Caratteristiche della sollecitazione

ITIS “G. Marconi” – Bari Corso di Meccanica Applic. e Macchine a Fluido Caratteristiche della Sollecitazione 4a serale prof. Ing. Nazzareno Corigliano

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CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE PREMESSA E DEFINIZIONI

Ci siamo occupati, in precedenza, dell’equilibrio statico dei corpi rigidi ed abbiamo

affrontato e risolto il problema della ricerca delle reazioni vincolari per un’asta rigida vincolata nel

piano. Ora, più realisticamente, considereremo i corpi non più rigidi ma elastici e deformabili.

Studieremo le sollecitazioni su una

TRAVE che viene definita come un solido

generato dalla traslazione lungo un asse

(generalmente rettilineo) di una figura piana di

forma qualsiasi (fig.1) e composto di materiale

elastico, omogeneo ed isotropo.

Omogeneo è un materiale che presenta le stesse caratteristiche fisiche in ogni punto, mentre

se le presenta uguali anche in ogni direzione allora si dice isotropo.

Elastico è un materiale che pur deformandosi, sotto l’azione di forze esterne, al cessare del

loro effetto torna nelle dimensioni e nella forma originali.

Si tratta quindi di qualità che ci semplificano il problema ma che nella realtà dei materiali da

costruzione non sono sempre rispettate. Ad esempio, il legno, il cemento, la pietra non sono né

omogenei né isotropi mentre l’acciaio, i metalli e molte materie plastiche lo sono abbastanza. In

quanto al comportamento elastico, in tutti i materiali, lo possiamo riscontrare più o meno evidente

ma solo entro certi limiti di carico al di sopra del quale le deformazioni diventano permanenti e

portano alla rottura. Tuttavia, se consideriamo che ci preoccupiamo di progettare ed impiegare le

nostre strutture limitando i possibili carichi affinché provochino deformazioni solo nel campo

elastico, è chiaro che praticamente l’elasticità è una ipotesi plausibile.

EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE

Se consideriamo la nostra trave caricata da una serie di forze o SOLLECITAZIONI esterne,

comprese le reazioni vincolari, esse metteranno in movimento la trave fino a quando si ferma in una

nuova configurazione di equilibrio ma DEFORMATA.

Possiamo pensare che durante la deformazione il materiale della trave ha reagito

internamente, in ogni punto, con una serie di piccole forze che si sono opposte all’azione

Fig. 1 – Trave


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deformante del carico esterno fino ad equilibrarlo. Le stesse piccole forze, che chiameremo

TENSIONI interne, sono responsabili, al cessare del carico esterno, del movimento contrario,

definito ritorno elastico, della trave alla sua forma originale.

La catena di eventi spiegata appare interessante perché pone la necessità dell’esistenza di

questo stato di tensioni interne che vale la pena studiare.

Intanto, essendo diffuse in ogni punto del materiale, tali

tensioni avranno l’unità di misura di una pressione, esempio N/mm2.

Poi se immaginiamo, in un punto di una sezione qualsiasi della trave,

la generica tensione S la potremmo

sempre scomporre in una componente

σ perpendicolare alla sezione e in

una componente τ giacente su di essa (fig. 2).

Le tensioni normali σ si opporranno agli allungamenti e

accorciamenti cioè alle deformazioni che provocano allontanamento

o avvicinamento tra le sezioni. Le conseguenti deformazioni

unitarie le indicheremo con 0

0

L

LL −=ε (fig. 3).

Le tensioni tangenziali τ si

opporranno agli scorrimenti cioè alle

deformazioni che provocano slittamento tra le

sezioni o, lineare, secondo una direzione

giacente sulla sezione, o rotatorio, rispetto ad

un asse normale alla sezione. Le conseguenti

deformazioni unitarie le indicheremo con

l’angolo 0L

a=γ (fig. 4).

Per le due tensioni e le relative

deformazioni unitarie vale la relazione di proporzionalità diretta stabilita dalla legge di Hooke:

εσ ⋅= E e γτ ⋅= G

dove E e G sono i moduli di elasticità normale e tangenziale, costanti caratteristiche del materiale

della trave. Le due preziose relazioni saranno alla base dei calcoli di progetto e verifica.

Fig. 2 – Tensioni interne

Fig. 3 – Allungamento e

tensione normale

Fig. 4 – Scorrimenti e tensione tangenziale


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CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE

Supponiamo ora di avere (fig. 5)

una trave rigida, nello spazio, soggetta

all’azione di varie forze, comprese le

reazioni vincolari, e consideriamo una

generica sezione S della trave.

La sezione S si trova in perfetto

equilibrio sotto l’azione di tutte le forze

alla sua sinistra e alla sua destra. Possiamo

inoltre asserire che nella sezione S la parte

di trave alla sua destra comunica un’azione equilibrante alla parte a sinistra, e viceversa (l’una parte

sorregge l’altra), tanto che se separiamo in S le due parti si viene a rompere l’equilibrio e le due

parti di trave precipitano sotto l’azione delle forze non più equilibrate.

Se vogliamo che la parte di sinistra rimanga in equilibrio anche dopo la separazione allora,

ovviamente, dobbiamo applicare nel baricentro

della sezione S la risultante di tutte le forze

presenti sulla parte di destra, che tramite essa

agivano sul resto della trave, e la risultante dei

loro momenti rispetto ad S.

La risultante delle forze la possiamo

scomporre nelle tre componenti lungo le

direzioni degli assi coordinati (x, y, z) e cioè: N,

Tx e Ty mentre, il momento risultante lo

possiamo scomporre nei tre momenti intorno gli

assi coordinati: M fx, M fy e M t. Queste 6 azioni

(3 forze e 3 momenti) rappresentano l’azione

complessiva che la parte di sinistra della trave

esercitava su quella di destra nella sezione S.

Naturalmente le stesse azioni, ma con i versi opposti, rappresentano l’azione della parte di sinistra

su quella di destra, così come illustrato nella fig. 6. Le 6 azioni, ora dette, vengono chiamate

CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE nella sezione S e vengono meglio definite nella

seguente tabella:

Fig. 5 – Trave caricata nello spazio

Fig. 6 – Caratteristiche di sollecitazione nello spazio


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N sforzo normale

agente lungo l’asse longitudinale z (normale alla sezione S), provoca allungamento, se di trazione, e accorciamento, se di compressione, quindi tensioni normali σ .

Tx e Ty sforzi di taglio

agenti lungo gli assi trasversali x e y (giacenti sulla sezione S), provocano taglio (azione di tranciatura) cioè scorrimento lineare tra le sezioni, quindi tensioni tangenziali τ .

M fx e M fy momenti flettenti

agenti intorno gli assi trasversali x e y (giacenti sulla sezione S), provocano la flessione (ossia il piegamento) della trave sui piani yz e xz. Con tale deformazione si hanno fibre tese (cioè allungate) e fibre compresse (cioè accorciate), quindi tensioni normali σ .

M t momento torcente

agente intorno all’asse longitudinale z, provoca la torsione (attorcigliamento) della trave intorno all’asse z, cioè le sezioni ruotano le une rispetto alle altre avendosi scorrimento rotatorio, quindi tensioni tangenziali τ .

Se introduciamo l’ulteriore

ipotesi, per altro abbastanza

attinente a molti casi pratici, di

considerare tutti i carichi giacenti

sul piano mediano della trave,

contenente l’asse z, avremo una

notevole semplificazione giacché le

nostre caratteristiche di

sollecitazione si riducono a tre

soltanto e cioè: sforzo normale N,

taglio T e momento flettente M f ,

così come mostrato in fig. 7.

Il nostro nuovo problema

sarà ora quello di andare a

determinare il valore delle tre caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione di un sistema piano

isostatico, costituito da travi variamente caricate e vincolate. Tali valori verranno rappresentati con

Fig. 7 – Caratteristiche di sollecitazione nel piano


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opportuni diagrammi da cui sarà immediato riconoscere la sezione

più sollecitata ed il corrispondente valore di sollecitazione massima

utile alla progettazione.

Per prima cosa stabiliamo la convenzione sui segni delle

caratteristiche di sollecitazione. Nella fig. 8 vengono rappresentati i

versi POSITIVI delle forze orizzontali, che provocano sforzo

normale, e verticali, che provocano taglio, a seconda che si guardi a

destra o a sinistra di S. Inoltre vengono rappresentati, per le stesse

condizioni, anche i versi positivi dei momenti flettenti. Ovviamente i

versi NEGATIVI saranno quelli opposti.

In definitiva avremo:

per lo sforzo normale N, guardando a sinistra di S le forze saranno positive se andranno

verso sinistra e negative se andranno verso destra; invece,

guardando a destra di S le forze saranno positive se andranno

verso destra e negative se andranno verso sinistra;

per il taglio T, guardando a sinistra di S le forze saranno positive se andranno verso l’alto e

negative se andranno verso il basso; invece, guardando a

destra di S le forze saranno positive se andranno verso il

basso e negative se andranno verso l’alto;

per il momento flettente M, guardando a sinistra di S i momenti saranno positivi se

provocheranno rotazioni orarie e negativi se provocheranno

rotazioni antiorarie; invece, guardando a destra di S i

momenti saranno positivi se provocheranno rotazioni

antiorarie e negativi se provocheranno rotazioni orarie.

I DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI

Per poter disegnare, in opportuna scala, i diagrammi delle sollecitazioni basta seguire poche

semplici regole la prima delle quali è che in ogni sezione della trave:

lo sforzo normale N è dato o dalla somma di tutte le forze orizzontali presenti a sinistra o

dalla somma di tutte le forze orizzontali presenti a destra, tenendo conto della convenzione sui

segni;

Fig. 8 – Convenzione sui segni


PAG. 6

il taglio T è dato o dalla somma di tutte le forze verticali presenti a sinistra o dalla somma di

tutte le forze verticali presenti a destra, tenendo conto della convenzione sui segni;

il momento flettente M è dato o dalla somma dei momenti di tutte le forze presenti a

sinistra (calcolati rispetto alla sezione) più eventuali momenti applicati o dalla somma dei momenti

di tutte le forze presenti a destra (calcolati rispetto alla sezione) più eventuali momenti applicati,

tenendo conto della convenzione sui segni.

In secondo luogo, occorre considerare che le sezioni significative, dove operare i calcoli,

sono solo quelle in cui vi è l’applicazione di un carico o una reazione vincolare, giacché, nei tratti

intermedi, sforzo normale e taglio si mantengono costanti mentre il momento flettente varia

linearmente. Solo nei tratti caricati con carico ripartito occorrerà considerare una sezione generica

per determinare la legge di variazione del taglio che è lineare e quella del momento che ha

andamento parabolico.

Tra il diagramma del taglio e quello del momento flettente corre una stretta relazione, la

legge del taglio è di un ordine di grande inferiore a quella del momento (la legge del taglio si ottiene

per derivazione da quella del momento), dove il taglio è costante il momento è lineare, dove il

taglio è lineare il momento è parabolico. Inoltre, dove il taglio è positivo il momento è crescente e

dove il taglio è negativo il momento è decrescente.

Vediamo un primo esempio

considerando la trave appoggiata con

carico concentrato in fig. 9.

Per prima cosa, fig. 10,

ridisegniamo la trave scomponendo il

carico F nelle componenti

)cos(α⋅= FFX e )sin(α⋅= FFY e

sostituendo i vincoli con le reazioni vincolari

l

bFR YA =

l

aFR YBY = XBX FR =

Dopo aver fissato delle opportune scale di rappresentazione per le lunghezze, le forze ed i

momenti, possiamo riportare sotto la linea fondamentale rappresentante la trave e su di essa

costruire il diagramma dello sforzo normale N (fig. 10). Possiamo notare come, fissata una

qualunque sezione nel tratto AC, guardando a sinistra non ci sono forze orizzontali mentre

guardando a destra si trovano XF e BXR che sono uguali e contrarie e quindi la loro somma è nulla;

di conseguenza in tale tratto non c’é sforzo normale. Fissando una generica sezione del tratto CB e

Fig. 9 – Trave appoggiata con carico concentrato


PAG. 7

guardando a sinistra si trova

la forza di trazione XF

mentre, guardando a destra

troviamo XBX FR = , quindi

in tale tratto avremo uno

sforzo normale di trazione

costante pari a XF che nel

grafico è stato riportato

nella parte superiore della

trave (appunto quella

positiva).

Possiamo passare al

diagramma del taglio (fig.

10). Nel tratto AC, fissata

una qualsiasi sezione e

guardando alla sua sinistra

troviamo AR quindi, in

questo tratto il valore del

taglio sarà costante, positivo

(perché AR è rivolta verso

l’alto) e pari ad l

bFR YA ⋅= . Se avessimo guardato a destra avremmo avuto YF (positiva) e BYR

(negativa) quindi il taglio sarebbe stato l

bF

l

alF

l

aF

l

aFFRF YYYYYBYY ⋅=

−=

−=⋅−=− 1

uguale a quanto trovato prima. Considerando una generica sezione del tratto CB e guardando alla

sua destra troviamo la forza BYR (negativa perché rivolta verso l’alto) e quindi in questo tratto il

taglio è costante, negativo e pari a l

aFY ⋅ . Anche in questo caso, guardando a sinistra avremmo

avuto lo stesso risultato dalla differenza YA FR − .

Infine costruiamo il diagramma del momento flettente (fig. 10). Nella sezione del punto A

non ci sono momenti applicati e se guardiamo alla sinistra non ci sono forze che danno momento

quindi possiamo ritenere che il momento in tale punto sia nullo (facciamo osservare che se

Fig. 10 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave appoggiata con carico concentrato


PAG. 8

avessimo guardato a destra avremmo visto due forze, YF e BYR , che danno momenti contrari quindi

il momento totale sarebbe risultato sempre nullo: 0=⋅−⋅⋅=⋅−⋅ aFll

aFaFlR YYYBY ). Per una

qualunque sezione compresa tra A e C, guardando a sinistra, il momento è dato da AR per la

distanza della sezione da A (positivo perché fa ruotare in senso orario) e, poiché, andando da A

verso C, la distanza aumenta, il momento è linearmente crescente (in accordo con il fatto che il

taglio è costante e positivo) fino al valore massimo, in C, pari a l

abFaRM YA ⋅=⋅=max .

Considerando una generica sezione del tratto CB e guardando alla sua destra troviamo che l’unica

forza capace di dare momento è BYR . Tale momento (positivo perché fa ruotare in senso antiorario)

è dato da BYR per la distanza della sezione da B e, poiché, andando da C verso B, la distanza

diminuisce, il momento è linearmente decrescente (in accordo con il fatto che il taglio è costante e

negativo) fino al valore minimo, in B, pari a zero. Anche in questo caso se si fosse guardato alla

sinistra della generica sezione, dalla somma del momento positivo dato da AR e di quello negativo

dato da YF , si avrebbe ottenuto lo stesso risultato. Si fa notare inoltre, come ulteriore regola, che il

diagramma del momento flettente è disegnato sempre dalla parte delle fibre tese della trave.

Consideriamo ora il caso di una trave incastrata con carico concentrato, come illustrato nella

fig. 11.

Anche in questo caso, per prima

cosa, fig. 12, ridisegniamo la trave

scomponendo il carico F nelle componenti

)cos(α⋅= FFX e )sin(α⋅= FFY e,

sostituendo il vincolo con le reazioni

vincolari

XAX FR = YAY FR = e il momento d’incastro lFM YA ⋅=

Dopo aver fissato delle opportune scale di rappresentazione per le lunghezze, le forze ed i

momenti, possiamo riportare sotto la linea fondamentale rappresentante la trave e su di essa

costruire il diagramma dello sforzo normale N (fig. 12). Considerando una generica sezione del

tratto AB e guardando a sinistra si trova la forza orizzontale di compressione XAX FR = ; quindi, per

tutta la lunghezza della trave, avremo uno sforzo normale di compressione costante pari a XF che

nel grafico è stato disegnato nella parte inferiore della trave (appunto quella negativa).

Fig. 11 – Trave incastrata con carico concentrato


PAG. 9

Per quanto

riguarda il diagramma

del taglio (fig. 12)

consideriamo una

generica sezione del

tratto AB e guardando

alla sua sinistra

troviamo la forza

verticale AYR (positiva

perché rivolta verso

l’alto) e quindi, per

tutta la lunghezza della

trave, il taglio è

costante, positivo e pari

a YAY FR = .

Passiamo al

diagramma del

momento flettente (fig.

12) considerando una

generica sezione del

tratto AB e guardando alla sua destra. Troviamo che l’unica forza capace di dare momento è YF .

Tale momento (negativo perché fa ruotare in senso orario) è dato da YF per la distanza della

sezione da B e, poiché, andando da B verso A, la distanza aumenta, il momento è linearmente

crescente (in accordo con il fatto che il taglio è costante e positivo) dal valore minimo (o massimo

negativo), in A, pari a AY MlF =⋅− , ossia il momento d’incastro, al valore massimo, in B (dove la

distanza si annulla), pari a zero. Si fa osservare che il diagramma del momento è correttamente

disegnato dalla parte delle fibre tese.

Prima di fare alcuni esempi

numerici, trattiamo il caso di una trave

appoggiata con carico ripartito, come

illustrato nella fig. 13.

Come al solito, la prima cosa da

Fig. 12 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave incastrata con carico concentrato

Fig. 13 – Trave appoggiata con carico ripartito


PAG. 10

fare è la ricerca delle reazioni vincolari per sostituirle al posto dei vincoli. Nel nostro caso, essendo

il carico totale lqQ ⋅=

esattamente in mezzeria

avremo solo due reazioni

verticali uguali

22

lqQRR BA

⋅=== mentre

non ci sono forze né reazioni

orizzontali e di conseguenza

mancherà la sollecitazione da

sforzo normale ed il relativo

diagramma. Per valutare il

taglio, fig. 14, consideriamo

una generica sezione, della

trave, distante x dall’estremo

A. Guardando alla sinistra della

sezione scelta, il valore del

taglio è dato dalla somma della

forza verticale positiva AR e della forza verticale negativa xq ⋅ corrispondente al totale della parte

di carico ripartito nel tratto, lungo x , da A alla sezione considerata:

xqRT Ax ⋅−=

Poiché x è una distanza generica, la legge trovata ci fornisce, al variare di x, il valore del taglio in

tutte le sezioni. Inoltre il taglio varia linearmente con x (essendo questa di primo grado).

Per 0=x , cioè in A, AA RT =

per lx = , cioè in B, BAB Rlq

lqlq

lqRT −=⋅−=⋅−⋅=⋅−=22

mentre il taglio si annulla se xqRA ⋅−=0 ossia per 22

l

q

lq

q

Rx A =

⋅⋅== come appare evidente nel

diagramma riportato in fig. 14.

Per valutare il momento flettente ci riferiamo alla stessa sezione generica distante x da A e,

guardando alla sua sinistra, vediamo che AR provoca momento positivo (rotazione oraria) mentre

xq ⋅ provoca momento negativo (rotazione antioraria) pertanto avremo:

Fig. 14 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave appoggiata con carico ripartito


PAG. 11

2

xxqxRM Ax ⋅⋅−⋅= ossia

2

2xqxRM Ax ⋅−⋅=

che, al variare di x, ci fornisce il valore del momento in tutte le sezioni della trave. Il momento varia

con il quadrato di x (quindi il diagramma ha andamento curvilineo).

Per 0=x , cioè in A, 0=AM

per lx = , cioè in B, 0222

222

=⋅−⋅=⋅−⋅= lqlqlqlRM AB

mentre, dove il taglio si annulla, per 2

lx = avremo il massimo valore del momento flettente:

844222

222

max

lqlqlqllqM

⋅−⋅=⋅−⋅⋅= ossia 8

2

max

lqM

⋅=

come riportato nel diagramma in fig. 14.

ESEMPI NUMERICI

ESEMPIO 1:

Calcoliamo le caratteristiche di

sollecitazione e tracciamo i relativi

diagrammi per la trave rappresentata

in fig. 15, in cui NF 15001 = ,

NF 10002 = e mNq /500= .

Per poter calcolare le reazioni

vincolari con le equazioni cardinali della statica scomponiamo le forze inclinate nelle componenti

orizzontali e verticali e introduciamo al posto del carico ripartito il suo valore complessivo Q posto

a 2,5 metri da A:

NFF X 7505,01500)60cos(11 =⋅=°⋅= ;

NFF Y 1299866,01500)60sin(11 =⋅=°⋅= ;

NFF X 707707,01000)45cos(22 =⋅=°⋅= ;

NFF Y 707707,01000)45sin(22 =⋅=°⋅= ;

NlqQ q 15003500 =⋅=⋅= .

Possiamo quindi calcolare le tre reazioni vincolari AR , BXR e BYR :

Fig. 15 – Trave appoggiata


PAG. 12

===

∑∑∑

0

0

0

A

Y

X

M

F

F

⇒

=⋅−⋅−⋅+⋅=++−−

=+−−

0765,35,1

0

0

21

21

21

BYYY

BYYYA

BXXX

RFQF

RFQFR

RFF

⇒

=⋅−−+=++−−

=+−−

07424252505,1948

070715001299

0707750

BY

BYA

BX

R

RR

R

⇒

⇒

=⋅−=+=

5,29567

2092

707750

BY

BYA

BX

R

RR

R

⇒

===

NR

NR

NR

BY

A

BX

422

1670

1457

Possiamo passare al calcolo delle caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione

cominciando con il diagramma dello sforzo normale, con riferimento alla fig. 16, abbiamo:

in una qualsiasi sezione da A a C, guardando a sinistra non ci sono forze orizzontali e

quindi lo sforzo normale è

nullo.

In una qualunque

sezione da C ad H,

guardando a sinistra si

trova XF1 positiva e quindi,

in questo tratto abbiamo


pari a 750 N.

Nel tratto da H a B,

considerata una qualunque

sezione e guardando a

destra, troviamo BXR

positiva e quindi, in questo

tratto lo sforzo normale di

trazione è pari a 1457 N

mentre, proprio nella

sezione H, avremo un salto

pari alla forza applicata di

707 N.

Passiamo al

diagramma del taglio:

in una qualunque Fig. 16 – Diagrammi per la trave appoggiata dell’esempio 1


PAG. 13

sezione da A a C, guardando a sinistra troviamo AR positiva quindi, in questo tratto, il taglio è

costantemente pari a 1670 N.

In una qualunque sezione da C a D, guardando a sinistra si trova YA FRT 1−= e quindi il

taglio sarà positivo e pari a 371 N mentre, proprio nella sezione C, avremo un salto pari alla forza

applicata di 1299 N.

Passando a destra vediamo che in una qualunque sezione da H a B, guardando a destra

troviamo BYR negativa e quindi, in questo tratto il taglio sarà pari a -422 N.

Nel tratto da E ad H, considerata una qualunque sezione e guardando a destra abbiamo

YBY FRT 2−−= e quindi il taglio sarà costante e negativo pari a -1129 N mentre, proprio nella

sezione H, avremo un salto pari alla forza applicata di -707 N.

Infine ci resta da valutare il taglio da D ad E dove, per il carico ripartito, avremo andamento

lineare la cui legge, guardando a sinistra della generica sezione distante x da D, è data da:

xqxFRT YAX 5003711 −=−−=

che, per x=0 (sezione D) fornisce NTD 371= e, per x=3 (sezione E) fornisce NTE 1129−= , così

come trovato precedentemente in tali sezioni. Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da

D dove il taglio si annulla: mx 742,0500

371== .

Passando al diagramma del momento flettente avremo che in una qualunque sezione da A

a C, guardando a sinistra troviamo AR che produce un momento positivo (rotazione oraria)

variabile linearmente, in modo crescente in accordo con il fatto che il taglio è positivo, dal valore

zero in A al valore NmRM AC 25055,1 == in C.

In una qualunque sezione da C a D, guardando a sinistra, alla AR (che provoca momento

positivo) si aggiunge YF1 (che provoca momento negativo) quindi, in D avremo

NmFRM YAD 5,26905,02 1 =−= , pertanto, in questo tratto, il momento crescerà linearmente da

2505 Nm (in C) a 2690,5 Nm (in D), in accordo col fatto che il taglio è positivo.

Passando a destra vediamo che in una qualunque sezione da H a B, guardando a destra

troviamo BYR che produce un momento positivo (rotazione antioraria) variabile linearmente, in

modo decrescente in accordo con il fatto che il taglio è negativo, dal valore NmRM BYH 4221 == ,

in H, al valore zero in B.


PAG. 14

Nel tratto da E ad H, considerata una qualunque sezione, e guardando a destra, abbiamo che

alla BYR (che provoca momento positivo) si aggiunge YF2 (che provoca momento positivo); il

valore maggiore lo avremo in E dove NmFRM YBYE 5,155312 2 =+= , pertanto, in questo tratto, il

momento sarà linearmente decrescente da 1553,5 Nm (in E) a 422 Nm (in H), in accordo col fatto

che il taglio è negativo.

Ci resta da valutare il momento flettente da D ad E dove, per il carico ripartito, avremo

andamento parabolico la cui legge (quadratica), guardando a sinistra della generica sezione distante

x da D, è data da:

22

1 2503715,26902

)5,0()2( xxx

qFxRxM YAX −+=−+−+=

che, per x=0 (sezione D) fornisce NmM D 5,2690= e, per x=3 (sezione E) fornisce

NmM E 5,1553= , così come trovato precedentemente in tali sezioni. Per x=0,742 (dove 0=XT )

avremo il valore massimo del momento: NmM 2828max = (pertanto questa sarà la sezione più

sollecitata a flessione). Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il taglio è positivo e

decrescente dove il taglio è negativo.

ESEMPIO 2:

Calcoliamo le caratteristiche

di sollecitazione e tracciamo i relativi

diagrammi per la trave, appoggiata

con sbalzo, rappresentata in fig. 17, in

cui NF 1500= e mNq /500= .

Per poter calcolare le reazioni

vincolari con le equazioni cardinali della statica scomponiamo la forza inclinata nelle componenti

orizzontali e verticali e introduciamo al posto del carico ripartito il suo valore complessivo Q posto

a 1,5 metri da B:

NFFX 7505,01500)60cos( =⋅=°⋅= ;

NFFY 1299866,01500)60sin( =⋅=°⋅= ;

NlqQ q 15003500 =⋅=⋅= .

Fig. 17 – Trave appoggiata con sbalzo


PAG. 15

Scegliendo come punto di rotazione il punto A, possiamo calcolare le tre reazioni vincolari AR ,

BXR e BYR :

===

∑∑∑

0

0

0

A

Y

X

M

F

F

⇒

=⋅+⋅−⋅=+−+−

=+−

05,545,1

0

0

BYY

BYAY

BXX

RQF

RQRF

RF

⇒

=⋅+−=+−+−

=+−

05,560005,1948

015001299

0750

BY

BYA

BX

R

RR

R

⇒

⇒

=⋅−=

=

5,40515,5

2799

750

BY

BYA

BX

R

RR

NR

⇒

===

NR

NR

NR

BY

A

BX

737

2062

750

Passiamo al diagramma dello sforzo normale, con riferimento alla fig. 18, abbiamo:

in una qualunque

sezione da C a B,


trova XF positiva e quindi,

in tutta la trave abbiamo


pari a 750 N.

Passiamo al

diagramma del taglio:

in una qualunque

sezione da C ad A,

guardando a sinistra

troviamo YF negativa

quindi, in questo tratto, il

taglio è costantemente pari

a -1299 N.

In una qualunque

sezione da A a D,


trova AY RFT +−= e

quindi il taglio sarà

positivo e pari a 763 N

mentre, proprio nella Fig. 18 – Diagrammi per la trave appoggiata dell’esempio 2


PAG. 16

sezione C, avremo un salto pari alla forza applicata di 2062 N.

Infine ci resta da valutare il taglio da D a B dove, per il carico ripartito, avremo andamento

lineare la cui legge, guardando a destra della generica sezione distante x da B, è data da:

737500 −=−= xRqxT BYX

che, per x=0 (sezione B) fornisce NTB 737−= e, per x=3 (sezione D) fornisce NTD 763= .

Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da B dove il taglio si annulla:

mx 474,1500

737 == .

Passando al diagramma del momento flettente avremo che in una qualunque sezione da C

ad A, guardando a sinistra troviamo YF che produce un momento negativo (rotazione antioraria)

variabile linearmente in modo decrescente, in accordo con il fatto che il taglio è negativo, dal valore

zero in C al valore NmFM YA 5,19485,1 −== in A.

In una qualunque sezione da A a D, guardando a sinistra, alla YF (che provoca momento

negativo) si aggiunge AR (che provoca momento positivo) quindi, in D avremo

NmRFM AYD 395,24 −=+−= , pertanto, in questo tratto, il momento crescerà linearmente da

-1948,5 Nm (in A) a -39 Nm (in D), in accordo col fatto che il taglio è positivo.

Ci resta da valutare il momento flettente da D a B dove, per il carico ripartito, avremo

andamento parabolico la cui legge (quadratica), guardando a destra della generica sezione distante x

da B, è data da:

22

2507372

xxx

qxRM AX −=−=

che, per x=0 (sezione B) fornisce NmM B 0= e, per x=3 (sezione D) fornisce NmM D 39−=

(così come trovato precedentemente). Per x=1,474 (dove 0=XT ) avremo un massimo relativo del

momento (apice della curva): NmM 543= mentre, la sezione più sollecitata a flessione, sarà

quella in A. Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il taglio è positivo e decrescente

dove il taglio è negativo. Ponendo la legge del momento uguale a zero troveremo una equazione di

secondo grado spuria in x le cui radici sono x=0 e x=2,948 che rappresentano le distanze da B in cui

il momento si annulla.


PAG. 17

ESEMPIO 3:

Come ultimo esempio, Trattiamo il caso

della trave incastrata, rappresentata in fig. 19, in

cui NF 1500= e mNq /800= .

Per poter calcolare le reazioni vincolari

con le equazioni cardinali della statica

scomponiamo la forza inclinata nelle componenti orizzontali e verticali e introduciamo al posto del

carico ripartito il suo valore complessivo Q posto nella mezzeria della trave:

NFFX 7505,01500)60cos( =⋅=°⋅= ;

NFFY 1299866,01500)60sin( =⋅=°⋅= ;

NlqQ q 24003800 =⋅=⋅= .

Scegliendo come punto di rotazione il punto A, possiamo calcolare le tre incognite, ossia le reazioni

vincolari AXR e AYR ed il momento reagente ( momento d’incastro) AM :

===

∑∑∑

0

0

0

A

Y

X

M

F

F

⇒

=⋅−⋅+=+−

=−

063

0

0

YA

YAY

XAX

FQM

FQR

FR

⇒

=−+=+−

=−

077947200

012992400

0750

A

AY

AX

M

R

R

⇒

===

NmM

NR

NR

A

AY

AX

594

1101

750

Passiamo, ora. al diagramma dello sforzo normale. Con riferimento alla fig. 20, abbiamo:

in una qualunque sezione da A a B, guardando a sinistra si trova AXR negativa e quindi, in tutta la

trave abbiamo sforzo normale di compressione pari a -750 N.

Passiamo al diagramma del taglio:

in una qualunque sezione da A ad C, guardando a sinistra troviamo AYR positiva quindi, in

questo tratto, il taglio è costantemente pari a 1101 N.

In una qualunque sezione da D a B, guardando a destra si trova YF negativa e quindi il

taglio, in questo tratto, sarà negativo e pari a -1299 N.

Infine ci resta da valutare il taglio da C a D dove, per il carico ripartito, avremo andamento

lineare la cui legge, guardando a sinistra della generica sezione distante x da C, è data da:

xqxRT AYX 8001101−=−=

che, per x=0 (sezione C) fornisce NTC 1101= e, per x=3 (sezione D) fornisce NTD 1299−= .

Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da C dove il taglio si annulla: mx 38,1800

1101== .

Fig. 19 – Trave incastrata


PAG. 18

Passando al diagramma del

momento flettente avremo che in una

qualunque sezione da A a C, guardando

a sinistra troviamo il momento applicato

NmM A 594= a cui si somma quello,

positivo (rotazione oraria), prodotto dalla

reazione AYR , pertanto, in questo tratto il

momento sarà dato da AYA xRMM += e

risulterà linearmente crescente, in

accordo con il fatto che il taglio è

positivo, dal valore di 594 Nm (in A) al

valore di 2245,5 Nm (in C).

In una qualunque sezione da D a

B, guardando a destra, si trova la YF che

provoca momento positivo (rotazione

antioraria) il cui valore massimo, in D, è

NmFM YD 5.19485,1 == , pertanto, in

questo tratto, il momento sarà

linearmente decrescente da 1948,5 Nm

(in D) a zero (in B), in accordo col fatto

che il taglio è negativo.

Ci resta da valutare il momento

flettente da C a D dove, per il carico ripartito, avremo andamento parabolico la cui legge

(quadratica), guardando a sinistra della generica sezione distante x da C, è data da:

22

40011015,22452

)5,1( xxx

qxRMM AYAX −+=−++=

che, per x=0 (sezione C) fornisce NmM C 5,2245= e, per x=3 (sezione D) fornisce

NmM D 5,1948= (così come trovato precedentemente nelle due sezioni). Per x=1,38 (dove

0=XT ) avremo il massimo valore del momento (apice della curva): NmM 3003max = e questa

sarà la sezione più sollecitata a flessione. Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il

taglio è positivo e decrescente dove il taglio è negativo.

Fig. 20 – Diagrammi per la trave incastrata dell’esempio 3

Caratteristiche della sollecitazione

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