MECCANICA(studio del moto dei corpi)

Cinematica: descrizione del moto

Dinamica: descrizione del moto in funzione della forza

CINEMATICA del punto materiale

Moto in una dimensione

x2 – x1 distanza percorsa

t2 – t1 tempo trascorso

La legge del moto è rappresentata dalla funzione: x = x(t)

VETTORE SPOSTAMENTO

t?x?

ttxx

v12

12 ==--

Velocità media:

Velocità istantanea:

vtx

0x0t →∆∆

⇒→∆⇒→∆

Velocità

dtdx

v =

• rapidità con cui la posizione (x) varia nel tempo (t)

• modulo α lunghezza freccia

• grandezza fisica vettoriale v

• v = | v | = modulo di v

• DIMENSIONI

≡⇒⇒

≡⇒⇒

tempoTtempot

lunghezzaL spaziox

[ ] 1TLtempo

lunghezzav ==

• UNITÀ DI MISURA S.I.

ms-1 Sistema Internazionale

“traiettoria”

0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x

x(t) (“diagramma orario”)

tt0 t1 t2 t3 t4

x0=x(t0)x1

x3

x2

x4

Grafico della legge del moto:

Origine

Moto unidimensionale

• “Coordinata curvilinea” s(t) :– spazio percorso al tempo t lungo la

“traiettoria”

luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto

Po

P(t)s(t)

Velocità scalare media tra due istanti t1 e t2=t1+∆t

s(t)

t

“legge del moto”

t1 t2

s(t1)

s(t2)

∆t∆s

ts

ttstts

vm ∆∆

=∆

−∆+=

)()( 11

Coordinata curvilinea e velocità scalare media

t

s(t)

α (t) v(t) = tan(α(t))

Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:

ds = v(t) dt

dttds

ttstts

tvt

)()()(lim)(

0=

∆−∆+

=→∆

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

∫∫ =−==∆t

t

s

s

dttvtstsdss00

')'()()( 0

(dimensione : [v] = m/s) :

Velocità scalare istantaneaE’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilenea s(t):

t

t

t

v(t)

v(t)

to t1 t2 t3 t4 t5

to

∆ t

t

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

∑=

∆+=5

00 )()()(

ii ttvtsts

∑=

∆+=2

00 )()()(

ii ttvtsts

to t1 t2

v(t)

Integrazione della velocità

Moto rettilineo uniforme - DiagrammiNel diagramma (v,t) la legge “v = costante” è rappresentata da una retta parallela all’asse x. L’area tratteggiata in figurarappresenta lo spazio percorso nel tempo ∆t.

Nel diagramma (x,t) la legge “x = x0 + vt” è rappresentata da una retta la cui pendenza è positiva se la velocità è > 0, negativa se è v < 0 ed è tanto maggiore in valore assoluto quanto più grande è la velocità v.

t

v x

x0

t

∆x

vA

vB

vA < vB

Accelerazione

2

2

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

a =

==

• rapidità con cui la velocità (v) varia nel tempo (t)

• modulo di a α lunghezza della freccia

• grandezza fisica vettoriale a

• a = | a | = modulo di a

Accelerazione media:

t?v?

ttvv

=a12

12 =--

Accelerazione istantanea:

atv

0v0t??

?? →⇒→⇒→

• DIMENSIONI

• UNITÀ DI MISURA S.I.

2TL]a[ -=

ms-2 Sistema Internazionale

[ ] 2-TLtempo

lunghezzaa 2 ==

Reazioni fisiologiche all'accelerazione

• Perdita vista 35 g

• Perdita sensi 6 g

Esempi:

Frenata auto ⇒ 0.25 ÷ 0.45 g auto ⇒ (3 ÷ 6 s)

Incidente auto ⇒ 20 ÷ 100 g ⇒ (0.1 s)

Decollo aereo ⇒ 0.5 g ⇒ (10 ÷ 20 s)

Atterr. Paracadute ⇒ 34 g ⇒ (0.1 ÷ 0.2 s)

Nota l'accelerazione in funzione del tempo a(t):

1. INTEGRANDO a(t) SI TROVA v(t)

2. INTEGRANDO v(t) SI TROVA x(t)

∫ ∫

∫ ∫

===

=⇒=⇒=

vdtdxdtvdxdtdx

v

adtdvadtdvdtdv

a

Per giungere a x(t) si deve conoscere il valore della POSIZIONE e della VELOCITÀ ad un particolare istante (generalmente all'inizio del moto t=0 )

a=cost

∫=−t

00 dtavv1)

tavv 0 +=

( )dttavdtvxxt

0 0

t

00 ∫∫ +==−2)

∫ ∫++=t

0

t

000 dttadtvxx

20 ta

21

vtxx ++=

)xx(a2vv 020

2 −+=

( ) ( )020

2

v

v

x

x

xxavv21

dxadvv

vdxdv

dtdx

dxdv

dtdv

a

0 0

−=−

=

===

∫ ∫

3)

Riassumendo:

xa2vav

a21

xav

t 22

2

=⇒=⇒= xa2vXdivariare

alvelocità=⇒

EQUAZIONI DIMENSIONALI

modo utile per mettere in evidenza se una equazione è corretta (dimensionalmente).

verificare le dimensioni di tutti i suoi termini.

Esempio:

x x vt a t= + +021

2

x Lx L

v t LT

T L

a t LT

T L

⇒⇒

⇒ =

⇒ =

0

0

22

212

Accelerazione scalare istantanea :

Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene perintegrazione:

Accelerazione scalare media :

dv = a(t) dt

tv

ttvttv

am ∆∆

=∆

−∆+=

)()( 11

2

2

0

)()()()()(lim)(

dttsd

dttds

dtd

dttdv

ttvttv

tat

≡

==

∆−∆+

=→∆

∫∫ =−==∆t

t

v

v

dttatvtvdvv00

')'()()( 0

∫+=t

t

dttatvtv0

')'()()( 0

Accelerazione

(dimensione : [a] = m/s2)

accelerazione costante: a(t) = a

t

a(t)

a

t0

velocità:

t

v(t)

v0

posizione:

s0

α

β tan β = a

tanα(t0) = v0

t

s(t)

t0

)(')'()()( 000

0

ttavdttatvtvt

t

−+=+= ∫

[ ] =−++=+= ∫∫ ')'(')'()()(00

0000 dtttavsdttvtstst

t

t

t

2000 )(

21

)( ttattvs −+−+=

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Accelerazione di gravità (g)

ü Oggetto che cade vicino alla superficie terrestre

ü Resistenza aria trascurabile

Il moto èuniformemente accelerato

lungo la verticale.

Oggetto lanciato verticalmente verso l'alto:

−=

−=

−=

B20

2110B

10

Yg2v0

tg21tvY

tgv0

Bin

Le equazioni danno in ogni istante velocità e posizione lungo tutto il moto.

SALTO VERTICALE

h=altezza del salto

d=rincorsa di accelerazione

125 g1.408 * 10-40.1Pulce

3.3 g2.349 * 10-20.3Rana

2.7 g7.281.02.4Canguro

2.0 g4.430.51.0Uomo

(ms-2)(ms-1)(m)(m)

atvtdh

SE at uomo = at pulce = 125 g

v a d s

hv

g

t t

t

= = ⋅ ⋅ ⋅ = =

= =⋅

=

−2 2 125 9 8 0 5 1225 35

235

2 9 862 5

1

2 2. .

..

m

m

Moto rettilineo uniformemente accelerato

La traiettoria è una retta e l’accelerazione è costantea = ∆v/∆tè ∆v = a∆tè v2 – v1= a(t2 – t1) èv2 = v1 + a(t2 – t1)Per t1=0, e v1=v0, eliminiamo il pedice “2”, e abbiamo:

v = v0 + at

Anche in questo caso lo spazio percorso sarà dato dall’area tratteggiata nel diagramma (v,t), pertanto, la legge oraria del moto uniformemente accelerato è:

x(t) = x0 +v0t + ½at2

Nel diagramma (x,t) “x(t) = x0 +v0t + ½at2” è rappresentata da una parabola.

Moto rett. uniform. acc. - Diagrammi

Posso considerare il trapezio come la somma del rettangolo di lati t e v0 e del triangolo rettangolo di cateti v-v0 e t. La sua area è data allora da:

Area = v0t + ½(v-v0)t= v0t + ½at2 (essendo: v-v0 =at)

∆x = Area tratteggiata = v0t + ½at2 , ma ∆x = x - x0 è

x = x0+∆x è x0 + v0t + ½at2

v x

x0

t t

∆x

v2=v

v1=v0

t1=0 t2=t

Moto di caduta libera di un corpo

Tutti i corpi, vicino alla superficie terrestre, lasciati liberi(si trascura la resistenza dell’aria), cadono lungo la verticale con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2, pertanto, la relazione tra l’altezza di caduta h e il tempo tnecessario a toccare il suolo è:

h = ½g t2 e, t = (2h/g)½

La velocità d’impatto è:v = g t = g (2h/g)½ = (2gh)½

h(t)

t

�

h h = ½g t2

Moto sul piano - Illustrazione

Il modulo del vettore spostamento è diverso dalla lunghezza dello spazio percorso, in particolare, se la traiettoria è chiusa (A≡B), lo spostamento è zero, ma lo spazio percorso è diverso da zero.

E’ interessante, però, osservare che al diminuire di ∆t, B si avvicina ad A e la traiettoria tende ad identificarsi con lo spostamento; pertanto, la velocità istantanea (che si ottiene quando ∆t ≈ 0) è tangente alla traiettoria.

A

O

BrA

rB

∆r = rB- rAA

O

BrArB

∆r = rB- rA

∆t1 ∆t2 < ∆t1

at

vB

vA

Moto sul piano – Velocità e accelerazione

Se la traiettoria non è rettilinea, la direzione del vettore velocità cambia da punto a punto, pertanto si deve introdurre un’accelerazione vettoriale, media e istantanea.

L’accelerazione istantanea può essere scomposta in due componenti: una parallela, l’altra perpendicolare alla velocità.

La componente parallela, at, modifica il modulo della velocità.

La componente perpendicolare, ac, (o centripeta, perchédiretta verso il centro di curvatura locale della traiettoria) modifica la direzione della velocità.

A

B

vA

ac

MOTO IN DUE DIMENSIONI

22yx aaaa +=⇒

ρ

0==dt

vda

ρ

Importante: solo se modulo -direzione - verso della velocità sono costantidurante il moto al variare del tempo t

MOTO DEI PROIETTILI

Descrizione vettoriale del moto ⇒ Sovrapposizione

•MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOVERTICALE ( ASSE Y )

• MOTO UNIFORME ORIZZONTALE( ASSE x )

cost=gρ

0=xa

Gittata

Andamento della velocità

v

Moto circolare uniformeTraiettoria circolare, velocitàcostante in modulo.Accelerazione solo centripeta di modulo “ac = v2/R = ω2R”R = raggio della circonferenzav = s/∆t modulo della velocità,ω = θ/∆t = velocità angolareEssendo: θ = s/R è s = θ R èv = θ R /∆t = (θ /∆t) R è v = ωRQuesto moto è periodico e il periodo T è pari a:T = 2πR/v = 2π/ω

La frequenza è ν = 1/T

ac

R

R

A

Bθs

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo

La direzione del vettore ∆v è lungo il raggio, verso il centro

∆∆

∆∆

vt

vt

v r= ⇒ =θ

ω ω2

T = PERIODO (s) : Tempo necessario per fare un giro completo

f = T-1 = Frequenza (s-1=Hz) : Numero di giri nell’unità di tempo

vr

Tr f m s

Tf rad s

= =

= =

−

−

22

22

1

1

π π

ω π π

( )

( )

Moto circolare uniforme

• Accelerazione centripeta:? = ω tx=R cos[ω t]y=R sen[ω t]

vx=-R w sen[ω t]vy= R w cos[ω t]

continua

ax= - R w2 cos[ω t] = - ω 2 xay= - R w2 sen[ω t] = - ω 2 y

à a= ω 2 R = v2 / R

Graficamente

Conclusione

MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

MOTO CURVO

r = raggio di curvatura nel punto P