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Scienza delle Costruzioni Esercizio 2 “Telaio ad aste inestensibili” Carpentieri Gerardo 23/12/2013 2.1 Descrizione preliminare della struttura 2.2 Studio della struttura S’’ 0 2.3 Studio della matrice di rigidezza 2.4 Calcolo degli spostamenti nodali
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SScciieennzzaa ddeellllee CCoossttrruuzziioonnii
Esercizio 2 “Telaio ad aste inestensibili”
Carpentieri Gerardo
23/12/2013
22..11 DDeessccrriizziioonnee pprreelliimmiinnaarree ddeellllaa ssttrruuttttuurraa
22..22 SSttuuddiioo ddeellllaa ssttrruuttttuurraa SS’’’’00
22..33 SSttuuddiioo ddeellllaa mmaattrriiccee ddii rriiggiiddeezzzzaa
22..44 CCaallccoolloo ddeeggllii ssppoossttaammeennttii nnooddaallii
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22..11 DDeessccrriizziioonnee pprreelliimmiinnaarree ddeellllaa ssttrruuttttuurraa
È dato il telaio ad aste inestensibili ed indeformabili a taglio.
Figura 1 Telaio S.
Calcolare il telaio con il metodo degli spostamenti e tracciare i diagrammi delle caratteristiche della
sollecitazione. Disegnare, a maniera, la deformata del telaio.
Si supponga: Q= 2810 El ; q=Q/l ; 1410 t
Essendo α il coefficiente di dilatazione lineare del materiale ed E il modulo di Young.
Si tenga presente che le inestensibilità delle aste è nei confronti dello sforzo assiale ma non nei
confronti della distorsione termica uniforme assegnata.
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In primo luogo si procede allo studio del grado di iperstaticità della struttura utilizzando la formula:
ilst 3 ,
dove:
- t è il numero di tronchi (6);
- s è la somma delle molteplicità dei vincoli esterni ed interni (23);
- l è il grado di labilità (0);
- i è il grado di iperstaticità (5).
In definitiva la struttura in Figura 1 risulta cinque volte iperstatica.
Dal sistema reticolare associato, ottenuto sostituendo ad ogni incastro interno una cerniera, si vede
che la struttura S è a due nodi spostabili.
Figura 2 Struttura reticolare associata.
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Per applicare il metodo degli spostamenti si assumono come incognite gli spostamenti nodali: le
quattro rotazioni dei nodi interni C, D, E, F e gli spostamenti orizzontali di piano. Per ricavare le
incognite si procede aggiungendo al sistema S sei vincoli ausiliari (fittizi) che bloccano gli
spostamenti incogniti e si ottiene la struttura a nodi bloccati S’’. Si procede quindi analizzando il
sistema a nodi bloccati S0’’, sul quale si applicano i carichi attivi e la distorsione termica. Lo scopo
è il calcolo delle reazioni vincolari dei morsetti e degli appoggi aggiunti, ovvero delle reazioni di
incastro perfetto. In seguito si considerano sei sistemi Si’’ in cui si assegnano dei cedimenti unitari
ai vincoli ausiliari e se ne calcolano le reazioni, che corrisponderanno ai termini della matrice di
rigidezza della struttura. Infine si applica il principio di sovrapposizione degli effetti e si sommano
le varie reazioni dei vincoli ausiliari nei diversi schemi, in funzione degli spostamenti incogniti, e si
pongono a zero. Il motivo, infatti, è che i vincoli ausiliari non esistono e perciò le corrispondenti
reazioni sono nulle.
Il problema consiste nel risolvere il seguente sistema in forma matriciale:
QuK
Dove:
- K è la matrice di rigidezza;
- u è il vettore degli spostamenti;
- Q è il vettore dei carichi.
F
D
F
E
D
C
u
6
5
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QF
E
D
C
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22..22 SSttuuddiioo ddeellllaa ssttrruuttttuurraa SS00’’’’
Il sistema S0’’, per il quale si determinano le componenti del vettore dei termini noti è il seguente.
Figura 3 Struttura S0’’.
2 2
2 2
2
2 2
2 2
6 6Δ Δ
12 12 8 8
6Δ
8
6 62 Δ 2 Δ
12 8 12 8
c c
D D
E E
ql ql Ql EI Ql EIQ M α tl α tl
l l
Ql EIQ M α tl
l
ql Ql EI ql Ql EIQ M α tl α tl
l l
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18
2
5
6
6Δ
8
2
F F
D
F
Ql EIQ M α tl
l
Q H R ql
qlQ H R
Si tiene conto anche della distorsione termica Δt che comporta un allungamento dei ritti BD e DF.
Figura 4 Effetto della distorsione termica.
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22..33 SSttuuddiioo ddeellllaa mmaattrriiccee ddii rriiggiiddeezzzzaa
Si assegni un cedimento φC unitario.
Figura 5 Struttura S1’’.
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20
l
EIK
K
K
l
EIK
l
EIK
l
EI
l
EI
l
EIK
6
0
0
2
2
444
61
51
41
31
21
11
Si assegni un cedimento φD unitario.
Figura 6 Struttura S2’’.
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21
262
252
42
32
12
22
6
3
2
0
2
443
l
EIK
l
EIK
l
EIK
K
l
EIK
l
EI
l
EI
l
EIK
Si assegni un cedimento φE unitario.
Figura 7 Struttura S3’’.
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22
263
253
23
43
13
33
6
6
0
2
2
44
l
EIK
l
EIK
K
l
EIK
l
EIK
l
EI
l
EIK
Si assegni un cedimento φF unitario.
Figura 8 Struttura S4’’.
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23
264
254
34
24
14
44
6
6
2
2
0
44
l
EIK
l
EIK
l
EIK
l
EIK
K
l
EI
l
EIK
Si assegni un cedimento δD unitario.
Figura 9 Struttura S5’’.
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24
365
3355
225
245
235
15
24
123
3
6
6
0
l
EIK
l
EI
l
EIK
l
EIK
l
EIK
l
EIK
K
Si assegni un cedimento δF unitario.
Figura 10 Struttura S6’’.
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25
366
356
246
226
236
216
24
24
6
6
6
6
l
EIK
l
EIK
l
EIK
l
EIK
l
EIK
l
EIK
Esplicitando il precedente sistema matriciale:
6
5
665646362616
655545352515
645444342414
635343332313
625242322212
615141312111
Q
Q
Q
Q
Q
Q
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
F
E
D
C
F
D
F
E
D
C
22..44 CCaallccoolloo ddeeggllii ssppoossttaammeennttii nnooddaallii
Invertendo il precedente sistema si ottiene la matrice delle deformabilità e quindi le incognite di
spostamento. Si possono calcolare i momenti agli estremi di ogni asta ed i rispettivi tagli. Dalle
equazioni di equilibrio nodali alla traslazione orizzontale e verticale si ottengono gli sforzi normali
nelle aste. Infine si possono ottenere i diagrammi delle caratteristiche interne della struttura.
