CORSO DI BIOFISICA - UniTE...I corpi in caduta libera si muovono di moto rettilineo uniformemente...

CORSO DI BIOFISICA

•IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E’

•AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L’UNIVERSITA’ DI

TERAMO

•LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAI TESTI

DI RIFERIMENTO:

“FONDAMENTI DI FISICA” DI D. HALLIDAY, R. RESNICK, J.

WALKER, ED. CEA.

•“FONDAMENTI DI FISICA” DI P. KESTEN, D. TAUCK, ED.

ZANICHELLI

MECCANICA: CINEMATICA E DINAMICA

Lo studio del moto degli oggetti e i relativi concetti di forza e di energia,

costituiscono la Meccanica.

Il movimento o moto di un oggetto fa parte della vita quotidiana.

Il moto certamente è stato il primo aspetto del mondo fisico ad essere

studiato, anche se gli antichi compresero molto del moto, solo recentemente

nel 1500 -1600, si è avuta una comprensione moderna di esso.

Cinematicache riguarda la

descrizione di come si muovono gli oggetti

Dinamicache riguarda le cause

del moto

La meccanica, si divide in due parti:

CINEMATICA

Il termine deriva dal francese cinématique che a sua volta lo derivava dal greco kínēma-atos, movimento. da kinéō "pongo in movimento"

Iniziamo a trattare il moto traslazionale, cioè moto che non presenta rotazioni. Inizialmente tratteremo il moto lungo una linea retta (moto unidimensionale) o rettilineo.

Un corpo è in moto se cambia posizione nel tempo.

Nel caso unidimensionale la posizione è definita mediante una coordinata

determinata in un sistema di riferimento costituito da una retta orientata sulla

quale è stato fissato una origine: vettore posizione P

Lo spostamento è avvenuto in un determinato intervallo di tempo t = t2 – t1

Un dato spostamento avviene tanto più rapidamente quanto minore è il tempo nel quale è avvenuto

Spostamento S = P(x2) – P(x1) = x1 – x2

0 xx

1

P(x1)

x0 x2

P(x2)

x0 x2

S = P(x2) – P(x1)

Posizione all’istante t1

Posizione all’istante t2

Posizione - Spostamento

Posizione e spostamento in due dimensioni

x

y

x1

y1P(x1,y1)

x

y

x1

y1

Pa(x1,y1)Pb(x2,y1)

Pc(x2,y2)

Percorso: Pa PcPb

Spostamento = Pa Pc

Vettore posizione = vettore con origine nell’origine del sistema di riferimento e la punta estrema nel punto P

Vettore spostamento = vettore con origine nel punto di partenza Pa e la punta estrema nel punto di arrivo Pc

B

A

01r

2r

12 rrsΔ

−=

Si definisce vettore spostamento la differenza tra laposizione finale e la posizione iniziale.

Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il moto è rettilineo, in generale sono grandezze diverse

sΔ

VETTORE SPOSTAMENTO

NOTAZIONE Δ:VARIAZIONE DI UNA GRANDEZZA

Punto iniziale Pi:

ti = 12h 04min

li = 16˙275,50 km

Punto finale Pf:

tf = 12h 14min

lf = 16˙285,50 km

lf – li = 10 km = Δl

tf – ti = 10 min = Δt

12

12

tt

xx

t

xv

−

−=

=

m

vs

=

La rapidità con la quale avviene unospostamento è definita velocità v.

La velocità vettoriale media è il rapportotra lo spostamento avvenuto in un datointervallo di tempo e l’intervallo di tempostesso:

L’ unità di misura della velocità è:

Moto rettilineo: velocità media

Velocità = grandezza vettoriale in quanto rapporto tra un vettore e uno scalare

Posizione a t = 0

Un grafico posizione in funzione del tempo forma una curva in un piano che

ci fornisce tutte le informazioni sul moto (unidimensionale) del nostro

corpo. Questa è la rappresentazione grafica della legge oraria.

Moto rettilineo

tan() = pendenza della retta =

La velocità media è la pendenza della retta che unisce due punti sulla

curva x(t).

Il modulo della velocità media è uguale al valore assoluto della

pendenza della retta ed il segno è sempre uguale a quello dello

spostamento poiché Δt è sempre positivo.


Un automobilista percorre 8.2 km alla velocità di 68.3 km/h. Rimane senza benzina e cammina fino ad un distributore distante 2.2 km impiegando 30 minuti per raggiungerlo. Quale è la velocità media dalla partenza al distributore?

txv = /

Δx = 8.2 km + 2.2 km = 10.4 km

Δt1 = 8.2 km / 68.3 km/h = 0.12 h ; t2 = 0.5 h ; Δt =Δt1+t2 = 0.62 h

v = 10.4 km / 0.62 h = 16.67 km/h

Tempo (h)

Macchina si fermaDistributore


VELOCITA’ ISTANTANEA: VETTORIALE E SCALARE

t 0x d

vx

t dtlim →

=

t

x

t1 t2

x2

x1t

s

La velocità istantanea vettoriale è la velocità di spostamento di una

particella in un dato istante.

La velocità vettoriale si ottiene dalla velocità vettoriale media

restringendo l’intervallo di tempo in modo che Δt si avvicini sempre

più allo zero.

Questo procedimento di passaggio al limite costituisce la

operazione di derivazione di una funzione o altrimenti detta

derivata della funzione.

Se si calcola questo rapporto incrementale al limite per t che

tende a zero, cioè per t2 sempre più prossimo a t1, la corda che

unisce i due punti della curva (ipotenusa del triangolo rettangolo)

verrà a giacere sulla retta tangente alla curva in corrispondenza di

t1. La tangente di questa retta è la pendenza della curva in

corrispondenza di t1 e quindi la velocità istantanea definita come

derivata della funzione s(t) in corrispondenza di un prescelto

valore del tempo.

VELOCITA’ ISTANTANEA VETTORIALE

Regole di derivazione

f(x) e g(x) sono due funzioni qualunque

VELOCITA’ ISTANTANEA SCALARE

La velocità istantanea scalare è il modulo della velocità vettoriale e

cioè coincide con la velocità vettoriale privata di qualunque cenno

alla direzione.

Esempio: Il tachimetro di un automobile misura la velocità scalare,

ma non quella vettoriale, perché non può fornire informazioni sula

direzione del moto.

•vcost = 10 m/s.

•Posizione iniziale: t=0, l=0

•Ogni secondo, l=10 m

La velocità, cioè la rapidità di variazione dello spazio percorso nel tempo, è costante → il diagramma orario è una retta.

Si ha quando la velocità è costante. In questo caso velocità media e

velocità istantanea coincidono.

Moto rettilineo uniforme

•v =30 m/s costante

•La curva è una retta orizzontale.

•Area del rettangolo = spazio percorso.

•t = 5 s

•l = v·t = 30·5 = 150 m

Abbiamo t: quindi proporzionalità diretta tra lo spaziopercorso x ed il tempo impiegato a percorrerlo

x = area sottesa dalla curva v in funzione del tempo nell’intervallo di tempo considerato

Moto rettilineo uniforme

v = costante: legge oraria

( )0

x t

x 0

0

0

dxv

dt

dx vdt

dx vdt v t 0

x x vt

x vt x

=

=

= = −

− =

= +

Moto rettilineo: accelerazione

E’ una misura della variazione di velocità nel tempo.

t

v

tt

vva

=

−

−=

12

12Accelerazione media:

Accelerazione istantanea:dt

dva=

2

mmsa

s s= =

ttt d

dlim

vva =

=

→ 0 td

dsv =

2

2

ttt d

d

d

d

d

d ssa =

=

L'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento rispetto altempo.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

•Moto uniformemente accelerato

a = costante (uniforme)

Il moto è rettilineo

a = at = costante

0 0

0

0

0

va

t

v a t v v v t t t

posto t 0

v v at

v v at

;

=

= = − = −

=

− =

= +t

v

v0

a costante

t

a

In questo caso lo spazio s(t) percorso tra l’istante iniziale t = 0, al quale

corrisponde la velocità v0, e il generico istante t, geometricamente sarà

l’area del parallelogramma avente basi v0 e v0+at

t

v

v0

0 t

0v v at= +


CINEMATICA: ACCELERAZIONE

•Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante

•ti = 0, vi = v(ti=0) = v0•tf = t, vf = v(tf=t) = v

ifΔ

Δ

ttt −

−== if

vvva

Applico la definizione di a

t

vva 0

−=

atvv 0 += 1a equazione del m.u.a

v > v0 → a positivav < v0 → a negativa


( )vvv += 0media2

1


•Si definisce il valore medio della velocità:

v0 > 0

v < 0vmedia < v0 (può anche essere negativa)


2a equazione del m.u.a

( )tvvtvs +== 0media2

1

Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante

Ricordando che vmedia=s/t,

Valida in entrambi i casi:

– v0 > 0 e v > 0,

– v0 > 0 e v < 0, la direzione del moto si inverte

Il valore medio della velocità è raggiunto alla metà del tempo del

viaggio e non nel punto a metà strada nello spazio.

Teorema del valore

medio della velocità



v0t = spostamento del corpo mentre procede alla velocità iniziale v0, anche se non accelera;

1/2at2 = spostamento che il corpo subisce, quando la sua velocità aumenta oltre il valore v0.

Se a < 0 → 1/2at2 < 0 e il corpo rallenta: in questo caso non riuscirà mai a raggiungere la velocità v0.


Sostituiamo la prima nella terza:

( )tvvs += 02

1atvv += 0

( )tatvvs ++= 002

1

( )20 attvs += 22

1 20 attvs

2

1+= 4a equazione del m.u.a


( )vvv += 0media2

1atvv += 0

Risolvo in t

a

vvt 0

−=

tvs media=

( )a

vv

a

vvvvs

22

1 202

00

−=

−+=

asvv 2202 +=

2

0

22 vvas −=


Sostituiamo la prima nella terza:



atvv 0 +=

( )vvv += 0media2

1

2

0 attvs2

1+=


1

asvv 2202 +=


Equazione Grandezza mancante

x - x0

a

v

t

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g)

•L’accelerazione è la stessa per tutti i corpi, ma non è esattamente costante in tutti i punti della terra (decresce al crescere della quota – a 1000 m s.l.m. è circa minore dello 0.03% rispetto al l.m.).

L’accelerazione di gravità dipende:

– dalla gravità (in massima parte);

– dalla rotazione del pianeta intorno al proprio asse (in minima parte ≈ 0.4 %, generalmente trascurato)

• Tale contributo è negativo: se la terra si fermasse intorno al proprio asse, l’accelerazione di gravità aumenterebbe ovunque.

I corpi in caduta libera si muovono di moto rettilineo

uniformemente accelerato (lungo la verticale) in cui la

accelerazione è pari ad una costante detta accelerazione di gravità

ed indicata con la lettera g.

Il valore medio di g è pari a: 9.80665 m/s2

a = g

z

Se lo orientiamo verso il basso, avremo a = g

a = - g zLa accelerazione è sempre diretta verso il basso per cui se orientiamo l’asse verticale verso l’alto avremo a = -g

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g)

•g è costante → moto uniformemente accelerato →tutte le equazioni sono valide.

gtvv 0 +=

( )vvv += 0media2

1


1

2

0 gttvs2

1+=

gsvv 2202 +=


Qualunque corpo che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con

velocità iniziale v0 ed accelerazione di gravità g costante diretta

verso il basso, segue un moto detto moto di un proiettile.

Mentre il corpo si muove

orizzontalmente, è soggetto per

effetto della gravità ad un moto

verticale

➢ Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si

influenzano a vicenda;

➢ Il moto orizzontale è rettilineo uniforme;

➢ Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato.

Sperimentalmente si può evidenziare che:

x

y

MOTO DEI PROIETTILI

Moto orizzontale

x - x0 = vox t

x - x0 = (vo cos θo)t

Moto verticale

y – y0 = voy t – 1/2 gt2

v2y= (vo sin θo)2 – 2g (y - y0)

=

=

sin

cos

00

00

vv

vv

y

x

Se v0 è la velocità di lancio,

all’istante iniziale t0=0 si ha:

MOTO DEI PROIETTILI

L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è

l’equazione di una parabola

2

2

02

1x

v

gy =

2

02

1

v

gk =, posto si ha

2kxy =

=

=

gtvy

vv 0x

=

=

2

0

2

1gt y

t vx

Se v0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t0=0 si ha:

mentre in un generico istante t successivo a t0 si ha:

=

=

00

00

y

x

v

vv

e

Da cui si ottiene

MOTO DEI PROIETTILI

Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale

vxtvxR == max

Come si può ottenere la massima gittata possibile?

, dove tv è il tempo di volo del proiettile

( )

===

g

vvRtvxR vx

sin2cos 00max

gvR

2sin20=

La gittata massima si ha incorrispondenza di sin 2θ = 1,cioè θ = 45º:

g

vR

2

0max =

MOTO DEI PROIETTILI: LA GITTATA

MOTI CURVILINEI:Il moto circolare uniforme

o

R

P

P(t)

Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza:

Siano r0 il vettore posizione iniziale di P

θ0 l’angolo che r0 forma con l’asse x

r il vettore posizione finale di P

θ l’angolo che r forma con l’asse x

0

−=

Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto:t

=

r0r θ

θ0

essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni

istante, uguale alla velocità angolare media:

=i

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità di modulo costante.

Il moto circolare uniforme:velocità angolare

Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il

cammino Δl percorso dal punto materiale sulla

circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza

dell’arco di circonferenza corrispondente, esiste la

relazione:= Rl

o RP0

P

Δθ

Il moto circolare uniforme:velocità tangenziale

Un radiante (rad) è l’angolo sotteso ad un arco la cui lunghezza l è

uguale proprio al raggio.

Considerando che in un giro completo ci sono 360° e questo deve,

ovviamente, corrispondere ad un arco di lunghezza pari all’intera

circonferenza, l = 2r. Si ha quindi che 360° = 2 rad

Un radiante corrisponde q 360°/2 = 360°/6.28 = 57.3°

= Rl

Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo dellavelocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale vt, infatti:

tt

vv

radianti velocità angolare che si misura in

secondo

t

l Rt R v

t t

t

Rl

=

= = =

=

= Rtv

o RP0

P

Δθ

Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ed in generale esprime la relazione travelocità angolare istantanea e velocità tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi.

Il moto circolare uniforme:velocità tangenziale

P0o R

P

Δθ

ta

= t

v

In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità tangenziale è

costante, ma direzione e verso cambiano, pertanto è sempre

presente una variazione di velocità Δvt e di conseguenza una

accelerazione.

Il moto circolare uniforme:accelerazione

L’accelerazione media è definita dal rapporto:

Δvt è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si

parla di accelerazione centripeta ac

2

2

RRt

ac ==

= tt

vv

v1

v2

d

v

Il moto circolare uniforme:accelerazione

Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del moto

dopo il quale il moto riassume le stesse proprietà

Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell’unita di tempo,

è legata al periodo dalla relazione:T

1=

Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete

ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria,

dopo intervalli di tempo uguali.

è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:

= 2 ν

Il moto circolare uniforme

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