IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE

ACCELERATOProfessoressa CORONA PAOLA

Il moto di una mela che cade

Per misurare gli spostamenti è stato fissato un asse verticale orientato verso il basso che ha origine nella posizione iniziale della mela.

Durante il moto di caduta la velocità istantanea della mela aumenta e le distanze da essa percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.

La figura mostra una sequenza di scatti fotografici a intervalli regolari (0,1 s) di una mela che cade.

Il moto rettilineo uniformemente accelerato

nel moto rettilineo uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo in cui esse avvengono.

Dal grafico velocità-tempo si osserva che:

20,98 m/s 9,8 m/s0,1 sm

va at

D= = = =

D

Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato il movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con accelerazione costante.

Dai dati della mela che cade si ricava:

Il grafico spazio-tempo del moto

Infatti:

nel moto rettilineo uniformemente accelerato di un punto materiale che parte da fermo la distanza percorsa è direttamente proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

Riportando su un grafico spazio-tempo le posizioni della mela che cade da ferma, si ottiene un arco di parabola.

L’accelerazione dei corpi che cadono

Gli esperimenti nel vuoto confermano che, per esempio, una mela e una piuma restano affiancate per tutta la caduta.

Tutti i corpi che cadono da fermi vicino alla superficie terrestre scendono verticalmente verso il basso con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2 (accelerazione di gravità).

Galileo per primo sostenne che, in assenza dell’aria, tutti i corpi cadrebbero di moto uniformemente accelerato con la stessa accelerazione.

Le leggi del moto (con v0 = 0)

uLa legge della velocità

La legge della velocità fornisce la velocità istantanea di un punto materiale a ogni istante successivo all’inizio del moto (t = 0).

Se la velocità iniziale è nulla (partenza da fermo) e l’accelerazione è costante, la legge della velocità è:

Le leggi del moto (con v0 = 0)

uLa legge della velocità - grafico

Il grafico velocità-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è una retta che passa per l’origine (la velocità v e il tempo t sono direttamente proporzionali).

La legge della velocità - dimostrazione

Dalla definizione di accelerazione media tra l’istante iniziale t0 = 0 e un generico istante t in cui la velocità è v, vale la relazione:

0

0

00

v vv v vat t t t t

-D -= = = =D - -

da cui: v at=

Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

uLa legge della posizione

Per un punto materiale che parte da fermo dall’origine all’istante t = 0 e che si muove con accelerazione costante, la legge della posizione (o legge oraria del moto) è:

Il grafico spazio-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è un arco di parabola con vertice nell’origine.

Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

uArea e spostamento

Moto rettilineo uniforme:

Lo spostamento compiuto in un intervallo di tempo è dato dall’area sotto il grafico velocità-tempo entro tale intervallo.

area = vt

= s vt

Moto uniformemente accelerato:

( ) 21 1area = 2 2t at at=

21 = 2

s at

tD

Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

uIl calcolo del tempo

Perciò, per un punto materiale che parte

§ da fermo, § dall’origine degli assi, § con accelerazione costante,

il tempo per raggiungere la posizione s è dato da:

2 21 2 2 = 2

s ss at t ta a

Þ = Þ =

Dalla legge della posizione segue che:

Le leggi del moto (con v0 ≠ 0)

uLa legge generale della velocità istantanea

Il corrispondente grafico velocità-tempo è una retta che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata v0.

Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0, la legge della velocità è:

Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

uLa legge generale della posizione

Il corrispondente grafico spazio-tempo è un ramo di parabola che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata s0.

Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale s0 e velocità iniziale v0, la legge della posizione è:

Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

uLa legge generale della posizione - dimostrazione

Lo spostamento dopo un tempo tdall’istante iniziale si calcola come area della superficie sottesa dal grafico velocità-tempo in tale intervallo (cioè l’area del trapezio evidenziato nel grafico):

sD

area

20 0

1area 2

s s s v t at= D = - = +da cui:

Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

uSpostamento e velocità

Mettendo a sistema le leggi del moto uniformemente accelerato è possibile ricavare una formula che lega direttamente lo spostamento alla velocità, utile ad esempio, per il calcolo della distanza di arresto:

00

220 00 0

0 0

1 12 2

v vtv v at av v v vs s v t at s s v aa a

-ì == +ì ïï ïÞí í- -= + + æ öï ï = + +î ç ÷ï è øî

Da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene:

Il grafico accelerazione-tempo

Poiché l’accelerazione nel moto uniformemente accelerato è costante, il grafico accelerazione-tempo è un segmento orizzontale

§ nel semipiano positivo se a > 0 (velocità crescente);

§ nel semipiano negativo se a < 0 (velocità decrescente);

§ sull’asse dei tempi se a = 0 (moto uniforme).

Grafico velocità-tempo Grafico accelerazione-tempo

Il lancio verticale verso l’altouLa salita

L’accelerazione di gravità g agisce su tutti i corpi vicini alla superficie terrestre, siano essi in caduta o lanciati verso l’alto.

Se l’asse verticale è verso l’alto, con l’origine nel punto di lancio, durante la salita la palla ha:

§ velocità iniziale v0 positiva (stesso verso dell’asse)

§ accelerazione di gravità negativa(verso opposto rispetto all’asse).

Le leggi del moto diventano: 20 0

1; 2

v v gt s v t gt= - = -

Il lancio verticale verso l’altouIl tempo di salita

La posizione più alta raggiunta dalla palla è quella in cui la velocità si annulla istantaneamente, prima di invertire il moto.Dalla legge della velocità si ricava l’istante di tempo in cui si raggiunge l’altezza massima:

da cui:

0 max0 v gt= -

Il lancio verticale verso l’altouL’altezza massima

Per ricavare l’altezza massima si pone t = tmax

nella legge della posizione:

da cui:

2 2 22 0 0 0 0

max 0 max max 01 12 2 2

v v v vs v t gt v gg g g g

æ ö= - = - = -ç ÷

è ø

Il lancio verticale verso l’altouTempo di volo e velocità al ritorno

L’accelerazione è sempre la stessa (pari a -g) durante tutto il lancio.

Ne consegue che:

Il moto di salita e il moto di discesa sono simmetrici.Ovvero che:

Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita tmax e la velocità al ritorno è -v0, uguale in modulo alla velocità di lancio, ma con verso opposto.

Il lancio verticale verso l’altouGrafici spazio-tempo e velocità-tempo

Il grafico v-t è una retta inclinata verso il basso, che taglia l’asse del tempo in corrispondenza dell’istante di inversione del moto.

Il grafico s-t è un arco di parabola con la concavità verso il basso, il cui vertice corrisponde al punto di inversione (altezza massima).

Grafici spazio-tempo e velocità-tempouDiscesa con velocità iniziale nulla

L’atleta parte da fermo. Nel tratto rettilineo l’accelerazione è circa 4 m/s2.

Il grafico v-t è una semiretta uscente dall’origine. In ogni secondo la velocità aumenta di 4 m/s.

Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice nell’origine. In ogni secondo l’atleta percorre 4 m in più del secondo precedente.

Grafici spazio-tempo e velocità-tempouPiù veloce

Dopo 10 m alla velocità di 3 m/s il conducente accelera di 2 m/s2

per 5 s.

Il grafico v-t è una semiretta che non passa per l’origine perché la velocità iniziale non è nulla.

Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice che non è nell’origine. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.

Grafici spazio-tempo e velocità-tempouSalita e discesa

Con velocità iniziale di 8 m/s e accelerazione di 4 m/s2 il ragazzo arriva in cima con velocità nulla, si gira e scende sempre più veloce.

La velocità si riduce di 4 m/s in ogni secondo: è positiva (in salita), si annulla all’inversione, diventa negativa (in discesa).

Il vertice della parabola è il punto di inversione del moto. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali si accorciano in salita e aumentano in discesa.