La posizione del punto P nel piano può essere definita in due … · 2013-11-07 · • Moto...
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Il moto nel piano: coordinate cartesiane e coordinate polari La posizione del punto P nel piano può essere definita in due modi: - COORDINATE CARTESIANE x(t) y(t) - COORDINATE POLARI Come passare da un tipo di coordinate ad un altro? 28 ) ( ˆ ) ( t t r ) ( sin ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( t t r t y t t r t x ) ( ) ( ) ( tan ) ( ) ( ) ( 2 2 t x t y t t y t x t r y x P (t) x(t) y(t)
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Il moto nel piano: coordinate cartesiane e coordinate polari
La posizione del punto P nel piano può essere definita in due modi:
- COORDINATE CARTESIANE x(t) y(t)
- COORDINATE POLARI
Come passare da un tipo di coordinate ad un altro?
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)(ˆ)( ttr
)(sin)()(
)(cos)()(
ttrty
ttrtx
)(
)()(tan
)()()( 22
tx
tyt
tytxtr
y
x
P
(t)
x(t)
y(t)
Il moto nel piano: coordinate cartesiane e coordinate polari
La posizione del punto P nel piano può anche essere definita con il raggio
vettore. Mentre nei moti rettilinei abbiamo potuto trascurare la natura vettoriale
di spostamento velocità e accelerazione, nei moti sul piano, dobbiamo
considerare tali grandezze come vettori.
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y
x
P
(t)
x(t)
y(t)
)(trOP
RAGGIO VETTORE
yx
yx
utyutx
trtrtr
)()(
)()()(
ry
rx
Il moto nel piano: spostamento e velocità
30
y
x
P(t)
P(t+Dt)
Dr
O
Spostamento:
Velocità vettoriale:
Per dr diventa tangente alla
traiettoria e in modulo diventa pari allo
spostamento infinitesimo ds:
Il vettore velocità individua con la sua
direzione e il suo verso la direzione e il
verso del moto e con il suo modulo
individua la velocità istantanea con cui è
percorsa la traiettoria
dt
rd
t
rv
t
D
D
D 0lim
0Dt
)()(
)()(
trttrr
rtrttr
DD
DD
y
x
P(t)
P(t+Dt)
O
TT
T
uvudt
dsv
udsrd
v
Il moto nel piano: componenti della velocità
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y
x
P(t)
O
Componenti cartesiane
Poiché
vx e vy sono le componenti cartesiane della
velocità del punto P.
vx e vy dipendono dalla posizione degli
assi.
yyxxyx
yx
uvuvudt
dyu
dt
dx
dt
rdv
uyuxr
vx
vy
22yx vvv
v
Il moto nel piano: componenti della velocità
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Componenti polari
vr e v sono le componenti polari radiale e trasversa. La
componente radiale dipende dalle variazioni del modulo del
raggio vettore; la componente trasversa dipende dalle
variazioni di direzione del raggio vettore.
O
v
v
vr
u
dt
dru
dt
drvvv rr
Il moto nel piano: accelerazione
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2
2
dt
rd
dt
vda
dt
rdvessendo
L’accelerazione nel moto piano esprime le variazioni di velocità in modulo e
in direzione: avrà perciò 2 componenti.
Nei moti rettilinei invece abbiamo visto che essa ha un’unica
componente perchè la direzione non cambia.
Si ricava che:
La prima componente è parallela alla velocità e prende il nome di
accelerazione tangenziale, la seconda componente dipende dalla
variazione della direzione della velocità ed è ortogonale a questa; essa
prende il nome di accelerazione normale o centripeta.
NTNT uR
vu
dt
dvaaa
2
aT
aN
a
Il moto nel piano: componenti dell’accelerazione nei diversi moti
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Vediamo quali sono le componenti
• Moto rettilineo uniforme aN = 0 aT = 0
• Moto rettilineo uniformemente accelerato aN = 0 aT ≠ 0
• Moto curvilineo aN ≠ 0 aT ≠ 0
• Moto curvilineo uniforme aN ≠ 0 aT = 0
NTNT uR
vu
dt
dvaaa
2
aT
aN
a
Composizione di due moti rettilinei
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Consideriamo una pallina che rotola su un piano con velocità costante. Quando
il piano del tavolo finisce la pallina comincia a cadere a terra.
Vogliamo determinare con quale velocità toccherà terra e a quale distanza
rispetto al limite del tavolo la pallina toccherà terra.
vx
Composizione di due moti rettilinei
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Consideriamo una pallina che rotola su un piano con velocità costante. Quando
il piano del tavolo finisce la pallina comincia a cadere a terra.
Vogliamo determinare con quale velocità toccherà terra e a quale distanza
rispetto al limite del tavolo la pallina toccherà terra.
vx
y
x 0 xf
y0
Composizione di due moti rettilinei: tempo di caduta
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Se la pallina, da ferma, cadesse dall’altezza del tavolo, essendo la sua
accelerazione costante e pari a g e il moto avverrebbe lungo un’unica direzione,
quella verticale (asse y) in modo uniformemente accelerato.
vx
y
x 0 xf
Il tempo che essa
impiegherebbe per cadere
sarebbe dato da:
g
yt 02
y0
Composizione di due moti rettilinei: velocità durante la caduta
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Tuttavia la pallina non cade da ferma, bensì ha una componente di velocità
lungo l’asse orizzontale (asse x). Questo fa sì che le due velocità (orizzontale e
verticale) debbano essere composte per poter individuare la velocità finale
(direzione, verso e modulo) .
vx
y
x 0 xf
La velocità con cui si
muove la pallina dopo aver
lasciato il tavolo è:
In modulo:
yx vvv
y0 vy v
22
2 )(gtt
sv
D
D
Quindi la velocità varia al variare del tempo.
Composizione di due moti rettilinei: spostamento massimo
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La distanza dal limite del tavolo in cui la pallina toccherà terrà è la componente
orizzontale dello spostamento che sarà determinata a partire dalla componente
orizzontale della velocità e del tempo impiegato durante la caduta:
vx
y
x 0 xf
g
yvxtvxx xxf
000
2
y0
Moto circolare
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È un moto la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza. Si dice che il
moto è uniforme se la velocità con cui il punto si sposta lungo la circonferenza è
costante in modulo (ma non in direzione e verso) e l’accelerazione tangenziale è
nulla, per cui avrò solo la componente centripeta.
L’equazione oraria del moto può essere scritta in coordinate curvilinee o in
coordinate polari.
x
y
P
R
Moto circolare: velocità
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Geometricamente l’arco di circonferenza percorso è:
Il vettore velocità è tangente alla traiettoria e il suo modulo è pari alla velocità
istantanea.
Poiché la velocità istantanea è: v = ds/dt
Allora dove w è la velocità angolare; esprime il rapporto tra
l’angolo descritto dal punto in movimento e il tempo impiegato per descriverlo.
x
y
P
R
RRdt
dv w
dRds
s
RvR
v
R
v
dt
ds
RdtR
ds
dt
d
ww
w
11
Moto circolare: accelerazione
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Il vettore accelerazione è composto dai due vettori uno tangente alla traiettoria e
uno normale alla traiettoria.
La componente normale alla traiettoria dipende dalla velocità istantanea con cui
viene percorsa la traiettoria e dalla sua curvatura (R).
x
y
P
R s
RR
vau
R
vaa NNN
222
w moduloin
Moto circolare: accelerazione angolare
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x
Se il moto è circolare ma non uniforme:
Possiamo definire una grandezza nuova che è l’accelerazione angolare:
Da cui l’accelerazione vettoriale può essere scritta come:
NTNT uR
vu
dt
dvaaa
2
RR
va
Ra
R
a
dt
dv
Rdt
d
N
T
T
22
1
w
w
NTNT uRuRaaa)()( 2w
Moto circolare uniforme: equazione oraria
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L’equazione oraria del moto può essere scritta in coordinate curvilinee o in
coordinate polari.
coordinate curvilinee:
coordinate polari:
x
y
P
R
)()(
)()(
00
00
ttt
ttvsts
w
Il moto circolare è un moto periodico perciò
il punto ripassa nelle stesse posizioni ad
intervalli di tempo fissi.
Si definisce PERIODO l’intervallo di tempo
impiegato dal punto per coprire una
circonferenza; si definisce FREQUENZA il
numero di giri compiuti in un intervallo di
tempo unitario.
w
w
22
22
R
vf
v
RP
Moto circolare uniforme: coordinate del punto in movimento
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La posizione del punto in funzione del tempo può essere determinata se sono note
le coordinate del punto al passare del tempo:
ma quindi
x
y
P
0
R
)()(
)cos()(
0
0
tsenRty
tRtx
w
w
)()(
)(cos)(
tsenRty
tRtx
)()( 00 ttt w
Moto parabolico
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Analizziamo ora il moto nel vuoto di un punto P lanciato dall’origine O con
velocità iniziale v0 formante un angolo con l’asse orizzontale, x.
Vogliamo determinare:
1) Traiettoria
2) Posizione G in cui il punto ricade sull’asse x (GITTATA)
3) Massima altezza raggiunta
Nel punto in O:
Accelerazione a = g = -g uy
Posizione: r = 0
Velocità: v = v0
Istante iniziale: t0 = 0 s
v0
O G
Moto parabolico: velocità
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Il moto avviene nel piano individuato dai vettori g e v. Entrambi i vettori
possono essere quindi scomposti secondo gli assi cartesiani x e y.
Il moto è soggetto alla componente tangenziale dell’accelerazione
gravitazionale che ne fa decelerare il moto prima che il punto raggiunga la
massima altezza e fa accelerare il moto subito dopo.
La velocità è dunque esprimibile secondo la relazione:
-guy
O G
-guT
T
guT
-guy
y
x
y
t
ugtvdttavtv
0
0
0 )()(
v0
yx uvuvv
sencos 000 yx
yyx
ugtvuv
ugtuvuvtv
)sen(cos
sencos)(
00
00
Moto parabolico: spostamento
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Possiamo scrivere le leggi orarie dei moti proiettati:
Se per diversi istanti di tempo andiamo a tracciare le posizioni così calcolate
sul diagramma cartesiano, otteniamo la traiettoria del punto e vediamo che
essa è una parabola. Possiamo anche determinarlo matematicamente
ricavando il tempo dall’equazione 1 e sostituendolo nell’equazione 2.
Si ottiene:
)2(2
1)()1(cos)( 2
00 gttsenvtytvtx
2
220 cos2
tan)( xv
gxty
0
0.2
0.4
0.6
0 2 4 6 8
y
x
Moto parabolico: gittata
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Calcoliamo ora la gittata ossia la distanza da O in cui il punto tocca l’asse delle
x. In questo punto la coordinata y della posizione è nulla. Pertanto dobbiamo
porre y(x) = 0.
Abbiamo due soluzioni: per x=0 e per :
Da cui ricaviamo che l’altezza massima raggiunta è:
N.B. Si calcola che l’angolo di lancio per il quale la gittata è massima è un
angolo di 45° (/4)
0cos2
tan)( 2
220
xv
gxxy
0
0.2
0.4
0.6
0 2 4 6 8
y
x
xM MG xg
vx 2
tancos2 220
g
senvyM
2
220
