5 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile...

CAPITOLO5

Calcolo differenziale

5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale

Sia data la funzione f : X → Y , e sia x0 ∈ X . Se la variabile indipendente x passa dalvalore x0 al valore x0 +∆x, con ∆x molto piccolo, anche la funzione f (x) subirà unincremento, pari a f (x0 +∆x)− f (x0), noto come incremento di f (x) e indicato con∆ f (x0) :

∆ f (x0) = f (x0 +∆x)− f (x0).

x0 x0 + ∆x

f(x0)

f(x0 + ∆x)∆f(x0)

x

f(x)

∆x

Figura 5.1

Rappresentazione dell’incremento ∆x della variabile indipendente e dell’incremento

∆ f (x0) della funzione f (x).

In molte applicazioni economiche1 è rilevante studiare il comportamento del rap-porto incrementale

∆ f (x0)

∆x= f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x

1In realtà ciò potrebbe essere affermato per qualsiasi scienza formulata in termini matematici.

115

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 116

quando ∆x è molto piccolo o, in termini più precisi, il limite

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x.

Prima di analizzare il significato (economico e geometrico) del limite di tale rap-porto è opportuna la seguente

RDefinizione (Derivabilità in un punto)

Sia f : X → Y e x0 ∈ X . Se esiste ed è finito il limite

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= f

′(x0)

si dice che la funzione f (x) è derivabile nel punto x0 e il numero f′(x0) si dice

derivata di f (x) nel punto x0.

"Osservazione

Poiché ∆x = x − x0 si ha che x = x0 +∆x e che ∆x → 0 =⇒ x → x0. La definizionedella derivata f

′(x0) può essere pertanto espressa tramite il limite (se esiste)

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0.

5.1.1 Significato geometrico della derivata

Si ricorda che l’equazione di una retta passante per il punto (x0, y0) e di coefficienteangolare m è

y(x) = m(x −x0)+ y0.

L’equazione della retta ys secante il grafico di f (x) nei punti A = (x0, f (x0)) e B =(x0 +∆x, f (x0 +∆x)) (si confronti la figura 5.2) è

ys (x) = f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x(x −x0)+ f (x0),

visto che la pendenza della retta secante è f (x0+∆x)− f (x0)∆x ed essa passa per il punto

(x0, f (x0)). Si osservi che se ∆x → 0 il punto B tende al punto A e la retta secante ys

tende a sovrapporsi alla retta tangente yt . Ne segue che il coefficiente angolare della

retta secante, f (x0+∆x)− f (x0)∆x , tende al coefficiente angolare mt della retta tangente:

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= mt ≡ f

′(x0).


x0 x0 + ∆x

f(x0)

f(x0 + ∆x)

x

f(x)

A

B

yt

ys

Figura 5.2

Rappresentazione grafica della retta ys secante il grafico di f (x) nei punti A e B e della retta

yt tangente il grafico di f (x) nel punto A.

Si è ottenuta, in particolare, l’equazione della retta tangente il grafico di una fun-zione f (x) (o, brevemente, della curva f (x)) nel punto (x0, f (x0)) :

yt (x) = f′(x0)(x −x0)+ f (x0)

visto che, evidentemente, tale retta tangente passa per il punto (x0, f (x0)).

E Esempio 5.1

Si calcoli l’equazione della retta tangente il grafico di f (x) = 2x−x3 nel punto x0 = 1.

Soluzione

Il coefficiente angolare della retta tangente si ottiene calcolando il limite del rap-porto incrementale

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x,

dovef (x0 +∆x) = 2(1+∆x)− (1+∆x)3 = 1−∆x −3(∆x)2 − (∆x)3.

ef (x0) = 2(1)−13 = 1

Si ha:

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= lim∆x→0

1−∆x −3(∆x)2 − (∆x)3 −1

∆x= lim∆x→0

−∆x −3(∆x)2 − (∆x)3

∆x=

lim∆x→0

[−1−3∆x − (∆x)2] =−1.

L’equazione della retta tangente in x0 = 1 è, pertanto,

yt (x) =−1(x −1)+1 =−x +2.


5.1.2 Alcuni significati economici della derivata

5.1.2.1 Grandezze marginali

Si considerino, ad esempio, una funzione costo C (x), una funzione ricavo R(x) eduna funzione di utilità U (x). Derivando una delle funzioni menzionate nel puntox0 si ottiene:

C′(x0) = lim

∆x→0

C (x0 +∆x)−C (x0)

∆x,

noto come costo marginale;

R′(x0) = lim

∆x→0

R(x0 +∆x)−R(x0)

∆x,

noto come ricavo marginale;

U′(x0) = lim

∆x→0

U (x0 +∆x)−U (x0)

∆x,

nota come utilità marginale. Il costo marginale, ad esempio, esprime un’approssi-mazione dell’incremento che il costo subisce in corrispondenza ad una variazioneunitaria della variabile indipendente da x0 a x0 +1. Esso rappresenta un’approssi-mazione perché la derivata C

′(x0) coincide con tale incremento solo se la funzione

costo è affine. In effetti, siaC (x) = ax +b.

Si ha:C (x0 +∆x)−C (x0) = a(x0 +∆x)+b − (ax0 +b) = a∆x

e, quindi,

C′(x0) = lim

∆x→0

C (x0 +∆x)−C (x0)

∆x= lim∆x→0

a∆x

∆x= a,

risultato che coincide con la variazione di costo per variazione unitaria della varia-bile indipendente:

C (x0 +1)−C (x0) = a(x0 +1)+b − (ax0 +b) = a.

Se invece la funzione C (x) non è affine, come sarà chiaro in seguito, il costo mar-ginale e la variazione di costo per variazione unitaria della variabile indipendentenon sono più uguali.

Un discorso analogo vale, ovviamente, anche per le altre grandezze marginali.


5.1.2.2 Elasticità puntuale

Siano date la grandezza x, di valore x0, e una sua funzione, f (x). Se la variabilex passa dal valore x0 al valore x0 +∆x si dirà che essa ha subito la variazione as-soluta ∆x. In corrispondenza a tale variazione assoluta, la funzione f (x) subirà lavariazione assoluta ∆ f (x0) = f (x0 +∆x)− f (x0). Se la variazione che ha subito lavariabile x si rapporta al suo valore iniziale x0, se si considera cioè la grandezza∆xx0

, si parlerà di variazione relativa. In maniera analoga si dirà che la variazione

relativa subita dalla funzione f (x) è ∆ f (x0)f (x0) . Nelle considerazioni economiche, gli

incrementi relativi sono spesso più significativi di quelli assoluti in quanto

• permettono di caratterizzare l’entità dell’incremento. Si supponga, infatti,che x0 = 100. Se l’incremento è ∆x = 1, a ciò corrisponderà un incrementorelativo pari a ∆x

x0= 1

100 = 1%. Se, a parità di incremento, si suppone che x0 =1000, tale incremento contribuirà sulla variazione di valore della variabile xsolo per una quantità relativa pari a 1

1000 = 0.1%

• la variazione relativa è un numero puro. Ciò consente di confrontare, adesempio, la variazione percentuale dell’offerta di una data merce indipen-dentemente dalla unità monetaria utilizzata.

La discussione appena effettuata giustifica la seguente

RDefinizione (Elasticità puntuale)

Sia f (x) derivabile in x0 e sia x0 6= 0 e f (x0) 6= 0. La grandezza

E [ f (x0)] = lim∆x→0

f (x0+∆x)− f (x0)f (x0)

∆xx0

si chiama, se esiste finito il limite a secondo membro, elasticità puntuale di f (x)nel punto x0.

"Osservazione

L’elasticità puntuale rappresenta il rapporto tra la variazione relativa di f (x) e quel-la di x, quando la variazione assoluta di quest’ultima tende a zero.

"Osservazione

L’elasticità puntuale E [ f (x0)] può essere riscritta come

E [ f (x0)] = x0

f (x0)f′(x0).

RDefinizione (Grandezze elastiche, inelastiche e anelastiche)

• Se risulta |E [ f (x0)]| > 1 la funzione f (x) è detta elastica in x0


• Se risulta |E [ f (x0)]| < 1 la funzione f (x) è detta inelastica in x0

Se risulta |E [ f (x0)]| = 1 la funzione f (x) è detta anelastica in x0.

L’elasticità puntuale può essere riscritta come

E [ f (x0)] = f′(x0)

f (x0)x0

,

che può essere interpretato come rapporto tra la pendenza della tangente a f (x) inx0 e la pendenza di una retta passante per l’origine e per il punto (x0, f (x0)). Sup-

ponendo f′(x0) > 0 e f (x0)

x0> 0, la funzione f (x) sarà quindi elastica se la pendenza

della retta tangente a f (x) in x0 è maggiore della pendenza di una retta passanteper i punti (0,0) e (x0, f (x0)) mentre sarà inelastica nel caso contrario.

x0

f(x0)

x

f(x)

Rappresentazione grafica di una funzione elastica in x0.

5.1.3 Punti di non derivabilità

Se il limite del rapporto incrementale

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x

non esiste oppure è infinito, si dirà che la funzione f (x) non è derivabile nel puntox0. Si distinguono i seguenti punti di non derivabilità:

RDefinizione (Punto angoloso)

Se

lim∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= `1


e

lim∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= `2

con `1 6= `2, il limite del rapporto incrementale non esiste. In tal caso si dice che inx0 la funzione f (x) ammette un punto angoloso.

E Esempio 5.2

Si consideri la funzione f (x) = |x|, il cui grafico è riportato in figura 5.3, e si studi lasua derivabilità nel punto x0 = 0. Si ha:

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= |∆x|∆x

.

Se ∆x > 0 si ha |∆x| =∆x mentre se ∆x < 0 si ha |∆x| = −∆x. Si ottiene, pertanto,

lim∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= lim∆x→0+

|∆x|∆x

= lim∆x→0+

∆x

∆x= 1

e

lim∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= lim∆x→0−

|∆x|∆x

= lim∆x→0−

−∆x

∆x=−1 :

la funzione |x| ha quindi nel punto x0 = 0 un punto angoloso.

x

f(x)

Figura 5.3

Il grafico della funzione f (x) = |x|.


RDefinizione (Punto di flesso a tangente verticale)

Se risulta

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x=±∞

nel punto x0 la funzione f (x) non è derivabile: il punto x0 si dice punto di flesso atangente verticale.

E Esempio 5.3

Si consideri la funzione f (x) = 3p

x, il cui grafico è rappresentato nella figura 5.4, esi voglia studiare la sua derivabilità nel punto x0 = 0. Si ha:

lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= lim∆x→0

3p∆x

∆x= lim∆x→0

13√

(∆x)2=+∞ :

il punto x0 è, pertanto, un punto di flesso a tangente verticale.

x

f(x)

Figura 5.4

Il grafico della funzione f (x) =px.

RDefinizione (Punto di cuspide)

Se risulta

lim∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x=±∞

e

lim∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x=∓∞


la funzione f (x) non è derivabile in x0 : il punto x0 si dice punto di cuspide di f (x).

E Esempio 5.4

Si consideri la funzione f (x) = p|x|, rappresentata in figura 5.5, e si studi la suaderivabilità nel punto x0 = 0. Si ha:

lim∆x→0+

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= lim∆x→0+

p|∆x|∆x

= lim∆x→0+

p∆x

∆x= lim∆x→0+

1p∆x

=+∞

e

lim∆x→0−

f (x0 +∆x)− f (x0)


p|∆x|∆x

= lim∆x→0−

p−∆x


− 1p−∆x=−∞ :

il punto x0 = 0 è pertanto un punto di cuspide per f (x) =p|x|.

x

f(x)

Figura 5.5

Il grafico della funzione f (x) =p|x|.

Il teorema seguente fornisce un legame tra la nozione di continuità e quella diderivabilità:

w Teorema (Derivabilità implica continuità)

Ipotesi) f (x) è derivabile in x0.

Tesi) f (x) è continua in x0.

Dimostrazione

Per ipotesi la funzione f (x) è derivabile nel punto x0 : esiste finito, quindi, il limite


limx→x0

f (x)− f (x0)

x −x0= f

′(x0)

Si ha, per x 6= x0,

f (x)− f (x0) = f (x)− f (x0)

x −x0(x −x0).

Passando al limite per x → x0 nella relazione precedente, si ottiene:

limx→x0

[ f (x)− f (x0)] = limx→x0

f (x)− f (x0)

x −x0(x −x0) = f

′(x0) ·0 = 0 :

ne segue quindi che

limx→x0

[ f (x)− f (x0)] = 0 =⇒ limx→x0

f (x) = f (x0),

da cui la tesi.

■"Osservazione

Come si è visto nel teorema precedente, la derivabilità implica la continuità. L’affer-mazione inversa, continuità implica derivabilità, non è, tuttavia, vera. E’ sufficien-te, in effetti, considerare la funzione f (x) = |x| che è continua ma non derivabile inx0 = 0.

"Osservazione

Visto che la derivabilità implica la continuità ma che la continuità non implicala derivabilità, ne segue che l’insieme delle funzioni derivabili è un sottoinsiemeproprio dell’insieme delle funzioni continue.

Funzioni continue

Funzioni derivabili

Figura 5.6

Rappresentazione di Eulero-Venn dell’insieme delle funzioni continue e di quello delle

funzioni derivabili.


5.1.4 Derivabilità in un intervallo. Funzione derivata

Sia f (x) definita nell’intervallo (a,b).

RDefinizione (Derivabilità in un intervallo)

Se f (x) risulta derivabile per ogni x0 ∈ (a,b) si dirà che f (x) è derivabile in (a,b).

"Osservazione

Se la funzione f (x) è derivabile nell’insieme (a,b), per ogni x0 ∈ (a,b) risulta defini-ta la derivata f

′(x0). Ciò vuol dire che risulta definita un’applicazione da (a,b) a R

che associa ad ogni x ∈ (a,b) uno ed un solo valore reale dato da f′(x). La funzione

così ottenuta sarà chiamata funzione derivata prima di f (x) ed indicata con f′(x).

"Osservazione

La notazione f′(x) per la derivata della funzione f (x) è nota anche come notazione

di Lagrange. Altre notazioni usate per la derivata di una funzione f (x) sono: D f (x),

detta notazione di Cauchy, d fd x (x), detta notazione di Leibniz e f (x), detta notazione

di Newton.

5.1.5 Derivata delle funzioni elementari

• Sia f (x) = k, con k ∈R. La derivata di f (x) nel punto x si ottiene calcolando illimite del rapporto incrementale

lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim∆x→0

k −k

∆x= 0

• Sia f (x) = x. Si ha:

lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim∆x→0

x +∆x −x

∆x= 1

• Sia f (x) = x2. Si ha:

lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim∆x→0

(x +∆x)2 −x

∆x= lim∆x→0

x2 +2x∆x + (∆x)2 −x2

∆x=

lim∆x→0

2x∆x + (∆x)2

∆x= 2x

• Sia f (x) = ax . Si ha:

lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim∆x→0

ax+∆x −ax

∆x= lim∆x→0

ax (a∆x −1)

∆x=

ax lim∆x→0

a∆x −1

∆x= ax ln a,


dove l’ultimo passaggio si è ottenuto utilizzando il limite notevole

limx→0

ax −1

x= ln a.

In particolare si ha:Dex = ex lne = ex

• Sia f (x) = loga x. Si ha, ∀x > 0,

lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x= lim∆x→0

loga(x +∆x)− loga(x)

∆x=

lim∆x→0

loga( x+∆xx )

∆x= lim∆x→0

loga(1+ ∆xx )

∆x=

1

xlim∆x→0

loga(1+ ∆xx )

∆x/x= 1

xloga e,

dove l’ultimo passaggio si è ottenuto utilizzando il limite notevole

limx→0

loga(1+x)

x= loga e.

In particolare si ha:

D ln x = 1

xlne = 1

x

• Si può dimostrare cheD sin x = cos x

D cos x =−sin x.

5.1.6 Algebra delle derivate

Siano f (x) e g (x) due funzioni derivabili. Si ha:

• La funzione α f (x), α ∈ R, è derivabile e risulta: D[α f (x)] = αD f (x), ∀α ∈ R.In effetti si ha:

D[α f (x)] = lim∆x→0

α f (x +∆x)−α f (x)

∆x=α lim

∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x=αD f (x)

• La funzione f (x)+g (x) è derivabile e risulta D[ f (x)+g (x)] = D f (x)+Dg (x).In effetti si ha:

D[ f (x)+ g (x)] = lim∆x→0

[ f (x +∆x)+ g (x +∆x)]− [ f (x)+ g (x)]

∆x=

lim∆x→0

[ f (x +∆x)− f (x)]+ [g (x +∆x)− g (x)]

∆x=

lim∆x→0

[ f (x +∆x)− f (x)]

∆x+ lim∆x→0

[g (x +∆x)− g (x)]

∆x=

D f (x)+Dg (x)


• La funzione f (x)g (x) è derivabile e risulta D[ f (x)g (x)] = [D f (x)]g (x)+ f (x)[Dg (x)].Posto∆ f (x) = f (x+∆x)− f (x) si ha f (x+∆x) = f (x)+∆ f (x) (e analogamenteper g (x), g (x +∆x) = g (x)+∆g (x)). Si ha, quindi

D[ f (x)g (x)] = lim∆x→0

[ f (x +∆x)g (x +∆x)]− [ f (x)g (x)]

∆x=

lim∆x→0

[ f (x)+∆ f (x)][g (x)+∆g (x)]− [ f (x)g (x)]

∆x

lim∆x→0

f (x)g (x)+ f (x)∆g (x)+∆ f (x)g (x)+∆ f (x)∆g (x)− f (x)g (x)

∆x

lim∆x→0

f (x)∆g (x)+∆ f (x)g (x)+∆ f (x)∆g (x)

∆x

lim∆x→0

f (x)∆g (x)

∆x+ lim∆x→0

∆ f (x)g (x)

∆x+ lim∆x→0

∆ f (x)∆g (x)

∆x.

Per il primo limite nell’ultima relazione si ottiene

lim∆x→0

f (x)∆g (x)

∆x= f (x) lim

∆x→0

∆g (x)

∆x= f (x)Dg (x),

per il secondo si ottiene

lim∆x→0

∆ f (x)g (x)

∆x= g (x) lim

∆x→0

∆ f (x)

∆x= g (x)D f (x)

e per il terzo

lim∆x→0

∆ f (x)∆g (x)

∆x= lim∆x→0

∆ f (x)

∆x· lim∆x→0

∆g (x) = D f (x) ·0 = 0,

essendolim∆x→0

∆g (x) = lim∆x→0

[g (x +∆x)− g (x)] = 0

visto che g (x) è derivabile e, quindi, continua.

• Se f (x) 6= 0, la funzione 1f (x) è derivabile e risulta D 1

f (x) = − f′(x)

[ f (x)]2 . Infatti

risulta:

D[1

f (x)] = lim

∆x→0

1f (x+∆x) − 1

f (x)

∆x=

lim∆x→0

f (x)− f (x+∆x)f (x+∆x) f (x)

∆x= lim∆x→0

f (x)− f (x +∆x)

∆x f (x +∆x) f (x)=

− 1

f (x)lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x f (x +∆x)=

− 1

f (x)lim∆x→0

f (x +∆x)− f (x)

∆x· lim∆x→0

1

f (x +∆x)=

− 1

f (x)D[ f (x)]

1

f (x)= 1

[ f (x)]2 D[ f (x)]


• Se g (x) 6= 0 la funzione f (x)g (x) è derivabile e risulta

D[f (x)

g (x)] = f

′(x)g (x)− f (x)g

′(x)

[g (x)]2 .

Infatti, applicando la regola per la derivata di un prodotto di funzioni, si ha

D[f (x)

g (x)] ≡ D[ f (x) · 1

g (x)] = D[ f (x)] · 1

g (x)+ f (x) ·D[

1

g (x)] =

= f′(x)

g (x)+ f (x) · [− g

′(x)

[g (x)]2 ] = f′(x)g (x)− f (x)g

′(x)

[g (x)]2 .

E Esempio 5.5

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = 2x +x3 +x

Soluzione

Si ha:D[2x +x3 +x] = D[2x ]+D[x3]+D[x] =

= 2x ln2+3x2 +1.

E Esempio 5.6

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = sin x + ln x +3

Soluzione

Si ha:D[sin x + ln x +3] = D[sin x]+D[ln x]+D[3] =

= cos x + 1

x+0 = cos x + 1

x.

E Esempio 5.7

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = x ln x

Soluzione

Si ha:D[x ln x] = D[x] ln x +xD[ln x] =

= ln x +x · 1

x= 1+ ln x.

E Esempio 5.8

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = (x2 +2x)ex

Soluzione

Si ha:D[(x2 +2x)ex ] = D[(x2 +2x)]ex + (x2 +2x)D[ex ] =


= (2x +2)ex + (x2 +2x)ex = (x2 +4x +2)ex .

E Esempio 5.9

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = 2x5 + 12 x4 −3x2 −7x +2

Soluzione

Si ha:D[ f (x)] = 10x4 +2x3 −6x −7.

E Esempio 5.10

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = (1−cos x)sin x

Soluzione

Si ha:D[ f (x)] = D[1−cos x]sin x + (1−cos x)D[sin x] =

sin x · sin x + (1−cos x)cos x = sin2 x −cos x −cos2 x.

E Esempio 5.11

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = 5px2

Soluzione

Si ha:

D[5√

x2] = D[x25 ] = 2

5x

25 −1 = 2

5x− 3

5 = 2

5

15p

x3.

E Esempio 5.12

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = x2

1+x

Soluzione

Si ha:

D[x2

1+x] = D[x2](1+x)−x2D[1+x]

(1+x)2 =

2x(1+x)−x2

(1+x)2 = x2 +2x

(1+x)2 .

E Esempio 5.13

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = 1+ln xx2

Soluzione

Si ha:

D[1+ ln x

x2 ] = D[1+ ln x]x2 − (1+ ln x)D[x2]

x4 =1x x2 − (1+ ln x)2x

x4 = −x −2x ln x

x4 = −1−2ln x

x3 .


E Esempio 5.14

Si calcoli la derivata della funzione f (x) =p

x1+x

Soluzione

Si ha:

D[

px

1+x] = D[

px](1+x)−p

xD[(1+x)]

(1+x)2 =1

2p

x(1+x)−p

x

(1+x)2 =1+x−2x

2p

x

(1+x)2 = 1−x

2p

x(1+x)2.

E Esempio 5.15

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = tan x

Soluzione

Si ha:

D[tan x] = D[sin x

cos x] = D[sin x]cos x − sin xD[cos x]

cos2 x=

cos x ·cos x − sin x(−sin x)

cos2 x= cos2 x + sin2 x

cos2 x= 1

cos2 x.

5.1.7 Derivate di ordine superiore al primo

Se f (x) è derivabile in un certo intervallo (a,b) risulta definita, in (a,b) la funzionederivata prima, f

′(x). Se tale funzione è a sua volta derivabile in (a,b) esisterà la

derivata della derivata prima, nota come derivata seconda ed indicata con il sim-bolo2 f

′′(x). Chiaramente se anche la funzione derivata seconda risulterà deriva-

bile si può parlare di derivata terza, indicata con il simbolo f′′′

(x). Più in generale,se la funzione f (x) è derivabile n volte, si potrà introdurre la nozione di derivatan−esima, indicata con il simbolo f (n)(x).

E Esempio 5.16

Si calcoli la derivata seconda di f (x) = e1x .

Soluzione

Si ha:

f′(x) = D[e

1x ] = e

1x (− 1

x2 ) =−e1x

x2

e, quindi,

f′′

(x) = D[ f′(x)] = D[−e

1x

x2 ] =

2Secondo la notazione di Cauchy si userebbe il simbolo D(2) f (x), secondo quella di Leibniz il

simbolod2 f (x)

d x2 e, infine, secondo la notazione di Newton, il simbolo f (x).


e1x 1

x2 x2 +e1x 2x

x4 = e1x +2xe

1x

x4 = e1x

1+2x

x4 .

RDefinizione (Classe C n)

Sia f : X → R e si supponga che f (x) sia derivabile n volte per ogni x ∈ X . Se lafunzione f (n)(x) è continua per ogni x ∈ X si dirà che la funzione f (x) appartienealla classe C n(X ) o che f (x) è di classe C n(X ).

5.1.8 Teoremi sulle derivate

Per calcolare la derivata di una funzione ad una legge è rilevante il seguente

w Teorema (Derivata della funzione composta)

Ipotesi) Siano f : X → Y e g : Y → R due funzioni, con f (x) derivabile in x0 ∈ X eg (x) derivabile in y0 = f (x0) ∈ Y .

Tesi) La funzione composta h(x) = g ( f (x)) è derivabile in x0 ∈ X e risulta h′(x0) =

g′( f (x0)) f

′(x0).

Dimostrazione

Per studiare la derivabilità della funzione composta h = g ◦ f in x0 ∈ X occorrestudiare il limite

limx→x0

h(x)−h(x0)

x −x0= lim

x→x0

g ( f (x))− g ( f (x0))

x −x0

che può essere riscritto come

limx→x0

g ( f (x))− g ( f (x0))

f (x)− f (x0)· f (x)− f (x0)

x −x0. (5.1)

Posto y = f (x) e y0 = f (x0), il rapporto incrementale g ( f (x))−g ( f (x0))f (x)− f (x0) può essere

riscritto comeg ( f (x))− g ( f (x0))

f (x)− f (x0)= g (y)− g (y0)

y − y0.

Per x → x0 si ha, essendo f (x) derivabile e, quindi, continua, f (x) → f (x0) cioèy → y0. Pertanto la relazione (5.1) diviene:

limx→x0

g ( f (x))− g ( f (x0))

f (x)− f (x0)· f (x)− f (x0)

x −x0= lim

x→x0

g ( f (x))− g ( f (x0))

f (x)− f (x0)· lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0=

limy→y0

g (y)− g (y0)

y − y0· lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0= g

′(y0) f

′(x0),

da cui, tenendo conto che y0 = f (x0), si ottiene la tesi.

■La tabella seguente riassume la regola della derivata di una funzione composta neicasi incontrati più frequentemente.


y y′

[ f (x)]α α[ f (x)]α−1 f′(x)

a f (x) a f (x) f′(x) ln a

e f (x) e f (x) f′(x)

loga[ f (x)] f′(x)

f (x) loga e

ln[ f (x)] f′(x)

f (x)

sin[ f (x)] cos[ f (x)] f′(x)

cos[ f (x)] −sin[ f (x)] f′(x)

"Osservazione

Dalla regola della derivata composta

D[ f (x)]α =α[ f (x)]α−1 f′(x)

scegliendo f (x) = x, si ottiene

Dxα =αxα−1, ∀α ∈R.

In particolare si avrà:Dxn = nxn−1, ∀n ∈N

e

Dp

x = Dx12 = 1

2x− 1

2 = 1

2p

x.

E Esempio 5.17

Si calcoli la derivata della funzione f (x) =√

x2

x+1

Soluzione

Utilizzando la realzione

D[ f (x)α] =α[ f (x)]α−1D[ f (x)]

si ottiene:

D[

√x2

x +1] = D[(

x2

x +1)

12 ] = 1

2(

x2

x +1)−

12 D[

x2

x +1].

Si ha:

D[x2

x +1] = 2x(1+x)−x2

(1+x)2 = x2 +2x

(1+x)2 ,

da cui

D[

√x2

x +1] = 1

2(

x2

x +1)−

12

x2 +2x

(1+x)2 =


= 1

2

√x +1

x2

x2 +2x

(1+x)2 .

E Esempio 5.18

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = ex

1+x

Soluzione

Utilizzando la relazione

D[e f (x)] = e f (x)D[ f (x)]

si ottiene:

D[ex

1+x ] = ex

1+x D[x

1+x] = e

x1+x

(1+x)−x

(1+x)2 = ex

1+x1

(1+x)2 .

E Esempio 5.19

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = e−x

Soluzione


D[e f (x)] = e f (x)D[ f (x)]

si ottiene:D[e−x ] = e−x D[−x] =−e−x .

E Esempio 5.20

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = ln(2x −x2)

Soluzione


D[ln f (x)] = f′(x)

f (x)

si ottiene:

D[ln(2x −x2)] = 2−2x

2x −x2 .


E Esempio 5.21

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = ln( x−2x )

Soluzione


D[ln f (x)] = f′(x)

f (x)

si ottiene:

D[ln(x −2

x)] = 1

x−2x

D[x −2

x] = x

x −2

x − (x −2)

x2 = .

x

x −2

2

x2 = 2

x(x −2).

E Esempio 5.22

Si calcoli la derivata della funzione f (x) = cos(2x −x2)

Soluzione


D[cos f (x)] =−sin[ f (x)] f′(x)

si ottiene:

D[cos(2x −x2)] =−sin(2x −x2)(2−2x) = 2(x −1)sin(2x −x2).

w Teorema (Derivata della funzione inversa)

Ipotesi) Sia f : X → R una funzione invertibile e derivabile ∀x ∈ X e sia, ∀x ∈ X ,f′(x) 6= 0.

Tesi) La funzione inversa f −1(y) è derivabile ∀y ∈ f (X ) e risulta

D f −1(y) = 1

D f (x), con x = f −1(y).

Dimostrazione

Sia y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y) e y0 = f (x0) ⇐⇒ x0 = f −1(y0). Si ha:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x −x0

f (x)− f (x0)=

limx→x0

1f (x)− f (x0)

x−x0

= 1

f ′ (x0), con x0 = f −1(y0).

Tenendo conto che il ragionamento adottato può essere riproposto ∀x0 ∈ X , siottiene la tesi.


■"Osservazione

Sia f (x) = cos x. Come visto nel capitolo 2, se il dominio di f (x) è ristretto all’inter-vallo [0,π] essa può essere invertita:

y = f (x) = cos x ⇐⇒ x = f −1(y) = arccos y.

Utilizzando il teorema della funzione inversa è possibile calcolare la derivata dellafunzione arccos x. Si ha:

D arccos y = 1

D cos x, con x = arccos y.

Visto cheD cos x =−sin x

si ottiene

D arccos y =− 1

sin x, con x = arccos y. (5.2)

Tenendo conto che

cos2 x + sin2 x = 1 =⇒ sin x =±√

1−cos2 x.

Essendo x ∈ [0,π] la funzione sin x è positiva e, pertanto, nella precedente relazionedeve essere presa la radice positiva:

sin x =√

1−cos2 x.

Inserendo tale relazione nella (5.2) si ottiene

D arccos y =− 1p1−cos2 x

, con x = arccos y.

Tenendo conto del fatto che cosarccos y = y si ottiene

D arccos y =− 1√1− y2

.

Utililizzando la notazione standard per la variabile dipendente e quella indipen-dente, si è ottenuto, infine

D arccos x =− 1p1−x2

.

In modo analogo si prova che

D arcsin y = 1

D sin x= 1

cos x= 1√

1− sin2 x, con x = arcsin y,


da cui

D arcsin x = 1p1−x2

.

Un ragionamento analogo può essere utilizzato per determinare la derivata dellafunzione y = arctan x. Si ha:

D arctan y = 1

D tan x= 1

1cos2 x

, con x = arctan y.

Esprimendo la funzione 1/cos2 x in termini della funzione tan x,

1

cos2 x= cos2 x + sin2 x

cos2 x= 1+ sin2 x

cos2 x= 1+ tan2 x,

si ottiene

D arctan y = 11

cos2 x

= 1

1+ tan2 x, con x = arctan y =⇒

D arctan y = 1

1+ y2

o, in termini della variabile x

D arctan x = 1

1+x2 .

w Teorema (de l’Hospital)

Ipotesi) Siano f (x) e g (x) continue in Ix0 e derivabili in Ix0 \{x0} e tali che f (x0) =g (x0) = 0. Siano inoltre g (x), g

′(x) 6= 0 in Ix0 \{x0}.

Tesi)

limx→x0

f′(x)

g ′ (x)= `=⇒ lim

x→x0

f (x)

g (x)= `.

Dimostrazione

La dimostrazione sarà data nel caso particolare in cui f′(x) e g

′(x) risultano essere

continue in Ix0 e per g′(x0) 6= 0.

Visto che f (x0) = g (x0) = 0, si ha:

limx→x0

f (x)

g (x)= lim

x→x0

f (x)− f (x0)

g (x)− g (x0)= lim

x→x0

f (x)− f (x0)x−x0

g (x)−g (x0)x−x0

=


f′(x0)

g ′ (x0)= lim

x→x0

f′(x)

g ′ (x).

■"Osservazione

• Il teorema di de l’Hospital può essere utilizzato per risolvere le forme inde-terminate 0

0 .

• Il teorema di de l’Hospital può essere applicato ripetutamente, nel senso chese il limite

limx→x0

f′(x)

g ′ (x)

dà ancora luogo ad una forma indeterminata 00 si può calcolare il limite

limx→x0

f′′

(x)

g ′′ (x)

che, se esiste, sarà pari al limite di partenza

limx→x0

f (x)

g (x).

Se anche il limite del rapporto delle derivate seconde dà luogo ancora ad unaforma indeterminata 0

0 si può calcolare il limite del rapporto delle derivateterze, e così via.

• Il teorema di de l’Hospital vale anche se x0 e/o ` sono infiniti.

• Il teorema di de l’Hospital vale anche se f (x0) = ±∞ e g (x0) = ±∞, ovveroanche per risolvere le forme indeterminate ∞

∞ .

• Il teorema di de l’Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeter-minata 0 ·∞ : se, ad esempio

limx→x0

f (x) = 0

elim

x→x0g (x) =±∞,

la forma indeterminata 0 ·∞ che origina dal limite

limx→x0

f (x)g (x)

può essere ricondotta alla forma 00 calcolando il limite equivalente

limx→x0

f (x)1

g (x)


oppure alla forma ∞∞ calcolando il limite equivalente

limx→x0

g (x)1

f (x)

.

• Il teorema di de l’Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeter-minata +∞−∞. Se ad esempio

limx→x0

f (x) =+∞

elim

x→x0g (x) =+∞,

la forma indeterminata +∞−∞ che origina dal limite

limx→x0

[ f (x)+ g (x)]

può essere ricondotta alla forma 0 ·∞ (e quindi in seguito nella forma 00 o ∞

∞come visto nel punto precedente) usando la relazione

f (x)+ g (x) = f (x)g (x)[1

f (x)+ 1

g (x)] :

limx→x0

[ f (x)+ g (x)] = limx→x0

f (x)g (x)[1

f (x)+ 1

g (x)].

• Il teorema di de l’Hospital non si può invertire: dall’esistenza del limite

limx→x0

f (x)

g (x)

non segue l’esistenza del limite

limx→x0

f′(x)

g ′ (x),

come evidenziato nel seguente

E Esempio 5.23

Sia f (x) = x2 cos 1x e g (x) = x. Si ha:

limx→0

x2 cos 1x

x= lim

x→0x cos

1

x= 0

mentre, essendo

f′(x) = 2x cos

1

x+x2(−sin

1

x)(− 1

x2 ) = 2x cos1

x+ sin

1

x


g′(x) = 1

risulta

limx→0

f′(x)

g ′ (x)= lim

x→0[2x cos

1

x+ sin

1

x] = lim

x→0sin

1

x

che non esiste.

E Esempio 5.24

Calcolare il limitelim

x→+∞x

ln x.

Soluzione

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata ∞∞ che origina dal

limite che si deve calcolare, si ottiene:

limx→+∞

x

ln x= lim

x→+∞11x

=+∞

E Esempio 5.25

Calcolare il limite

limx→0

e2x −1

x.

Soluzione

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata 00 che origina dal


limx→0

e2x −1

x= lim

x→0

2e2x

1= 2.


E Esempio 5.26

Calcolare il limite

limx→0

(1+x)α−1

x.

Soluzione



limx→0

(1+x)α−1

x= lim

x→0

α(1+x)α−1

1=α.

E Esempio 5.27

Calcolare il limite

limx→0+

sin2 x −x

x2 .

Soluzione



limx→0+

sin2 x −x

x2 = limx→0+

2sin x cos x −1

2x=−∞.

E Esempio 5.28


x→0+x ln x.

Soluzione

Nel calcolo di tale limite si incontra la forma indeterminata 0 ·∞ che può esseremessa nella forma ∞

∞ :

limx→0+

ln x1x

,

alla quale si può applicare il teorema di de l’Hospital:

limx→0+

ln x1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

−x = 0.


E Esempio 5.29


x→+∞xe−1x .

Soluzione

Nel calcolo di tale limite si incontra la forma indeterminata 0 ·∞ che può esseremessa nella forma 0

0 :

limx→+∞

e−1x

1x

,

alla quale si può applicare il teorema di de l’Hospital:

limx→+∞

e−1x

1x

= limx→+∞

e−1x ( 1

x2 )

− 1x2

= limx→+∞e−

1x = 0.

5.1.9 Individuazione dei punti di non derivabilità

Per studiare la derivabilità in x0 di una funzione f (x) non è sempre necessario cal-colare esplicitamente il limite del rapporto incrementale. Un punto di non deriva-bilità può essere individuato richiedendo che in x0 la funzione f (x) sia continua3 eche sia tale che

1. la funzione f′(x) abbia in x0 un punto di discontinuità di prima specie,

limx→x+

0

f′(x) = `1

elim

x→x−0

f′(x) = `2

con `1 6= `2. In tal caso la funzione f (x) non sarà derivabile in x0 e quest’ulti-mo sarà un punto angoloso;

2. se, invece,lim

x→x0f′(x) =±∞

il punto x0 sarà un flesso a tangente orizzontale;

3. se, infine,lim

x→x+0

f′(x) =±∞

elim

x→x−0

f′(x) =∓∞

il punto x0 sarà una cuspide.

3Si ricorda che se una funzione non è continua in x0 non può essere derivabile in tal punto.


Se non ci si trova in uno dei casi 1)-3) occorrerà, invece, calcolare esplicitamente illimite del rapporto incrementale.

E Esempio 5.30

Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di

f (x) ={

1−x2 se x ≥ 0e−x se x < 0

.

Soluzione

Il dominio di f (x) è R ed essa risulta continua ∀x ∈R. La derivata di f (x) è

f′(x) =

{ −2x se x > 0−e−x se x < 0

.

Nel punto x0 = 0, in cui cambia la definizione della legge, si ha:

limx→0+

f′(x) = lim

x→0+−2x = 0

elim

x→0−f′(x) = lim

x→0−−e−x =−1 :

la funzione f′(x) ammette in x0 = 0 una discontinuità di prima specie e, pertanto,

x0 = 0 è un punto angoloso per f (x).

E Esempio 5.31

Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di

f (x) = 3√

1−x2

Soluzione

Il dominio di f (x) è D f =R e f (x) risulta continua ∀x ∈ D f . La funzione derivata è

f′(x) = (1−x2)−

23 (−2x) =− 2x

3√

(1−x2)2.

La derivata f′(x) non è regolare in x0 =±1 essendo

limx→1

f′(x) =−∞

elim

x→−1f′(x) =+∞ :

i punti x0 =±1 sono quindi flessi a tangente verticale per f (x).


5.1.10 Differenziale

RDefinizione (Differenziale)

Sia f (x) derivabile in x0. Si dice differenziale di f (x) nel punto x0, relativamenteall’incremento ∆x, la grandezza

d f (x0) = f′(x0)∆x.

"Osservazione

Si consideri l’equazione della retta tangente il grafico di f (x) nel punto x0 :

yt (x) = f′(x0)(x −x0)+ f (x0).

L’incremento che subisce tale retta tangente quando la variabile indipendente pas-sa dal valore x0 al valore x0+∆x è yt (x0+∆x)−yt (x0). Utilizzando l’equazione dellaretta tangente si ottiene:

yt (x0 +∆x) = f′(x0)(x0 +∆x −x0)+ f (x0) = f

′(x0)∆x + f (x0)

yt (x0) = f′(x0)(x0 −x0)+ f (x0) = f (x0)

e, quindi, si ha:yt (x0 +∆x)− yt (x0) = f

′(x0)∆x,

espressione che coincide con il differenziale della funzione f (x) nel punto x0 re-lativamente all’incremento ∆x. Si è ottenuto, pertanto, il significato geometrico deldifferenziale: esso rappresenta l’incremento che subisce la retta tangente (si osser-vi anche la figura 5.7) quando la variabile indipendente passa dal valore x0 al valorex0 +∆x.


xx0 + ∆xx0

yt(x0) = f(x0)

f(x0 + ∆x)

yt(x0 + ∆x)

f(x)

df

Figura 5.7

Rappresentazione grafica del differenziale d f di una funzione f (x) nel punto x0 relativo

all’incremento ∆x.

E Esempio 5.32

Se f (x) = x si ha f′(x) = 1 e, quindi, il differenziale di f (x) = x nel punto x relativo

all’incremento ∆x valed x = 1 ·∆x =∆x.

Si osservi che il valore di tale differenziale non dipende dal punto x in cui si calcolae risulta sempre d x =∆x.

"Osservazione

Siccomed f (x) = f

′(x)∆x

e, come visto in precedenza d x =∆x, si ha:

d f (x) = f′(x)d x =⇒ f

′(x) = d f (x)

d x.

Si è così ottenuta un’espressione della derivata f′(x) di una funzione f (x) come

rapporto tra il differenziale di f (x) e quello di x. Si osservi che tale espressionecoincide con la notazione di Leibniz della derivata.

Osservando la figura 5.7 si evince che il differenziale d f (x) di una funzione f (x)non coincide con l’incremento ∆ f (x) che la funzione subisce quando la variabileindipendente passa dal valore x al valore x +∆x. Si ha, però, il seguente


w Teorema (Resto del primo ordine)

Ipotesi) Sia f (x) una funzione derivabile in x0 e sia R1(x) la differenza4 tra l’incre-mento della funzione, ∆ f (x0), e il differenziale di f (x) in x0 :

R1(x) =∆ f (x0)−d f (x0).

Tesi) Il resto R1(x) è un infinitesimo, per ∆x → 0, di ordine superiore a ∆x.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema è sufficiente provare che

lim∆x→0

R1(x)

∆x= 0.

In effetti si ha:

lim∆x→0

R1(x)

∆x= lim∆x→0

∆ f (x0)−d f (x0)

∆x= lim∆x→0

∆ f (x0)

∆x− lim∆x→0

d f (x0)

∆x. (5.3)

Si ha:

lim∆x→0

∆ f (x0)

∆x= lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆x= f

′(x0) (5.4)

e

lim∆x→0

d f (x0)

∆x= lim∆x→0

f′(x0)∆x

∆x= f

′(x0). (5.5)

Inserendo le relazioni (5.4) e (5.5) nella realzione (5.3) si ottiene la tesi.

■"Osservazione

Il teorema sul resto del primo ordine fornisce un metodo per valutare in modo ap-prossimato la funzione f (x) nel punto x0 +∆x, purché siano noti i valori f (x0) ef′(x0). In effetti, si ha:

f (x0 +∆x)− f (x0) = f′(x0)∆x +R1(x)

e, se ∆x è molto piccolo si ottiene, trascurando il termine R1(x),

f (x0 +∆x)− f (x0) ' f′(x0)∆x =⇒

f (x0 +∆x) ' f (x0)+ f′(x0)∆x.

E Esempio 5.33

Sia f (x) = ex , x0 = 0 e ∆x = 1100 . Si ha:

4Tale grandezza è detta resto del primo ordine. L’origine di tale nome sarà più chiara nel seguito,quando si studierà il polinomio di Taylor.


• f (x0 +∆x) = ex0+∆x = e1

100

• f (x0) = ex0 = e0 = 1

• f′(x0) = ex0 = e0 = 1

da cui

e1

100 ' 1+1 · 1

100= 101

100= 1.011.

Tale valore può essere confrontato con il valore esatto

e1

100 = 1.01005017...

5.1.11 Polinomio di Taylor

Sia f (x) derivabile in x0. Si ricorda che, in tal caso, esiste il differenziale d f (x0) e ilresto R1(x), dato da

R1(x) =∆ f (x0)−d f (x0)

è, in base al teorema sul resto del primo ordine, un infinitesimo di ordine superioreal primo. Ponendo x = x0 +∆x, la relazione precedente può essere riscritta come

R1(x) = f (x)− f (x0)− f′(x0)(x −x0) =⇒

f (x) = f (x0)+ f′(x0)(x −x0)+R1(x).

PostoT1(x) = f (x0)+ f

′(x0)(x −x0),

detto polinomio di Taylor di ordine 1, si ottiene

f (x) = T1(x)+R1(x).

Siccome il resto R1(x) è un infinitesimo di ordine superiore al primo per x → x0, sipotrà porre

f (x) ' T1(x) per x ' x0.

Tale relazione può essere interpretata nel seguente modo: se f (x) è derivabile inx0 esiste un polinomio, T1(x), che approssima f (x) per x vicino a x0. La qualitàdell’approssimazione è espressa dal fatto che la differenza tra f (x) e T1(x), pari aR1(x), è un infinitesimo di ordine superiore al primo per x → x0.

Si osservi che il polinomio T1(x) gode delle seguenti proprietà:

T1(x0) = f (x0)

eT

′1(x0) = f

′(x0)


cioè ha lo stesso valore e la stessa derivata di f (x) in x0.

Si supponga ora che f (x) sia di classe C 2 in un intorno Ix0 di x0, e si supponga divoler approssimare la funzione f (x) in x0 tramite un polinomio T2(x) : si vuole cioètrovare un polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine 2, tale che

f (x) ' T2(x)per x ' x0.

Se si richiede che la funzione f (x) ed il polinomio T2(x) abbiano in x0 stesso valore,stessa derivata prima e stessa derivata seconda, si ottiene la nozione di polinomio(approssimante) di Taylor di ordine due5. Sia T2(x) il polinomio

T2(x) = a0 +a1(x −x0)+a2(x −x0)2.

Si ha:

T2(x0) = a0,

T′2(x0) = a1

e

T′′2 (x0) = 2a2.

Richiedere che f (x) e T2(x) abbiano stesso valore e stesse derivate prima e secondain x0, fissa in modo univoco il polinomio T2(x). In effetti si ha:

f (x0) = T2(x0) = a0 =⇒ a0 = f (x0)

f′(x0) = T

′2(x0) = a1 =⇒ a1 = f

′(x0)

e

f′′

(x0) = T′′2 (x0) = 2a2 =⇒ a2 = 1

2f′′

(x0).

Per il polinomio T2(x) si ottiene dunque l’espressione

T2(x) = f (x0)+ f′(x0)(x −x0)+ 1

2f′′

(x0)(x −x0)2.

Definendo R2(x) come lo scarto tra la funzione f (x) e il polinomio T2(x),

R2(x) = f (x)−T2(x)

si è ottenutof (x) = T2(x)+R2(x).

5Se si richiede, invece, che il polinomio T (x) assuma gli stessi valori che assume la f (x) nei punti{x1, x2, ..., xn } si otterrà il cosiddetto polinomio interpolante diverso, in generale, dal polinomio di Taylor.


Il polinomio T2(x) è “vicino” a f (x) per x “sufficientemente vicino” a x0 nel sensoche,

limx→x0

R2(x)

(x −x0)2 = 0.

In effetti si ha:

limx→x0

R2(x)

(x −x0)2 = limx→x0

f (x)− f (x0)− f′(x0)(x −x0)− 1

2 f′′

(x0)(x −x0)2

(x −x0)2 ,

che risulta essere una forma indeterminata 00 . Nelle ipotesi fatte per f (x), è possi-

bile applicare due volte il teorema di de l’Hospital a tale forma indeterminata. Siottiene

limx→x0

f (x)− f (x0)− f′(x0)(x −x0)− 1

2 f′′

(x0)(x −x0)2

(x −x0)2 = limx→x0

f′(x)− f

′(x0)− f

′′(x0)(x −x0)

2(x −x0)=

limx→x0

f′′

(x)− f′′

(x0)

2= 1

2lim

x→x0f′′

(x)− 1

2f′′

(x0) = 1

2f′′

(x0)− 1

2f′′

(x0) = 0.

Se si suppone, invece, che la funzione f (x) sia di classe C 3 in un intorno Ix0 di x0,allora esiste un unico polinomio, T3(x), detto polinomio di Taylor di ordine 3, taleche T3(x) assume in x0 stesso valore e stesse derivate prima, seconda e terza dif (x). Posto

T3(x) = a0 +a1(x −x0)+a2(x −x0)2 +a3(x −x0)3

si ha:f (x0) = T3(x0) = a0 =⇒ a0 = f (x0)

f′(x0) = T

′3(x0) = a1 =⇒ a1 = f

′(x0)

f′′

(x0) = T′′3 (x0) = 2a2 =⇒ a2 = 1

2f′′

(x0)

f′′′

(x0) = T′′′3 (x0) = 3 ·2 ·a3 =⇒ a3 = 1

3!f′′′

(x0)

e, quindi,

T3(x) = f (x0)+ f′(x0)(x −x0)+ 1

2f′′

(x0)(x −x0)2 + 1

3!f′′′

(x0)(x −x0)3.

Posto R3(x) = f (x)−T3(x) si ha

f (x) = T3(x)+R3(x),


e risulta che T3(x) approssima f (x) per x ' x0 visto che il resto R3(x) è un infinite-simo di ordine superiore al terzo per x → x0. In effetti risulta

limx→x0

R3(x)

(x −x0)3 = 0,

risultato che si ottiene facilmente, in modo analogo a quanto visto nel caso di re-sto del secondo ordine, applicando tre volte il teorema di de l’Hospital alla for-ma indeterminata 0

0 che origina dal limite precedente. Più in generale sussiste ilseguente

w Teorema (Taylor)

Ipotesi) Sia f (x) di classe C n(Ix0 ).

Tesi) Esiste un polinomio, Tn(x), detto polinomio di Taylor di ordine n, tale che:

1. Tn(x) = f (x0)+ f′(x0)(x−x0)+ 1

2 f′′

(x0)(x−x0)2+ 13! f

′′′(x0)(x−x0)3+ 1

4! f (4)(x0)(x−x0)4 + ...+ 1

n! f (n)(x0)(x −x0)n

2. f (x0) = Tn(x0), f′(x0) = T

′n(x0), f

′′(x0) = T

′′n (x0),..., f (n)(x0) = T (n)

n (x0)

3. Rn(x) = f (x)−Tn(x)è un infinitesimo di ordine superiore a n per x → x0 :

limx→x0

Rn(x)

(x −x0)n = 0.

Dimostrazione

La dimostrazione ricalca quella vista nei casi n = 2 e n = 3 ed è, pertanto, lasciata allettore (suggerimento: per dimostrare il punto 3 si può applicare ripetutamente (nvolte) il teorema di de l’Hospital).

■"Osservazione

Si può dimostrare che, se la funzione f (x) è di classe C n+1 in un intorno Ix0 di x0,il resto Rn(x) ammette un’espressione esplicita, detta forma di Lagrange del resto,data da

Rn(x) = 1

(n +1)!f (n+1)(c)(x −x0)n+1, c ∈ (x0, x).

"Osservazione

Se il punto x0 è scelto in modo che x0 = 0, il polinomio di Taylor è detto polinomiodi Maclaurin.


E Esempio 5.34

Calcolare il polinomio di Maclaurin del quinto ordine di f (x) = ex .

Soluzione

Siccome la derivata di ex è ex , ne segue che, per ogni n ∈N+si ha:

f (n)(x) = ex

e, quindi,f (n)(0) = 1,

da cui segue che il polinomio di Maclaurin del quinto ordine è

1+x + 1

2x2 + 1

3!x3 + 1

4!x4 + 1

5!x5.

Per x sufficientemente vicino a x0 = 0 si avrà, quindi,

ex ' 1+x + 1

2x2 + 1

3!x3 + 1

4!x4 + 1

5!x5.

Scegliendo, per esempio, x = 1100 si ottiene

e1

100 ' 1.010050167084167

valore da confrontare con quello esatto

e1

100 = 1.010050167084168...

E Esempio 5.35

Calcolare il polinomio di Maclaurin del terzo ordine di f (x) = sin x.

Soluzione

Si ha:f (x) = sin x =⇒ f (0) = 0

f′(x) = cos x =⇒ f

′(0) = 1

f′′

(x) =−sin x =⇒ f′′

(0) = 0

f′′′

(x) =−cos x =⇒ f′′′

(0) =−1,

da cui si ottiene, per x vicino a x0 = 0

sin x ' x − 1

6x3.

Per esempio, posto x = 110 si ha

sin1

10' 0,0998333,

che si può confrontare con il valore esatto

sin1

10= 0,0998334...


5.2 Massimi e minimi relativi

RDefinizione (Massimo e minimo relativo (o locale))

Sia f : X → R e sia x0 un punto interno al dominio X di f (x). Si dirà che f (x)ammette nel punto x0 un

• minimo relativo (o locale) se ∃ Ix0 tale che

f (x) > f (x0) ∀x ∈ Ix0 \{x0}

• massimo relativo (o locale) se ∃ Ix0 tale che

f (x) < f (x0) ∀x ∈ Ix0 \{x0}.

Un massimo (minimo) relativo è anche detto estremo relativo.

x

f(x)

x0 x1 x2 x3a b

Figura 5.8

Esempio di grafico di una funzione f (x) che presenta massimi relativi nei punti interni x0e

x2 e minimi realtivi nei punti interni x1 e x3.

"Osservazione

La definizione di minimo e massimo relativo potrebbe essere estesa anche al casorappresentato in figura 5.9. In tali casi, tutti i punti x dell’intervallo [c,d ], in cui ∃ Ix

tale che f (x) ≤ f (x) potrebbero essere denominati minimi locali in senso largo.


x

f(x)

x0 x1 x2a bc d

Figura 5.9

Esempio di grafico di una funzione f (x) che presenta minimi relativi in senso largo in tutti i

punti appartenenti all’intervallo [c,d ].

"Osservazione

La nozione di estremo relativo si riferisce a proprietà locali della funzione f (x), cioèa proprietà relative ad un opportuno intervallo I . Tale nozione è contrapposta aquella di massimo o minimo assoluto che riguarda il comportamento globale (cioèriferito a tutto il dominio) della funzione stessa.

Per la ricerca degli estremi relativi di una funzione f (x) è rilevante il seguente teore-ma, che fornisce una condizione necessaria per l’esistenza di un estremo relativo:

w Teorema (Fermat o condizione necessaria del primo ordine)

Ipotesi) Sia x0 un estremo relativo della funzione f (x). Sia, inoltre, f (x) derivabile inx0.

Tesi) f′(x0) = 0.6

Dimostrazione

Poiché f (x) è, per ipotesi, derivabile in x0 esiste finito il limite

limx→x0

f (x)− f (x0)

x −x0= f

′(x0).

Si osservi che, dall’esistenza di tale limite, dovrà risultare anche

limx→x+

0

f (x)− f (x0)

x −x0= lim

x→x−0

f (x)− f (x0)

x −x0= f

′(x0).

6I punti in cui f′(x) = 0 sono detti punti stazionari di f (x).


Per fissare le idee, si supponga che in x0 la funzione f (x) ammetta un massimorelativo. Si avrà, pertanto, l’esistenza di un intorno Ix0 tale che

f (x) < f (x0) ∀x ∈ Ix0 \{x0} =⇒ f (x)− f (x0) < 0 ∀x ∈ Ix0 \{x0}.

Per x ∈ Ix0 si avrà quindi

f (x)− f (x0)

x −x0< 0 se x > x0.

In base al teorema della permanenza del segno in forma inversa si avrà, quindi,

f′(x0) = lim

x→x+0

f (x)− f (x0)

x −x0≤ 0. (5.6)

Con un ragionamento analogo si otterrà

f (x)− f (x0)

x −x0> 0 se x < x0

e, quindi,

f′(x0) = lim

x→x−0

f (x)− f (x0)

x −x0≥ 0. (5.7)

Confrontando la relazione (5.6), f′(x0) ≤ 0 e la relazione (5.7), f

′(x0) ≥ 0, si ottiene

la tesi, f′(x0) = 0.

■"Osservazione

La condizione f′(x0) = 0 è necessaria per l’esistenza di un minimo relativo per una

funzione f (x) derivabile ma non è sufficiente. Si consideri infatti la funzione f (x) =x3 la cui derivata prima f

′(x) = 3x2 si annulla per x0 = 0 che, però, non è un estremo

relativo.

"Osservazione

Si consideri la funzione f (x) = |x| che presenta, in x0 = 0, un minimo locale. Nonessendo tale funzione derivabile in x0 = 0, non potrà risultare, chiaramente, f

′(x0) =

0.

"Osservazione

Dal teorema di Fermat segue che se f (x) è derivabile, in un punto di massimo o diminimo locale la retta tangente è parallela all’asse delle ascisse.

Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente


w Teorema (Rolle)

Ipotesi) Sia f (x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell’in-tervallo aperto (a,b). Sia inoltre f (a) = f (b).

Tesi) ∃c ∈ (a,b) tale che f′(c) = 0.

Dimostrazione

Nella dimostrazione è opportuno distinguere due casi.

1) Sia f (x) una funzione costante. In tal caso la tesi è banale in quanto f′(x) = 0

∀x ∈ (a,b).

2) Sia f (x) non costante. La funzione f (x), essendo continua nell’intervallo [a,b],ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluto. Se il massi-mo assoluto cadesse in a e il minimo assoluto in b (o viceversa) essendo per ipotesif (a) = f (b) la funzione avrebbe massimo assoluto pari al minimo assoluto e sareb-be, quindi, costante, contrariamente all’assunzione fatta. Ne segue che o il massi-mo assoluto o il minimo assoluto (o entrambi) cadono in un punto c appartenen-te all’intervallo (a,b)(si osservi la figura 5.10) Il punto c sarà pertanto un estremorelativo e, per il teorema di Fermat, dovrà risultare f

′(c) = 0.

■


a c b x

f(x)

f(a) = f(b)

f(c)

a c b x

f(x)

f(a) = f(b)

f(c)

a b x

f(x)

f(a) = f(b)

f(c2)

c1 c2

f(c1)

Figura 5.10

Si ha inoltre il seguente

w Teorema (Lagrange)

Ipotesi) Sia f (x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell’in-tervallo aperto (a,b).

Tesi) ∃c ∈ (a,b) tale che f′(c) = f (b)− f (a)

b−a .

Dimostrazione

Sia g (x) l’equazione della retta secante il grafico di f (x) nei punti (a, f (a)), (b, f (b)) :

g (x) = f (b)− f (a)

b −a(x −a)+ f (a)

e sia F (x) la funzione ausiliaria

F (x) = f (x)− g (x).

Si ha:


• F (x) è continua in [a,b] essendo somma di funzioni continue in [a,b]

• F (x) è derivabile in (a,b) essendo somma di funzioni derivabile in (a,b)

• F (a) = f (a)− g (a) = 0 e F (b) = f (b)− g (b) = 0 e, quindi, F (a) = F (b).

La funzione F (x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle: esisterà quindi almeno unpunto c ∈ (a,b) tale che F

′(c) = 0. Si ha:

F′(x) = f

′(x)− g

′(x) = f

′(x)− f (b)− f (a)

b −a,

da cui

0 = F′(c) = f

′(c)− f (b)− f (a)

b −a=⇒

f′(c) = f (b)− f (a)

b −a.

■"Osservazione

Il teorema di Lagrange ammette la seguente interpretazione geometrica (si confron-ti la figura 5.11). Siccome f

′(x) rappresenta la pendenza della tangente nel punto

x e f (b)− f (a)b−a la pendenza della secante i punti (a, f (a)) e (b, f (b)), il teorema di La-

grange afferma che esiste almeno un punto in cui la retta tangente il grafico ha lastessa pendenza della secante.

a b x

f(x)

c1 c2

Figura 5.11

La retta tangente il grafico di f (x) è, nei punti c1 e c2, parallela alla retta secante i punti

(a, f (a)) e (b, f (b)).


Il teorema di Lagrange ammette i seguenti importanti corollari:

Si supponga che f (x) soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange. Si ha

w Corollario I

Se f′(x) = 0∀x ∈ (a,b) allora f (x) = k ∀x ∈ (a,b)

Dimostrazione

Sia x ∈ (a,b) e si appichi il teorema di Lagrange al sottointervallo [a, x]. Esisterà unpunto c ∈ (a, x) tale che

f′(c) = f (x)− f (a)

x −a=⇒ f (x)− f (a)

x −a= 0 =⇒ f (x)− f (a) = 0

da cui f (x) = f (a). Data l’arbitraretà di x segue che ∀x ∈ (a,b) risulta f (x) = f (a) =k.

■w Corollario II

Si supponga che anche la funzione g (x) soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrangee che risulti f

′(x) = g

′(x) ∀x ∈ (a,b). Ne segue che f (x) = g (x)+k ∀x ∈ (a,b).

Dimostrazione

La funzione f (x)−g (x) soddisfa le ipotesi del corollario I. Ne segue che f (x)−g (x) =k ∀x ∈ (a,b), da cui la tesi.

■w Corollario III

Se f′(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) allora la funzione f (x) è strettamente crescente in [a,b].

Se, invece, f′(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) allora la funzione f (x) è strettamente decrescente

in [a,b].

Dimostrazione

Si consideri il caso f′(x) > 0 ∀x ∈ (a,b). Siano x1, x2 ∈ (a,b) con x1 < x2 e si applichi

il teorema di Lagrange al sottointervallo [x1, x2]. Esisterà allora un punto c ∈ (x1, x2)tale che

f′(c) = f (x2)− f (x1)

x2 −x1=⇒ f (x2)− f (x1)

x2 −x1> 0.

Data l’arbitrarietà di x1 e x2 si può concludere che ∀x1, x2 ∈ (a,b) si ha

f (x2)− f (x1)

x2 −x1> 0

e, quindi, la tesi. In modo analogo si prova che se f′(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) allora la

funzione f (x) è strettamente decrescente in [a,b].


"Osservazione

Il terzo corollario al teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente per sta-bilire la monotonia di una funzione f (x). Tale condizione non è però necessaria. Siconsideri infatti la funzione f (x) = x3 che risulta essere strettamente crescente. Lasua derivata, f

′(x) = 3x2, non è comunque maggiore di zero: si ha f

′(x) ≥ 0, essen-

do pari a zero in x0 = 0. In generale, dal fatto che f (x) è crescente (decrescente) inun certo intervallo I , si può solo concludere che f

′(x) ≥ 0 ( f

′(x) ≤ 0) per ogni x ∈ I .

5.2.1 Individuazione dei massimi e minimi relativi

Come osservato in precedenza, la condizione f′(x0) = 0 è necessaria ma non suffi-

ciente per l’esistenza di un massimo o di un minimo relativo per la funzione f (x). Ilterzo corollario al teorema di Lagrange fornisce, invece, una condizione sufficien-te per determinare la crescenza/decrescenza di una funzione derivabile. Si osserviche (si confrontino le figure 5.12 e 5.13) se una funzione f (x) ammette un massimo(minimo) locale in x0, essa risulterà crescente (decrescente) in un intorno sinistrodi x0 e decrescente (crescente) in un intorno destro di x0.

x

f(x)

x1 x0 x2

xx1 x0 x2

Figura 5.12

Se la funzione f (x) ammette un massimo locale in x0 la funzione sarà crescente da x1a x0 e

decrescente da x0 a x2.


x

f(x)

x1 x0 x2

xx1 x0 x2

Figura 5.13

Se la funzione f (x) ammette un minimo locale in x0 la funzione sarà decrescente da x1a x0

e crescente da x0 a x2.

Sia f (x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Si supponga di aver calcolato f′(x) e

di averne studiato il segno, e si supponga che esso sia rappresentato in figura 5.14.

xx1 x3x2a b

Figura 5.14

Un esempio di studio del segno di f′(x).

Siccome la funzione f (x) risulta

• crescente in (a, x1) e decrescente in (x1, x2) ne segue che il punto x1 sarà unpunto di massimo locale e, per il teorema di Fermat, dovrà risultare f

′(x1) = 0

• decrescente in (x1, x2) e crescente (x2, x3), il punto x2 sarà un minimo localee risulterà f

′(x2) = 0


• crescente (x2, x3) e decrescente in (x3,b) : il punto x3 sarà un massimo localee risulterà f

′(x3) = 0.

"Osservazione

Sempre in riferimento alla figura 5.14, si supponga ora che la funzione f (x) sia de-finita in [a,b]\{x1} e che sia continua e derivabile in [a,b]\{x1}. Per fissare le idee sipuò supporre che x1 sia un asintoto verticale di f (x). In tal caso, ovviamente, dallacrescenza di f (x) in (a, x1) e dalla decrescenza in (x1, x2) non segue che il punto x1

è un massimo locale, visto che in x1 la funzione f (x) non è definita (si osservi lafigura 5.15 per un comportamento simile a quello ora discusso).

x

f(x)

x1 x2 x3a b

Figura 5.15

"Osservazione

Facendo ancora riferimento alla figura 5.14, si supponga ora che f (x) sia continuain [a,b] e derivabile in [a,b]\x1. In tal caso la funzione ammetterà ancora un puntodi massimo relativo in x1 ma non risulterà più f (x1) = 0 (si osservi la figura 5.16 perun comportamento simile a quello appena discusso).


x

f(x)

x1 x2 x3a b

Figura 5.16

Ricapitolando: il procedimento che si segue per determinare l’esistenza di massimio minimi locali, è il seguente:

1. si calcola il dominio di f (x)

2. si calcola f′(x) e se ne studia il segno

3. si associa un andamento crescente (decrescente) della funzione agli intervalliin cui f

′(x) > 0 ( f

′(x) < 0)

4. i punti in cui si inverte la monotonia, se appartengono al dominio di f (x),sono estremi relativi.

E Esempio 5.36

Determinare gli eventuali estremi relativi di

f (x) = e−x (x2 −x).

Soluzione

Il dominio di f (x) è tutto R e la funzione f (x) risulta continua ∀x ∈ R. La derivataprima di f (x) vale

f′(x) =−e−x (x2 −x)+e−x (2x −1) = e−x (−x2 +3x −1)

e risulta

f′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (

3−p5

2,

3+p5

2).

Il segno di f′(x) e la crescenza/decrescenza di f (x) sono rappresentati in figura

5.17.


x3−√5

23+√

52

Figura 5.17

Segno di f′(x).

Siccome i punti in cui la funzione cambia monotonia, x1,2 = 3±p52 , appartengono al

dominio della funzione stessa, essi saranno estremi relativi. In particolare il punto

x1 = 3−p52 è un minimo locale mentre il punto x2 = 3+p5

2 è un massimo locale. In

tali punti, essendo la funzione f (x) derivabile, risulterà f′(x1,2) = 0.

E Esempio 5.37

Determinare gli eventuali estremi relativi di

f (x) = ln2 x

x.

Soluzione

Il dominio D f di f (x) è l’intervallo (0,+∞) e la funzione f (x) risulta continua inesso. Si ha:

f′(x) = (2ln x) 1

x · x − ln2 x

x2 = 2ln x − ln2 x

x2 = ln x(2− ln x)

x2 .

Posto t = ln x, si ha:f′(x) > 0se 0 < t < 2

cioè0 < ln x < 2 =⇒ 1 < x < e2.

Il segno di f′(x) e la crescenza/decrescenza di f (x) sono rappresentati in figura

5.18.


x1 e2

Figura 5.18

Segno di f′(x).

Nei punti 1,e2 ∈ D f la funzione f (x) cambia monotonia: il punto x1 = 1 è un mini-mo relativo mentre il punto x2 = e2 è un massimo relativo. Siccome in tali punti lafunzione f (x) è derivabile, risulterà f

′(x1,2) = 0.

5.3 Convessità e concavità

RDefinizione (Funzione globalmente convessa)

Sia f : X → R. Si dice che f (x) è globalmente convessa se, comunque scelti x1, x2 ∈X , il segmento che unisce i punti (x1, f (x1)) e (x2, f (x2)) giace al di sopra del graficodi f (x) (si osservi la figura 5.19).

x

f(x)

x1 x2

Figura 5.19

Un esempio di funzione convessa.


"Osservazione

Il generico punto appartenente al segmento che unisce due punti x1, x2 può essereespresso come αx1 + (1−α)x2, α ∈ [0,1]. Si ha, in effetti:

• per α= 0 si ottiene il punto x1

• per α= 1 si ottiene il punto x2

• per α= 1/2 si ottiene il punto medio tra x1e x2

• per un generico 0 <α< 1 si ottiene un punto intermedio tra x1e x2.

La condizione di convessità globale può essere espressa analiticamente come (siconfronti la figura 5.20)

∀x1, x2 ∈ X : f (αx1 + (1−α)x2) <α f (x1)+ (1−α) f (x2), α ∈ (0,1).

x

f(x)

x1 x2

αx1 + (1− α)x2

f(αx1 + (1− α)x2)

f(x2)

f(x1)

αf(x1) + (1− α)f(x2)

Figura 5.20

La condizione analitica di convessità.


E Esempio 5.38

La funzione f (x) = x2 è convessa su tutto il dominio.

x

f(x)

x1 x2

Figura 5.21

La funzione f (x) = x2 è convessa su tutto il dominio

E Esempio 5.39

La funzione f (x) = ex è convessa su tutto il dominio.

x

f(x)

x1 x2

Figura 5.22

La funzione f (x) = ex è convessa su tutto il dominio


In modo analogo sussiste la seguente

RDefinizione (Funzione globalmente concava)

Sia f : X →R. Si dice che f (x) è globalmente concava se, comunque scelti x1, x2 ∈ X ,il segmento che unisce i punti (x1, f (x1)) e (x2, f (x2)) giace al di sotto del grafico dif (x) (si osservi la figura 5.23). Ciò equivale alla condizione

∀x1, x2 ∈ X : f (αx1 + (1−α)x2) >α f (x1)+ (1−α) f (x2), α ∈ (0,1).

x

f(x)

x1 x2

Figura 5.23

Un esempio di funzione globalmente concava.

E Esempio 5.40

La funzione f (x) =−x2 è concava su tutto il dominio.


x

f(x)

x1 x2

Figura 5.24

La funzione f (x) =−x2 è concava su tutto il dominio.

E Esempio 5.41

La funzione f (x) = ln x è concava su tutto il dominio.

x

f(x)

x1

x2

Figura 5.25

La funzione f (x) = ln x è concava su tutto il dominio.

RDefinizione (Convessità locale)

Sia f : X → R. Si dice che f (x) è convessa in x0 ∈ X se essa è derivabile in x0 e seesiste un intorno Ix0 tale che ∀x ∈ Ix0 la retta tangente il grafico di f (x) nel punto(x0, f (x0)) giace al di sotto del grafico di f (x).

In modo analogo si definisce la concavità locale:


RDefinizione (Concavità locale)

Sia f : X → R. Si dice che f (x) è concava in x0 ∈ X se essa è derivabile in x0 e seesiste un intorno Ix0 tale che ∀x ∈ Ix0 la retta tangente il grafico di f (x) nel punto(x0, f (x0)) giace al di sopra del grafico di f (x).

x

f(x)

x1 x2

Figura 5.26

Grafico di una funzione convessa in x1 e concava in x2.

"Osservazione

Utilizzando l’espressione della retta tangente il grafico di f (x) in (x0, f (x0)), la con-dizione di convessità locale può essere espressa in termini analitici come

∃ Ix0 |∀x ∈ Ix0 \{x0} : f (x) > f (x0)+ f′(x0)(x −x0)

mentre quella di concavità locale tramite

∃ Ix0 |∀x ∈ Ix0 \{x0} : f (x) < f (x0)+ f′(x0)(x −x0).

Per stabilire la concavità/convessità locale di una funzione f (x) è rilevante il se-guente

w Teorema (Concavità/convessità e segno della derivata seconda)

Ipotesi) Sia f (x) di classe C 2 in un intorno del punto x0, e sia f′′

(x0) > 0 ( f′′

(x0) < 0)

Tesi) f (x) è convessa (concava) in x0.

Dimostrazione

Siccome f (x) è di classe C 2 in un intorno di x0, la si può approssimare, in un intornodi x0, tramite il polinomio di Taylor del secondo ordine:

f (x) = f (x0)+ f′(x0)(x −x0)+ 1

2f′′

(x0)(x −x0)2 +R2(x).


Siccome il resto R2(x) è un infinitesimo di ordine superiore al secondo per x → x0,esisterà un intorno (sufficientemente piccolo ) Ix0 in cui tale resto risulta trascura-bile:

f (x) ' f (x0)+ f′(x0)(x −x0)+ 1

2f′′

(x0)(x −x0)2, per x ∈ Ix0 .

Si ottiene, pertanto,

f (x)− f (x0)− f′(x0)(x −x0) ' 1

2f′′

(x0)(x −x0)2, per x ∈ Ix0 . (5.8)

Il segno del secondo membro della relazione (5.8) dipende, per x 6= x0, dal segno dif′′

(x0). Se risulta f′′

(x0) > 0 si avrà

f (x)− f (x0)− f′(x0)(x −x0) > 0 x ∈ Ix0 \{x0}

cioèf (x) > f (x0)+ f

′(x0)(x −x0) > 0 x ∈ Ix0 \{x0}

e, quindi, f (x) è convessa in x0. In modo analogo si ottiene che, se f′′

(x0) < 0,

f (x) < f (x0)+ f′(x0)(x −x0) > 0 x ∈ Ix0 \{x0}

e, quindi, f (x) è concava in x0.

■"Osservazione

Il teorema precedente non può essere invertito: se f (x) è convessa in x0 non è dettoche f

′′(x0) > 0. In effetti la funzione f (x) = x4 è convessa in x0 = 0 ma f

′′(x) =

12x2 =⇒ f′′

(0) = 0. In generale, dal fatto che f (x) è convessa (concava) in x0 si puòsolo concludere che f

′′(x0) ≥ 0 ( f

′′(x0) ≤ 0).

"Osservazione

Sia f (x) definita nell’intervallo (a,b). Se f (x) è localmente convessa (concava) inogni x ∈ (a,b) essa sarà convessa (concava) nell’intervallo (a,b). E’ chiaro che sef′′

(x) > 0 ( f′′

(x) < 0) per ogni x ∈ (a,b) la funzione f (x) sarà convessa (concava) in(a,b).

RDefinizione (Punto di flesso)

Se nel punto x0 la funzione f (x) cambia concavità ed esiste, finito o infinito, il limite

limx→x0

f (x)− f (x0)

x −x0,

il punto x0 si dice punto di flesso. Il punto di flesso si dirà ascendente (discendente)se in un intorno sinistro di x0 la funzione è concava (convessa) e in un intornodestro è convessa (concava).


5.3.1 Individuazione di concavità, convessità e punti di flesso

Il procedimento che si segue per determinare la concavità/ convessità di una fun-zione f (x) e dei suoi eventuali punti di flesso, è il seguente:

1. si calcola il dominio di f (x)

2. si calcola f′(x) e se ne determina il dominio

3. si calcola f′′

(x) e se ne studia il segno

4. la funzione f (x) sarà convessa (concava) negli intervalli in cui f′′

(x) > 0 ( f′′

(x) <0)

5. nei punti in cui si inverte la concavità, se esiste finito o infinito il limite delrapporto incrementale, la funzione f (x) avrà un flesso. In particolare se inpunto del genere (sia esso x0) risulta f

′(x0) = 0 esso sarà un flesso a tangente

orizzontale mentre se f′(x0) 6= 0,±∞ il punto x0 sarà un flesso a tangente

obliqua. Se, infine, risulta

limx→x0

f (x)− f (x0)

x −x0=±∞,

il punto x0 sarà un flesso a tangente verticale.

E Esempio 5.42

Si determinino gli eventuali punti di flesso della funzione

f (x) = ln x

x.

Soluzione

1. Il dominio di f (x) è l’intervallo (0,+∞)

2. f′(x) = 1−ln x

x2 ed il suo dominio è l’intervallo (0,+∞)

3. f′′

(x) = 2ln x−3x3 . Risulta f

′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (e

32 ,+∞)

4. La funzione è convessa per x ∈ (e32 ,+∞) ed è concava per x ∈ (0,e

32 )

5. Il punto x0 = e32 , in cui si inverte la concavità è un punto di flesso.

Il teorema seguente fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza di estremirelativi e punti di flesso.


w Teorema (Condizione sufficiente per l’esistenza di estremi relativi e punti diflesso)

Ipotesi) Sia f (x) di classe C n in un intorno di x0 e sia

f′(x0) = f

′′(x0) = f

′′′(x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 e f (n)(x0) 6= 0.

Tesi) Se n è pari si ha{f (n)(x0) > 0 =⇒ x0 è un punto di minimo relativof (n)(x0) < 0 =⇒ x0 è un punto di massimo relativo

mentre se n è dispari si ha{f (n)(x0) > 0 =⇒ x0 è un punto di flesso ascendentef (n)(x0) < 0 =⇒ x0 è un punto di flesso discendente

Dimostrazione

Approssimando f (x) intorno a x0 con il polinomio di Taylor di ordine n, si avrà:

f (x) = f (x0)+ 1

n!f (n)(x0)(x −x0)n +Rn(x).

Siccome Rn(x) è un infinitesimo di ordine superiore a (x −x0)n per x → x0, esisteràun intorno sufficientemente piccolo di x0, Ix0 , in cui il resto è trascurabile:

f (x) ' f (x0)+ 1

n!f (n)(x0)(x −x0)n , ∀x ∈ Ix0 . (5.9)

Se n è pari la relazione (5.9) mostra che f (x) è ben approssimata da una funzione ditipo parabolico (si osservi la figura 5.27): se f (n)(x0) > 0 il punto x0sarà un punto diminimo locale mentre se f (n)(x0) < 0 il punto x0 sarà un punto di massimo locale.

Se, invece, n è dispari la relazione (5.9) mostra che f (x) è ben approssimata da unafunzione simile ad una cubica (si osservi la figura 5.28): se f (n)(x0) > 0 il puntox0sarà un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente mentre se f (n)(x0) < 0il punto x0 sarà un punto di flesso a tangente orizzontale discendente.

■


xx0

f(x0)

f(x)

a

xx0

f(x0)

f(x)

b

Figura 5.27

Il grafico di f (x) per x ' x0 nel caso n pari e f (n)(x0) > 0 (a) e f (n)(x0) < 0 (b).

xx0

f(x0)

f(x)

a

xx0

f(x0)

f(x)

b

Figura 5.28

Il grafico di f (x) per x ' x0 nel caso n dispari e f (n)(x0) > 0 (a) e f (n)(x0) < 0 (b).

"Osservazione

Si supponga che in x0 la funzione f (x) sia tale che

f′(x0) = 0

f′′

(x0) > 0 (< 0).

In base al teorema precedente si conclude che il punto x0 è un minimo (massimo)relativo di f (x).


5.4 Studio di funzione

Con studio di funzione si intende determinare il dominio, il segno, gli eventua-li asintoti, studiare la crescenza/decrescenza ed individuare gli eventuali massi-mi o minimi relativi, studiare la concavità/convessità e determinare l’esistenza dieventuali punti di flesso della funzione stessa. Tali informazioni sono sufficientiper tracciare il grafco della funzione. Per eseguire tale studio si seguono i seguentipassi:

1. si calcola il dominio D f di f (x)

2. si studia il segno di f (x) risolvendo, ad esempio, la disequazione f (x) > 0 esi determinano le intersezioni con l’asse delle ascisse e quello delle ordinate.L’intersezione con l’asse delle ascisse sarà data dai punti (x, y) tali che f (x) =0 e y = f (x) = 0 mentre quella con l’asse delle ordinate sarà il punto (x =0, y = f (0)), posto che x = 0 ∈ D f

3. si calcolano i limiti di f (x) nei punti x0 che sono di accumulazione per ildominio D f ma che non appartengono al dominio stesso, per determinarel’esistenza di eventuali asintoti verticali. Se

limx→x0

f (x) =±∞

la retta x = x0 sarà un asintoto verticale per f (x)

4. se il dominio D f di f (x) non è limitato si calcolano i limiti per x →+∞e/o −∞ per determinare gli eventuali asintoti orizzontali. Se

limx→±∞ f (x) = `

la retta y = ` sarà un asintoto orizzontale per x →±∞5. se non esistono gli asintoti orizzontali si studia l’eventuale esistenza degli

asintoti obliqui tramite il calcolo dei limiti

limx→±∞

f (x)

x= m 6= 0,±∞

elim

x→±∞[ f (x)−mx] = q 6= ±∞ :

in tal caso la retta y = mx +q sarà un asintoto obliquo per f (x)

6. si calcola la derivata prima f′(x) e se ne studia il segno per determinare gli

intervalli in cui f (x) è crescente o decrescente. Tale studio consente anche dideterminare l’esistenza di eventuali massimi e/o minimi relativi

7. si calcola la derivata seconda f′′

(x) e se ne studia il segno per determinare gliintervalli in cui la funzione è concava o convessa. Tale studio consente anchedi determinare l’esistenza di eventuali punti di flesso.


E Esempio 5.43

Studiare la funzionef (x) =p

x(1− ln x).

Soluzione

1. Il dominio di f (x) è dato dalla condizione

D f ={

x ≥ 0x > 0

=⇒ D f = (0,+∞)

2. Siccome la funzionep

x ≥ 0 ∀x ∈ D f , il segno di f (x) è determinato dal segno di(1− ln x). Si ha:

1− ln x > 0 =⇒ ln x < 1 =⇒ x < e

per cui f (x) > 0 ∀x ∈ (0,e). Le intersezioni con l’asse delle ordinate (ricavabili ingenerale ponendo y = f (0)) in tal caso non esistono visto che 0 ∉ D f . Le intersezionicon l’asse delle ascisse (ricavabili in generale risolvendo l’equazione f (x) = 0) sonodate dalla condizione

f (x) = 0 =⇒ 1− ln x = 0 =⇒ x = e

3. Gli eventuali asintoti verticali di f (x) possono essere individuati studiando illimite

limx→0+

px(1− ln x) =+0 :

la retta x = 0 non è, quindi, un asintoto verticale per f (x).

4. Per determinare l’esistenza di un eventuale asintoto orizzontale si studia il limite

limx→+∞

px(1− ln x) =−∞.

Siccome tale limite non è finito, la funzione f (x) non ammette asintoti orizzontali.

5. Per determinare l’eventuale esistenza dell’asintoto obliquo si studia il limite

limx→+∞

px(1− ln x)

x= 0.

Siccome tale limite è nullo, la funzione f (x) non ammette asintoti obliqui.

6. La derivata prima di f (x) è

f′(x) = 1

2p

x(1− ln x)+p

x(− 1

x) = 1

2p

x(1− ln x)+− 1p

x=

= 1− ln x −2

2p

x=−1+ ln x

2p

x.


Il segno della derivata prima può essere studiato risolvendo la disequazione ( siconsideri che

px > 0 ∀x ∈ D f ) per x ∈ D f :

f′(x) > 0 =⇒−1+ ln x

2p

x=⇒ 1+ ln x < 0 =⇒ x < e−1 =⇒ x ∈ (0,e−1).

Il segno di f′(x) e la monotonia della funzione f (x) sono rappresentati in figura

5.29

0 e−1

Figura 5.29

Segno di f′(x).

Dallo studio del segno di f′(x) si deduce che il punto x0 = e−1 è un massimo relativo

per f (x). Il valore che la funzione assume in tale punto è f (e−1) = 2pe

.

7. La derivata seconda di f (x) è

f′′

(x) =−1

2

px 1

x − (1+ ln x) 12p

x

(p

x)2=−1

2

2−(1+ln x)2p

x

x=

= ln x −1

4xp

x.

Il segno della derivata seconda è pari al segno di ln x−1, essendo xp

x > 0 ∀x ∈ D f .Si ha:

f′′

(x) > 0 ⇐⇒ ln x −1 > 0 =⇒ x > e :

si osservi la figura 5.30 per una rappresentazione grafica del segno di f′′

(x) e dellaconcavità/convessità di f (x).


0 e

Figura 5.30

Segno di f′′

(x).

Il punto x = e, in cui si inverte la concavità ed esiste la derivata prima, è un puntodi flesso per f (x).

E Esempio 5.44

Studiare la funzione

f (x) = ln x −1

x.

Soluzione


D f ={

x > 0x 6= 0

=⇒ D f = (0,+∞)

2. Siccome la funzione x > 0 ∀x ∈ D f , il segno di f (x) è determinato dal segno di(ln x −1). Si ha:

ln x −1 > 0 =⇒ ln x > 1 =⇒ x > e

per cui f (x) > 0 ∀x ∈ (e,+∞). Le intersezioni con l’asse delle ordinate (ricavabili ingenerale ponendo y = f (0)) in tal caso non esistono visto che 0 ∉ D f . Le intersezionicon l’asse delle ascisse (ricavabili in generale risolvendo l’equazione f (x) = 0) sonodate dalla condizione

f (x) = 0 =⇒ ln x −1 = 0 =⇒ x = e

3. Gli eventuali asintoti verticali di f (x) possono essere individuati studiando illimite

limx→0+

1− ln x

x=+∞ :

la retta x = 0 è, quindi, un asintoto verticale per f (x).

4. Per determinare l’esistenza di un eventuale asintoto orizzontale si studia il limite

limx→+∞

1− ln x

x= 0 :

la retta y = 0 è un asintoto orizzontale per f (x).



f′(x) =

1x x − (ln x −1)

x2 = 2− ln x

x2 .

Il segno della derivata prima può essere studiato risolvendo la disequazione ( siconsideri che x2 > 0 ∀x ∈ D f ) per x ∈ D f :

f′(x) > 0 =⇒ 2− ln x

x2 =⇒ 2− ln x > 0 =⇒ x < e2 =⇒ x ∈ (0,e2).


5.31

0 e2

Figura 5.31

Segno di f′(x).

Dallo studio del segno di f′(x) si deduce che il punto x0 = e2 è un massimo relativo

per f (x). Il valore che la funzione assume in tale punto è f (e2) = 1e2 .


f′′

(x) = − 1x x2 −2x(2− ln x)

x4 = x(2ln x −5)

x4

Il segno della derivata seconda è pari al segno di 2ln x −5, essendo x e x4 > 0 ∀x ∈D f . Si ha:

f′′

(x) > 0 ⇐⇒ 2ln x −5 > 0 =⇒ x > e52 :

si osservi la figura 5.32 per una rappresentazione grafica del segno di f′′

(x) e dellaconcavità/convessità di f (x).


0 e52

Figura 5.32

Segno di f′′

(x).

Il punto x = e52 , in cui si inverte la concavità ed esiste la derivata prima, è un punto

di flesso per f (x).

E Esempio 5.45

Studiare la funzione

f (x) = ex−1

x2 .

Soluzione


D f = x 6= 0 =⇒ D f = (−∞,0)∪ (0,+∞).

2. La funzione f (x) > 0 ∀x ∈ D f , essendo ex−1 e x2 > 0 ∀x ∈ D f .Le intersezioni conl’asse delle ordinate (ricavabili in generale ponendo y = f (0)) in tal caso non esi-stono visto che 0 ∉ D f . Le intersezioni con l’asse delle ascisse (ricavabili in generalerisolvendo l’equazione f (x) = 0) sono date dalla condizione

f (x) = 0 =⇒ ex−1

x2 ,

relazione che non ammette soluzioni.

3. Gli eventuali asintoti verticali di f (x) possono essere individuati studiando ilimiti

limx→0+

ex−1

x2 =+∞

limx→0−

ex−1

x2 =+∞ :

la retta x = 0 è, quindi, un asintoto verticale per f (x).

4. Per determinare l’esistenza di un eventuale asintoto orizzontale si studiano ilimiti

limx→+∞

ex−1

x2 =+∞


limx→−∞

ex−1

x2 = 0 :

per x →+∞ non esiste asintoto orizzontale mentre per x →−∞ la retta y = 0 è unasintoto orizzontale.

5. Per determinare l’eventuale esistenza dell’asintoto obliquo si studia il limite

limx→+∞

ex−1

x3 =+∞.

Siccome tale limite è infinito, la funzione f (x) non ammette asintoti obliqui.


f′(x) = ex−1x2 −2xex−1

x4 = xex−1(x −2)

x4 =

= ex−1(x −2)

x3 .

Il segno della derivata prima può essere studiato risolvendo la disequazione, perx ∈ D f , :

f′(x) > 0 =⇒ x −2

x3 > 0.


5.33

2

sgn(x− 2)

0

sgn(x3)

sgn(f′(x))

Figura 5.33

Segno di f′(x).

Dallo studio del segno di f′(x) si deduce che il punto x0 = 2 è un minimo relativo

per f (x). Il valore che la funzione assume in tale punto è f (2) = e4 . Il punto x = 0,

non appartenendo al dominio di f (x), non è un massimo relativo.


f′′

(x) = x3[ex−1(x −2)+ex−1]−3x2[ex−1(x −2)]

x6 =


= x2[ex−1(x2 −4x +6)]

x6 = ex−1(x2 −4x +6)

x4 .

Il segno della derivata seconda è pari al segno di x2 −4x +6, che, avendo discrimi-nante ∆=−8 < 0, risulta sempre positivo. In figura 5.34 si riporta il segno di f

′′(x)

insieme alla concavità/convessità di f (x).

sgn(x2 − 4x + 6)

Figura 5.34

Segno di f′′

(x).

Siccome la derivata f′′

(x) > 0 ∀x ∈ D f , la funzione f (x) è convessa in D f e nonammette, quindi, punti di flesso.

5 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile...

Documents

Transcript of 5 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile...