Capitolo 3

Terza lezione

3.1 Introduzione

Nel capitolo 1 abbiamo visto un certo numero di modelli caratterizzatida un solo livello ovvero da una sola equazione differenziale. Nel capitolo2 abbiamo presentato parte dell’apparato formale che e possibile utilizzareper eseguire una analisi di tipo quantitativo di questi modelli in modo daessere in grado di prevedere gli andamenti che le variabili endogene dei nostrimodelli possono mostrare e avere indicazioni sulla correttezza e validita ditali modelli.In questo capitolo ci proponiamo:

- di esaminare un modello caratterizzato da un solo livello ma nel qualesi introducono fenomeni di saturazione;

- di esaminare alcuni modelli caratterizzati da due livelli connessi fra diloro in vari modi.

Per quanto riguarda i modelli caratterizzati da due livelli ci si limita aconsiderare i due casi seguenti (vedi la Figura 3.1):

(a) due livelli in cascata,

(b) due livelli in parallelo.

Il caso (a) sara esaminato, almeno in alcuni casi significativi, nella sezione3.3 e in quelle seguenti di questo capitolo mentre il caso (b) verra esaminatonel capitolo 4 mentre nel capitolo 5 presenteremo un certo numero di metodiper estendere tale modello mediante l’introduzione di un terzo livello.Si ritiene fin da ora degno di nota il fatto che in situazioni quali quellaillustrata dal caso (b) i due livelli interagiscono almeno tramite una variabile

105

3.2 Capitolo 3

Figura 3.1: Coppia di livelli interagenti

che denoteremo come interazioneXY e che descrive le interazioni fra i duelivelli. Tale variabile deve agire su almeno uno dei flussi in ingresso e inuscita ai due livelli. In assenza di tale influenza i due livelli evolvono inmodo indipendente per cui il modello di Figura 3.1 (b) coincide con i duemodelli separati, uno per livello, che possono essere, pertanto, analizzati congli strumenti visti nei capitoli precedenti a questo.In quanto segue faremo, pertanto, l’ipotesi che sia presente un legame fraalmeno un livello e almeno uno dei flussi associati all’altro.Nel capitolo 4 applicheremo questa tipologia di modelli per studiare vari modidi interazione fra due popolazioni. Alla luce di quanto detto nella sezione1.7 tali modelli di popolazione possono essere applicati in tutti i casi incui si hanno due grandezze interagenti una delle quali influenza l’evoluzionedell’altra e puo esserne a sua volta influenzata.

106

3.2 Capitolo 3

3.2 Un solo livello con saturazione

3.2.1 Introduzione

Nei modelli che abbiamo presentato nel capitolo 1 se l’equazione dibilancio del livello X ha la forma seguente:

X = λ0X (3.1)

(con X0 > 0 e λ0 > 0) si ha che l’andamento del livello nel tempo e decrittodalla seguente relazione:

X(t) = X0eλ0t (3.2)

per cui:

X(t) −→ +∞ se t −→ +∞

Se da un punto di vista matematico questo andamento risulta perfettamentecorretto da un punto di vista fisico, invece, non e assolutamente plausibiledal momento che nessuna grandezza puo crescere illimitatamente se con essasi descrive una qualche entita del mondo fisico e pertanto soggetta a limita-zioni di spazio o di risorse o di entrambe che ne rallentano la crescita fino abloccarla ad un certo valore che diremo di regime o di equilibrio.Si fa notare che la (3.1) puo essere riscritta nel modo seguente:

X = φin

φin = λ0X

in modo da esplicitare le due relazioni di proporzionalita diretta che determi-nano un anello di retroazione positivo a cui e associata la ben nota crescitaesponenziale.

3.2.2 Crescita con limiti

Allo scopo di tenere conto delle limitazioni presenti in qualunque situa-zione reale1 si introducono, per descrivere la dinamica di una popolazione inun ambiente finito, le seguenti grandezze:

m come la massima popolazione sostenibile date le risorse disponibiliin un certo ambiente;

1Il contenuto della presente sezione e di quelle che la seguono deriva da [6] e, in parte,da [7].

107

3.2 Capitolo 3

λ0 come il tasso di crescita intrinseco ovvero come il tasso di crescitanel caso in cui sia m = +∞;

X0 come il valore iniziale della popolazione X(t);

λ(X) come il tasso di crescita il funzione di X .

Si fa notare come, nel seguito, per semplicita supporremo m costante. Arigore m puo variare nel tempo per tenere conto, ad esempio, di variazionistagionali della disponibilita delle risorse oppure di un peggioramento del-l’ambiente a causa di un suo eccessivo sfruttamento. Anche nel caso in cuisi assume m costante un problema di non sempre banale soluzione e quel-lo della determinazione del suo valore per una data popolazione in un datocontesto dal momento che tale valore, come vedremo nel seguito, condizional’evoluzione della popolazione stessa nel tempo.Avendo presenti queste problematiche si puo scegliere un valore costante perm in modo da introdurre la presenza di limitazioni fisiche alla crescita diX(t) tramite il parametro λ(X) che, pertanto, viene definito come segue:

λ(X) = λ0m−X

m= λ0 − λ0

X

m(3.3)

Dalla (3.3), che definisce una dipendenza lineare fra λ(X) e X , si vede che:

- se m −→ +∞ allora λ(X) = λ0

- per X = 0 λ(X) assume il valore massimo λ0;

- per X = m λ(X) assume il valore minimo λ(X) = 0.

Date queste premesse la dinamica della variabile X(t) e descritta dallaseguente equazione differenziale:

X = λ(X)X = λ0m−X

mX (3.4)

Il fattore chiave, nella (3.4), e rappresentato dal fatto che al crescere della Xa partire da X(0) < m la sua velocita di crescita (ovvero X) diminuisce finoad annullarsi per X = m.Se, invece, si ha X(0) > m si ha X < 0 ovvero la popolazione decresce apartire da un valore iniziale maggiore della capacita di carico dell’ambientein cui si trova a vivere fino al valore di equilibrio X = m. In questo casodalla (3.3) si ha un tasso di crescita negativo tendente a zero per X → m.

108

3.2 Capitolo 3

3.2.3 Il modello e la matematica associata

Il nostro punto di partenza e, quindi, rappresentato dalla seguenteequazione differenziale:

X = λ(X)X = λ0m−X

mX (3.5)

Esercizio 3.2.1 Definire ed implementare il modello Vensim della (3.5) coni seguenti valori dei parametri:

λ0 = 0.5 con intervallo di variabilita [0.3, 1]

m = 1000 con intervallo di variabilita [500, 10000]

X(0) = 100 con intervallo di variabilita [10, 1100]

Si valuti l’influenza delle variazioni di tali parametri sull’andamento quali-tativo della variabile X(t). Si fissi per il parametro FINAL TIME un valoreche consenta di apprezzare a pieno la dinamica del modello.

E facile vedere come si possa riscrivere la (3.5) come:

X = φin − φout (3.6)

con:φin = λ0X (3.7)

φout = λ0X2

m(3.8)

Le (3.6), (3.7) e (3.8) ci permettono di apprezzare la presenza di due anellidi retroazione di cui:

- uno positivo che domina per2 X ≪ m;

- uno negativo che tende tanto piu a controbilanciare quello positivoquanto piu X e prossimo a m.

Esercizio 3.2.2 Scrivere il diagramma causale delle relazioni (3.6), (3.7) e(3.8) e poi implementare il corrispondente modello Vensim utilizzando i datidell’esercizio 3.2.1.

2Il simbolo ≪ lo si legge come “molto minore di”.

109

3.2 Capitolo 3

Una volta definita la seguente espressione:

X = λ(X)X = λ0m−X

mX (3.9)

si puo utilizzare la tecnica di risoluzione delle variabili separabili (combinatacon l’uso della tecnica delle frazioni parziali) che abbiamo visto nel capitolo2 per ottenere la soluzione X(t) esprimibile nella forma seguente:

X(t) =X0e

λ0t

1 + X0

m(eλ0t − 1)

(3.10)

ma scrivibile anche nella forma seguente:

X(t) =X0

X0

m+ (1− X0

m)e−λ0t

(3.11)

Per la soluzione della (3.9) si deve applicare anche la tecnica delle frazioniparziali in modo da scrivere il termine 1

X(m−X)come somma di due termini

del tipo a(m−X)

e b(m−X)

.

Nella (3.11), al crescere di t si ha che il fattore e−λ0t tende a 0 per cui X(t)tende a m.

Figura 3.2: Esempio di curva logistica

La figura 3.2 presenta l’andamento nel tempo della X(t) (espressa secondola (3.11)) se si ha:

λ0 = 0.5

m = 100

110

3.2 Capitolo 3

X(0) = 1

L’andamento di figura 3.2 per ragioni storiche porta il nome di andamentologistico per cui tale curva viene detta curva logistica.Per studiare qualitativamente l’andamento della X nel tempo e possibilevalutare la derivata seconda rispetto al tempo ovvero l’espressione della X .Utilizzando regole di derivazione che si danno per note, dalla (3.9) si ottienela seguente espressione:

X =λ20

m2(m− 2X)(m−X)X (3.12)

Da un esame della (3.9) e della (3.12) si ricavano facilmente, al variare delvalore della variabile X , i segni sia della derivata prima X sia della derivataseconda X .Avendo presente che si ha sia X0 > 0 sia X > 0 per la X si ha che:

- per X ∈ [0, m) assume valori positivi;

- in X = m si annulla;

- per X > m assume valori negativi.

D’altro lato per la X si ha che:

- si annulla in X = m/2 e in X = m;

- per X ∈ [0, m/2) assume valori positivi;

- per X ∈ (m/2, m) assume valori negativi;

- per X > m assume valori positivi.

Da queste caratteristiche discende che il punto:

X =m

2(3.13)

rappresenta il punto in cui la curva della X(t) inverte la sua concavita dapositiva a negativa ovvero individua il punto in cui il ciclo di retroazionepositivo cessa di essere dominante e viene controbilanciato da un ciclo diretroazione negativa. Da queste considerazioni e facile capire l’importanzadella corretta selezione del valore del parametro m.La tabella 3.1 riassume le possibili combinazioni dei segni di X e X . Da taletabella si deduce che:

111

3.2 Capitolo 3

[0, m/2) (m/2, m) (m,+∞)

X + + -

X + - +

Tabella 3.1: Segni di X e X

- se X0 ∈ (0, m/2) allora la X(t) mostra una crescita esponenziale se-guita (a partire dal punto di ordinata pari a m/2) da una crescita asaturazione governata da una legge della forma:

1− e−t (3.14)

- se X0 ∈ (m/2, m) allora la X(t) mostra una crescita a saturazionegovernata dalla legge vista nel caso precedente;

- se X0 ∈ (m,+∞) allora la X(t) mostra una decrescita di tipoesponenziale governata da una legge della forma:

e−t (3.15)

A questo punto data la seguente equazione differenziale:

X = F (X(t)) = λ0m−X

mX (3.16)

siamo interessati alla determinazione e alla caratterizzazione dei punti diequilibrio.Come noto dal capitolo 2 i punti di equilibrio sono i valori della X per cui siha:

X = F (X(t)) = 0 (3.17)

Nel nostro caso si hanno i seguenti punti di equilibrio:

X∗

1 = 0

X∗

2 = m

Come e facile verificare, i punti di equilibrio sono soluzioni particolari della(3.16) ma possono essere soluzioni sia di tipo stabile ma anche asintotica-

mente stabile sia di tipo instabile.La valutazione di una condizione di equilibrio presuppone una perturbazionedi tale condizione sotto forma di una condizione iniziale non di equilibrio. Sea seguito di una perturbazione la soluzione evolve nel tempo in un intorno

112

3.2 Capitolo 3

della condizione di equilibrio si parla di stabilita (o anche di equilibrio indif-ferente) mentre se la sua distanza dalla condizione di equilibrio tende a zerosi parla di stabilita asintotica e, infine, se tale distanza tende a crescereillimitatamente nel tempo si parla di instabilita.Per individuare il tipo (stabile o instabile) di ciascun equilibrio si devevalutare, in un punto di equilibrio, il segno del termine:

a =dF (X)

dX(3.18)

Si hanno i casi seguenti:

- se a < 0 allora l’equilibrio e stabile;

- se a > 0 allora l’equilibrio e instabile.

Nel caso nostro si ha:

a =dF (X)

dX=

λ0

m(m− 2X) (3.19)

in modo che sia:aX∗

1=0 = λ0 > 0 (3.20)

aX∗

2=m = −λ0 < 0 (3.21)

dato che si ha, per definizione, λ0 > 0. Da tutto cio si deduce che:

- il punto di equilibrio X∗

1 = 0 e di equilibrio instabile perche se si ha unnumero limitato di individui X(0) > 0 la popolazione tende a crescereallontanandosi dalla condizione di equilibrio;

- il punto di equilibrio X∗

2 = m e di equilibrio stabile perche se si ha unvalore iniziale X(0) 6= m l’evoluzione della popolazione e tale che pert → +∞ si ha X(t) → m.

Esercizio 3.2.3 Si definisca il modello Vensim della seguente equazionedifferenziale:

X = λ(Y )X (3.22)

nel caso in cui i valori di λ(Y ) sono dati dalle righe della seconda colonnadella tabella 3.2 se si pone:

Y =X

m(3.23)

per X ∈ [0, m] e m ∈ [100, 1000].

113

3.2 Capitolo 3

Y λ(Y )0.0 10.1 10.2 0.970.3 0.90.4 0.790.5 0.60.6 0.40.7 0.240.8 0.10.9 0.031.0 0.0

Tabella 3.2: Andamento non lineare per λ(Y )

Esercizio 3.2.4 Come gia notato, il fattore chiave, nella (3.4), e rappresen-tato dal fatto che al crescere della X a partire da X(0) < m la sua velocita dicrescita (ovvero X) diminuisce fino ad annullarsi per X = m. Si determinicosa accade nel caso in cui al posto della (3.4) si abbia la seguente equazionedifferenziale:

X(t) =λ

eαtX(t) (3.24)

con λ > 0 e α > 0. Si risolva la (3.24) e si studino qualitativamente gliandamenti di X, X e X confrontandoli con quelli della (3.4).

3.2.4 Estensioni del modello e la matematica associata

A questo punto si assume di avere oltre a un fattore di crescita variabile:

λ(X) = λ0m−X

m(3.25)

un tasso di mortalita costante pari a µ > 0 in modo da scrivere:

X = λ0m−X

mX − µX (3.26)

Esercizio 3.2.5 Definire ed implementare il modello Vensim della (3.25) coni seguenti valori dei parametri:

λ0 = 0.5 con intervallo di variabilita [0.3, 1]

µ = 0.2 con intervallo di variabilita [0.1, 1]

114

3.2 Capitolo 3

m = 1000 con intervallo di variabilita [500, 10000]

X(0) = 100 con intervallo di variabilita [10, 1100]

Si valuti l’influenza delle variazioni di tali parametri sull’andamento quali-tativo della variabile X(t). Si fissi per il parametro FINAL TIME un valoreche consenta di apprezzare a pieno la dinamica del modello.

Per analizzare la (3.26) si hanno due possibilita:

(1) si ripete l’analisi vista nella sezione 3.2.3 applicandola alla nuovaequazione;

(2) si cerca di riportare la (3.26) alla forma della (3.16).

La prima possibilita e lasciata come esercizio. Nel seguito noi vedremo laseconda possibilita che prevede che si riscriva la (3.26) come:

X = λ′

0

m′ −X

m′X (3.27)

in cui λ′

0 e m′ sono i nuovi parametri che devono essere espressi in funzionedei parametri λ0, m e µ. Per ricavare tali relazioni si uguagliano i secondimembri della (3.26) e della (3.27) in modo da ottenere:

λ0m−X

mX − µX = λ′

0

m′ −X

m′X (3.28)

con facili calcoli e usando il principio di identita dei polinomi (in base alquale due polinomi sono uguali se lo sono i coefficienti delle potenze di parigrado) si determinano le seguenti relazioni:

λ′

0 = λ0 − µ

m′ = mλ0

(λ0 − µ)

Dato che si vuole m′ > 0 si deduce che deve essere λ0 > µ.E facile vedere che se µ = 0 si ha:

λ′

0 = λ0

m′ = m

In questo modo la (3.26) viene riscritta nella forma (3.27) alla quale si ap-plicano le considerazioni fatte nella sezione 3.2.3.Per quanto riguarda i punti di equilibrio, ad esempio, si ha che la:

X = λ′

0

m′ −X

m′X (3.29)

ha i seguenti punti di equilibrio:

115

3.2 Capitolo 3

X∗

1 = 0

X∗

2 = m′

Per individuare il tipo (stabile o instabile) di ciascun equilibrio si devevalutare, in ciascun punto di equilibrio, il segno del termine:

a =dF (X)

dX(3.30)

Si hanno i casi seguenti:

- se a < 0 allora l’equilibrio e stabile;

- se a > 0 allora l’equilibrio e instabile.

Nel caso nostro si ha:

a =dF (X)

dX=

λ′

0

m′(m′ − 2X) (3.31)

in modo che sia:aX∗

1=0 = λ′

0 = λ0 − µ (3.32)

aX∗

2=m′ = −λ′

0 = −(λ0 − µ) (3.33)

Da tutto cio si deduce che:

- il punto di equilibrio X∗

1 = 0 e di equilibrio stabile se λ0 < µ ed e diequilibrio instabile se se λ0 > µ;

- il punto di equilibrio X∗

2 = m′ e di equilibrio instabile se λ0 < µ ed edi equilibrio stabile se se λ0 > µ.

Poiche pero sappiamo che deve essere λ0 > µ si ha che:

- il punto di equilibrio X∗

1 = 0 e di equilibrio instabile;

- il punto di equilibrio X∗

2 = m′ e di equilibrio stabile.

Come ulteriore estensione si puo supporre di avere i seguenti parametri:

λ(X) = λ0m−X

m(3.34)

per il fattore di crescita e:

µ(X) = µ0X

m(3.35)

116

3.2 Capitolo 3

per il tasso di mortalita, dove µ0 rappresenta la mortalia nel caso in cui si haX = m ovvero la mortalita nel caso in cui la numerosita della popolazionesia pari alla capacita di carico. Si noti che se si ha X(0) > m il tasso dimortalita risulta maggiore a µ0.Con questi parametri si puo scrivere la seguente equazione differenziale perdescrivere la dinamica della popolazione:

X = λ0m−X

mX − µ(X)X = λ(X)X − µ(X)X (3.36)

Esercizio 3.2.6 Riscrivere la (3.36) nella forma (3.27) definendo in modoopportuno i parametri λ′

0 e m′.

Esercizio 3.2.7 Definire ed implementare il modello Vensim della (3.36) coni seguenti valori dei parametri:

λ0 = 0.5 con intervallo di variabilita [0.3, 1]

µ0 = 0.2 con intervallo di variabilita [0.1, 1]

m = 1000 con intervallo di variabilita [500, 10000]

X(0) = 100 con intervallo di variabilita [10, 1100]

Si valuti l’influenza delle variazioni di tali parametri sull’andamento quali-tativo della variabile X(t). Si fissi per il parametro FINAL TIME un valoreche consenta di apprezzare a pieno la dinamica del modello.

Come ultima estensione si suppone di avere:

λ(X) = λ0m−X

m(3.37)

e:µ(X) = h (3.38)

dove h rappresenta un flusso costante di catture o prelievi.In questo modo si puo scrivere la seguente equazione differenziale perdescrivere la dinamica della popolazione:

X = λ0m−X

mX − h = λ(X)X − h (3.39)

Esercizio 3.2.8 Si esamini la soluzione della (3.39) al variare di h e siindividui il massimo valore possibile per tale parametro che non porti lapopolazione X all’estinzione.

117

3.2 Capitolo 3

La (3.36) puo essere riscritta nella forma seguente:

X = λ0X − λ0X2

m− µ0

X2

m(3.40)

in modo da evidenziare i legami causali di tipo negativo e positivo e gli anellidi retroazione positivi e negativi.

Esercizio 3.2.9 Si definisca il diagramma causale associato alla (3.40) e daquesto si ricavi la struttura del corrispondente modello Vensim.

3.2.5 Crescita per generazioni successive

A questo punto si prende di nuovo in considerazione la seguente equazionedifferenziale dalla quale siamo partiti:

X = λ0m−X

mX (3.41)

per valutare che vincoli si devono porre sul passo di discretizzazione ∆. Perquanto riguarda la (3.41) sappiamo che il punto X∗ = m e un punto diequilibrio stabile.Per i nostri scopi si vuole ragionare sulla controparte discreta della (3.41). Atal fine la si riscrive prima come limite di un rapporto incrementale e dopo,trascurando il limite, nella forma che segue:

X(t+∆t)−X(t)

∆t= λ0

m−X(t)

mX(t) (3.42)

A questo punto si considera una successione di punti ti con i ≥ 0 cosı chesia:

ti+1 = ti +∆ (3.43)

in modo da scrivere la seguente relazione di tipo discreto che corrisponde alla(3.41) valida nel continuo:

Xi+1 −Xi = λ0m−Xi

mXi∆ (3.44)

dove Xi = X(ti) e Xi+1 = X(ti+1). A questo punto si assume che al tempoth (ovvero all’istante h) si arrivi all’equilibrio X∗ = m e che al tempo tksuccessivo (ovvero per k ≥ h) si applichi al sistema una perturbazione ǫkpiccola a piacere.Si puo quindi scrivere per i > k:

Xi = X∗ + ǫi (3.45)

per cui si ha:

118

3.2 Capitolo 3

ǫi+1 = Xi+1 −X∗

ǫi = Xi −X∗

Sottraendo membro a membro tali relazioni ed usando la (3.44) si vede comesi possa scrivere:

ǫi+1 − ǫi = λ0m−Xi

mXi∆ (3.46)

Usando nella (3.46) l’uguaglianza Xi = X∗ + ǫi e il fatto che e X∗ = m siottiene, con semplici passaggi:

ǫi+1 − ǫi = −λ0∆ǫim(m+ ǫi) (3.47)

ovvero:

ǫi+1 − ǫi = −λ0∆ǫi − λ0∆ǫ2im

(3.48)

Se nella (3.48) si trascura il termine del secondo ordine in ǫi si ottiene,nell’ordine:

ǫi+1 = ǫi(1− λ0∆) (3.49)

e:ǫi = ǫi−1(1− λ0∆) (3.50)

Usando tali relazioni per andare a ritroso fino all’istante k-esimo (in cui siassume che si e raggiunto l’equilibrio) si ottiene:

ǫi+1 = ǫk(1− λ0∆)i+1−k (3.51)

Se si vuole la stabilita anche nel mondo discreto deve, pertanto, essereǫi+1 −→ 0 al crescere di i e perche cio accada deve essere:

|1− λ0∆| < 1 (3.52)

Si hanno i due casi seguenti.Se e 1− λ0∆ > 0 si ha la seguente diseguaglianza:

1− λ0∆ < 1 (3.53)

dalla quale si ricava la seguente relazione che risulta essere sempre vera percome sono stati definiti i parametri in essa coinvolti:

−λ0∆ < 0 (3.54)

Se e 1− λ0∆ < 0 si ha:−1 + λ0∆ < 1 (3.55)

119

3.3 Capitolo 3

ovvero:

∆ <2

λ0(3.56)

oppure:

λ0 <2

∆(3.57)

con λ0 > 0 e ∆ > 0 per definizione.Da tali relazioni si deduce che ([11]):

- un processo di crescita basato su generazioni successive quale quelloche abbiamo descritto finora puo risultare intrinsecamente instabile seil tasso di crescita intrinseco λ0 e troppo grande rispetto all’intervallo∆ fra due generazioni successive oppure se e grande ∆ rispetto a λ0:

- la discretizzazione puo introdurre instabilita se non si sceglie un inter-vallo di discretizzazione ∆ sufficientemente piccolo (nel senso stabilitodalla (3.56)) rispetto ai valori attesi per λ0.

3.3 Due livelli

3.3.1 Introduzione

Consideriamo ora il caso di due livelli che denoteremo con le variabili Xe Y e la cui evoluzione e descritta da due equazioni differenziali del primoordine. Si hanno i casi seguenti:

(1) i due livelli non hanno legami reciproci;

(2) i due livelli interagiscono uno in successione all’altro ovvero in cascata;

(3) i due livelli interagiscono uno in parallelo all’altro.

Nel caso (1) i due livelli possono evolvere in modo autonomo e indipendenteper cui ad un modello con queste caratteristiche corrispondono due equazionidifferenziali indipendenti quali le seguenti:

X = φX,i(X, . . . )− φX,o(X, . . . ) (3.58)

Y = φY,i(Y, . . . )− φY,o(Y, . . . ) (3.59)

per le quali sono noti i valori iniziali X0 e Y 0. Si fa notare che nella (3.58) ilsimbolo . . . sta a rappresentare termini non specificati fra i quali non comparela variabile Y . Considerazioni analoghe valgono per la (3.59) . In questo casole due equazioni differenziali possono essere risolte una indipendentemente

120

3.3 Capitolo 3

dall’altra in modo da ottenere gli andamenti di X(t) e di Y (t) al variare dit. Le due equazioni differenziali corrispondono a due modelli senza legamireciproci se non per il fatto di essere rappresentati insieme.Nel caso (2) i due livelli possono interagire in vari modi che saranno esami-nati nelle sezioni che seguono nelle quali prenderemo in considerazione i casiseguenti:

(a) il livello X influenza il livello Y ma non vale il viceversa;

(b) il livello Y influenza il livello X ma non vale il viceversa;

(c) i due livelli X e Y si influenzano a vicenda.

Si ricorda che un livello puo essere influenzato solo agendo sui suoi flussiin ingresso e in uscita per cui la presenza di una influenza fra due livelli sitraduce nella presenza di un legame di tipo informativo (ovvero non soggettoalla legge di conservazione) fra un livello e gli opportuni flussi. Nell’esamedei tre casi suddetti prenderemo in considerazione solo un sottoinsieme dellepossibili modalita di interazione.Come gia detto il caso (3) sara esaminato nel capitolo 4.

3.3.2 Influenza in avanti

Nel caso (a) illustrato nella Figura 3.3 il modello corrisponde alle seguentiequazioni differenziali:

X = φX,i − φX,o (3.60)

Y = φY,i − φY,o (3.61)

In tali equazioni differenziali i flussi hanno le seguenti forme:

φX,i = fX(X, . . . )

φX,o = gX(X, . . . )

φY,i = φX,o

φY,o = gY (X, Y, . . . )

nelle quali le funzioni fX , gX e gY devono essere specificate caso per caso econ il simbolo3 . . . si denotano sia le variabili ausiliarie sia le costanti checaratterizzano i singoli modelli. La terza di tali relazioni traduce la condizionedi conservazione a cui sono soggetti i flussi di questo tipo.Da un’esame di tali espressioni e possibile vedere come:

3In tutti i casi che vedremo nel seguito il simbolo . . . non include ne la variabile X nela variabile Y che, se necessario, sono esplicitamente indicate.

121

3.3 Capitolo 3

Figura 3.3: Influenza in avanti

- se e noto il valore iniziale X0 la (3.60) possa essere risolta in modo dadeterminare una espressione per X(t);

- la conoscenza della X(t) e del valore iniziale Y 0 ci consente, alme-no in via teorica, di risolvere la (3.61) in modo da determinare unaespressione per Y (t).

Nel caso piu semplice mostrato in figura 3.4 si ha che il livello X controllasolo il flusso in ingresso al livello Y e non contribuisce alla determinazionedel relativo flusso in uscita.

Figura 3.4: Influenza in avanti, caso piu semplice

Esempio 3.3.1 Una applicazione del modello di figura 3.4 puo essere la se-guente.Si considera un modello che descrive l’assorbimento e la trasformazione diuna sostanza in un mezzo ad essa permeabile. Con X si indica la quan-tita di sostanza assorbita (di valore iniziale X(0)). Tale quantita condizional’assorbimento di nuova sostanza e ne definisce la trasformazione (o decadi-mento) in un’altra sostanza Y (di valore iniziale Y (0) che a sua volta decadescomparendo dal sistema di cui stiamo definendo il modello.Per una implementazione del modello in Vensim (o in un software analogo)in questo come negli altri modelli che vedremo e ovviamente necessario intro-durre sia le opportune variabili esogene sia le necessarie variabili ausiliarie

122

3.3 Capitolo 3

con le opportune relazioni matematiche sia con le variabili esogene sia con iflussi a i livelli presenti nel modello.In questo caso risulta necessario definire:

- il tasso di assorbimento della sostanza nel livello X,

- la capacita massima del livello X,

- il tempo medio di trasferimento dal livello X al livello Y ,

- il tempo medio di esistenza della sostanza Y .

Esempio 3.3.2 Un’altra applicazione del modello di figura 3.4 puo essere laseguente.Si considera un modello che descrive l’andamento di una popolazione neltempo. Gli individui di questa popolazione si possono trovare nei due stadi disviluppo X e Y (di valori iniziali, rispettivamente, X0 e Y 0) caratterizzatida:

- una natalita che dipende dal numero di individui nello stato X;

- una maturazione dallo stadio X allo stadio Y ;

- una mortalita nel solo stadio Y .

Per completare la descrizione ed implementare il modello si ha bisogno diconoscere le seguenti costanti:

- il tasso di natalita TdN ;

- il tempo medio di maturazione TXY da X a Y

- il tasso di mortalita TdM ;

Una volta note tali costanti e facile definire le necessarie relazioni che de-finiscono i flussi che interessano i due livelli in modo che sia possibiledeterminare l’evoluzione delle variabili X e Y nel tempo.

Esempio 3.3.3 Una applicazione del modello di figura 3.3 puo essere la se-guente.Si considera un modello che descrive l’assorbimento e la trasformazione diuna sostanza in un mezzo ad essa permeabile. Con X si indica la quantita disostanza assorbita (di valore iniziale X(0)). Tale quantita condiziona l’assor-bimento di nuova sostanza, ne definisce la trasformazione (o decadimento)in un’altra sostanza Y (di valore iniziale Y (0)) e influenza, a causa di fe-nomeni di interazione, il decadimento della sostanza Y che, anche in questocaso, scompare dal sistema di cui stiamo definendo il modello.

123

3.3 Capitolo 3

Esempio 3.3.4 Un’altra applicazione del modello di figura 3.3 puo essere laseguente.Nel caso della popolazione dell’esempio 3.3.2 si introduce un legame fra lamortalita degli individui nello stadio Y e gli individui nello stadio X.Tale mortalita puo essere:

- ridotta se gli individui nello stadio X svolgono una azione di protezionenei confronti di quelli nello stadio Y ;

- accresciuta se gli individui nello stadio X svolgono una azione didisturbo nei confronti di quelli nello stadio Y .

3.3.3 Influenza all’indietro

Nel caso (b) illustrato nella Figura 3.5 il modello corrisponde alle seguentiequazioni differenziali:

X = φX,i − φX,o (3.62)

Y = φY,i − φY,o (3.63)

In tali equazioni differenziali i flussi hanno le seguenti forme:

φX,i = fX(X, Y, . . . )

φX,o = φY,i

φY,i = fY (Y, . . . )

φY,o = gY (Y, . . . )

nelle quali le funzioni fX , fY e gY devono essere specificate caso per casoe con il simbolo . . . si denotano sia le variabili ausiliarie sia le costanti checaratterizzano i singoli modelli. La seconda di tali relazioni traduce la con-dizione di conservazione a cui sono soggetti i flussi di questo tipo.Si fa notare che, a rigore, al fine di evitare che il livello X assuma valorinegativi, puo essere necessario introdurre, nelle figure 3.5 e 3.6, un link (ditipo informativo) di controllo dal livello X al flusso φX,o.Tale link, utilizzabile in istruzioni condizionali, impedirebbe uno spillamentodi un flusso di qualunque entita e dipendente dal valore del livello Y da unlivello X sprovvisto della necessaria quantita di materiale. Essendo un linknon strutturale ma avente esclusivamente una funzione di controllo non lo sie tracciato nelle figure 3.5 e 3.6.Da un’esame di tali espressioni e possibile vedere come:

124

3.3 Capitolo 3

Figura 3.5: Influenza all’indietro

- se e noto il valore iniziale Y 0 ci sono casi in cui la (3.63) puo essererisolta in modo da determinare una espressione per Y (t);

- la conoscenza della Y (t) e del valore iniziale X0 ci consente, alme-no in via teorica, di risolvere la (3.62) in modo da determinare unaespressione per X(t).

Nel caso piu semplice mostrato in figura 3.6 si ha che il livello Y controllasolo il flusso in uscita dal livello X e non contribuisce alla determinazione delrelativo flusso in ingresso.

Figura 3.6: Influenza all’indietro, caso piu semplice

Esempio 3.3.5 Una applicazione del modello di figura 3.6 e la seguente.Si considera lo sversamento, con un certo andamento nel tempo, di una so-stanza S su una superficie. Con X si denota la parte di sostanza che penetranello strato immediatamente sotto la superficie e la cui concentrazione limital’assorbimento ulteriore di tale sostanza nello strato superficiale mentre conY si denota la quantita di sostanza presente in uno strato piu profondo e lacui concentrazione limita il passaggio dallo strato superficiale a tale strato piuprofondo. La quantita di sostanza Y , a sua volta, transita per gravita in unostrato ancora piu profondo che, tuttavia, non siamo interessati a descrivere.

125

3.3 Capitolo 3

Esempio 3.3.6 Un’altra applicazione del modello di figura 3.6 e la seguente.Si vuole descrivere una popolazione che vive in due aree A e B, entrambe conuna capacita massima misurata come il massimo numero di individui chepossono vivere in quella area. Sia X la variabile che descrive la numerositadella popolazione nell’area A e sa Y quella relativa all’area B.La migrazione dall’area A all’area B come l’emigrazione dall’area B ad unache e esterna al modello e che, pertanto, non siamo interessati a descriveredipendono dal valore della variabile Y mentre la migrazione verso l’area Adipende dal valore della variabile X.

Nel caso della figura 3.5 si ha che:

- l’incremento della variabile X dipende sia dalla variabile X sia dallavariabile Y ;

- l’incremento della variabile Y dipende solo dalla variabile Y ;

- il decremento della variabile Y dipende solo dalla variabile Y .

Come si e gia notato piu volte il percorso normale e quello che porta da unproblema ad uno o piu modelli per mezzo di un percorso iterativo di costru-zione e affinamento. Solo per scopi didattici e possibile fare il percorso inversoovvero e possibile pensare di partire da un modello con certe caratteristichee indicare a quali tipologie di problemi lo si possa applicare.

Esempio 3.3.7 Una applicazione del modello di figura 3.5 e la seguente.Si voglia descrivere un impianto composto da due bacini: uno a monte A checontiene X metri cubi d’acqua e uno a valle B che contiene Y metri cubid’acqua.Il deflusso dal bacino B dipende solo dalla variabile Y mentre per il bacinoA si ha che:

- il trasferimento da A a B dipende solo dalla variabile Y ,

- l’afflusso in A dipende sia dalla variabile X sia dalla variabile Y .

Le relazioni fra i due bacini dipendono sia dalle rispettive capacita massimeXmax e Ymax sia dai contenuti all’istante t ovvero da X(t) e Y (t) sia dallaportata massima πAB del trasferimento da A a B. Il valore πAB dipende daldiametro delle condotte dal primo al secondo bacino.Si puo affermare che si ha:

φY,o =Y

T(3.64)

se T misura il tempo medio di permanenza dell’acqua nel bacino B. In piusi ha che:

126

3.3 Capitolo 3

- φX,i dipende da un afflusso naturale deviabile, se necessario, su uncanale che bypassa i due bacini se questi sono pieni e non sono ingrado di ricevere altra acqua;

- se Y < Ymax e X > 0 si puo trasferire acqua da A a B;

- la condizione di equilibrio e data dalla uguaglianza φX,i = φX,o = φY,o;

- se si ha φX,i > φY,o si deve provvedere in modo che i bacini nontrabocchino ma che si mantengano pieni il piu possibile;

- se si ha φX,i < φY,o si deve provvedere in modo che i bacini non sisvuotino e che si soddisfi al meglio la domanda il piu a lungo possibile.

3.3.4 Influenza reciproca

Nel caso (c) illustrato nella Figura 3.7 il modello corrisponde alle seguentiequazioni differenziali:

X = φX,i − φX,o (3.65)

Y = φY,i − φY,o (3.66)

In tali equazioni differenziali i flussi hanno le seguenti forme:

φX,i = fX(X, Y, . . . )

φY,i = φX,o

φX,o = gX(X, Y, . . . )

φY,o = gY (X, Y, . . . )

nelle quali le funzioni fX , gX e gY sono specificate caso per caso e con ilsimbolo . . . si denotano sia le variabili ausiliarie sia le costanti che caratte-rizzano i singoli modelli. La seconda di tali relazioni traduce la condizionedi conservazione a cui sono soggetti i flussi di questo tipo.Il caso che abbiamo chiamato dell’influenza reciproca puo essere visto co-me la combinazione dei due casi visti finora. La piena interdipendenza ciimpedisce di risolvere una delle due equazioni differenziali in modo indipen-dente dall’altra per cui in questo caso queste formano un sistema di dueequazioni differenziali del primo ordine riconducibile ad una equazione diffe-renziale del secondo ordine. Alla trattazione di questi argomenti e dedicatoil capitolo 6.La figura 3.7 presenta il caso in cui i due livelli interagiscono in modocompleto nel senso che:

127

3.3 Capitolo 3

Figura 3.7: Influenza reciproca

- il livello X influenza sia il flusso in ingresso sia il flusso in uscita dellivello Y ;

- il livello Y influenza sia il flusso in ingresso sia il flusso in uscita dellivello X .

Il legame di Y sul flusso φX,i puo essere usato per descrivere sia una facili-tazione sia un impedimento. Lo stesso vale per il legame di X sul flusso φY,o

mentre la reciproca interazione sul flusso φY,i = φX,o influenza il passaggioda uno stadio al successivo dove il termine stadio (corrispondente, nel mo-dello, ad un livello) puo indicare sia una condizione legata al tempo sia unacondizione legata allo spazio.

Figura 3.8: Influenza reciproca, caso piu semplice

La figura 3.8 presenta una versione semplificata di questa modalita diinterazione in cui i due livelli interagiscono solo tramite il flusso φY,i = φX,o.

Esempio 3.3.8 Una applicazione del modello di figura 3.8 puo essere la se-guente.Si considera una popolazione P i cui individui si trovano nei due stadi X eY in modo che sia P = X+Y . Il valore di X determina la natalita di questi

128

3.3 Capitolo 3

individui (secondo una relazione del tipo4 φX,i = TdN ∗ X, se TdN indicail tasso di natalita) mentre il valore di Y determina la mortalita di questiindividui (secondo una relazione del tipo φY,o = TdM ∗ Y , se TdM indica iltasso di mortalita). La parte interessante e quella legata al flusso φY,i = φX,o.Nel caso piu semplice si puo avere, ad esempio:

φX,o = αX(Ymax − Y ) (3.67)

oppure:

φX,o = αX(Ymax − Y )

(X + Y )(3.68)

in cui:

- nella (3.67) con α si denota la frazione di individui che passano, perogni unita di tempo e per ogni individuo, dal livello X al livello Y ;

- nella (3.68) con α si denota la frazione di individui che passano, perogni unita di tempo, dal livello X al livello Y ;

- in entrambe le relazioni, con Ymax si denota la massima capacita dellivello Y per cui la differenza Ymax − Y agisce come freno (se Ye prossimo a Ymax) o come facilitatore (se Y e prossimo a 0) altrasferimento.

Esempio 3.3.9 Una applicazione del modello di figura 3.7 puo essere unaestensione dell’esempio 3.3.8.In questa estensione si introduce l’interazione reciproca fra i due livelli anchesui flussi φX,i e φY,o che vengono a dipendere entrambi sia da X sia da Y .Ad esempio si puo avere per il flusso φX,i:

φX,i = TdN ∗ Y (Xmax −X) (3.69)

in cui:

- con TdN si denota il tasso di natalita degli individui della popolazioneche si sta descrivendo;

- con Xmax si denota la massima capacita del livello X per cui la diffe-renza Xmax − X agisce come freno (e X e prossimo a Xmax) o comefacilitatore (se X e prossimo a 0) alla comparsa di nuovi individui.

4Come piu volte detto, si usa il simbolo ∗ per denotare il prodotto fra due numeri intutti quei casi in cui la sua omissione puo dar luogo ad ambiguita di interpretazione.

129

3.4 Capitolo 3

D’altro lato, per il flusso φY,o si puo definire una relazione quale la seguente:

φY,o = TdM ∗ Y (1 +X

Xmax

) = TdM ′ ∗ Y (3.70)

con:

TdM ′ = TdM(1 +X

Xmax

) (3.71)

in cui:

- con TdM si denota il tasso di mortalita intrinseco degli individui chesi trovano nello stadio Y della popolazione che si sta descrivendo;

- con il termine fra parentesi si denota la pressione degli individui nellivello X su quelli nel livello Y . Si hanno i casi seguenti:

· se X e prossimo a 0 tale pressione e bassa e questo fatto riduce lamortalita degli individui del livello Y in modo che se X = 0 si haTdM ′ = TdM ;

· se X e prossimo a Xmax tale pressione e alta e questo fatto au-menta la mortalita degli individui del livello Y in modo che seX = Xmax si ha TdM ′ = 2TdM

3.4 Esercizi proposti

La presente sezione, come altre similari contenute alla fine di altri capitoli,contiene alcuni esercizi la cui soluzione consiste nella definizione di un modelloVensim che soddisfa certe specifiche e che si basa sull’applicazione, in certicasi creativa, dei concetti esposti nel presente capitolo.

Esercizio 3.4.1 Si implementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.1sapendo che:

- il tempo di decadimento della sostanza X e pari a TX = 2 giorni;

- il tempo di decadimento della sostanza Y e pari a TY = 3 giorni;

- la capacita massima del mezzo e pari a m = 1000 unita della sostanzaX;

- il tasso di assorbimento intrinseco e pari a 0.2.

Si valuti cosa accade al variare di m, di TX e TY a partire dai valori dati. Sitraccino nel tempo gli andamenti delle variabili X e Y e li si usi per fare levalutazioni richieste.

130

3.4 Capitolo 3

Esercizio 3.4.2 Si implementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.2sapendo che:

- i valori iniziali dei due stadi sono, rispettivamente:

X0 = 100 con intervallo di variabilita [20, 200],

Y 0 = 100 con intervallo di variabilita [20, 200];

- come tasso di natalita nello stadio X si ha TdNX = 0.02 con intervallodi variabilita [0.01, 0.07];

- come tasso di mortalita nello stadio Y si ha TdMY = 0.015 conintervallo di variabilita [0.01, 0.07];

- come tempo medio di transito dallo stadio X allo stadio Y si ha TXY =15 con intervallo di variabilita [5, 20];

- si assuma Y ear come unita di misura del tempo e una unita di misuragenerica quale unit per i livelli.

Nelle suddette relazioni con [a, b] si definisce un intervallo di valori in cui ae il valore minimo e b e il valore massimo.Si valutino gli andamenti di X e Y al variare dei parametri TdNX e TdMY .

Esercizio 3.4.3 Si implementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.3sapendo che:

- i valori iniziali delle sostanze X e Y sono, rispettivamente:

X0 = 10 con intervallo di variabilita [0, 100],

Y 0 = 0 con intervallo di variabilita [0, 100];

- con mX si denota la massima quantita di sostanza assorbile conintervallo di variabilita [100, 500];

- con inX(0) si indica il flusso di sostanza sversata sulla superficie delmezzo permeabile;

- con αX ∈ [0, 1] si indica la frazione di sostanza effettivamenteassorbibile;

- con inX = αXinX(0) si indica il flusso di sostanza effettivamenteassorbita;

131

3.4 Capitolo 3

- con TXY ∈ [10, 20] si denota il tempo medio necessario perche una unitadi sostanza X si trasformi in una unita di sostanza Y ;

- con TY ∈ [5, 30] si denota il tempo medio necessario perche una unitadi sostanza Y decada ed esca dal nostro modello;

- con αXY si indica un coefficiente che descrive l’influenza della sostanzaX sul decadimento della sostanza Y .

Per inX(0) si ipotizzi un andamento a piacere privilegiando andamenti, ancheperiodici, che mantengano valori non nulli per tutta la durata della simula-zione.Si facciano, inoltre, le seguenti assunzioni semplificative:

αX =mX −X

mX

(3.72)

αXY =X

X + Y(3.73)

Si assuma Minute come unita di misura del tempo e una unita di misuragenerica quale unit per i livelli.

Esercizio 3.4.4 Si implementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.4fissando i valori dei parametri necessari sulla scorta di quanto vistonell’esercizio 3.4.3.

Esercizio 3.4.5 Avendo presente il modello sviluppato nell’esercizio 3.4.3 siimplementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.5 sapendo che:

- i valori iniziali delle sostanze nei due strati X e Y sono,rispettivamente:

X0 = 0 con intervallo di variabilita [0, 100],

Y 0 = 0 con intervallo di variabilita [0, 100];

- per i parametri inX(0), inX , mX e αX si rimanda a quanto dettonell’esercizio 3.4.3;

- con αY X si indica un coefficiente che descrive l’influenza della sostanzapresente nello strato piu profondo Y sul passaggio in esso della sostanzaX dallo strato superficiale.

- con TY ∈ [5, 30] si denota il tempo medio necessario perche una unitadi sostanza Y decada ed esca dal nostro modello.

132

3.4 Capitolo 3

Si assuma, per semplicita, la seguente espressione:

αY X =mY − Y

mY

(3.74)

se con mY si denota la massima quantita di sostanza assorbile nello stratoprofondo con intervallo di variabilita [100, 500].Se outX denota il flusso in uscita da X si assuma che tale flusso sia definitonel modo seguente:

outX = max(0, αY XX) (3.75)

nella quale la funzione max(a, b) restituisce il maggiore dei due valori a e b.Si assuma Minute come unita di misura del tempo e una unita di misuragenerica quale unit per i livelli.

Esercizio 3.4.6 Si implementi il modello schematizzato nell’esempio 3.3.6fissando i valori dei parametri necessari sulla scorta di quanto vistonell’esercizio 3.4.5.

Esercizio 3.4.7 Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensimche descrive la situazione seguente.Si suppone di avere una sostanza inquinante che viene periodicamente di-spersa a “lotti” (dove per lotto si intende una quantita prefissata e indivisadi materia) su un terreno per un periodo di tempo costante T ∈ [1, 3], conuna periodo di ripetiozione costante Ts ∈ [5, 12] e in una quantita costanteS0 ∈ [100, 1000].Dopo un tempo di trasferimento Tt ∈ [1, 6] ogni “lotto” di sostanza si trasferi-sce nella falda acquifera dove si accumula e permane per un po’ disgregandosicon un tempo di decadimento pari a Td ∈ [1, 10].Si scrivano le possibili equazioni che definiscono i flussi in ingresso e in usci-ta ai due livelli.Si assuma Month come unita di misura del tempo e una unita di misuragenerica quale unit per i livelli.

Esercizio 3.4.8 Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensimche descrive la situazione seguente.Si suppone di avere una quantita iniziale L1(0) ∈ [100, 1000] di una sostanzache si trasforma in un’altra L2 (inizialmente assente ovvero con L2(0) = 0)con un tempo di decadimento pari a T1 ∈ [3, 10].Si scrivano le possibili equazioni che definiscono i flussi in ingresso e in uscitaagli eventuali livelli.Si modifichi il modello suddetto in modo da tenere conto del fatto che lasostanza L1 e caratterizzata da un tasso di volatilita pari a α1 ∈ [0.1, 0.8] e

133

3.4 Capitolo 3

che la porzione di sostanza che si volatilizza non decade.Si modifichi ulteriormente il modello in modo da descrivere il fatto che anchela seconda sostanza L2 decade con un tempo di decadimento pari a T2 ∈ [3, 10]ma diffondendosi in un ambiente molto vasto per cui non siamo interessatia descriverne l’accumulazione.Si assuma Month come unita di misura del tempo e una unita di misuragenerica quale unit per i livelli.

Esercizio 3.4.9 Siano date le seguenti equazioni:

dX

dt= λ0X −XY (3.76)

Y =λ0

mX (3.77)

insieme ai valori iniziali:X(0) = X0 (3.78)

Y (0) =λ0

mX0 (3.79)

e con m e λ0 costanti indipendenti sia dal tempo e sia da X sia da Y .Si progetti e implementi la struttura di un Vensim corrispondente e si traccil’associato diagramma causale completo di tutti gli elementi.

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