44/6

ESIMONEDIZIONI

Funzioni di una variabile

Funzioni di più variabili

Ottimizzazione

MATEMATICAPER L’ECONOMIA

COMPENDIO DI

FABIO PRIVILEGGIGr

uppo

Edi

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Sim

one

II EDIZIONE

UN PERCORSO ESAUSTIVOMA USER-FRIENDLY

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Della stessa collana:

43/1 • Compendio di Statistica

43/2 • Esercizi svolti per la prova di Statistica

43/4 • Compendio di Matematica finanziaria (classica e moderna)

43/6 • Compendio di Statistica economica

43/10 • Compendio di Econometria

44 • Compendio di Economia politica

44/3 • Esercizi svolti per la prova di Microeconomia

44/4 • Compendio di Microeconomia

44/5 • Compendio di Macroeconomia

44/10 • Manuale di Economia politica

44/15 • Esercizi svolti per la prova scritta di Macroeconomia

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Estratto della pubblicazione

a marina

Elenco dei Simboli

: tale che, 1<, ≤ relazione d’ordine, 3A (m× n) matrice di dimens. m× n, 178A−1 matrice inversa, 191AT matrice trasposta, 184Ac insieme complementare di A, 3CE campo di esistenza, 6C1, C2 funzioni di classe C1, C2, 211Cij complemento algebrico, 198H ,D2f ,∇2f matrice Hessiana, 211I matrice identità, 183Iδc intorno (di c), 6J matrice Jacobiana, 268L (x, y, λ) funzione Lagrangiana, 262Mij minore complementare, 198Q (x) forma quadratica, 213T1 (dx) pol. di Taylor di I grado, 60T2 (dx) pol. di Taylor di II grado, 59Δx, Δf differenze finite, 50Δ discriminante, 9⇐⇒ biimplicazione logica, 2=⇒ implicazione logica, 2≈ bene approssimato da, 56argmax

x∈Xf(x) punto di massimo, 128

argminx∈X

f(x) punto di minimo, 128

∩ intersezione di insiemi, 2∪ unione di insiemi, 2det (A) determinante della matr. A, 194� differenza di insiemi, 2∃ quantificatore: esiste, 2∀ quantificatore: per ogni, 2∈ appartiene, 1∫f (x) dx integrale indefinito, 104∫ ba f (x) dx integrale definito, 113λ moltiplicatore di Lagrange, 261

(a, b) intervallo aperto, 5[a, b] intervallo chiuso, 5‖x‖ norma euclidea, 165|x| valore assoluto di x, 8limx→x0

f (x) limite di una funzione f , 70

lnx logaritmo naturale, 25loga x logaritmo in base a, 25N insieme dei numeri naturali, 3Q insieme dei numeri razionali, 4R insieme dei numeri reali, 4Rn spazio euclideo, 158R++ insieme dei numeri positivi, 5R+ ins. dei numeri non negativi, 5R2+ ortante positivo, 7Z insieme dei numeri interi, 4maxx∈V

f (x) probl. di massimo vincolato, 123

∇f gradiente di f (Nabla), 208Dom (f) dominio di f , 6Int (X) insieme dei punti interni, 34agg (A) matrice aggiunta, 198Im (f) insieme immagine di f , 6±∞ ± infinito, 4ρ (A) rango della matrice A, 200∼ relazione di indifferenza, 295√x radice quadrata di x, 8

⊂, ⊆ inclusione di insiemi, 2�, � relazione di preferenza, 295∑n

i=1 f (xi) sommatoria, 112∅ insieme vuoto, 1∨ o (o uno o l’altro o entrambi), 2∧ e (contemporaneamente), 2ax, ex funzione esponenziale, 24aij coefficiente della matrice A, 177dy, df differenziale, 57f : X → Y funzione, 6f ◦ g funzione composta, 18f−1 funzione inversa, 14f ′′,D2f derivata seconda, 53f ′,Df , ∂f∂x derivata prima, 37

fv,Dvf ,∂f∂v derivata direzionale, 221

fxixi , fxjxi derivate parziali seconde, 210

fxi ,∂f∂xi

derivate parziali, 203x · y prodotto scalare (interno), 164xT , yT vettori riga, 160xn, xα funzione potenza, 20

Estratto della pubblicazione

Indice

Indice i

Prefazione dell’autore alla seconda edizione vii

I Funzioni di una variabile 1

1 Richiami su alcuni concetti di base 11.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 I numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Sottoinsiemi importanti di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Funzioni invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1 Funzioni monotone e invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Forme implicite e invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Funzione potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Funzioni esponenziale e logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Calcolo differenziale 272.1 Tasso (istantaneo) di variazione per funzioni lisce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Alcune applicazioni della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Un esempio: la strategia di una grande azienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 I dati del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 L’obiettivo dell’azienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Procedere “per tentativi”: un senso d’insicurezza e frustrazione . . . . . . . 322.3.4 Verso la nozione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 Punti interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Retta secante il grafico di una funzione liscia e rapporto incrementale . . . . 352.4.3 Retta tangente e limite del rapporto incrementale . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.4 La definizione di derivata in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.1 Derivata della funzione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Estratto della pubblicazione

ii Indice

2.5.2 Derivata della funzione identica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.3 Derivata della funzione affine (retta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.4 Derivata della funzione quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.5 Derivata della funzione cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.6 Derivata della funzione potenza a esponente naturale . . . . . . . . . . . . . 422.5.7 Derivata della funzione potenza a esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.8 Derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo naturale . . . . . . . . . . . 44

2.6 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.1 Derivata del prodotto costante × funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.2 Derivata della somma di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.3 Derivata del prodotto di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.4 Derivata del reciproco di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.5 Derivata del rapporto tra funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.6 Derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Tabelle riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8 Esempi ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.9 Derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Approfondimenti 553.1 Approssimazione locale di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.2 Il polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Derivata e monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Condizioni di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.3 Studio del segno della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.1 L’approccio intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.3 La definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.1 Continuità, monotonia e invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.2 Continuità e derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Applicazioni economiche 794.1 Il concetto di marginalità in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Costo marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.2 Prodotto marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.1.3 Ricavo e profitto marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1.4 Utilità marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.5 Il differenziale in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2 Tassi di crescita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.1 Tasso medio di crescita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.2 Tasso istantaneo di crescita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.3 Capitalizzazione continua e tasso d’interesse istantaneo . . . . . . . . . . . . 904.2.4 Derivata logaritmica e tasso istantaneo di crescita . . . . . . . . . . . . . . . 93

Estratto della pubblicazione

Indice iii

4.3 Elasticità di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1 Elasticità intervallare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2 Elasticità puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.3 L’elasticità puntuale della curva di domanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.4 Derivata logaritmica ed elasticità puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Calcolo integrale 1035.1 Integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.1 La costante di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.2 Integrazione e regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.3 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.4 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.1 Somme di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.2 Proprietà dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4 Applicazioni economiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.1 Flussi di cassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.4.2 Surplus del consumatore e del produttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Ottimizzazione in una variabile 1236.1 Cos’è un problema di ottimo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.1 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1.2 Vincolo e restrizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1.3 E il minimo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.1.4 Esistenza di massimi e minimi: alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.1.5 Unicità del massimo e minimo globali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2 Massimi e minimi assoluti (globali) e relativi (locali) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.1 Massimi e minimi assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.2 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.3 Relazione fra problemi di massimo e problemi di minimo . . . . . . . . . . . 130

6.3 Esistenza del massimo e minimo assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.4 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine . . 1316.5 Metodo diretto per la ricerca di estremi assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.6 Studio del segno della derivata seconda per la ricerca di estremi relativi interni . . . . 134

6.6.1 Condizioni sufficienti del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.6.2 Punti estremi e polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.6.3 Un metodo per gli estremi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7 Raffinamenti e applicazioni economiche 1397.1 Funzioni obiettivo concave (convesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.1.1 Definizione e caratterizzazione della concavità/convessità . . . . . . . . . . 1397.1.2 L’ipotesi di concavità in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.1.3 Concavità/convessità e ottimizzazione: unicità del punto estremo assoluto . . 143

7.2 Segno della derivata prima e punti estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2.1 Studio dei punti di frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Estratto della pubblicazione

iv Indice

7.2.2 Ottimizzazione su insiemi non limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3 Un’applicazione economica: la massimizzazione del profitto . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.1 Concorrenza perfetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.3.2 Impresa monopolistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.3 Un metodo unificato per risolvere problemi di massimo profitto . . . . . . . 1517.3.4 Esempi ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.4 Un metodo generale di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

II Funzioni di più variabili 157

8 Vettori e funzioni di più variabili 1578.1 Punti nello spazio euclideo: i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.2 Operazioni fra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.2.1 Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.2.2 Moltiplicazione scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.2.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.3 Norma, versori e distanza euclidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.4 Sottoinsiemi particolari di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.4.1 Elementi di topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.4.2 Insiemi convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Funzioni reali di n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.5.1 Esempi economici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.5.2 Campi di esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.5.3 Funzioni di due variabili e loro grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9 Matrici e loro proprietà 1779.1 Definizione di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Operazioni fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.2.1 Somma di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.2.2 Moltiplicazione per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.2.3 Prodotto fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.2.4 Matrice trasposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.3 Matrici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859.4 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.4.1 Sistemi di equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.4.2 Funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.4.3 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili . . . . . . . . . . . . . . . 1909.4.5 Matrici quadrate e matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.5.1 Costruzione del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.5.2 Interpretazione grafica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.5.3 Proprietà del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.5.4 Calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989.5.5 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Estratto della pubblicazione

Indice v

10 Calcolo differenziale in più variabili 20110.1 Derivata e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.1.1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20210.1.2 Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.1.3 Approssimazione lineare e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.2 Derivata seconda e matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.3 Approssimazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.3.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.3.2 Forme quadratiche definite da matrici Hessiane . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.3.3 Il polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.4 Aspetti peculiari delle funzioni differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610.4.1 Funzione composta e regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710.4.2 Derivata direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21910.4.3 Gradiente e direzione di massima pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

III Ottimizzazione 223

11 Ottimizzazione libera 22311.1 Massimi e minimi assoluti e relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.2 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine . . 22411.3 Punti estremi interni e polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22611.4 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.4.1 Curvatura delle forme quadratiche di due variabili . . . . . . . . . . . . . . 22811.4.2 Natura delle forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.4.3 Segno della matrice che definisce una forma quadratica . . . . . . . . . . . . 232

11.5 Condizioni sufficienti del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23711.6 Funzioni obiettivo concave (convesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

11.6.1 Definizione di concavità/convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.6.2 Caratterizzazione per funzioni differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 24011.6.3 Altre condizioni sufficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

11.7 Concavità/convessità e punto estremo assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza 24512.1 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

12.1.1 Curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24612.1.2 Il Teorema della funzione implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24912.1.3 Punti regolari e punti singolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25212.1.4 Curve di livello e gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25312.1.5 Funzioni implicite nel caso di n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

12.2 Il problema vincolato in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25512.2.1 Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato . . . . . . . . . . . 25512.2.2 Metodo per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25612.2.3 Il Teorema di Lagrange in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25712.2.4 Il moltiplicatore di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112.2.5 Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto . . . . . . . . . 261

12.3 Il problema vincolato in n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Estratto della pubblicazione

vi Indice

12.3.1 Vincoli definiti da più uguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26612.3.2 Vincoli regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26712.3.3 Il Teorema di Lagrange in n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

13 Ottimizzazione vincolata II: vincoli di disuguaglianza 27113.1 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27113.2 Vincoli espressi da disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

13.2.1 Vincoli convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27613.2.2 Frontiera del vincolo e gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27613.2.3 Qualificazione dei vincoli attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

13.3 Punti di Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27813.3.1 Vincoli definiti da una sola disuguaglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27813.3.2 Vincoli definiti dam disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28213.3.3 Un esempio in una sola variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.3.4 Il metodo e alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

14 Applicazioni economiche 29114.1 Funzioni di n variabili in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

14.1.1 Ordine parziale in Rn e monotonia delle funzioni di n variabili . . . . . . . . 29114.1.2 L’ipotesi di concavità in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

14.2 Funzioni implicite in economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29314.2.1 Isoquanti e saggio marginale di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414.2.2 Preferenze, funzione di utilità e curve di indifferenza . . . . . . . . . . . . . 29514.2.3 Elasticità di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29814.2.4 Statica comparata: l’equilibrio di mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

14.3 Massimizzazione del profitto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30014.3.1 Concorrenza perfetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30114.3.2 Discriminazione del prezzo da parte di un monopolista . . . . . . . . . . . . 302

14.4 Il problema del consumatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30214.4.1 Non sazietà nei consumi e soluzione standard . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4.2 Il vincolo di bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30414.4.3 Esempi ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

14.5 Ancora sulla produzione ottima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.5.1 Vincolo sui costi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.5.2 Minimizzazione dei costi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

14.6 Funzione valore e moltiplicatore di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Soluzioni degli esercizi 317

Bibliografia 331

Indice analitico 333

Estratto della pubblicazione

Prefazione dell’autore alla secondaedizione

All’inizio della mia carriera di docente universitario mi ero trovato a dover insegnare i rudimentidella matematica finalizzata alle applicazioni economiche ad una tipologia di studenti che definirei‘di nicchia’. Si trattava di giovani per i quali la scelta di iscriversi ad un Corso di Laurea ad indirizzoeconomico di una Facoltà di Scienze Politiche era dettata anche dalla scarsità – per non dire as-senza – delle materie quantitative che contraddistingue i Corsi di Laurea di quelle Facoltà da quellidelle Facoltà di Economia. Questa popolazione era inoltre arricchita da un numero considerevoledi studenti lavoratori, spesso non giovanissimi. Alla contrarietà pregiudiziale nei confronti del mioinsegnamento dei primi, questa seconda tipologia di studenti aggiungeva le difficoltà dovute al lun-go tempo trascorso dall’ultima occasione di esercitare la mente al ‘ragionamento astratto’, cioè daitempi del banco di scuola.

La necessità – ma anche il desiderio, perché no, condito da un sapore di sfida – di dover insegna-re una materia così impopolare agli occhi dei miei studenti si era subito scontrata con un ostacolooggettivo: l’assenza sul mercato di un libro di testo accessibile a una siffatta morfologia di studentie che potesse venire (utilmente) adottato nel mio corso. A partire dall’anno accademico 2000-2001ho quindi iniziato a scrivere gli appunti delle mie lezioni del corso di Metodi Quantitativi per l’Eco-nomia presso la Facoltà di Scienze Politiche dell’Università del Piemonte Orientale. Questi appuntihanno subito ampliamenti e modifiche e hanno superato diverse fasi di riorganizzazione negli annisuccessivi, durante le quali ho tenuto conto dei suggerimenti dei miei esercitatori, dell’Editore e, so-prattutto, delle reazioni e dei commenti da parte degli studenti, fino a sfociare nella seconda edizionedel presente testo.

La mia esperienza personale, l’essere, cioè, io stesso laureato in Scienze Politiche e l’aver ini-ziato a studiare matematica solo in tarda età, credo mi abbia fornito un vantaggio oggettivo, rispettoa chi è “nato già matematico”, nell’avvicinarmi al punto di vista di chi si considera un alieno rispettoal mondo della matematica, facilitandomi il compito di interpretare, e dunque provare a chiarire,certe difficoltà di comprensione. Se non altro, spero che il presente contributo possa alleviare lasofferenza di chi – come accadde a me – non più giovanissimo si trova per scelta o per necessità adover perlustrare il fantastico ma impegnativo universo della matematica.

Anche questa seconda edizione del Compendio di Matematica per l’Economia, riveduta e corret-ta nei contenuti e nella grafica, è indirizzata a studenti di Corsi di Laurea in Economia. Si presupponela conoscenza delle regole elementari per la risoluzione di equazioni e disequazioni e la capacità didisegnare semplici funzioni composte, bagaglio generalmente ereditato dalla scuola dell’obbligo.Senza togliere nulla al rigore delle definizioni, della simbologia e delle relazioni logiche matema-tiche, ho scelto un’esposizione basata su descrizioni a parole molto dettagliate e spesso ridondanti

viii Prefazione dell’autore

(non fa male ripetersi), al limite del linguaggio colloquiale, di ciascun oggetto matematico. Il tuttorinforzato da numerose figure, che aiutano ad associare anche un’immagine visiva al concetto astrat-to, e da frequenti riferimenti alle applicazioni economiche. In questo senso, la presente opera sipone a metà strada fra i tradizionali testi di matematica per l’economia e i testi di economia, forsependendo leggermente verso i secondi.

L’obiettivo è fornire allo studente strumenti utili alle applicazioni tipiche della microeconomia.L’argomento principe è dunque l’ottimizzazione, a cui sono dedicati i capitoli 6 e 7, per quanto ri-guarda le funzioni di una variabile, e poi l’intera parte III per le funzioni di più variabili. I rimanenticapitoli hanno soprattutto, anche se non esclusivamente, lo scopo di introdurre gli strumenti neces-sari alla discussione, ed eventualmente alla soluzione, di problemi di ottimo. Nei capitoli 6 e 7 lostudio dei massimi e minimi in una variabile non viene introdotto nel modo tradizionale, medianteil cosiddetto ‘studio di funzione’, bensì applicando fin da subito gli strumenti principali del calcoloin più variabili, come la compattezza del vincolo e/o la concavità della funzione obiettivo; anche seciò può apparire sproporzionato rispetto alle esigenze dell’ottimizzazione univariata, lo scopo è per-mettere al lettore di prendere confidenza con questi oggetti nel contesto più semplice delle funzionidi una sola variabile prima di applicarli al mondo più complesso delle funzioni di più variabili.

Oltre all’omissione delle dimostrazioni, almeno nella loro pomposità ufficiale dal momento chele argomentazioni discusse nel testo riprendono sostanzialmente linee guida di dimostrazioni, unaspetto caratterizzante della presente trattazione è la rinuncia all’utilizzo del calcolo di limiti e ditutti i risultati ad essi collegati. La nozione di derivata viene introdotta in modo intuitivo, toccandosolo marginalmente il concetto di limite del rapporto incrementale come corrispondente analiticodell’idea geometrica di retta tangente al grafico di una funzione. Dal momento che un economistaè interessato soprattutto alle formule per il calcolo delle derivate (paragrafi 2.5 e 2.6), i paragrafi3.3 e 3.4 si limitano ad offrire un’opportunità di approfondimento (iniziale, senza alcuna pretesa diesaustività) della nozione di limite e di funzione continua agli studenti più curiosi e possono venireomessi senza danno per il proseguimento della lettura.

Il testo è strutturato in tre parti. Dopo un breve richiamo ai concetti fondamentali legati allanozione di funzione nel capitolo 1, la prima parte è dedicata al calcolo differenziale in una variabile,con una breve digressione sul calcolo integrale nel capitolo 5. La seconda parte introduce gli spazivettoriali (capitolo 8), ambiente naturale in cui immergere le funzioni di più variabili, e il calcolo ma-triciale (capitolo 9), entrambi necessari a sviluppare il calcolo differenziale del capitolo 10. Infine,nella terza parte vengono approfonditi i problemi di ottimo libero e vincolato – i secondi caratteriz-zati sia da vincoli di uguaglianza che da vincoli di disuguaglianza – in più variabili; il capitolo 14conclude con alcune fra le più importanti applicazioni economiche.

Desidero ringraziare gli esercitatori del mio corso di Metodi Quantitativi per l’Economia dal2000-01 fino al 2006-07, in particolare, Michela Bia, Giulia Carletti, Cinzia Di Novi, Chiara Ro-dighiero, Valentina Siri e Paola Vottero Fin, per il valido contributo alla correzione delle bozze diquest’opera e per i preziosi commenti e suggerimenti. Un ringraziamento anche agli Editors – CarlaIodice per la prima edizione e Giuseppe Milano per la seconda edizione – per la collaborazione allastesura della versione finale e, soprattutto, per la pazienza dimostrata nei confronti dei miei ritardi.

Estratto della pubblicazione

PARTE I

FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Capitolo 1

Richiami su alcuni concetti di base

Questo capitolo preliminare contiene una sintesi estremamente succinta delle principali nozioni edei simboli matematici che verranno utilizzati nel seguito del testo. Senza pretesa di essere esaustivo,esso vuole costituire un “dizionarietto tascabile” da consultare ogni qual volta il lettore non si ricordala definizione di un concetto utilizzato nel testo, concetto che peraltro si presuppone sia già statostudiato in precedenza. Per ulteriori approfondimenti sulle nozioni di base si rinvia a qualsiasi testoutilizzato nei ‘precorsi’ di matematica delle facoltà di Economia.1

1.1 Insiemi

Assumiamo la nozione di insieme come ‘primitiva’ e non ne diamo una definizione. L’intuizioneè che un insieme è una collezione di oggetti. Per definire un insieme si può fornire la lista degli ele-menti che contiene; ad esempio, A = {a, b, c} è l’insieme delle prime tre lettere dell’alfabeto, N ={0, 1, 2, 3, 4, . . .} è l’insieme dei numeri naturali. Per insiemi contenenti tanti (o infiniti) oggettiè più comodo individuare un insieme mediante una proprietà che accomuna tutti i suoi elementi;ad esempio, A = {prime tre lettere dell’alfabeto}, N = {i numeri naturali}. Infine, una rappre-sentazione astratta dell’insieme (utile se si studiano relazioni o operazioni fra insiemi) è fornita daidiagrammi di Venn; ad esempio, la figura 1.1 riporta l’insieme A = {a, b, c}.

A =.c.a

.b

FIGURA 1.1:A = {a, b, c}.

Indicheremo con lettere (o simboli) minuscole, ad esempio, a, b, c, gli ele-menti di un insieme e con lettere maiuscole, ad esempio, A, B, C , l’insiemestesso. Il simbolo ‘∈’ denota l’appartenenza di un elemento a un insieme: lascrittura a ∈ A indica che l’elemento a appartiene all’insieme A, mentre lascrittura a /∈ A indica che a non appartiene a A.

Per definire la proprietà che caratterizza gli elementi di un insieme usiamoi due punti ‘:’, che si legge ‘tale che’; ad esempio, F = {n ∈ N : n ≤ 5} èl’insieme dei numeri naturali (tali) che sono minori o uguali a 5.

L’insieme vuoto è l’unico insieme privo di elementi e si indica con∅; esso contiene gli elementicaratterizzati da una proprietà impossibile.

1Un testo consigliabile è, ad esempio, [3].

Estratto della pubblicazione

2 Capitolo 1

Due insiemi, A e B, si dicono uguali se ogni elemento di A appartiene a B e ogni elemento diB appartiene a A; scriveremo A = B.B si dice essere sottoinsieme di A se tutti i suoi elementi appartengono a A; in simboli, B ⊂ A

significa che B è sottoinsieme proprio, mentre B ⊆ A significa che B è sottoinsieme improprio. Isimboli ⊂ e ⊆ indicano l’inclusione insiemistica. Nel primo caso esiste almeno un elemento di Ache non è inB, mentre il secondo caso (detta inclusione debole) contempla la possibilità cheA = B,significa, cioè, che tutti gli elementi di B sono in A ma non è noto se esiste un elemento di A chenon sta in B. Ad esempio, F = {n ∈ N : n ≤ 5} ⊂ N, mentre se A = B = {a, b, c} sono valide letre scritture B ⊆ A, A ⊆ B o A = B, di cui l’ultima fornisce l’informazione completa.

La tabella 1.1 riassume il significato dei simboli logici che useremo nel seguito.

Simbolo Significato∈ ‘appartenente a’∀ ‘per ogni’ (quantificatore universale)∃ ‘esiste’ (quantificatore esistenziale)

=⇒ implicazione logica⇐⇒ biimplicazione logica (equivalenza): ‘tale che’∧ ‘e’ (connettivo logico, ‘et’ latino: entrambi, contemporaneamente)∨ ‘o, oppure’ (connettivo logico, ‘vel’ latino: o uno, o l’altro, o entrambi)

TABELLA 1.1: Significato dei simboli più usati.

Ad esempio, è equivalente scrivere B ⊆ A oppure ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A [ovvero (B ⊆ A)⇐⇒(∀x ∈ B =⇒ x ∈ A)]; l’ultima espressione si legge “per ogni elemento x in B, segue (implica) chex appartiene anche aA”, oppure, in forma di proposizione, “se x appartiene aB, allora (implicazionelogica), x appartiene a A”. L’espressione “oggi piove ∧ fa freddo” significa che oggi piove e fafreddo contemporaneamente, mentre “oggi piove ∨ fa freddo” significa che oggi piove oppure fafreddo (almeno uno dei due casi) oppure piove e fa freddo contemporaneamente.

Si dice unione di due insiemi A e B, e si indica con A∪B, l’insieme degli elementi che appar-tengono aA oppure aB: A∪B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}. Ad esempio, seA = {n ∈ N : n ≤ 5}e B = {n ∈ N : 2 ≤ n ≤ 7}, allora A ∪B = {n ∈ N : n ≤ 7}.

Si dice intersezione di due insiemi A e B, e si indica con A ∩ B, l’insieme degli elementi cheappartengono a entrambi gli insiemi A e B: A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}. Ad esempio, seA = {n ∈ N : n ≤ 5} e B = {n ∈ N : 2 ≤ n ≤ 7}, allora A ∩ B = {n ∈ N : 2 ≤ n ≤ 5}. Se gliinsiemi A e B sono disgiunti, la loro intersezione è vuota, A ∩B = ∅.

Un insieme costituito da un solo elemento si chiama singleton. Ad esempio, Se A = {0, 1, 2}e B = {−1, 0}, l’insieme intersezione è un singleton, A ∩ B = {0}. Attenzione a non confonderel’unico elemento di un singleton con l’insieme (il singleton) stesso, sono due concetti ben distinti!

Si dice differenza di due insiemi A e B, nell’ordine, e si indica con A�B, l’insieme deglielementi che appartengono a A e non appartengono a B: A�B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}. Adesempio, se A = {0, 1, 2} e B = {−1, 0}, allora A�B = {1, 2}. Se A e B sono disgiunti valeA�B = A; ad esempio, se A = {n ∈ N : n ≤ 5} e B = {n ∈ N : n ≥ 6}, allora A�B = A ={n ∈ N : n ≤ 5}. Infine, se A = B oppure A ⊂ B, allora A�B = ∅; ad esempio, se A ={n ∈ N : n ≤ 5} e B = {n ∈ N : n ≤ 7}, allora A�B = ∅.

Si dice insieme universale (o insieme ambiente) l’insieme più ampio che contenga gli insiemiEstratto della pubblicazione

Richiami su alcuni concetti di base 3

rilevanti oggetto di studio; di solito si indica con E o conX. Quando si lavora con insiemi numerici,l’insieme universale viene di solito indicato nella parentesi graffa a sinistra dei due punti, cioè pri-ma del simbolo ‘tale che’; ad esempio, l’insieme {n ∈ N : n ≤ 5} è un sottoinsieme dell’ambienteE = N, mentre l’insieme {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 5} è un sottoinsieme di un ambiente ben più vasto,l’insieme dei numeri reali, indicato con R, per cui E = R.

E

A

Ac

FIGURA 1.2:E e Ac.

Dato l’insieme universale E, si dice insieme complementare dell’insie-me A ⊂ E, e si indica con Ac, l’insieme contenente tutti gli elementi diE che non stanno in A: Ac = E�A = {x ∈ E : x /∈ A}. Notazioni equi-valenti sono: Ac, CA oppure A. La figura 1.2 mostra l’insieme universaleE e l’insieme complementare Ac con l’ausilio dei diagrammi di Venn. Adesempio, se E = N e A = {n ∈ N : (n = 2m) ∧ (m ∈ N)}, allora Ac ={n ∈ N : (n = 2m+ 1) ∧ (m ∈ N)}, ovvero A è l’insieme dei numeri parimentre Ac è l’insieme dei numeri dispari.

1.2 I numeri

Non diamo la costruzione analitica rigorosa dell’insieme dei numeri reali che costituisce l’in-sieme delle particelle elementari con le quali andremo a costruire i principali strumenti matematiciutilizzati in economia. Ci limitiamo ad osservare che tale insieme corrisponde all’insieme dei puntiche formano una retta; in altre parole, per i nostri scopi è sufficiente la rappresentazione intuitivadei numeri reali come i punti di una retta. In realtà, i numeri reali sono oggetti molto complicatie il loro insieme ha una struttura molto intricata e oscura, e immaginarli come i punti di una rettanon aiuta molto, essendo la retta stessa (come, del resto il concetto di punto) un concetto primiti-vo anch’esso piuttosto involuto. Questa corrispondenza, però ha il vantaggio di consentire sempreuna rappresentazione grafica dei fenomeni che studieremo e aiuta la comprensione, almeno a livello

||

unità dimisura

0 1 2 3 . . .

FIGURA 1.3: i numerinaturali sulla retta.

intuitivo, delle principali proprietà dei numeri.Un sottoinsieme importante dei numeri reali è l’insieme dei

numeri naturali, N = {0, 1, 2, 3, . . .}, che ci permette di contaregli oggetti. Una volta fissata un’origine (che chiameremo zero, 0),un’unità di misura e un verso di percorrenza (per convenzione, dasinistra verso destra), è facile rappresentare i numeri naturali sullaretta, come mostra la figura 1.3. Già questo sottoinsieme ci permet-te di definire una proprietà importantissima che caratterizza anche inumeri reali e che sfrutta il verso di percorrenza introdotto: la strut-tura d’ordine dei numeri. La relazione d’ordine fra i numeri si indica con i simboli di disuguaglianza‘<’ e ‘>’. Ad esempio, sem,n ∈ N sono tali che n si trova a destra dim (ovvero m si trova a sini-stra di n) sulla retta, scriveremo m < n (oppure n > m). Analogamente, se n si trova a sinistra dim (ovvero m si trova a destra di n) sulla retta, scriveremo m > n (oppure n < m).

I numeri naturali permettono inoltre di introdurre un concetto matematico fondamentale estre-mamente ostico: il concetto di infinito. Esso non è altro che una possibile risposta alla domanda“quanti sono i numeri naturali?”, ovvero, alla sua equivalente in senso dinamico “a che punto (dellaretta) bisogna smettere di contare?” Poiché è insito nell’istinto umano cercare di superare qualsiasibarriera, si è deciso di non ‘smettere’ mai, aprendo così orizzonti alle scienze matematiche altrimen-ti impensabili. Questa considerazione suggerisce una definizione di infinito (per i numeri naturali)come la proprietà che per ogni numero n ∈ N esiste sempre un numero più grande m ∈ N , cioè

Estratto della pubblicazione

4 Capitolo 1

tale che m > n; in simboli: ∀n ∈ N, ∃ m ∈ N : m > n. Si può pensare all’infinito come alla“conclusione” della retta verso destra, conclusione che peraltro non esiste e quindi non può essereun numero! Indicheremo questo oggetto astratto con il simbolo ‘+∞’.

||

unità dimisura

0 1 2 3−1−2−3. . . . . .

FIGURA 1.4: i numeri interi sulla retta.

La medesima costruzione sulla retta a partire dallozero, però disponendo i numeri (con un segno ‘−’ da-vanti) da destra verso sinistra, genera l’insieme dei nu-meri interi, Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}, co-me mostra la figura 1.4. Questa costruzione ‘per simme-tria’ presuppone che la struttura d’ordine dei numeri ne-gativi sia del tipo · · · < −11 < −10 < · · · < −1 < 0.L’idea di procedere sulla retta verso sinistra, ancora

una volta senza fermarsi mai, porta all’introduzione di un concetto di infinito analogo a quelloprecedente, che indicheremo con ‘−∞’ per distinguerlo da ‘+∞’.

01

1

1

2

1

3

1

4

1

5(= 1). . .

FIGURA 1.5: la successione 1/n per n chetende a +∞.

Per (incominciare a) riempire gli spazi sulla rettafra un numero intero e l’altro in figura 1.4 si intro-ducono i numeri frazionari q definiti come rapportofra numeri interi, i quali costituiscono l’insieme deinumeri razionali, Q = {q = m/n : m,n ∈ Z}. Lafigura 1.5 mostra che è possibile associare una suc-cessione (infinita) di numeri razionali, ciascuno defi-nito da 1/n, n ∈ N, a (infiniti) punti della retta che si

trovano tra 0 e 1. In modo analogo, è possibile associare successioni (infinite) di numeri a (infiniti)punti della retta che si trovano nello spazio fra coppie qualsiasi di numeri interi. Addirittura, presaqualsiasi coppia di numeri razionali distinti, p = m/n e q = m′/n′, è possibile inserire infiniti nu-meri razionali (punti sulla retta) fra di essi. Questa proprietà si chiama densità dei numeri razionali:fra due numeri razionali distinti qualsiasi (e quindi arbitrariamente vicini!) esistono infiniti numerirazionali. Per convincersi di ciò, si consideri, ad esempio, i due numeri espressi in forma decimale2

p = 2.587 e q = 2.588, è chiaro che il numero r = 2.5875 è tale che p < r < q, e un’operazioneanaloga si può fare per la coppia p, r (oppure r, q), continuando così indefinitamente (all’infinito...).

I numeri razionali, pur essendo tanti (infiniti tra ciascuna coppia di numeri razionali) non sonosufficienti per ricoprire tutta la retta, esistono ancora dei “buchi” nascosti in mezzo ai razionali, tal-mente nascosti che per dimostrare la loro esistenza è necessario ricorrere a dimostrazioni analitiche(è impensabile cercare di individuarli direttamente come punti della retta!). Tali numeri sono dettiirrazionali (perché non sono esprimibili come rapporto m/n conm,n ∈ Z); esempi importanti so-no radice di due,

√2 � 1.41421, che è la lunghezza della diagonale di un quadrato con lato unitario,

pi greco, π � 3.14159, che misura la lunghezza della semi-circonferenza di raggio 1, e il numero diNepero, e � 2.71828, che per noi sarà molto importante.

Concludiamo dunque che l’insieme dei numeri reali R è l’insieme unione dei numeri razionaliQ e l’insieme (poco “visibile”) dei numeri irrazionali.

Poiché i numeri irrazionali non sono direttamente utilizzabili per fare i calcoli, diventa essen-ziale la possibilità di approssimare i numeri irrazionali con numeri razionali (che sappiamo gestire

2Per non creare confusione con la notazione usata per gli intervalli, che discuteremo nel prossimo paragrafo, utilizzia-mo la convenzione americana per indicare le cifre decimali: essa presuppone l’utilizzo del punto ‘.’ al posto della virgola‘,’ comunemente usata in Italia.

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direttamente oppure mediante l’uso di calcolatori). Il prossimo teorema dice che qualsiasi numerox ∈ R (anche irrazionale) è approssimabile da un numero razionale arbitrariamente vicino a x.

TEOREMA 1.1 (DENSITÀ DEI RAZIONALI NEI REALI) Fra due numeri reali (indifferentemente razio-nali o irrazionali) distinti qualsiasi (e quindi arbitrariamente vicini) esistono infiniti numeri razionali;ovvero, comunque presi x, y ∈ R tali che x < y, esiste sempre un numero q ∈ Q tale che x < q < y.

Ad esempio, il numero 1.4142 fornisce un’approssimazione per difetto (perché?) del numeroirrazionale

√2 con precisione fino alla quarta cifra decimale. Tale numero è razionale perché è espri-

mibile nella forma m/n con m,n interi: 1.4142 = 14142/10000. Volendo migliorare la precisionefino alla settima cifra decimale, otteniamo un’approssimazione per eccesso (perché?): 1.4142136. Epossiamo continuare indefinitamente ad aggiungere cifre decimali (c’è uno spazio ‘infinito’ a destradella virgola decimale di qualsiasi numero...) migliorando di volta in volta l’approssimazione.

1.3 Sottoinsiemi importanti di R

I seguenti sottoinsiemi assumono un’importanza strategica, come avremo modo di apprezzarenel seguito:la semiretta positiva con l’origine inclusa, R+ = {x ∈ R : x ≥ 0};la semiretta positiva con l’origine esclusa, R++ = {x ∈ R : x > 0};la semiretta negativa con l’origine esclusa, R�R+ = {x ∈ R : x < 0}.

Un’altra tipologia di sottoinsiemi fondamentale è costituita dagli intervalli di R.

DEFINIZIONE 1.1 Dati due numeri reali (punti sulla retta) a, b ∈ R, inclusi i simboli a = −∞ e/ob = +∞, si dice intervallo l’insieme di tutti i numeri reali compresi fra a (detto estremo inferiore) eb (detto estremo superiore).

Bisogna distinguere i casi in cui gli estremi a e b sono o meno compresi nell’intervallo. Alcu-ni esempi, rappresentati in figura 1.6, sono l’intervallo chiuso [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, checontiene gli estremi a e b, l’intervallo aperto (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, con gli estremi a eb esclusi, l’intervallo né aperto né chiuso (semiaperto a destra) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, checontiene solamente l’estremo amentre l’estremo b è escluso, e l’intervallo semiaperto e illimitato (adestra) [a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, con l’estremo a incluso.

][a b

(a)

)(a b

(b)

)[a b

(c)

[a

(d)

FIGURA 1.6: rappresentazione di alcuni intervalli; (a) [a, b]; (b) (a, b); (c) [a, b); (d) [a,+∞).

È facile immaginare come si rappresentino gli intervalli (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (semia-perto a sinistra) e il generico intervallo semiaperto e illimitato a sinistra (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.Se uno degli estremi è il simbolo +∞ o −∞, l’intervallo è necessariamente aperto in quell’estremopoiché esso, per definizione, può contenere solo numeri, e +∞ o −∞ non sono numeri. Si noti cheanche le semirette R+ = (−∞,+∞), R+= [0,+∞) e R++= (0,+∞) sono intervalli.

Introduciamo ora un tipo particolare di intervallo di cui faremo molto uso nel seguito: l’intorno.

6 Capitolo 1

DEFINIZIONE 1.2 Si dice intorno (circolare) di un punto (numero) c, detto centro, di raggio δ > 0,e si indica con Iδc , l’intervallo aperto (c− δ, c+ δ); cioè l’insieme

Iδc = {x ∈ R : c− δ < x < c+ δ} . (1.1)

)( |

c− δ c c+ δ

FIGURA 1.7: intorno di c diraggio δ.

La figura 1.7 rappresenta graficamente l’intorno. Per defini-zione gli estremi c − δ e c + δ non sono inclusi, ovvero l’intornoè sempre un intervallo aperto.

Di solito l’intorno viene usato per rappresentare intervalli pic-coli; il raggio δ, dunque, assumerà valori piccoli. Sfruttandoquest’idea possiamo riscrivere la (1.1) come

Iδc = {x ∈ R : |x− c| < δ} , (1.2)

in cui si evidenzia il fatto che Iδc è l’insieme dei punti che distano da c meno della lunghezza δ.Per definizione, il valore assoluto individua la distanza tra due punti, x e c, in quanto misura lalunghezza da percorrere tra un punto e l’altro indipendentemente dal verso di percorrenza (dal segnodi tale lunghezza); vale infatti:

|x− c| ={x− c se x− c ≥ 0− (x− c) = c− x se x− c < 0.

(1.3)

La (1.3) spiega perché la (1.2) e la (1.1) si equivalgono: il valore assoluto individua contempo-raneamente entrambi i casi della (1.1) tenendo conto dei punti x che distano da c meno di δ e chesi trovano sia a sinistra di c che a destra di c. Ad esempio, l’insieme I27 = {x ∈ R : |x− 7| < 2} èl’intorno di centro c = 7 e raggio δ = 2, è cioè l’intervallo (7− 2, 7 + 2) = (5, 9).

1.4 Funzioni

DEFINIZIONE 1.3 Dati due sottoinsiemi X e Y di R, si dice funzione reale di (una) variabile realeuna legge che associa a ogni elemento x ∈ X uno e un solo elemento y ∈ Y .

NOTAZIONE 1.1 L’insieme X ⊆ R si dice dominio o campo di esistenza (anche insieme di par-tenza), mentre l’insieme Y ⊆ R si dice codominio (anche insieme di arrivo). La funzione si indicacon una lettera minuscola, di solito f (oppure g,h ecc.), e si scrive

y = f (x) .

Il dominio è un’informazione necessaria, la sola scrittura y = f (x), se non è accompagnata dauna descrizione dettagliata dell’insieme X , è priva di significato! Spesso si scrive

f : X → Y

che contiene, appunto, dominio X e codominio Y . Il dominio X si indica anche con Dom(f), oppurecon CE, campo di esistenza, quando è chiaro a quale funzione f si fa riferimento.

La variabile x ∈ X si dice variabile indipendente (o argomento). Per evidenziare il “percorsoinverso”, da y a x, il numero x viene chiamato anche controimmagine di y tramite f . La variabiley ∈ Y si dice variabile dipendente o valore di f o anche elemento immagine di x tramite f .

L’insieme di tutte le immagini di tutti gli elementi x ∈ X tramite f , ovvero tutti i valori possibili yassunti dalla f , si chiama immagine di f e si indica con Im (f). Formalmente:

Im (f) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X tale che y = f (x)} .

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x yf

Y

X = Dom(f)Im (f)

FIGURA 1.8: rappresentazione di unafunzione f con i diagrammi di Venn.

Naturalmente vale Im (f) ⊆ Y , come illustra la fi-gura 1.8. Ad esempio, sia X = Y = R e consideria-mo la funzione che associa ad ogni numero x ∈ R ilsuo doppio: scriveremo dunque y = 2x ∈ R, ovverof (x) = 2x. Non c’è dubbio che si tratti di una fun-zione perché a ciascun numero reale x corrisponde ununico valore doppio, y = 2x.

È comodo rappresentare graficamente una funzio-ne come ‘curva’ nel piano. A tal fine, dobbiamo primastabilire in modo rigoroso cosa intendiamo per ‘piano’.

DEFINIZIONE 1.4 Si chiama spazio numerico reale bidimensionale, e si indica con R2, l’insiemedelle coppie ordinate (x, y) di numeri reali, cioè l’insieme

R2 = {(x, y) : (x ∈ R) ∧ (y ∈ R)} .

Il piano cartesiano è la rappresentazione geometrica degli elementi (coppie di numeri) di R2.

unità di

unitàdi

misura

misura

0 1

1

x

yP = (x, y)

FIGURA 1.9: un punto Pdi coordinate (x, y) in R2.

Il piano cartesiano è costruito mediante due rette ortogonaliorientate detti assi cartesiani, chiamate asse delle ascisse e asse del-le ordinate, fissando l’origine in prossimità dell’intersezione dellerette (lo zero per entrambe le rette) e fissando due unità di misura(non necessariamente uguali). In questo modo possiamo far coin-cidere ogni coppia ordinata (x, y) di numeri reali con un punto Pdel piano cartesiano univocamente individuato dalle coordinate x(detta ascissa) e y (detta ordinata) come in figura 1.9.

L’ordine delle coordinate è fondamentale; ad esempio, è evi-dente che alle due coppie di numeri3 (1, 2) e (2, 1), composte daglistessi numeri ma in ordine inverso, corrispondono due punti distinti.

Sono di interesse i seguenti sottoinsiemi di R2:

R2+ =

{(x, y) ∈ R2 : (x ≥ 0) ∧ (y ≥ 0)

}R2++ =

{(x, y) ∈ R2 : (x > 0) ∧ (y > 0)

};

il primo contiene tutte le coppie (x, y) di numeri non negativi e si chiama ortante positivo, o primoortante, il secondo contiene tutte le coppie (x, y) di numeri strettamente positivi, è cioè l’ortantepositivo esclusi i punti sugli assi cartesiani. I rimanenti tre ortanti determinati dall’intersezione deidue assi cartesiani si chiamano, seguendo il verso antiorario, secondo, terzo e quarto ortante.

La struttura di R2, basata su coppie di coordinate (x, y), si presta naturalmente a rappresentarele coppie x, argomento di una funzione f , e y = f (x), elemento immagine di x tramite f .

DEFINIZIONE 1.5 Data f : X → Y , dove X,Y ⊆ R, si dice grafico di f il sottoinsieme Gf dellospazio R2 definito da

Gf ={(x, y) ∈ R2 : y = f (x)

}.

Il grafico di una funzione è dunque una curva nel piano.

3Attenzione: in questo contesto, la scrittura (1, 2) non va confusa con l’intervallo aperto (1, 2), che indica ilsottoinsieme di R (e non di R2!) {x ∈ R : 1 < x < 2}.

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