funtore FK : C AK nella categoria delle K-algebre associative e commutative che associa ad un oggetto C di C lalgebraA(C) generata dai morfismi Hom(C,K) nella categoria C; questo funtore euna equivalenza su una sottocategoria opportuna di AK: ad esempio, se C ela categoria degli spazi topologici di Hausdorff localmente compatti e K = Callora F e una equivalenza sulla categoria delle C*-algebre commutative conidentita (teorema di GelfandNaijmark). Il comportamento del funtore FKrispetto alle operazioni possibili nella categoria C e ovviamente determinatoda quello del funtore Hom(,K). Il caso che piu ci interessa e quello in cuiK = R e C e la categoria delle varieta differenziabili. In questo caso il funtoreFR assegna ad una varieta M lalgebra di Frechet C(M) e alla funzionedifferenziabile f : M N il morfismo f () = f dallalgebra C(N)allalgebra C(M), e possiede le seguenti proprieta (cfr. [100], [12], [101]):

Teorema 2.1.4 Siano M1 e M2 varieta differenziabili:(1) Se M1 M2 e una sottovarieta chiusa allora lalgebra C(M1) e un

quoziente di C(M2) (modulo lideale delle funzioni nulle su N).(2) f : M1 M2 e una mappa differenziabile se e solo se f : C(M2)

C(M1) e un morfismo di algebre.(3) La categoria dei fibrati vettoriali su M1 e equivalente alla categoria

dei moduli proiettivi sullanello C(M1).(4) Se M1 e M2 sono varieta differenziabili allora C

(M1 M2) e iso-morfa, come algebra topologica localmente convessa, a C(M1) C(M2).

Dato che lo spazio di Frechet C(M) e nucleare (cfr. [89, III], [?, p. 351]) ilprodotto tensoriale e ben definito in modo univoco.

Il prodotto tensoriale di due algebre di Poisson (commutative) A1 e A2,e definito in generale come la struttura di Poisson data dalle seguenti opera-zioni:

(a1 a2)(b1 b2) = (a1b1) (a2b2){a1 a2, b1 b2} = {a1, b1} a2b2 + a1b1 {a2, b2}

Si verifica immediatamente che con queste due operazioni lo spazio vettorialeA1 A2 e unalgebra di Poisson, che ovviamente si dice prodotto tensorialedelle algebre di Poisson A e B. Nel caso A = C(M1) e B = C(M2), per

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 49

la (2) del teorema, possiamo considerare la struttura di Poisson sul prodottoM1M2 definita dalle formule appena scritte come lusuale prodotto di varietadi Poisson definito nel capitolo precedente.

Si noti che possiamo effettuare il prodotto tensoriale di unalgebra di Pois-son A con unalgebra associativa o unalgebra di Lie; nel primo caso otteniamoad esempio

{a a, b b} = {a, b} ab

e nel secondo{a a, b b} = ab [a, b]

Torniamo ora a considerare algebre di Poisson qualsiasi su un campo K eosserviamo che lidentita di Leibniz ammette una formulazione in termini diderivazioni. Una idea e trarre spunto dal caso simplettico e provare a definirein generale i campi hamiltoniani.

Definizione 2.1.5 Se (A, , { }) e una K-algebra di Poisson, fissato un ele-mento a A, la funzione K-lineare

Xa : A A

definita comeXa(b) = {a, b}

si dice derivazione hamiltoniana (o campo hamiltoniano) associata ad a.

La terminologia e giustificata dal fatto che lidentita di Leibniz puo, in questanotazione, esprimersi come

Xc(ab) = (Xca)b + aXcb

Abbiamo quindi una funzione K-lineare

X : A DerK(A)

dallalgebra di Lie (A, { }) allalgebra di Lie DerK(A) delle K-derivazioni di(A, ). Si tratta di un morfismo di algebre di Lie, come segue da (ed equivalea) lidentita di Jacobi:

X{a,b}c = {{a, b}, c} = {a, {b, c}}+ {b, {c, a}} = XaXbcXbXac = [Xa, Xb]c

Limmagine di questa mappa X e dunque una K-sottoalgebra di Lie dellal-gebra delle derivazioni dellalgebra di Lie (A, ), composta dai campi hamil-toniani e che denotiamo Ham(A). Si osservi che non si tratta di un A-modulo

50 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

(rispetto alla struttura associativa dellalgebra A), ma solo di un modulo diLie per lalgebra di Lie (A, { }).

Un campo hamiltoniano Xa definisce anche una derivazione dellalgebradi Lie (A, { }), sempre per lidentita di Jacobi delle parentesi di Poisson:

Xa{b, c} = {a, {b, c}} = {{a, b}, c} {b, {c, a}} = {Xab, c}+ {b,Xac}

La derivazione Xa e interna, e in effetti loperatore X e semplicemente larappresentazione aggiunta ad per lalgebra di Lie (A, { }). In effetti esiste lasuccessione esatta di algebre di Lie seguente:

0 Cas A i A X Ham A 0

ove i e linclusione.

Definizione 2.1.6 Una funzione K-lineare D : A A che sia una de-rivazione dellalgebra associativa (A, ) e allo stesso tempo una derivazionedellalgebra di Lie (A, { }) si dice campo canonico; la K-algebra di Lie deicampi canonici si denota con Can(A).

Ovviamente Ham(A) e una sottoalgebra di Lie di Can(A): in realta ne e unideale di Lie:

[Xa, D] = XaD DXa = XaD XDa XaD = XDaCos come Ham(A), nemmeno Can(A) e un A-modulo.

Queste definizioni astratte sono la parafrasi algebrica di quanto gia spie-gato nel caso A = C(M) con M varieta di Poisson: in particolare nel casosimplettico ha luogo lisomorfismo di fibrati indotto dalla forma simplettica# : T S TS, per mezzo del quale possiamo scrivere Xf = #df e che,per tramite di questo isomorfismo, lo spazio dei campi hamiltoniani corrispon-de allo spazio delle 1forme esatte e lo spazio dei campi canonici allo spaziodelle 1forme chiuse; dunque Can(S)/ Ham(S) = H1(S) (primo gruppo dellacoomologia di de Rham3).

Nel caso generale Can(A)/ Ham(A) e unalgebra di Lie che misura quan-ti campi canonici non hamiltoniani esistono nellalgebra di Poisson A; adesempio nel caso di unalgebra di Poisson nulla, cioe tale che le sue paren-tesi di Poisson siano identicamente nulle (e che quindi si riduce ad unalge-bra associativa) abbiamo ovviamente che Ham(A) = 0, mentre Can(A) =

3La determinazione dellalgebra di Lie Can(A)/ Ham(A) e menzionata da Krasilscik eVinogradov col termine di teorema fondamentale della Meccanica: in effetti lo studio diquesto invariante per le algebre di Poisson risale al loro lavoro, cfr. [60], [58].

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 51

DerK(A). Si noti inoltre che Can(A)/ Ham(A) e una sottoalgebra di Lie del-lalgebra DerLie(A)/ Ham(A), che puo anche vedersi come H

1(A) (coomologiadi ChevalleyEilenberg dellalgebra di Lie A a coefficienti nella rappresenta-zione banale, cfr. [19, XIII-2], [41, 1.4] ): ad esempio se lalgebra di Lie(A, { }) e semisemplice allora H1(A) = 0 (per il primo lemma di Whitehead,cfr. [84, 19]) e, a fortiori, Can(A) = Ham(A).

Consideriamo laltro esempio fondamentale di struttura di Poisson, valea dire le parentesi di LiePoisson: il calcolo dellinvariante Can(Sym(g))/Ham(Sym(g)) e relativamente semplice in questa forma intrinseca: si trovache questa algebra di Lie quoziente e esattamente il primo gruppo di coo-mologia dellalgebra di Lie g a coefficienti nella rappresentazione banale K(cfr. [60] per una verifica esplicita).

Loperatore X : A DerK(A) precedentemente introdotto ci consentedi descrivere la struttura di Poisson su unalgebra ma non di caratterizzar-la completamente: per farlo dobbiamo provare a generalizzare lequazioneX = # d dalle varieta simplettiche al contesto generale delle algebre diPoisson, facendo quindi intervenire il calcolo differenziale: apriamo dunqueuna digressione su questo formalismo nelle algebre associative commutative.

2.2 Calcolo differenziale nei moduli

Consideriamo unalgebra associativa, commutativa e con unita A su un cam-po K fissato: gran parte di quel che diremo potrebbe adattarsi, senza grandicambiamenti, al caso di algebre su un anello commutativo K, e, utilizzan-do le cocatene di Hochschild in luogo del complesso di de Rham (lanalogodella coomologia di de Rham nel caso non commutativo e lomologia ciclica,cfr. [68]), al caso non commutativo; ma il nostro obiettivo e il caso in cui A siaunalgebra di funzioni e K il campo reale o complesso; inoltre in queste ultimeipotesi la teoria ha un carattere piu naturale ed esistono delle funtorialita chenon si danno nel caso generale.

Ad esempio la costruzione del modulo delle derivazioni e funtoriale solonel caso commutativo: se E un A-modulo, il modulo delle derivazioni di A inE e lA-modulo

DerK(A,E) = {X homK(A,E) |X(ab) = X(a)b + aX(b)}delle mappe K-lineari che si comportano rispetto al prodotto dellalgebra se-condo lidentita di Leibniz. Si tratta di un A-modulo rispetto allovvia azione(aX)(b) = aXb.

Il passaggio da E a DerK(A,E) definisce un funtore controvariante nellacategoria dei moduli su unalgebra commutativa.

52 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Il caso di particolare interesse e E = A: allora denotiamo il modulo dellederivazioni semplicemente con Der A; ovviamente si tratta di una K-algebradi Lie rispetto alle parentesi

[X, Y ] = X Y Y XCome ben noto, se A = C(M) e lalgebra delle funzioni differenziabili di unavarieta differenziabile di dimensione finita allora Der A e isomorfo al modulodelle sezioni del fibrato tangente, vale a dire allo spazio dei campi di vettori.

Definizione 2.2.1 Un modulo differenziale su A e una coppia (D, ) ove De un A-modulo e : A D e una derivazione tale che lA-modulo generatoda im coincida con D.

La condizione A im = D rende la categoria dei moduli differenziali unasottocategoria propria della categoria di tutti i moduli (altrimenti, con = 0ogni modulo sarebbe banalmente un modulo differenziale).

Un morfismo fra due moduli differenziali (D, ) e (E, ) e un omomorfismodi A-moduli : D E tale che il diagramma

A

// E

D

>>~~~~~~~

sia commutativo. Rispetto a questi morfismi i moduli differenziali formanouna categoria.

Abbiamo due esempi fondamentali di moduli differenziali, che provengonoin realta dalla Geometria: i differenziali di Kahler e i campi hamiltoniani.

I differenziali di Kahler si possono costruire come un oggetto universale inuna categoria di A-moduli: noi li caratterizzeremo con la seguente proprietauniversale

Definizione 2.2.2 Se C e una categoria di A-moduli differenziali, un modulodifferenziale universale di C e loggetto iniziale di C. Il modulo differenzialeuniversale nella categoria di tutti gli A-moduli differenziali si dice modulo deidifferenziali di Kahler di A.

Ovviamente, se il modulo differenziale universale esiste in una certa categoriaallora e unico. Lesempio che ci ispira e il seguente:

Teorema 2.2.3 Nella categoria dei moduli differenziali proiettivi sullalge-bra A = C(M) delle funzioni differenziabili di una varieta differenziabileM il modulo differenziale universale e lo spazio delle 1-forme differenziali(differenziali di de Rham).

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 53

Dimostrazione: Consideriamo un modulo differenziale proiettivo D su A:poiche e proiettivo esiste un fibrato vettoriale E M del quale D e lospazio delle sezioni. Inoltre D e un modulo differenziale, il che vuol dire cheesiste una mappa : A D che soddisfi lidentita di Leibniz; se definiamola mappa

: 1(M) Dcome

() (df) = festendendo per A-linearita abbiamo un morfismo di moduli differenziali, perdefinizione. Inoltre qualsiasi altro morfismo di moduli differenziali da 1(M)a D deve soddisfare la (*) e quindi coincidere con .

qed

I differenziali di Kahler sono un A-modulo differenziale (A, d) tale che, perogni A-modulo differenziale (D, ), esista un unico morfismo : A D diA-moduli differenziali tale che il seguente diagramma commuti:

A

d

// D

A

>>||||||||

Teorema 2.2.4 Nella categoria di tutti gli A-moduli differenziali il modulodei differenziali di Kahler esiste.

Dimostrazione: Esibiamo esplicitamente loggetto universale richiesto con-siderando la funzione di moltiplicazione dellalgebra A

m : A A A(m(a, b) = ab) e lideale I = ker m. Allora possiamo costruire il quozienteI/I2 e la mappa f : A I definita come

f(a) = a 1 1 aSi tratta di una derivazione, come e ovvio, di A nel modulo I, e possiamo com-porla con la proiezione I I/I2 sul quoziente per ottenere una derivazioned DerK(A, I/I2). Cioe (I/I2, d) e un modulo differenziale.

Ora, se (D, ) e un modulo differenziale qualsiasi, possiamo considerare ilmorfismo di moduli : I/I2 D definito come

(a 1 1 a) = (a)e che e, per definizione, un morfismo di moduli differenziali; che sia lunicomorfismo di moduli differenziali fra I/I2 e D e ovvio per costruzione di I/I2.

qed

54 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Notiamo che per dimostrare lesistenza di A si potrebbe semplicemente con-siderare il primo modulo di omologia di Hochschild di A a coefficienti nellarappresentazione aggiunta H1(A,A) (cfr. [68]) e mostrare che soddisfa allaproprieta universale che definisce i differenziali di Kahler.

E ben noto (cfr. [68]) che i differenziali di Kahler possono caratterizzarsicome un oggetto nella categoria di tutti gli A-moduli, precisamente come unarappresentazione del funtore DerK(A,): cioe

DerK(A,D) = homA(A, D)

per ogni A-modulo D: in altri termini le derivazioni d DerK(A,D) corri-spondono ai morfismi : A D costruiti nella dimostrazione del teoremaprecedente.

Osserviamo che, per universalita rispetto al funtore DerK(A,), la fun-zione d : A A soddisfa alle

(1) d(ab) = bda + adb

(2) d(1) = 0

I differenziali di Kahler sono stati costruiti nella categoria di tutti i moduli:restringendoci ad una sottocategoria potrebbe non esistere un tale oggettouniversale (cioe i differenziali di Kahler potrebbero non appartenere, comemodulo, alla sottocategoria); nel caso generale dovremo quindi cercare unnuovo oggetto iniziale, nella sottocategoria, ai moduli differenziali, cioe unmodulo dei differenziali relativo alla sottocategoria, come nel caso dei moduliproiettivi su A = C(M).

Si noti che in questo caso, il modulo dei differenziali di Kahler e moltopiu vasto di quello dei differenziali di de Rham che, come abbiamo detto,costituiscono loggetto universale voluto. Infatti il modulo dei differenziali diKahler su C(M) e costituito da tutte le sezioni del fibrato cotangente, nonsemplicemente da quelle differenziabili; in effetti nella costruzione universa-le dei differenziali non abbiamo fatto in alcun modo intervenire la topolo-gia di Frechet, e quindi, riportata al caso geometrico, questa costruzione cifornirebbe tutte le sezioni insiemistiche del fibrato cotangente.

Convenzione. Supporremo nel seguito di lavorare nella categoria di tutti gliA-moduli differenziali, e quindi per noi il modulo differenziale universale saraquello dei differenziali di Kahler: gli stessi risultati che daremo si ottengonoin categorie diverse di moduli differenziali purche siano dotate di un oggettoiniziale.

Laltro esempio per noi fondamentale di modulo differenziale e il modulohamiltoniano di unalgebra di Poisson, che per definizione e lA-modulo HA

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 55

generato dai campi hamiltoniani, che abbiamo gia considerato a partire daunalgebra di Poisson (A, , {}) e dalloperatore K-lineare

X : A Der A

ponendo (Xf)(g) = {f, g}. Lidentita di Leibniz puo vedersi come lasserzioneche il modulo (HA, X) e un modulo differenziale.

Ad esempio, se lalgebra di Poisson A e non degenere, cioe la struttura diPoisson e simplettica, allora HA = Der A e precisamente il duale di A.

Consideriamo ora lA-modulo Der A: per la proprieta universale dei diffe-renziali di Kahler:

Der A = homA(A, A) = A

(nella categoria degli A-moduli), quindi esiste un accoppiamento A-bilineare

, : Der A A A

definito come (se X Der A e A)

X, = X()

In generale non sara vero il viceversa, cioe avremo soltanto A A =(Der A). Tuttavia ha senso considerare gli A-moduli

kA :=k

AA

(ottenuti passando alle potenze esterne di A come A-modulo). Naturalmentela funzione d : A A si estende in modo unico allalgebra esterna d :kA k+1A come

d, X1 ... Xk =k

i=1

(1)i+1Xi(,X1 ... Xi ... Xk)+

+1...ki

56 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

non presentano difficolta, essendo le stesse che si danno nel caso del differen-ziale esterno fra forme differenziali su una varieta (cfr. [1]). Osserviamo chelalgebra esterna sul modulo A

(A) :=

n=0

nAA

e unalgebra associativa differenziale graduata.Conviene anche definire, per X Der A, loperatore di contrazione

iX : k+1A kA

comeiX(), X1 ... Xk = , X X1 ... Xk

Si tratta evidentemente di un operatore A-lineare, che permette di definire laderivata di Lie di una forma kA rispetto ad una derivazione X Der A:

LX : kA kAcon la formula di E.Cartan

LX = iXd + diXDi nuovo la verifica delle proprieta

L[X1,X2] = [LX1 ,LX2 ]i[X1,X2] = [LX1 , iX2 ]

non differisce dalle usuali dimostrazioni che si danno per le varieta.In questo modo, abbiamo il calcolo di Cartan nella categoria dei moduli,

basandoci sullesistenza di un elemento universale per il funtore DerK(A,)in questa categoria.

Esiste una immediata generalizzazione di questo calcolo secondo le se-guenti linee: fissiamo un A-modulo differenziale (D, ); allora, dato che A eloggetto iniziale nella categoria dei moduli differenziali, esiste un morfismonaturale di moduli differenziali

: A Dche e suriettivo per definizione, e quindi possiamo estendere alle potenzeesterne di D, come

(aa1 a2 an) = a a1 a2 an

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 57

ottenendo in questo modo un complessok D la cui coomologia possiamo

chiamare coomologia di de Rham del modulo D.Per un modulo differenziale (D, ) qualsiasi possiamo ripetere quanto

abbiamo detto per i differenziali di Kahler: ad esempio esiste una formabilineare

, : D Der A Adefinita come

ab,X = aX(b)che si estende in grado qualsiasi. Tuttavia loperatore di contrazione indottoda questa forma bilineare non e non degenere; perche lo sia dobbiamo restrin-gere la classe dei campi sui quali effettuare la contrazione considerando lospazio

D = {X Der A | c ker X(c) = 0}che e un sotto-modulo di Der A e anche una sotto-algebra di Lie; e sempli-cemente lo spazio delle derivazioni che vedono come costanti gli elementi diker . Possiamo allora definire un operatore di contrazione

i : D D A

come

iXa = X(a)

ed estenderlo per A-linearita ad una forma bilineare di A-moduli.Notiamo infatti che per ogni a A abbiamo a = da (proprieta universa-

le dei differenziali di Kahler), e quindi che possiamo valutare una derivazioneX D su un elemento di D, esattamente come si fa per i differenziali diKahler; si noti che ker non e un A-modulo, ma una K-sottoalgebra di A, inquanto

z = z = 0 = (zz) = 0Utilizzando questa contrazione e il differenziale del modulo D possiamoanche definire una D-derivata di Lie come

LX = iX + iX

per X D e D. Chiaramente la contrazione si estende in modoimmediato alle potenze esterne del modulo D come

iX(aa1 an) = aX(a1)a2 anin modo da soddisfare le usuali proprieta.

58 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Si osservi che il morfismo universale (tale che d = ) si puo natural-mente estendere alle algebre graduate esterne, tenendo conto del segno:

(1 2 n) = (1)n(1) (2) (n)

ove i A.Un esempio particolarmente significativo si ha quando D e un sottomodulo

di Der A: fissiamo una derivazione : A Der A: allora resta indotta unamappa : A Der A (per la proprieta universale dei differenziali) tale ched = . Naturalmente questo morfismo non sara in generale ne suriettivo neiniettivo; se e suriettivo si tratta evidentemente di un isomorfismo di moduli.

Notiamo infine che questo calcolo differenziale per i moduli differenzialipuo ricondursi allusuale calcolo differenziale con derivazioni e differenziali diKahler semplicemente cambiando lanello degli scalari dellalgebra: infatti

Proposizione 2.2.5 Se A = AK ker allora A = D e Der A = D.

Dimostrazione: Consideriamo la mappa

: D Der A

definita come (X Der A, a c A)

(X)(a c) := X(a) c

Evidentemente si tratta di un isomorfismo di A-moduli e, per la proprietauniversale dei differenziali di Kahler su A abbiamo che

D = Der A = homA(A , A)

sicche A = D.qed

Ad esempio se A e unalgebra di Poisson e D = HA allora lalgebra A edi Poisson (prodotto tensoriale di A con lalgebra di Poisson nulla ker =Cas(A)) e abbiamo che un suo elemento a c e di Casimir se e solo se

0 = {a c, b e} = {a, b} ce

cioe se e solo se a Cas(A), il che vuol dire che a c e una costante (lanellodegli scalari e ora Cas(A)) cioe che la struttura di Poisson e simplettica.

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 59

2.3 Connessioni e curvatura

Fin qui abbiamo delineato quello che potrebbe chiamarsi calcolo differenzialedi Cartan sulle algebre associative: vogliamo spingerci piu in la e considerareil calcolo di Ricci, avendo sempre in mente le nozioni che si danno sulle varietadifferenziabili.

Definizione 2.3.1 Se (D, ) e un A-modulo differenziale, una D-connessionein un A-modulo E e un operatore K-lineare

: E E A Dche soddisfi alla identita di Leibniz

(ae) = ae + e aper a A ed e E.

Ovviamente la connessione avra, in generale, valori nel modulo E D e saranon solo K-lineare, ma ker D-lineare, dato che, se z ker allora

(zs) = zs + s z = zsSi noti inoltre che, nel caso D = A del modulo dei differenziali ritroviamo ilclassico concetto di connessione: chiameremo le A-connessioni semplicementeconnessioni nel modulo E; ovviamente in questo caso A = A. Per la proprietauniversale dei differenziali, ogni connessione da luogo ad una D-connessione per ogni modulo differenziale (D, ) semplicemente per composizione: se : E E 1A allora = (I ) e una D-connessione in E oveI : E E e la mappa identica.

Proposizione 2.3.2 Linsieme delle D-connessioni su un modulo E e unospazio affine sul campo K.

Dimostrazione: Se e sono D-connessioni in E allora()(ae) = ae + e a ae e a = a()(e)

Questo vuol dire che la differenza di connessioni e un endomorfismo del fibratoE e quindi lo spazio delle connessioni e uno spazio affine il cui spazio vettorialetangente in ciascun punto e End(E).

qed

Un A-modulo E e ovviamente anche un A-modulo rispetto allazione (a c) e = (ac) e; possiamo allora formulare il seguente

60 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Esempio. Il modulo libero E = An possiede sempre una D-connessione: se(e1, ..., en) e una A-base di E, allora, per a A, definiamo

(aei) = ei a

Estendendo per additivita si ottiene ovviamente una D-connessione.

Possiamo agevolmente generalizzare questo esempio al caso di un moduloproiettivo (finitamente generato) sullalgebra A: un modo semplice e ricor-dare che un modulo proiettivo e addendo diretto di un modulo libero. Quindise E e proiettivo abbiamo che E F = An , sicche possiamo costruire unaconnessione in An . Allora consideriamo la composizione

Ei An An E

pI E D

ove i e limmersione delladdendo diretto E in An e I : E E e la mappaidentica. Ovviamente si tratta di una connessione, che si dice connessione diLevi-Civita, per lovvia analogia che esiste con la ben nota costruzione dellaGeometria Riemanniana.

Dunque ogni modulo proiettivo (finitamente generato) possiede una D-connessione naturalmente definita in termini della derivazione Der(A,D).

Teorema 2.3.3 Un modulo E possiede una D-connessione se e solo se E eA-proiettivo.

Dimostrazione: Sappiamo gia che un modulo proiettivo ammette una D-connessione. Viceversa, se : E E D e una connessione, dimostriamoche esiste una sezione A-lineare al morfismo m : E A E dato dallamoltiplicazione (m(a c, e) = (ac)e), il che equivale alla proiettivita di E:consideriamo la successione

0 E A D A ker E m E 0

ove abbiamo posto

(e a) = 1 ae a eQuesta successione di K-spazi vettoriali non solo e esatta, come e ovvio veri-ficare ma si spezza per tramite della mappa u : E A E di immersioneu(e) = 1 e. Ora data possiamo associarle una sezione : E A Eper mezzo della

(e) = 1 e + (e)

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 61

Si tratta di una mappa ben definita che e A-lineare dato che

(ae) = 1 ae(ae)(e a)= 1 ae(ae) 1 ae + a e= a e a(e) = a(e)

Abbiamo cioe mostrato lesistenza di una sezione alla moltiplicazione m :A E E, il che e possibile solo se E e A-proiettivo.

qed

Questo teorema puo piu semplicemente vedersi come conseguenza del teoremadi Kaplanskij, secondo il quale un modulo e proiettivo se e solo se e localmentelibero.

Ora consideriamo il concetto di curvatura: in primo luogo notiamo cheuna D-connessione induce una famiglia di operatori

: E n D E n+1 Dsemplicemente ponendo

(s P ) = s P + (1)deg P s Pove conveniamo che

0 D = A e n D = nA D sono le potenze esterne delmodulo D (che e generato da im ).

Definizione 2.3.4 Data una D-connessione , la sua curvatura R : E E 2 D e definita come R = . Se R = 0, la D-connessione si dicepiatta.

Se osserviamo che, per a A e e E:R(ae) = (ae + e a) = aRee a +e a e 2a = aRepossiamo concluderne che

Proposizione 2.3.5 La curvatura e A-lineare

Notiamo che una D-connessione su E induce una D-connessione : End(E) End(E)D su End E nel modo seguente: se : E E e A-lineare

= [, ] = In effetti si tratta di un operatore K-lineare tale che

(a) = (a) a = a + a a = a + aIl seguente facile calcolo:

R = [, R] = R R = 2 2 = 0conduce al

62 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Teorema (Identita di Bianchi) 2.3.6 [, R] = 0Dato che una D-connessione ha luogo solo in un modulo proiettivo, e datoche la localizzazione di un modulo proiettivo e un modulo libero, possiamoscrivere, anche in questo contesto algebrico, una connessione in coordinate,nel modo seguente: se E e un modulo A-libero (e.g. E = A

n ) allora una

D-connessione E E A D e determinata da una matrice a coefficienti inD, i.e. da un elemento EndA(E)D. Se

E = e1A enAallora

ei =

j

ej ji

La matrice = ((ij)) determina la connessione: se e E si scrive rispettoalla base (ei) come (gli ai saranno della forma fi ci ove fi A e ci ker )

e = a1e1 + + anenallora

e =

i

aiei +

i

ei ai =

i

ei (

ai +

j

aiji

)

Cioe la matrice non si comporta come un tensore, se non a meno didifferenziali esatti.

Lesempio precedente si estende facilmente al caso di un modulo A-proiettivo, utilizzando, ad esempio, il fatto che la localizzazione di ogni talemodulo da luogo ad un modulo A-libero, o piu semplicemente il fatto che unmodulo proiettivo e addendo diretto di un modulo libero.

Teorema (Equazione di struttura) 2.3.7 Se E e un A-modulo proiet-tivo e una D-connessione in E allora

R = ove e il prodotto di matrici (rispetto al prodotto ) nel modulo D e = ((ij)).

Dimostrazione: Utilizzando le notazioni precedenti si trova che

2ei =

j

(ej ji) =

j

ej ji

j

ej ji

=

j,k

ek kj ji

j

ej ji

qed

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 63

Osserviamo che un modulo proiettivo E finitamente generato, in quanto ad-dendo diretto di un modulo libero (finitamente generato) An e completamen-te determinato da un operatore (di proiezione) P EndA(An ) idempotente(P 2 = P ) la cui immagine sia esattamente E: ovviamente

An = im P im(I P )e quindi anche im(I P ) e un modulo proiettivo. Ne segue che possiamodefinire per questi moduli la traccia

Tr : EndA(E) Acome la traccia delloperatore P .

Proposizione 2.3.8 Se E e un A-modulo proiettivo finitamente generatoallora il diagramma

EndA(E)A Dk

Tr I

// EndA(E)A Dk+1

Tr I

Dk

// Dk+1

e commutativo.

Dimostrazione: Basta dimostrare il teorema per i moduli liberi: in questocaso procediamo per induzione sulla dimensione di E e quindi lunico casonon banale e quello E = A, ove

(a) = aP + aper qualche P D. Ora, sia che = [,] sono k D-lineari come pureTr (infatti EndA(A)A

k D = k D) e quindi basta limitarsi al grado k = 0:[, a] = (a) aP = aP + a aP = a

qed

Se poniamoch(E,) := Tr exp R

(con exp si intende la serie formale dellesponenziale) allora, per le due pro-posizioni precedenti:

(Tr exp R)) = [, exp R] = 0e quindi

64 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Proposizione 2.3.9 La componente omogenea di grado 2n di ch(E,) hadifferenziale nullo in

2n D.Dunque ch(E,) genera una classe di coomologia di de Rham (rispetto alcomplesso (D, )

ch(E) n0

H2ndR(D)

che si dice carattere di Chern dellA-modulo E.

Teorema 2.3.10 Il carattere di Chern di un modulo E non dipende dallaconnessione che figura nella definizione di ch(E,).Dimostrazione: Si tratta di un argomento ben noto: se 1 e 2 sono D-connessioni su E e se 1 e lestensione di1 allA[t]-modulo E[t] = EAA[t]allora

:= t1 + (1 t)2e una connessione in E[t]. Le proiezioni

P0 : A[t] A P1 : A[t] At 7 0 t 7 1

inducono gli isomorfismi

(Pi) : H(A[t], D[t])= H(A, D)

(ove D[t] e lA[t]-modulo differenziale D A A[t]) e ovviamente(Pi)(ch(E[t], i)) = ch(E,i)

Ma (P0)1 (P1) : H(A, D) H(A, D) e lidentita e quindi

ch(E,0) = ch(E,1)qed

Esiste, nel caso D = A, un algoritmo canonico per produrre connes-sioni, basato sulla considerazione di derivate covarianti, che ammette unageneralizzazione nel nostro caso.

Definizione 2.3.11 Se E e un A-modulo, una D-derivata covariante in E eun operatore K-lineare

D : D EndK(E)tale che, se X D, a A e e E:

DX(ae) = aDXe + iX(a)e

e A-lineare nella variabile X: DaX = aDX .

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 65

Nel caso D = A ritroviamo ovviamente il concetto usuale di derivata cova-riante. Se D e una D-derivata covariante in E allora possiamo associarle unaD-connessione determinata dalla

iXe = DXe

Che cos definita sia una connessione e ovvio:

iX(ae) = DX(ae) = aDXe + iX(a)e = aiXe + X(a)e = aXe + iXa e

Questa corrispondenza fra derivate covarianti e connessioni e biunivoca, datoche la contrazione fra D e D e non degenere.

Possiamo interpretare D come un operatore nello spazio

A(D, E), for-mato dalle mappe A-multilineari alternanti da D in E, tale che, se : D

k

E:

(D)(D0, ..., Dk) =k

i=0

(1)iDDi((D0, ..., Di, ..., Dk))+

+0...ki

66 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

modo alternativo di dimostrarla e usare la definizione:

DXDY ei DY DXei D[X,Y ]ei = iXiYei iYiXei i[X,Y ]ei= iX (ej iY ji) iY (ej iXji) ej i[X,Y ]ji= iXej iY ji iYej iXji + ej iXd (iY ji) ej iY d (iXji) ej i[X,Y ]ji

= ek (iXkjiY ji iY kjiXji) ++ ej

(iXiY ji iY iXji i[X,Y ]ji

)

= iXiY ek kjji + iXiY ej dji= iXiY (ej ji + ejdji)= iXiY(ej ji) = iXiY2ei= RD(X, Y )ei

(ove abbiamo usato la convenzione di Einstein sugli indici j e k).qed

Una derivata covariante la cui curvatura sia identicamente nulla (cioe cor-rispondente ad una connessione piatta) consente di identificare il comples-so (

A(D, E),D) col complesso di ChevalleyEilenberg per lalgebra di Lie

Der(A) a coefficienti nel modulo E.

Ad esempio consideriamo il modulo differenziale D = HA: allora D =A Ham A = HA, dato che il nucleo del differenziale e ker X = Cas A, e sec Cas A:

X(c) = 0 X Ham A

Dunque una HA-derivata covariante e un operatore

D : HA E E

tale che

DXa(be) = bDXae + {a, b}e

Notiamo che in questo caso la contrazione e un operatore

i : HA HA A

tale che

iaXhbXk = abiXhXk = ab{h, k}

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 67

2.4 Calcolo differenziale sulle algebre di Poisson

Torniamo ora a considerare unalgebra di Poisson qualsiasi (A, , { }), e lope-ratore X : A Der A che porta un elemento a A nel campo hamiltonianoXa corrispondente. Abbiamo gia detto che Ham(A) (limmagine di X) gene-ra un A-sottomodulo di Der A, che denotiamo HA: si tratta, rispetto allafunzione X, di un modulo differenziale, e quindi esiste un unico morfismo : A HA di A-moduli differenziali tale che il seguente diagrammacommuti:

A

d

X // HA

A

=={{{{{{{{

In altri termini X = d.Ad esempio, nel caso A = C(M) (varieta di Poisson) abbiamo che =

# ( e il tensore di Poisson), dato che : A Der A deve essere unicaper universalita e certamente # fa commutare il diagramma precedente (Ae lo spazio delle 1-forme e Der A e lalgebra di Lie X(M) dei campi di vettori):cio segue dallessere # un morfismo di moduli e dal fatto che i differenzialiesatti generano, come modulo, lintero spazio delle 1forme differenziali.

Per definizione, abbiamo inoltre

{a, b} = Xab = ((da))(b) = da, db

Cioe le parentesi di Poisson si possono descrivere in termini delloperatore :questo pone in evidenza come il valore di {a, b} non dipenda che dai differen-ziali di a e b; naturalmente cio poteva gia dirsi dalla {a, b} = Xab, dato cheXa e una derivazione e quindi, per universalita, corrisponde ad un elementodel duale A del modulo dei differenziali di Kahler.

Vogliamo ora usare loperatore per caratterizzare completamente lastruttura di Poisson: questo approccio al formalismo hamiltoniano (se nonalle strutture di Poisson) e dovuto a Gelfand e Dorfman (cfr. [?]).

Per caratterizzare la struttura di algebra di Poisson in termini dellopera-tore consideriamo lo spazio degli operatori A-lineari A Der A, e su di

68 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

esso la seguente operazione4:

[, ]S(1, 2, 3) = 1,2,3

(L12, 3+ L12, 3)

Questa operazione si dice parentesi di Schouten dei due operatori e , edefinisce un operatore trilineare A A A A.Teorema 2.4.1 Unalgebra associativa (A, ) e unalgebra di Poisson rispettoa certe parentesi { } se e solo se esiste un operatore : A Der A taleche

(1) {a, b} = da, db per ogni a, b A;(2) e antisimmetrico: , + , = 0;(3) [, ]S = 0.

Dimostrazione: Ovviamente, per tramite della (1), la (2) equivale allan-tisimmetria delle parentesi di Poisson. Resta da verificare lequivalenza della(3) allidentita di Jacobi: supponiamo ad esempio che valga lidentita di Ja-cobi per { } e di voler dimostrare la (3) per loperatore definito dalla (1);allora basta osservare che

[, ]S(da, db, dc) =

a,b,c

(LXadb, dc+ LXadb, dc)

= 2

a,b,c

d{a, b}, dc = 2

a,b,c

{{a, b}, c}

Dato che A e generato dai differenziali esatti questo basta a concludere chese { } soddisfa lidentita di Jacobi allora [, ]S = 0; il viceversa segue dallostesso identico calcolo, letto a ritroso.

qed

Ora osserviamo che, usando la proprieta universale dei differenziali Der A =(A)

possiamo rendere piu simmetrica questa caratterizzazione di una strut-tura di Poisson introducendo una mappa : A A A legata allope-ratore nel modo seguente:

(da, db) = da, db4Usiamo la seguente notazione: se un termine sintattico T dipende dai simboli (a1, ..., an)

presi in questo ordine allora la scrittura

a1,...,an

T

denota la somma degli n termini ottenuti da T permutando ciclicamente i simboli(a1, ..., an).

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 69

Di solito, in accordo con le notazioni della Geometria Differenziale, si scrive = #, considerando come il morfismo musicale (sharp map) indotto daltensore .

Loperatore si dice tensore di Poisson, dato che evidentemente si tratta,nel caso A = C(M), esattamente del tensore di Poisson della varieta M : (A A) = Der ADer A. Anche in questo caso esiste una condizionedi integrabilita che generalizza quella di Lie sulle varieta e che si scrive utiliz-zando le parentesi di SchoutenNijenhuis5, che possiamo definire come segue:intanto consideriamo gli A-moduli delle multi-derivazioni antisimmetriche

DkA =k

A Der A

(la cui somma diretta fornisce un modulo graduato) che chiameremo ovvia-mente tensori controvarianti antisimmetrici su A.

Teorema 2.4.2 Esiste ununica struttura di algebra di Lie graduata sullospazio

Der A dei tensori antisimmetrici controvarianti su unalgebra asso-ciativa A:

[ ] : DiA DjA Di+j1Atale che

() [P,Q R] = [P,Q] R + (1)q(p+1)Q [P, R]

e che estenda la parentesi di Lie delle derivazioni Der A e la valutazione diuna derivazione su un elemento dellalgebra A.

Dimostrazione: Vogliamo dimostrare che esistono uniche delle parentesi [ ]tali che verifichino la (*) e le

() [P, Q] = (1)pq[Q, P ]

( ) (1)p(r1)[P, [Q,R]]+(1)r(q1)[R, [P, Q]]+(1)q(p1)[Q, [R, P ]] = 0

Le (**) e (***) sono gli assiomi per le algebre di Lie graduate.Lenunciato richiede inoltre che la parentesi che vogliamo definire estenda

lusuale commutatore fra gli elementi di D1A = Der A e la valutazione di unaderivazione in D1A su una funzione in D

0A = A; devono cioe essere soddisfatte

le

[a, b] = 0 [a,X] = X(a) [X,Y ] = XY Y X5Esiste un intero formalismo che poggia su queste parentesi e su altre loro collegate, per

il quale si rimanda a [10], [?] e [78].

70 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

da cui si ha pure

[aX, bY ] = (aX)(bY ) (bY )(aX) = a(Xb)Y b(Y a)X + ab[X, Y ]

se a, b D0A e X, Y D1A. Inoltre, per la (*) otteniamo ad esempio che, seX,Y, Z Der A, allora deve aversi

[X,Y Z] = [X,Y ] Z + Y [X, Z]

e quindi, per induzione, fra due tensori decomponibili X1...Xp e Y1...Yqil prodotto deve verificare la:

[X1 ... Xk, Y1 ... Yq] = (1)p+1p

i=1

qj=1

(1)i+j[Xi, Yj] X1 ... Xi ...

... Xp Y1 ... Yj ... Yq

E un facile benche tedioso calcolo (cfr. e.g. [102], [10]) verificare che con questadefinizione anche le (**) e (***) sono soddisfatte. Dato che lA-modulo deitensori e generato dai tensori decomponibili, cio conclude la dimostrazione.

qed

Questo teorema risale sostanzialmente a Schouten e Nijenhuis (cfr. [?], [78]).Utilizzando la dualita fra derivazioni e forme possiamo esprimere la parentesidi Schouten nella forma datale da Nijenhuis:

Corollario 2.4.3 Se P DpA, Q DqA e p+q1A allora

i[P,Q] = (1)q(p+1)iP d (iQ) + (1)piQd (iP ) iPQd

Dimostrazione: Dimostriamo il corollario per doppia induzione sul gradodei tensori P e Q: supponiamo che X Der A e Q = Y1 ... Yq DqA, ericordiamo che

iXQd = iXiQ +q

i=1

(1)iiYiiXY1... bYi...Yq+

+

qj=1

(1)ji[X,Yj ]Y1... bYi...Yq+

+

1...qi

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 71

Nel terzo addendo a secondo membro riconosciamo i[X,Y1...Yq ], sicche

i[X,Q] = iXiQ iXiQd +q

i=1

(1)i+qiYiiY1... bYi...YqX+

+

1...qi 1e dimostriamola per p + 1. Si tratta di osservare che (per le (*) e (**) delteorema precedente)

i[PX,Q] = (1)(p+1)qi[Q,PX]= (1)(p+1)qi[Q,P ]X + (1)(p+1)q(1)p(q+1)iP[Q,X]= (1)(p+1)qi[Q,P ]iX + (1)q+piP i[Q,X]

Ora ai due addendi in questultimo termine si possono applicare rispettiva-mente lipotesi induttiva e il caso p = 1 precedentemente trattato: combinan-doli si ottiene la tesi.

qed

Non ci siamo spinti nei dettagli di questo risultato ben noto (cfr. [102] e[10]): una dimostrazione alternativa, che utilizza le connessioni e gli operatoridifferenziali, si puo trovare in [57].

Ora possiamo riformulare il teorema di caratterizzazione in termini deltensore di Poisson:

Teorema 2.4.4 Unalgebra associativa (A, ) e unalgebra di Poisson rispettoa certe parentesi { } se e solo se esiste un tensore : A A A taleche

(1) {a, b} = (da, db) per ogni a, b A;(2) e antisimmetrico: (da, db) + (db, da) = 0;

(3) [, ] = 0.

Dimostrazione: La dimostrazione e essenzialmente la stessa del teorema2.4.1: dimostriamo quindi che la (3) equivale allidentita di Jacobi per leparentesi di Poisson, per tramite della (1): intanto notiamo che, dato che 2 Der A, il corollario precedente applicato a diviene

i[,] = idi + idi id

72 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

e quindi abbiamo che

i[,]da db dc =

a,b,c

(da, d(db, dc))

=

a,b,c

(da, d{b, c}) =

a,b,c

{a, {b, c}}

qed

Non e difficile ricavare la condizione di integrabilita locale di Lie che abbiamodato sulle varieta di Poisson dalla [, ] = 0.

Il calcolo differenziale che abbiamo delineato sui moduli per le algebreassociative ammette, nel caso delle algebre di Poisson, una perfetta dualitafra differenziali e derivazioni che manca nel caso associativo, dualita che oravogliamo discutere. In particolare possiamo utilizzare la struttura di Poissone le sue caratterizzazioni in termini delloperatore = # e del tensore diPoisson per definire un differenziale sulle derivazioni e una parentesi di Liesulle 1-forme.

Per prima cosa definiamo delle parentesi di Lie su A legate alla presenzadi una struttura di Poisson su A per mezzo del seguente

Teorema 2.4.5 Esiste ununica struttura di K-algebra di Lie { } : A A A sullo spazio dei differenziali A tale che valgano le seguenticondizioni:

(1) Se a, b A allora d{a, b} = {da, db}(2) Se a A, 1, 2 A allora {1, a2} = a{1, 2}+ #1, da2

ove # : A Der A e loperatore che caratterizza la struttura di Poisson.Dimostrazione: Intanto notiamo che se una tale struttura di algebra di Lieesiste allora e univocamente determinata dal valore che assume sui differen-ziali esatti, in virtu della (2). Consideriamo ora la seguente definizione:

{1, 2} = L#12 L#21 d(1, 2)= L#12 L#21 di#12

e verifichiamo che si tratta di una struttura di algebra di Lie che soddisfaalle (1) e (2) dellenunciato (come abbiamo osservato basta verificarlo suidifferenziali esatti). La (1) segue da

{da, db} = L#dadb L#dadb d(da, db)= dLXab dLXba d{a, b}= d{a, b} d{b, a} d{a, b} = d{a, b}

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 73

Per la (2) basta notare che

{1, a2} = L#1a2 L#a21 d(a1, 2)= #1, da2 + aL#12 aL#21 da i#21 da (1, 2) ad(1, 2)= #1, da2 + a{1, 2}

Che si tratti di una operazione R-bilineare antisimmetrica e ovvio; lidentitadi Jacobi si dimostra, dato che basta verificarla su combinazioni A-lineari didifferenziali esatti, combinando le (1), (2) e lidentita di Jacobi per le parentesidi Poisson.

qed

Anche questo teorema e ben noto (cfr. [102], [9], [10]). Osserviamo che ildifferenziale d diviene un morfismo di algebre di Lie: anche loperatore # loe, come segue dal

Corollario 2.4.6 #{1, 2} = [#1, #2]Dimostrazione: Dato che lA-modulo A e generato dai differenziali esattici basta mostrare lidentita per 1 = adb e 2 = cde: per questo usiamo leproprieta delle parentesi { } fra 1-forme espresse dal teorema precedente e laA-linearita di #:

#{adb, cde} = #c{adb, de}+ ##(adb), dcde= c#a{db, de} c##de, dadb + #(adb), dcXe= acX{b,e} c{e, a}Xb + a{b, c}Xe= ac[Xb, Xe] + a(Xbc)Xe c(Xea)Xb= aXb(cXe) cXe(aXb) = [aXb, cXe]= [#(adb), #(cde)]

qed

Abbiamo osservato nel precedente come la coppia (HA, X) sia un modulodifferenziale; possiamo quindi estendere questo differenziale X : A Der Ain grado qualsiasi, definendo percio un differenziale hamiltoniano d : D

kA

Dk+1A come, se P DpA e i A:

dP, 0 ... p =p

i=0

(1)i(i, diP 1 ... i ... p)+

+

0...pi

74 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

(1) d d = 0(2) d(P Q) = dP Q + (1)pP dQ(3) d e K-lineare.

sono del tutto analoghe al caso del differenziale esterno fra forme differenzialisu una varieta. Osserviamo che lalgebra esterna sul modulo Der A

DA :=

n=0

nA

Der A

e unalgebra associativa differenziale graduata.Potremmo anche definire un operatore di contrazione di una forma su un

multi-vettore e una derivata di Lie lungo una forma differenziale, in analogiaa quanto fatto nel caso covariante. Abbiamo cioe sui tensori controvarianti uncalcolo differenziale hamiltoniano duale del calcolo differenziale di de Rhamsulle forme differenziali; in particolare rispetto al differenziale d otteniamoun complesso di cocatene (DkA, d) la cui coomologia H(A) si dice coomologiadi Poisson di A (qui e stata definita in modo concreto, a partire cioe da uncomplesso che la calcola, sebbene sia possibile una definizione piu astrattain termini di funtori derivati, cfr. [44]). Torneremo in seguito su questa coo-mologia, nel caso delle varieta, mentre per ora ci limitiamo a notare che ilmodulo di coomologia di Poisson sia dotato di un prodotto cap in virtu dellaproprieta (2) del differenziale hamiltoniano:

[P ] [Q] = [P Q]

Possiamo estendere il morfismo di moduli # : A DA in grado qualsiasi,tenendo conto del segno, come

#, 1 ... k = (1)k(#1 ... #k)

(cos che {f, g} = #df, dg = df(#dg) = {g, f}). Usando questadefinizione possiamo dimostrare il

Lemma 2.4.7 d # + # d = 0

Dimostrazione: Se nA e 1, .., k A:

#d, 1 ... k = (1)kd, #1 ... #k

= (1)kk

i=1

(1)i+1(#i)(#1 ... #i ... #k)+

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 75

+(1)k1...ki

76 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Questo teorema consente in particolare di interpretare la condizione [, ] = 0come una condizione di cociclo: il tensore di Poisson definisce quindi una classenel secondo modulo di coomologia di Poisson dellalgebra.

Inoltre, per il lemma, il morfismo di moduli # induce un morfismo dicomplessi di cocatene, e quindi una mappa

HdR(A) H(A)

dallalgebra di coomologia di de Rham allalgebra di coomologia di Poissondi A.

Identifichiamo i primi tre gruppi di coomologia di unalgebra di Poisson:

Teorema 2.4.9 Se A e unalgebra di Poisson allora

(a) H0(A) = Cas A.

(b) H1(A) = Can A/ Ham A.

Dimostrazione: Per la (a) si tratta di osservare che D0A = A e che lesserea D0A un cociclo significa significa che da = 0 cioe che Xa = 0 e quindi,per ogni b A: {a, b} = 0. Dunque H0(A) = Z0(A) = Cas A. Per la (b) bastanotare che un 1-cociclo e un elemento D di D1A = Der A tale che dD = 0,cioe, per ogni a a:

0 = dD, da db = (da, dD(b)) (db, dD(a)) D, {da, db}= {D(a), b}+ {a,D(b)} D{a, b}

Quindi gli 1-cocicli sono i campi canonici. Gli 1-cobordi sono invece gli elemen-ti di Der A della forma da = Xa per qualche a A, cioe i campi hamiltoniani,e quindi H1(A) = Can A/ Ham A.

qed

Possiamo dare una interpretazione anche per H2(A) che, almeno in questaformulazione algebrica, non sembra essere presente in letteratura6.

Definizione 2.4.10 Una deformazione di unalgebra di Poisson A e unasequenza esatta di K-spazi vettoriali

0 A i E p A 06Nel caso A = C(M) esistono dei calcoli particolari, dovuti a Lu, Ginzburg e Nakha-

nishi che presentano H2(A) in modo concreto come spazio di deformazioni del tensore diPoisson.

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 77

ove E e una K-algebra di Poisson, p un morfismo di K-algebre di Lie e i unmorfismo di K-algebre associative, tali che

i{p(e), b} = [e, i(b)]Due deformazioni si dicono equivalenti se esiste un morfismo di K-algebre diLie h : E E in modo che il diagramma

E

!!BBB

BBBB

B

0 // A

>>~~~~~~~~

@@@

@@@@

@ A// 0

E

==||||||||

sia commutativo

Il motivo della terminologia si puo spiegare come segue: consideriamo iltensore di Poisson : A A A e supponiamo che

0 A i E p A 0sia una deformazione di A: allora possiamo comporre con p e ottenere iltensore

(e1, e2) = (p(e1), p(e2))

su E: questa struttura di Lie e la deformazione del tensore di Poisson associataa E. Ad esempio, il tensore di Poisson stesso definisce una tale deformazione(banale) su A con i = 0 e p lidentita; la deformazione corrispondente ap = 0 e i lidentita (con E = A) e quella nulla, che deforma cioe la strutturadi Poisson in una identicamente nulla.

Teorema 2.4.11 H2(A) e il modulo delle deformazioni delle strutture diPoisson su A modulo equivalenza.

La dimostrazione e classica, e ripete ad esempio quella data in [19, XIV-5]per le estensioni di algebre di Lie (cfr. pure [41, 1.4]).

Negli esempi principali di algebre di Poisson che abbiamo introdotto (lealgebre delle varieta simplettiche e dei duali delle algebre di Lie) la coomologiadi Poisson coincide con oggetti ben noti:

Teorema (Lichnerowicz) 2.4.12 La coomologia di Poisson dellalgebra A =C(S) ove S e una varieta simplettica coincide con la coomologia di de Rhamdella varieta.

78 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Questo segue immediatamente dallessere lisomorfismo # un isomorfismo deirispettivi complessi di coomologia (cfr. [64] per una dimostrazione diretta).

Teorema (GinzburgLuWeinstein) 2.4.13 La coomologia di Poissondellalgebra A = C(g) della varieta di Poisson lineare duale di unalge-bra di Lie coincide con la coomologia dellalgebra di Lie g a coefficienti nellarappresentazione A.

Si tratta di un risultato noto che non ridimostreremo qui (cfr. [43]).A titolo di esempio della difficolta del calcolo della coomologia di Poisson

in generale, anche per la mancanza di reali strumenti computazionali (adesempio questa coomologia, malgrado il nome, non e funtoriale!), diamo lacoomologia di alcune strutture di Poisson quadratiche nel piano, determinateda V. Ginzburg [42] e N. Nakanishi [?]: ad esempio la struttura di Poisson R20

{f, g}(x, y) = (x2 + y2)(

f

x

g

y f

y

g

x

)

ha i seguenti gruppi di coomologia di Poisson:

H0(R20) = R e H1(R20) = R2 e H2(R20) = R2

ove i generatori in grado uno sono

x

y y

xe x

x+ y

y

e i generatori in grado due sono

x

ye (x2 + y2)

x

y

Invece, per la struttura di Poisson R2y

{f, g} = y2(

f

x

g

y f

y

g

x

)

il primo gruppo di coomologia e di dimensione infinita, come pure il secondo,che e isomorfo a C(R) (cfr. [?]).

In ambedue i casi la dimostrazione e non banale (ancora mentre Vai-sman scriveva il suo libro [102] non era chiaro quali fossero questi gruppi dicoomologia).

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 79

Concludiamo introducendo unaltra nozione omologica sulle varieta diPoisson, vale a dire lomologia di Poisson (cfr. [57], [13], [44], [102, 5]). Perintrodurla consideriamo loperatore : nA n1A definito come

= [i, d] = id diSi tratta di un operatore differenziale di ordine minore di due. Inoltre

d + d = id2 did + did d2i = 0

Possiamo dare anche per questo operatore una espressione differenziale:

Proposizione 2.4.14

(a0da1 ... an) =n

i=1

(1)i+1{a0, ai}da1 ... dai ... dan

+1...ni

80 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Tenendo conto del fatto che (da db) = {a, b} si ha la tesi.qed

Corollario 2.4.15 (adb) = {a, b}.Ora e facile verificare che 2 = 0: si tratta di un calcolo formale del tuttosimile a quello per il differenziale esterno (cfr. [102, 4.2]). Abbiamo quindiuna mappa di bordo che chiamiamo differenziale di Koszul, che da luogo adun complesso di catene

n+1A nA n1A 1A A 0

la cui omologia e lomologia di Poisson dellalgebra A, e i cui gruppi sidenotano con Hn (A).

In generale questa omologia non e la duale della coomologia di Poisson,anche se esiste un legame: il calcolo e proibitivo quanto per la coomologia;comunque, come ci si aspetta (cfr. [13]):

Teorema (Brylinski) 2.4.16 Se S e una varieta simplettica allora lomo-logia di Poisson dellalgebra A = C(S) e isomorfa allomologia di de Rham.

Anche nel caso della varieta di LiePoisson vale un risultato analogo a quellodella coomologia (cfr. [57]):

Teorema (Koszul) 2.4.17 Se g e una varieta di LiePoisson allora lasua omologia di Poisson e lomologia dellalgebra di Lie g a coefficienti nellarappresentazione A = C(g).

Come esempio diamo qualche calcolo relativo al caso del piano simplettico conuna singolarita nellorigine R20: cominciamo con il secondo gruppo di omologia,e consideriamo una 2-forma

= f(x, y)dx dy

per la quale si ha

= id di = d(f(x, y)(x2 + y2))

Dunque lessere un ciclo equivale a

f(x, y) =c

x2 + y2

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 81

con c R (per x, y) 6= (0, 0); ovviamente una tale funzione si estende inmodo continuo su tutto R2 solo se c = 0, quindi lo spazio dei 2-cicli diPoisson e nullo, col che H2 (R20) = 0: in particolare non coincide ne con H0(R2)(omologia di de Rham).

In grado zero abbiamo

H0 (R20) =C(R2)

im =

C(R2){(x2 + y2)div f | f C(R2)}

Infatti(adx + bdy) = {a, x}+ {b, y} = (x2 + y2) (xb ya)

Si noti che questo spazio di omologia non e nullo: infatti la funzione

f(x, y) = (x y)

x2 + y2

non puo in alcun modo appartenere allo spazio che figura a denominatore:dovremmo infatti, in quel caso, avere

(xb ya) = x yx2 + y2

il che, in tutto il piano (compresa lorigine), e impossibile.Lo spazio H1 e, per definizione, il quoziente

H1 (R20) ={ | d = 0}{(fdx dy)}

Infatti abbiamo gia calcolato (adx+ bdy), e il suo annullarsi equivale allan-nullarsi di ya yb, cioe di d = d(adx + bdy); il denominatore coincide conC(R2), dato che

(fdx dy) = d(f{x, y}) = d(f(x2 + y2))

e la mappa : C(R2) B1 (R20) definita come

(f) = d(f(x2 + y2))

e iniettiva, avendosi

d(f(x2 + y2)) = 0 = f = 0

(come abbiamo gia notato nel calcolo di H0 (R2)) ed e suriettiva in modoovvio.

82 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

2.5 Fibrazione sullo spettro di unalgebra di Poisson

Diamo qui un piccolo contributo alla questione generale, che si inquadra nelcontesto della geometria non commutativa ([26]), della formulazione algebri-ca di nozioni geometriche sulle varieta di Poisson, in vista di analoghi noncommutativi (e quindi dei cosiddetti procedimenti di quantizzazione).

Consideriamo unalgebra di Poisson A: ad essa possiamo associare un in-sieme geometrico, vale a dire la famiglia degli ideali massimali dellalgebraassociativa A, che denoteremo con Spec(A) (questa terminologia collide conquella usuale in Geometria Algebrica, ma e espressiva: volendo potremmoprendere il termine spec come abbreviazione di speculum piuttosto che dispectrum, il che sembra piu adeguato visto che le proprieta dellalgebra A siriflettono nel suo Spec(A)).

Dato che A e unalgebra commutativa potremmo ripetere le usuali consi-derazioni che si svolgono in Geometria Algebrica per gli schemi, e in AnalisiFunzionale per le C*-algebre commutative, tuttavia limitiamoci allessenzia-le: consideriamo cioe X = Spec(A) e mostriamo come possieda una strutturanaturale di spazio topologico indotta dalla struttura associativa di A.

Basti considerare gli elementi a A come funzioni sui punti Spec(A),nellovvio modo seguente:

a() = (a)

ove identifichiamo ideali massimali e funzionali moltiplicativi sullalgebra. Al-lora possiamo considerare la topologia su A piu debole rispetto alla quale lefunzioni a A sono continue (topologia spettrale).Esempio. Se A = C(M) ove M e una varieta differenziabile allora e facilevedere che, come insieme, Spec(A) = M . Inoltre la topologia spettrale coin-cide con la topologia della varieta, dato che un insieme e chiuso se e solo se elinsieme degli zeri di una funzione differenziabile (teorema di Whithney).

Esempio. Se A = C(X) (funzioni continue complesse su uno spazio topo-logico compatto di Hausdorff) allora Spec(A) e omeomorfo a X, come seguedalla teoria di Gelfand-Naijmark.

Laltra classe ben nota di esempi e quella degli anelli commutativi noethe-riani, per i quali gli spettri sono gli schemi algebrici (o meglio i loro modellilocali).

Ora consideriamo lalgebra associativa Cas A degli elementi di Casimir diunalgebra di Poisson A: possiamo considerarne lo spettro Spec Cas A, con lasua topologia spettrale.

Evidentemente esiste una suriezione

: Spec A Spec Cas A 0

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 83

che corrisponde allinclusione Cas A A: cioe, in qualche senso, lo spaziotopologico Spec A definisce una fibrazione sullo spazio Spec Cas A.

Notiamo che lo spazio Spec Cas A puo avere una struttura topologica biz-zarra; i due casi limite sono quelli di unalgebra di Poisson simplettica, valea dire Cas A = K, nel qual caso Spec Cas A e ridotto ad un sol punto, e,allestremo opposto, di unalgebra di Poisson nulla, vale a dire Cas A = A,nel qual caso la fibrazione precedente e lidentita.

Teorema 2.5.1 Le fibre della mappa sono spettri di algebre di Poissonnon degeneri.

Dimostrazione: Consideriamo m Spec Cas A e 1(m): si tratta dellin-sieme degli ideali massimali di A che contengono lideale massimale m ovvero,se si vuole, dei caratteri dellalgebra A che, ristretti a Cas A, sono lo stesso ca-rattere. Ora consideriamo, per ciascun M 1(m) il quoziente AM = M/m:e unalgebra associativa, sulla quale esiste una struttura di Poisson definitacome segue:

{a + m, b + m} = {a, b}+ m(ove a, b M). Questa definizione e ben posta dato che m Cas A, e inoltredefinisce delle parentesi di Poisson dato che lo sono { } su A; ora calcoliamogli elementi di Casimir per queste parentesi: se c+m e un tale elemento allora,per ogni a M:

{a + m, c + m} = {a, c}+ mdeve appartenere a m, il che significa che c + m definisce un elemento inCas A/m = K, da cui otteniamo che c e una costante. Dunque le parentesidefinite su AM sono simplettiche.

qed

Notiamo che la mappa e continua per definizione: rispetto alla topologiadi Spec A gli elementi di Casimir sono funzioni continue! Notiamo inoltreche esiste una topologia piu fine su Spec A, che possiamo definire prendendocome base dei suoi aperti le intersezioni degli aperti della topologia spettraledi Spec A con le fibre della mappa , e rispetto alla quale le fibre sono lecomponenti connesse.

Osserviamo inoltre che questo teorema e la versione formale del teorema distratificazione simplettica: chiaramente questultimo e piu profondo in quantocoinvolge la definizione della struttura differenziabile sulle foglie simplettichee la differenziabilita della fogliazione singolare da esse determinata.

84 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

2.6 Appendice: Spazi Vettoriali di Poisson

Diamo in questa appendice al capitolo un contributo alla definizione del con-cetto di spazio vettoriale di Poisson: una tale trattazione manca in let-teratura (se si eccettua [63] che pero danno una definizione inadeguata chenon riesce a catturare lesempio principale delle parentesi di LiePoisson, so-lo Weinstein accenna brevemente il caso lineare nel suo fondamentale lavoro[104]).

La discussione che qui si propone e parzialmente un caso particolare dellateoria delle varieta di Poisson: comunque qui supponiamo di considerare spazivettoriali qualsiasi; la nostra idea e che si possa edificare una teoria di Poissonper gli spazi vettoriali topologici che intervengono nella teoria delle equazionidifferenziali, nella teoria dei campi ed in meccanica quantistica (cfr. e.g. [20]);in altri termini mentre la teoria che abbiamo gia esposto va bene anche nel ca-so non lineare purche di dimensione finita, qui vogliamo dare qualche idea chesi estenda, nellambito del caso lineare, a spazi di dimensione infinita; notiamoinfine che gli spazi vettoriali considerati saranno su un campo qualsiasi.

2.6.1 Strutture di Poisson lineari

Qui considereremo spazi vettoriali su un campo K qualsiasi. Se K e un campovalutato non discreto (ad esempio K = R o K = C) gli spazi vettorialipotranno essere topologici.

Definizione 2.6.1 Uno spazio vettoriale V si dice spazio vettoriale di Pois-son se lalgebra simmetrica Sym(V ) ha una struttura di Poisson.

La richiesta sullalgebra simmetrica si puo motivare in questo modo: un og-getto geometrico e di Poisson se la sua algebra delle funzioni e di Poisson,e la scelta piu naturale per uno spazio vettoriale sono i funzionali lineari (econtinui nel caso di spazi vettoriali topologici): ovviamente questi non costi-tuiscono unalgebra, ed e naturale considerare lalgebra generata da essi, chee proprio lalgebra simmetrica in V , o, equivalentemente, lalgebra dei poli-nomi in V . Lalgebra simmetrica ha inoltre il vantaggio di essere un oggettouniversale intrinsecamente associato ad ogni spazio vettoriale: se lo spaziovettoriale e topologico, ad esempio uno spazio di Banach, lalgebra simme-trica considerata sara quella dei tensori simmetrici continui costruita sullospazio duale topologico.

La definizione precedente non pone alcuna restrizione sulla natura delleparentesi di Poisson, se non che si tratta di funzioni polinomiali: in realta,per restare nellalgebra lineare e non sconfinare nella geometria algebrica, e

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 85

necessario imporre la linearita alle funzioni considerate7. Prima di limitarcial caso lineare, facciamo pero qualche osservazione di carattere generale.

Intanto fissiamo la notazione per lalgebra simmetrica: denoteremo i ten-sori simmetrici omogenei di grado d su V con Symd(V ), in modo che:

Sym(V ) =

d0Symd(V )

e denotiamo i tensori simmetrici di grado d su V con Sym(d)(V ), in modoche

Sym(d)(V ) =d

i=0

Symd(V )

Questi oggetti corrispondono, fissata una base in V , ai polinomi omogeneidi grado d ed a tutti i polinomi di grado d in V .

Osserviamo che le parentesi di Poisson su Sym(V ) sono completamentedeterminate dai valori che assumono su V . Intanto e ovvio che le costantistiano nel centro dellalgebra di Poisson:

{K, Sym(V )} = (0)

infatti, se k K e p Sym(V ), allora

{k, p} = {1 k, p} = 1{k, p}+ k{1, p} = {k, p}+ k{1, p}

e quindi {1, p} = 0 da cui {k, p} = 0 per ogni k K.Le parentesi di Poisson sono completamente determinate una volta che

siano definite su V perche, se per h+, k + Sym(1)(V ) = KV , si ha

{h + , k + } = {, }

e ce un solo modo di estendere una mappa bilineare antisimmetrica definita suSym1(V ) a tutto Sym(V ) in modo che soddisfi alla bilinearita, antisimmetriae regola di Leibniz. Esplicitamente, un elemento p di Sym(V ) e una sommap0 + ... + pd, ove pk Symk(V ), cioe pk =

i0+...+ir=k

ai0...irvi0 ...vir (per

7Questo vuol dire che escludo da questa trattazione le parentesi di Poisson quadraticheo di grado maggiore, che non possono essere trattate con metodi lineari ma che presumi-bilmente richiedono una teoria delle varieta algebriche di Poisson (teoria che, a quanto miconsta) non e stata ancora considerata.

86 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

vij V e ai0...ir K), e quindi

{p, q} = {

k

pk,

h

qh}

=

h,k

{

i0+...+ir=k

ai0...irvi0 ...vir ,

j0+...+js=h

bj0...jswj0 ...wjs}

=

k,h

i0+...+ir=k

j0+...+js=h

t,u

vi0 ...vit ...virwj0 ...wju ...wjs{vit , wju}

(per bilinearita ed identita di Leibniz).Il fatto che le parentesi di Poisson su uno spazio vettoriale siano comple-

tamente determinate dai valori che assumono sulle funzioni lineari e in pienoaccordo col ruolo giocato da queste funzioni, che in questo modo si rivelanoessere le uniche delle quali la struttura di Poisson tiene conto.

Quindi, in generale, le parentesi di Poisson su uno spazio vettoriale Vsaranno determinate da

{p, q} =k

i=0

i(p, q)

ove i : V V Symi(V ) sono tensori che determinano il valore delle

parentesi grado per grado.

Definizione 2.6.2

(1) Le parentesi di Poisson su uno spazio vettoriale V si dicono omogeneedi grado d se verificano la

{Sym1(V ), Sym1(V )} Symd(V )

(2) Le parentesi di Poisson su uno spazio vettoriale V si dicono graduateverificano la

{Sym(i)(V ), Sym(j)(V )} Sym(i+j1)(V )

Evidentemente uno spazio vettoriale di Poisson graduato puo essere omogeneodi grado al piu uno, e questo sara il caso lineare, in cui

{Symi(V ), Symj(V )} Symi+j1(V )

Il motivo per il quale si considerano queste restrizioni e semplice: le funzionialle quali siamo interessati sono i funzionali lineari su V , cioe gli elementi di

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 87

V , e quello che vogliamo e che la parentesi di Poisson di due funzionali linearisia al piu un funzionale lineare, e non, ad esempio, una funzione quadraticao polinomiale. Dato che V = Sym1(V ) deve aversi

{Sym1(V ), Sym1(V )} Sym1(V )e quindi limposizione sui tensori simmetrici di grado maggiore e per forzaquella considerata nella definizione precedente.

Naturalmente la teoria di Poisson costituisce una generalizzazione dellateoria simplettica, quindi il primo (e piu semplice) esempio di spazio vettorialedi Poisson devono essere gli spazi vettoriali simplettici.

Gli esempi fondamentali di spazi vettoriali di Poisson li abbiamo gia daticome esempi di algebre di Poisson: riformuliamoli brevemente nel contestopuramente lineare, cominciando dagli spazi simplettici.

Esempio 2.6.3 Consideriamo uno spazio vettoriale fortemente simplettico(S, ) (se dim S < forme deboli e forti coincidono: cfr. [20]): allora laforma simplettica e un tensore fortemente non degenere

S S KPer definizione, la mappa lineare indotta

b S S

e un isomorfismo8. Quindi resta indotta una mappa bilineare

S S K 7 (b1(), b1())

che e ovviamente antisimmetrica e fortemente non degenere. Ponendo

k + , h + Sym(1)(S) {k + , h + } := (, )abbiamo delle parentesi di Poisson che si estendono in modo unico, per bili-nearita ed identita di Leibniz, a tutta lalgebra Sym(S) e che rendono quindiS uno spazio vettoriale di Poisson. Notiamo che queste parentesi sono degenerinel senso che

{Sym(S), Sym(S)} Sym0(S) = KS risulta quindi uno spazio vettoriale di Poisson non omogeneo.

8Se la mappa e solo iniettiva lo spazio e debolmente simplettico e la costruzione chesegue si puo effettuare solo su un suo sottospazio chiuso (limmagine isomorfa di S in S);lo spazio e quindi riflessivo se e solo se una forma debolmente non degenere e fortementenon degenere.

88 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Osserviamo che nellesempio precedente non e necessario che la formasimplettica sia non degenere: seguendo Souriau definiamo spazio vettorialepre-simplettico uno spazio vettoriale sul quale e fissata una 2-forma, con lastruttura di Poisson dellesempio precedente.

Laltro esempio e, come ci si attende, la struttura di LiePoisson:

Esempio 2.6.4 Consideriamo uno spazio vettoriale V il cui duale sia unal-gebra di Lie g = V (ad esempio, se g e unalgebra di Lie il cui spazio vettorialesupporto e riflessivo si puo considerare V = g). Evidentemente le parentesidi Lie su V sono definite da una mappa bilineare antisimmetrica

: V V V 7 [, ]

Questa mappa, al solito modo, si estende in modo unico a Sym(V ) per bi-linearita, antisimmetricita ed identita di Leibniz, in modo da rendere V unospazio di Poisson graduato omogeneo. Cioe le parentesi di Poisson su g sonole uniche che coincidono, in grado uno, con quelle di Lie

, V {, } := [, ]

Osserviamo che lidentita di Jacobi per le parentesi di Lie si puo riformularedicendo che lalgebra Sym(g) e un g-modulo se si pone

p Sym(g) g p = {p, }

Se char(K) = 0 una delle formulazioni del Teorema di PoincareBirkhoffWitt e che il morfismo di K-moduli

: Sym(g) U(g)1...n 7 1

n!

Sn

(1)...(n)

e g-equivariante (rispetto alla struttura di g-modulo su Sym(g)):

({p, }) = [(p), ]

Otteniamo cos, di nuovo, le parentesi di LiePoisson.

Qui chiamero uno spazio vettoriale V dotato delle parentesi di LiePoisson,spazio vettoriale di LiePoisson.

Osserviamo che fra gli spazi vettoriali di LiePoisson rientra quello banale:cioe la struttura di LiePoisson associata ad unalgebra di Lie V abeliana,

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 89

nella quale le parentesi di Poisson su Sym(V ) (che diviene essa stessa algebrainviluppante universale di V ) sono identicamente nulle.

Naturalmente le parentesi di LiePoisson esauriscono gli esempi di spazivettoriali di Poisson graduati omogenei.

Esempi di parentesi omogenee quadratiche o cubiche sono importanti incerte applicazioni fisiche ed emergono nel contesto delle equazioni di YangBaxter (cfr. [49]).

2.6.2 Il tensore di Poisson.

Torniamo agli spazi vettoriali di Poisson in generale, e cerchiamo di carat-terizzare la struttura di Poisson in termini di V piuttosto che di Sym(V ).Intanto ricordiamo che le parentesi di Poisson si scrivono in termini di untensore : V V Sym(V ) come

{, } = (, )

(per , V ) con

=d

k=0

k

(ove k : V V Symk(V )). E naturale chiedersi quando un tensore

: V V Sym(V ) che si decomponga in questo modo dia luogo adelle parentesi di Poisson su V , ed ovviamente lunica condizione che deveverificare a questo scopo e una caratterizzazione dellidentita di Jacobi per{.} in termini di .

Introduciamo una notazione: intanto richiamiamo che lalgebra simmetricasu uno spazio vettoriale possiede in modo naturale un modulo di differenziali,cioe i differenziali di Kahler 1 che, in virtu della sua proprieta universale(di rappresentare il funtore Der()) si puo identificare nel nostro caso allospazio V Sym(V ). La mappa di differenziazione e

d : Sym(V ) 1 = V Sym(V )1...n 7

k

k 1...k...n

Usiamo ora questa notazione per denotare lestensione di : V V Sym(V ) allalgebra simmetrica:

(d(1...n), ) :=

k

1...k...n(k, )

90 Saggio sulla geometria delle parentesi di Poisson

Osserviamo esplicitamente che se V allora d = 1 che identifichiamocon stesso. Ne segue che possiamo considerare lestensione di definita su1: in altre parole avremo

{p, q} = (dp, dq)

Ora torniamo allidentita di Jacobi per le parentesi di Poisson su Sym(V ).Nella notazione fissata si ha che

{{, }, } = (d(, ), )

Lespressione [, ]s(, , ) = 2(d(, ), ) + c.p.(, , ) e esattamentela parentesi di Schouten di con se stesso che, come noto, caratterizza itensori di Poisson sulle varieta, e quindi anche nel nostro contesto, ove peronon sembra una caratterizzazione molto significativa.

Quello che possiamo osservare in generale su uno spazio di Poisson qual-siasi e questo

Proposizione 2.6.5 Le componenti omogenee k della mappa sono 2-cocicli per la rappresentazione banale dellalgebra di Lie (Sym(V ), {.}).

Dimostrazione: Si tratta di una ovvia osservazione: ricordiamo che il com-plesso standard delle cocatene per unalgebra di Lie g a coefficienti in un suomodulo M e definito come

Ck(g, M) = {f : kg M | f e multilineare}

mentre loperatore di cobordo e, per c Ck(g,M) e X0, ..., Xk g:

c(X0, ..., Xk) =k

i=0

(1)iXi c(X0, ..., Xi, ..., Xk)+

+0...ki

Capitolo 2. Algebra delle parentesi di Poisson 91

Naturalmente questa condizione e ben lungi dallessere una caratterizzazionedella struttura di Poisson su V . Per rendersene conto basta scrivere grado pergrado lidentita di Jacobi in termini delle k: per brevita poniamo

Aij := i(dj(, ), )

Allora

{{, },} =

Pertanto le parentesi indotte da sono di Poisson se e solo se

i+j=n j>0

Aij = 0 n = 1, 2, ..., d

Un caso particolare e quello in cui gli elementi Aij con j 6= 1 sono tutti nulli.Questo significa che le uniche relazioni da imporre saranno

n(d1(, ), ) + c.p.(, , ) = 0 n = 1, 2, ..., d

Queste relazioni significano esattamente che il tensore 1 : V V V

definisce su V una struttura di algebra di Lie (equazione precedente pern = 1), mentre le altre relazioni significano esattamente che n sono 2-cocicliper la rappresentazione banale dellalgebra di Lie V definita da 1. Quindiqueste strutture di Poisson su V sono parametrizzate dalle possibili estensionidelle strutture di algebre di Lie su V .

Come esempio di questa situazione, consideriamo le parentesi