Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va)

Circolo matematico “Martin Gardner”

Castelveccana (Va)

Nando Geronimi 3402490330

[email protected]

Calde‘24/27 luglio 2014

FIRENZEA CAVALLO DEL MILLENNIO

Sognando Parigi

Nando Geronimi – Centro Pristem

I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010)

Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2010. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri.

Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare ?Nota : un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0.

I GETTONI DELL’ANNO MODIFICATO



3

I GETTONI DELL’ANNO MODIFICATO


D3,1 x D3,1 = 9 (10,12,13, 20, 21, 23, 30, 31,32)

3Numeri di due cifre:

Numeri di tre cifre: D3,1 x D3,2 = 18 (102, 103,120, 123,130, 132, 201, 203, 210, 213 , 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321)

Numeri di quattro cifre: D3,1 x P3 = 18 (102, 103,120, 123,130, 132, 201, 203, 210, 213 , 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321)

Complessivamente 45 numeri


D2,1 x D2,1 = 4 (10,12, 20, 21)Numeri di due cifre:

Numeri di tre cifre:

1 - -

2 - -

120

10 -

20 -

210

100

102

200

201


Numeri di quattro cifre:

1---

2---

1200

10--

20 -

2100

1002

1020

2001

2010

Numeri di 2 cifre: 4



Complessivamente 16 numeri

N.B. Il testo chiede quanti altri numeri Sergio può formare Soluzione: 15




2012 ?

2011 ?

2009?

2008 ?

2007 ?

2006 ?

2004 ?

2003 ?




2002 ?

2001 ?

2000 ?

1999 ?

1997 ?

1996 ?

1995 ?

1994 ?

LA FONTANA DI CHAMPAGNE PARIGI 1 2001

Per il matrimonio della propria figlia il re ha fatto le cose in grande. Ha fatto realizzare una piramide di bicchieri sulla quale scenderà una cascata di champagne. La piramide è composta di 2 bicchieri (1x2) al suo culmine, ovvero al livello degli sposi. Al livello immediatamente inferiore vi sono 6 bicchieri(2x3). Poi scendendo ve ne sono 12 (3x4), 20 (4x5), etc, fino a quello più basso che ne conta 2000 x 2001. Di quanti bicchieri è composta la piramide?

Piano dimensioni

Bicchieri nel piano

totale bicchieri

1 1x2 2 22 2x3 6 83 3x4 12 204 4x5 20 405 5x6 30 706 6x7 42 112

1+12+43+94+165+256+367+49

i+i2 = ix(i+1)

Σi2 +Σi

n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3 = …….

Nello schema fianco, scegliete un numero, poi barrate tutti i numeri che si trovano nella stessa linea e nella stessa colonna. Poi continuate così, sapendo che un numero già scelto o barrato non può essere scelto una seconda volta. Qual è al minimo il prodotto dei cinque numeri scelti?

SCEGLIETE E BARRATE (2010)

5 3 4 1 7

8 6 7 4 10

6 4 5 2 8

9 7 8 5 11

10 8 9 6 12

5 3 4 1 7

6 4 5 2 8

8 6 7 4 10

9 7 8 5 11

10 8 9 6 12

1 3 4 5 7

2 4 5 6 8

4 6 7 8 10

5 7 8 9 11

6 8 9 10 12

1 3 4 5 7

2 4 5 6 8

4 6 7 8 10

5 7 8 9 11

6 8 9 10 12 3024

INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013)

(9)

ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9.

Qual è il numero ABCDEFGHI? (il più piccolo)

A B C D E F G H I


(9)



5 2468

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI


(9)



5 2468

5678

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI

INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9)


Qual è il numero ABCDEFGHI?

5 4

6

6

7

--

--

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI




5 4

6

6

7

4

2

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI




5 6 7 2

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI




5 6 7 2

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI

9




5 6 7 2 9

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI

4




4 5 6 7 2 9

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI

1

3

8

134 non è divisibile per 4







8 4 5 6 7 2 9

A B C D E F G H I

PARI 5 PARI PARI 1

3

1 3 8 4 5 6 7 2 9

3 1 8 4 5 6 7 2 9

SPESE PER L’INIZIO DELLA SCUOLA (1998)

Chiara fa la spesa per l’inizio del nuovo anno scolastico ed acquista un quaderno, un temperamatite, un compasso, un goniometro e un diario. Non si ricorda più del prezzo di ogni oggetto, né del prezzo totale pagato. Abile calcolatrice, ha però notato che moltiplicando il prezzo del quaderno (in migliaia di lire) per quello del temperamatite, trova come risultato 36. Allo stesso modo, il prodotto del prezzo del temperamatite per quello del compasso dà 54; il prodotto del prezzo del compasso per quello del goniometro dà 72; il prodotto del prezzo del goniometro per quello del diario è 108 e il prodotto del prezzo del diario per quello del quaderno è 144.Qual è il prezzo del temperamatite?


Chiara fa la spesa per l’inizio del nuovo anno scolastico ed acquista un quaderno, un temperamatite, un compasso, un goniometro e un diario. Non si ricorda più del prezzo di ogni oggetto, né del prezzo totale pagato. Abile calcolatrice, ha però notato che moltiplicando in prezzo del quaderno (in migliaia di lire) per quello del temperamatite, trova come risultato 36. Allo stesso modo, il prodotto del prezzo del temperamatite per quello del compasso dà 54; il prodotto del prezzo del compasso per quello del goniometro dà 72; il prodotto del prezzo del goniometro per quello del diario è 108 e il prodotto del prezzo del diario per quello del quaderno è 144.Qual è il prezzo del temperamatite?

QxT=36 TxC=54 CxG=72 GxD=108 DxQ=144

QxT x TxC x GxD = 36 x 54 x 108 CxG x DxQ 72 x 144

4

3

4

39

T 2 = 81/4 T = 4,5 migliaia di lire

Il temperamatite costa 4.500 lire

LA SERATA MONDANAPer la festa del suo compleanno Zinedine ha invitato 25 persone.Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Battista va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, la quarta persona ne conosce 4, la quinta 5 così di seguito fino alla venticinquesima persona che conosce tutti gli invitati. Zinedine, la ventiseiesima persona del gruppo, quante altre persone conosce?

LA SERATA MONDANAPer la festa del suo compleanno Chiara ha invitato 5 persone.Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Debora va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, Liliana ne conosce 4 e Milena 5. Chiara, la sesta persona del gruppo, quante altre persone conosce?

Liliana

Anna

Debora

Carla

Chiara

Milena Chiara conosce 3 persone: metà dei presenti

LA SERATA MONDANAPer la festa del suo compleanno Chiara ha invitato 4 persone.Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Debora va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, Liliana ne conosce 4. Chiara, la quinta persona del gruppo, quante altre persone conosce?

Liliana

Anna

Debora

Carla

Chiara

Chiara conosce 2

delle persone presenti:

2= (5-1)/2

LA SERATA MONDANAPer la festa del suo compleanno Zinedine ha invitato 25 persone.Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Battista va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, la quarta persona ne conosce 4, la quinta 5 così di seguito fino alla venticinquesima persona che conosce tutti gli invitati. Zinedine, la ventiseiesima persona del gruppo, quante altre persone conosce?

Sono presenti 26 persone.

Zinedine ne conosce 13

GIOCHIAMO CON LE CROCETTE

Su una grande pannello sono disegnate 93 crocette verdi e 94 crocette rosse. Regole del gioco:- si devono cancellare due crocette ogni volta; - quando si cancellano due crocette dello stesso colore, le si sostituisce con una crocetta rossa. - quando si cancellano due crocette di colore diverso, le si sostituisce con una crocetta verde.Dopo aver ripetuto un gran numero di volte queste operazioni, Mr. Erase constata che gli restano soltanto 4 crocette. Trovare il colore delle quattro crocette.

GIOCHIAMO CON LE CROCETTE

93 + 94 4

Ad ogni mossa, il numero complessivo di crocette diminuisce di 1

Dopo 183 mosse rimarranno 4 crocette.

Dopo ogni mossa il numero di crocette verdi è dispari.

Franco afferma che il numero ottenuto moltiplicando 1989 numeri interi consecutivi è sempre divisibile per 1989. Giulio risponde che non è necessario prenderne 1989, ed ha ragione.

Qual è il più piccolo numero intero n tale che il prodotto di n numeri interi consecutivi è comunque un multiplo di 1989?

MULTIPLI DI 1989

1989 = 9 x 13 x 17

17 interi consecutivi contengono comunque un multiplo di 9, uno di 13 e uno di 17

n=17

Robert Val utilizza nove masse pesanti , pesata in ettogrammi, tutti i numeri interi da 1 a 9. Li posiziona da sinistra a destra sui piatti della bilancia, a partire da 1, nell’ordine naturale. Il centro della bilancia e i sette piatti di ogni lato sono regolarmente distanziati Ogni piatto può contenere al massimo una sola massa. Il “momento” di una massa è uguale al prodotto tra il suo peso e la sua distanza dal centro della bilancia . La bilancia è in equilibrio quando la somma dei momenti è lo stesso su ogni lato. La figura mostra un esempio di un equilibrio che Robert Val ha ottenuto con le prime sette masse. Si può verificare che 1x7+2x6+3x5+4x4+5x1=6x1+7x7.Ricominciando, Robert Val è riuscito a equilibrare la stessa bilancia con le nove masse , ponendo sempre i numeri interi nell'ordine naturale da sinistra a destra . Scrivere i nove numeri sopra i rispettivi piatti

PESA NUMERI (2013)

32 4 5 6 7

PESA NUMERI

5 masse a sinistra e 4 a destra è impossibile

PESA NUMERI

6 masse a sinistra e 3 masse a destra

77

66

71

59

62

57

1x7+2x6+3x5+4x4+5x3+6x2 = 77

56

PESA NUMERI

6 masse a sin8stra e 3 masse a destra

77

66

71

59

62

57

56

8 9 98

83

74

76

67

59 77

PESA NUMERI

1 2 3 4 5 6 7 8 9

59 59

1 2 3 4 5 6 7 8 9

77 77

I MUCCHI DI BIGLIE (Parigi 2 2013)

Febo sistema delle biglie in linee orizzontali sovrapposte, in modo che tutte quelle di ogni riga si tocchino e che ogni biglia che non è nella riga più in basso, tocchi due biglie della riga al di sotto di essa.

Vi sono 1, 1 , 2, 3, 5 e 8 modi di disporre, rispettivamente, 1, 2, 3, 4, 5, 6 biglie


Febo sistema delle biglie in linee orizzontali sovrapposte, in modo che tutte quelle di ogni riga si tocchino e che ogni biglia che non è nella riga più in basso tocchi due biglie della riga al di sotto di essa.

Vi sono 1, 1 , 2, 3, 5 e 8 modi di disporre, rispettivamente, 1, 2, 3, 4, 5, 6 biglie (la figura illustra gli 8 modi in cui si possono disporre 6 biglie). Febo osserva che 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 e 3+5=8. Ma resta prudente sulle relazioni fra ogni termine successivo della successione (dei modi in cui 7, 8, 9, … biglie possono essere disposte) e i due precedenti.

Quanti modi ci sono di sistemare 9 biglie?


Tutte le 9 biglie sulla prima riga sottostante

1

8 biglie sulla prima riga e 1 sulla seconda riga

7


5


3

5 biglie sulla prima riga e 4 sulla seconda riga1

6 biglie sulla prima riga, 2 sulla seconda riga e 1 sulla terza

4


4


1

26 configurazioni

L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11)

Scrivete un numero in ogni casella della griglia in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano tutti i numeri da 1 a 4. I sedici numeri di quattro cifre che ne risulteranno, leggendo ogni riga e ogni colonna nelle due direzioni, dovranno essere tutti differenti gli uni dagli altri. Se questi numeri sono ordinati secondo il loro ordine crescente, in modo che al più piccolo sia associato il numero 1, al secondo più piccolo il 2, e così via fino al più grande a cui sia associato il 16, allora i due indici al di fuori della griglia dovranno dare il numero associato rispettivamente ai numeri risultanti nella colonna e nella riga corrispondente, letti a partire dal lato in cui si trova tale indice.



Quanti numeri diversi si possono scrivere con quattro cifre, ognuno presa una sola volta?

Sono le permutazioni di quattro elementi: 4! = 24

1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321



I primi quattro numeri cominciano con la cifra 1I numeri del quinto all’ottavo iniziano con la cifra 2I numeri dal settimo al dodicesimo iniziano con la cifra 3I numeri dal tredicesimo al sedicesimo iniziano con la cifra 4

1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321


1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2413 2431

3124 3142 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

4-3

4 1

3-4

2

I primi quattro numeri cominciano con la cifra 1I numeri del quinto all’ottavo iniziano con la cifra 2I numeri dal settimo al dodicesimo iniziano con la cifra 3I numeri dal tredicesimo al sedicesimo iniziano con la cifra 4

Se il 7° fosse 2314, il 5° e il 6° sarebbero 2134 e 2143 che andrebbero scritti entrambi da destra a sinistra. IMPOSSIBILE. Allora il 7° numero è 2413


1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2431

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

3

4 1

4

2

Impossibile

1 3 4 2

4 1

2 4

2


1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2431

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

3

4 1

4

2

Impossibile

3 2

4 1 1

2 4 3 1

2 4


1234 1243 1324 1342 1423 1432

2134 2143 2314 2341 2431

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

3

4 1

4

2

Impossibile

4 3 1 2

4 1

2 4

2


1234 1243 1324 1423 1432

2134 2143 2314 2341

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

2 3 1 4

4 1 3 2

3 4

1 2 4 3

impossibile

2 3

4 1

3 4

1 2


1234 1243 1324 1423 1432

2134 2143 2314 2341

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312 4321

2 3

4 1

3 4

1 2 3 4


1243 1324 1423 1432

2134 2143 2314 2341

3124 3214 3241 3412 3421

4123 4132 4213 4231 4312

2 3

4 1

3 4

1 2 3 4

2 3

4 1

3 4 1 2

1 2 3 4

impossibile


1243 1324 1423 1432

2134 2314 2341

3124 3214 3241 3421

4123 4132 4213 4231 4312

2 3

4 1

3 4 1 2

1 2 3 4

impossibile


1243 1324 1423 1432

2134 2314 2341

3124 3214 3241 3421

4123 4132 4213 4231 4312

2 3 4 1

4 1 2 3

3 4 1 2

1 2 3 4

2 3

4 1

3 4 1 2

1 2 3 4

impossibile


1423 1432

2134 2314

3241 3421

4132 4312

2 3 4 1

4 1 2 3

3 4 1 2

1 2 3 4


Chiara fa la spesa per l’inizio del nuovo anno scolastico ed acquista un quaderno, un temperamatite, un compasso, un goniometro e un diario. Non si ricorda più del prezzo di ogni oggetto, né del prezzo totale pagato. Abile calcolatrice, ha però notato che moltiplicando il prezzo del quaderno (in migliaia di lire) per quello del temperamatite, trova come risultato 36. Allo stesso modo, il prodotto del prezzo del temperamatite per quello del compasso dà 54; il prodotto del prezzo del compasso per quello del goniometro dà 72; il prodotto del prezzo del goniometro per quello del diario è 108 e il prodotto del prezzo del diario per quello del quaderno è 144.Qual è il prezzo del temperamatite?

La figura mostra tre piatti quadrati che Luca ha appena dipinto. Per farli asciugare, li ha appesi uniti come in figura, fra due pali verticali.

Gli angoli A, B, C e D misurano un numero intero di gradi .

Per scrivere questi quattro numeri si devono utilizzare, una e una sola volta, tutte le cifre da 1 a 9.

Quanto misura, al massimo, l’angolo B?

ESSICATORE

ESSICATORE

ESSICATORE

BA

D

A + B + D = 270

ESSICATORE

BA

D

A + B + D = 270

A --- ---

B 1 7 ---

C --- ---

D --- ---

= 2 7 0

2

3

4

5

6

8

9

La somma delle cifre delle unità deve essere 20

La somma delle cifre delle decine deve essere 8

IMPOSSIBILE perché la somma delle cifre che ho a disposizione è 37.

ESSICATORE

BA

D

A + B + D = 270

A --- ---

B 1 6 ---

C --- ---

D --- ---

= 2 7 0

2

3

4

5

7

8

9



IMPOSSIBILE perché la soma delle cifre che ho a disposizione è 38

ESSICATORE

BA

D

A + B + D = 270

A --- ---

B 1 5 ---

C --- ---

D --- ---

= 2 7 0

2

3

4

6

7

8

9

La somma delle cifre delle unità deve essere 20/30

La somma delle cifre delle decine deve essere 10/9

La soma delle cifre che ho a disposizione è 39

ESSICATORE

BA

D

A + B + D = 270

A --- ---

B 1 5 ---

C --- ---

D --- ---

= 2 7 0

2

3

4

6

7

8

9



La soma delle cifre che ho a disposizione è 39

Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va)

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