Stage di Orientamento 2015

Matematica AttivaDipartimento di Matematica “F. Casorati”, Università degli Studi di Pavia

I paradossi della democrazia

Mirko Maracci

Dipartimento di Matematica, Università di Pavia

I paradossi della democrazia

Il laboratorio si propone di investigare, utilizzando strumenti di matematica di base, le caratteristiche di alcuni sistemi elettorali e procedure di decisione collettiva al fine di mettere in evidenza le criticità di ciascuno di essi.

Cos’è un sistema elettorale?

L’insieme delle norme che regolano l'elezione dei rappresentanti in un'assemblea

l’indizione, l’elettorato attivo e passivo, le modalità tecnico-operative di esercizio del voto, la presentazione delle candidature, la campagna elettorale, il procedimento elettorale nelle altre sue fasi fino allo scrutinio con interpretazione e conteggio dei voti espressi, la formula di attribuzione dei seggi in base ai voti ottenuti da ciascun candidato o partito, le contestazioni, la sostituzione degli eletti.

L'insieme delle norme che determinano l’attribuzione dei seggi a una lista all’interno di una assemblea in base alle preferenze espresse degli elettori durante le elezioni

quali caratteristiche deve avere un “buon” sistema elettorale?

due (opposte?) esigenze:

● Garantire la Governabilità: possibilità di governare durevolmente, senza frequenti crisi politiche

● Garantire la Rappresentatività:riflettere in maniera meno distorta possibile le scelte dell’elettorato

Art. 67.Ogni membro del Parlamento rappresenta la Nazione ed esercita le sue funzioni senza vincolo di mandato.

Garantire la rappresentatività

Quale sistema elettorale riflette in maniera meno distorta le scelte dell’elettorato?

Si cerca di rispondere a queste esigenze chiedendo che il numero dei seggi assegnati ad un partito sia proporzionale al numero dei voti che esso ha ricevuto.

Di quali dati abbiamo bisogno?

Sistema proporzionale (con quota Hare) Criticità

Proprietà di maggioranza: 1. Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere

almeno la metà dei seggi. 2. Se un partito X NON ottiene almeno la metà dei voti NON dovrebbe

ottenere la metà dei seggi.

Proprietà di super-additività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) =

V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) ≥ S(X1)+S(X2).

Proprietà di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),…., V(Xn)

attribuite, se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi.

Si stabilisce un quoziente elettorale: il costo di un seggio in termini di voti.

Si vede quante volte tale quoziente entra nel totale dei voti che una lista ha preso in una circoscrizione.

I seggi non assegnati con le parti intere del quoziente si assegnano in base ai resti.

● Quoziente Hare (o Naturale): per calcolare il “costo di un seggio” si divide il totale dei voti validi V per il numero dei seggi da assegnare nella circoscrizione, S.

Sistema proporzionale “puro”

Si stabilisce un quoziente elettorale: il costo di un seggio in termini di voti.

Si vede quante volte tale quoziente entra nel totale dei voti che una lista ha preso in una circoscrizione.

I seggi non assegnati con le parti intere del quoziente si assegnano in base ai resti.

● Quoziente Hare (o Naturale): per calcolare il “costo di un seggio” si divide il totale dei voti validi V per il numero dei seggi da assegnare nella circoscrizione, S.

Sistema proporzionale “puro”

Ma quanto costa realmente un seggio?

Proporzionale puro con quota Droop

Sistemi proporzionali “corretti”

Si dividono i voti totali di ciascuna lista di candidati in un collegio per una serie di coefficienti lunga fino al numero di seggi da assegnare nel collegio

Si assegnano i seggi alle liste in base ai risultati in ordine decrescente, fino ad esaurimento dei seggi da assegnare.

● Metodo D'Hondt: si dividono i totali di voti delle liste per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... fino al numero di seggi da assegnare nel collegio.

Stage di Orientamento 2013 - Matematica Attiva

Sistema d'Hondt - criticità

Proprietà di maggioranza: 1. Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere

almeno la metà dei seggi. 2. Se un partito X NON ottiene almeno la metà dei voti NON dovrebbe

ottenere la metà dei seggi.

Proprietà di super-additività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) =

V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) ≥ S(X1)+S(X2).

Proprietà di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),…., V(Xn)

attribuite, se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi.

Dagli esempi allo studio delle proprietà dei sistemi elettorali in generale

Sistemi elettorali: desiderata

Requisito di simmetria: Il numero dei seggi assegnati a ciascun partito non dipende dall’ordine di

presentazione.

Requisito di monotonia rispetto ai voti: A parità del numero dei votanti V, se un partito X aumenta i suoi voti, allora il

numero dei suoi seggi S(X) non può scendere.

Requisito di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),…., V(Xn) attribuite,

se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi.

Requisito di unanimitàSe un solo partito ottiene tutti i voti validi allora a quel partito spettano tutti i

seggi

Sistemi elettorali: desiderata

Requisito di maggioranza: Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere almeno la

metà dei seggi e il viceversa.

Requisito di superadditività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) =

V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) ≥ S(X1)+S(X2).

Requisito di consistenza: Se X1 ed X2 ricevono S(X1) ed S(X2) seggi, allora per qualsiasi altra votazione

in cui X1 ed X2 ottengono lo stesso numero di voti e complessivamente un numero S(X1)+S(X2) di seggi, i seggi attribuiti ad X1 ed X2 devono essere sempre S(X1) ed S(X2).

Sistemi elettorali: desiderata

Requisito dell’ Hare minimum:

Requisito dell’ Hare maximum:

Requisito del Droop minimum:

● Altri desiderata ?

● Queste relazioni sono tutte indipendenti tra loro?

● Esiste un sistema elettorale che le soddisfi tutte?

Decisioni collettive: scegliere tra diverse alternative

● Eleggere– un candidato in un collegio uninominale– Il sindaco di una città, – il presidente di una provincia/regione, – il presidente degli USA/della repubblica francese– Il rappresentante di classe

● Scegliere la sede delle prossima olimpiadi● Esaminare/approvare diversi emendamenti a una legge● Promulgare una legge invece (o prima) di un’altra● Decidere come passare la serata (?)

Decisioni collettive: scegliere tra diverse alternative

● Eleggere– un candidato in un collegio uninominale– Il sindaco di una città, – il presidente di una provincia/regione, – il presidente degli USA/della repubblica francese– Il rappresentante di classe

● Scegliere la sede delle prossima olimpiadi● Esaminare/approvare diversi emendamenti a una legge● Promulgare una legge invece (o prima) di un’altra● Decidere come passare la serata (?)

Un’assemblea (una collettività) deve assumere una decisione sulla

base delle preferenze individuali dei suoi membri

Condorcet vs Borda

Assegniamo a ogni candidato:

● n punti per ogni volta che è indicato come 1°

● n-1 punti per ogni volta che è indicato come 2°

● …

● 1 punto ogni volta che è indicato per ultimo

Vince chi totalizza più punti.

Eliminazioni successive

Si effettuano votazioni successive, ed a ciascuna iterazione viene eliminato il candidato che ha riportato il minore numero di voti.

Vince chi resta.

Decisioni collettive● Un insieme finito A di alternative a1, a2, …,ak● Un insieme finito C di “decisori” (elettori, consiglieri,

commissari,…)● Le “preferenze” di ogni decisore, cioè una sequenza ordinata di

elementi di A per ogni decisore. Complessivamente un insieme di sequenze ordinate di elementi di A

Siamo alla ricerca di un sistema che fornisca un’unica graduatoria – un’unica sequenza ordinate di elementi di A – che rifletta le preferenze di ogni decisori

Decisioni collettive - desiderataCompletezza. Il sistema deve fornire una graduatoria collettiva per ogni insieme di graduatorie individualiSovranità popolare. Per ogni coppia di alternative a e b, deve poter succedere (in base alle graduatorie individuali) che nella graduatoria collettiva l’alternativa a sia preferita a b.Correlazione positiva. Se in base a certe graduatorie individuali nella graduatoria collettiva l’alternativa a è preferita a b, allora se una o più tra queste graduatorie viene modificata in favore di a, nella graduatoria collettiva l’alternativa a è ancora preferita a b. Indipendenza delle alternative irrilevanti. Se uno o più individui cambiano la propria graduatoria senza modificare le relazioni tra le alternative a e b, allora anche nella graduatoria collettiva le relazioni tra le alternative a e b non viene modificata.

● Altre desiderata ?

● Queste relazioni sono tutte indipendenti tra loro?

● Esiste un sistema di decisione collettiva che le soddisfi tutte?

Decisioni collettive - desiderataCompletezza. Il sistema deve fornire una graduatoria collettiva per ogni insieme di graduatorie individualiSovranità popolare. Per ogni coppia di alternative a e b, deve poter succedere (in base alle graduatorie individuali) che nella graduatoria collettiva l’alternativa a sia preferita a b.Correlazione positiva. Se in base a certe graduatorie individuali nella graduatoria collettiva l’alternativa a è preferita a b, allora se una o più tra queste graduatorie viene modificata in favore di a, nella graduatoria collettiva l’alternativa a è ancora preferita a b. Indipendenza delle alternative irrilevanti. Se uno o più individui cambiano la propria graduatoria senza modificare le relazioni tra le alternative a e b, allora anche nella graduatoria collettiva le relazioni tra le alternative a e b non viene modificata.

Assenza di dittatori. Non esiste un individuo tale che, qualsiasi siano le preferenze espresse dagli altri individui, la preferenza collettiva coincida sempre con la sua.

Riferimenti

● Palladino D. (1993) Sistemi elettorali: leggi proporzionali pure. Nuova Secondaria X, 6, pp. 65-68. http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/Votazioni82W8.pdf

● Palladino D. (1993) Sistemi elettorali: leggi proporzionali corrette. Nuova Secondaria X, 8, pp. 69.72. http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/Votazioni83W8.pdf

● Palladino D. (1993). Sistemi di scelte sociali: il teorema di Arrow. Nuova Secondaria XI, 3, pp. 80-82. http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/Votazioni86W8.pdf

● Rudi Matematici (2010). I sistemi elettorali: il conteggio dei voti. Le Scienze Blog. http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2010/07/05/i-sistemi-elettorali-ii-il-conteggio-dei-voti/

● Rudi Matematici (2010). I sistemi elettorali: la reppresentanza per collegi. Le Scienze Blog. http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2010/08/19/i-sistemi-elettorali-iii-la-rappresentanza-per-collegi/