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Capitolo Terzo ­COSTRUZIONI DI CEMENTO ARMATO

PRECOMPRESSO J l

3.1 CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Mentre le strutture di cemento armato normale sono sottopo­ste ad "azioni", costituite da "forze applicate" e da "coazioni", d~

rivanti da cause naturali (ritiro del calcestruzzo, va r i a z i o n i di temperatura, cedimenti differenziati dei vincoli, ecc.), le struttu­re di cemento armato precompresso sono caratterizzate dalla pre­senza permanente di "coazioni impresse artificialmente", le quali coesistono con le azioni precedèntemente indicate.

Lo scopo per il quale si imprimono l e coazioni artificiali è quello di migliorare il comportamento della struttura in rapporto agli stati limite di servizio, in particolare quelli di eccessiva de­formazione e di fessurazione.

Ciò avviene se lo stato di tensione artificialmente impresso ha segno opposto a quello dovuto ai carichi applicati, cosicchè le ten­sioni risultanti sono minori di quelle che si avrebbero se i cari­chi applicati agissero da soli.

'1I mezzi con i quali si imprimono le coazioni artificiali costi­'.~.;'

tuiscono, nel .loro complesso, una tecnologia particolare. Vengono 'f impiegati acciai di caratteristiche meccaniche notevolmente supe­riori a quelle degli acciai in uso nel cemento armato normale, per realizzare i "cavi" scorrevoli in guaine ovvero i "fili aderenti", secondo una nomenclatura che sarà fra breve precisata. El neces­sario far ricorso ad attrezzature oleodinamiche appositamente stu­diate per tendere i cavi scorrevoli ed i fili aderenti ad un prefis­

254

....... " ---~--,~..""" ­

sato livello di tensione. Occorrono inoltre speciali elementi di ancoraggio, coperti da brevetti, per bloccare i cavi scorrevoli dopo averli messi in tensione contrastandoli controil calcestruz­- " zo. Dopo il bloccaggio si devono eseguire, infine, i n i e z i o n i di malta cementizia all 'interno delle guaine, per riempire lo spazio residuo fra i cavi e la guaina stessa in modo da prevenire la corrosione dell 'acciaio di precompressione e fornire una effica­ce aderenza fra l'acciaio ed il calcestruzzo.

Questa tecnologia pone altresì ulteriori specifici problemi alla progettazione strutturale, che si aggiungono agli altri, più propri della Teoria classica delle strutture: essi riguardano la applicazione di forze molto rilevanti (dell'ordine di grandezza di centinaia di tonnellate) su aree di calcestruzzo molto ristrette, la riduzione nel tempo delle coazioni artificiali per effetti della viscoelasticità del calcestruzzo e dell 'acciaio, le cadu.~ istanta­nee di tensione nelle armature e, quindi, la contemporanea ri­duzione dello stato di coazione nel calcestruzzo.

Molto più semplici sono i problemi di analisi delle tensioni e delle deformazioni nelle condizioni di servizio, per le quali si opera, di regola, nel I stadio (sezione di calcestruzzo integral­mente reagente) ~

TI fatto che una trave inflessa di calcestruzzo operi in ser­vizio nel I stadio, come avviene nei pilastri e negli archi, è do­vuto alla coazione artificiale, che, sostanzialmente, equivale ad una pressione eccentrica e che rende il comportamento statico di una trave simile a quello di un pilastro o di un arco.

Una cOJJlplicazione sorge, invece, quando si passa a consi..:. derare la sicurezza allo ·stato limite ultimò delle strutture in cemento armato precompresso, perchè, in presenza di coazioni, il metodo delle tensioni ammissibili, che si era potuto estendere con successo anche al c. a. normale, non risulta più i d o n e o a misurare il margine di sicurezza tra le condizioni di .servizio e quelle di collasso. Ciò si vede in modo molto semplice dalla fig. 144, in cui la dipendenza fra causa (carico esterno) ed effetto (tensione) è lineare, ma il diagramma non passa per l'origine a causa della coazione 00' che permane quando il carico." esterno

·255

Fig. 144

~ nullo: raddopian­Rt~TEQUO) do quindi il carico esterno, le tensioni ~rrispondenti au­

.mentano più del do!! pio ed il metododel­le tensioni ammis­sibili perde di si~

ficatività. agli effetti della sicurezza alla rottura. E' dunque neccessario sempre,6 (fig. 144) senza ec­cezione alcuna, in­tegrare l a verifica nelle condizioni di

servizio (eseguita nel I stadio) con la verifica a rottura, da ese­guirsi considerando la struttura nel III stadio.

Osservazioni

a) la utilità della precompressione non ~ affatto limitato alle strutture realizzate con calcestruzzo, ma si estende a quelle co­stituite da qualsiasi materiale. El vero che il calcestruzzo, po-. co resistente a trazione, risente in modo esplicitO d e i benefici della precompressione per quanto riguarda la sicurezza albi fes­surazione, ma i vantaggi derivanti della limitazione delle defor­mazioni, indotte dai carichi permanenti, sono anche particolar­mente apprezzati nelle costruzioni miste acciaio - calcestruzzo e nelle costruzioni costituite integralmente da acciaio;

b) malgrado la sostanziale semplicità dei calcoli, la progetta­zione delle opere di cemento armato precompresso richiede con­sapevolezza e senso di responsabilità ancora maggiori di quelli richiesti per il c. a. normale, sia perch~ la non appropriata in- . troduzione di stati di coazione può risultare dannosa, sia perchè, di regola, le fasi di costruzione sono più numerose e richiedono tutte la scrupolosa valutazione dei carichi, delle condizioni di vi!! colo e lé verifiche di sicurezza.

256

Del pari rilevante è la responsabilità del costru tt o r e di strutture inc. a~p., perchè il progetto sia eseguito fedelmente. con particolare riguardo sUe ipotesi poste a base del progetto stesso. Fra le altre si ricordano: -

a) il valore della resistenza caratteristica d e l calcestrozzo all'atto della. tesatura ed in servizio;

b) 11 valore del coefficiente di attrito fra cavi e guaine, in relazione allo stato di conservazione degli uni e delle altre;

c) la mobilità dei vincoli nella direzione longitudinale della trave all'atto della tesatura: se la trave non pu ò accorciarsi,

. non entra in coazione;

d) la accurata esecuzione delle iniezioni di malta nelle guai­ne;

e) il rispetto delle fasicostrottive previste in progetto e nei corrisponde~ti interv~li.di tempo, posti a base della valutazio-· ne delle cadute di tensione, frazionate in relazione appunto alle varie fasi costrottive ed ai carichi permanenti in esse presenti.

3.1.1 n calcestruzzo

TI calcestruz~ che si impiega nel c.a.p. differisce daque.! lo usatO in c. a. normale soitarito per il valore più elevato della resistenza caratteristica minima consentita, che deve es s e r e maggiore di 300kg/cmi (Norme Tecniche 1974, punto 1,4). Nei calcoli statici non può essere considerata una resistenza carat­teristica maggiore di 55Okg/cm2• Come si ricorderà, nel c. a. normale la resistenza caratteristica minima consentita è di 150 kg/cm2, mentre nei calcoli statici il valore massimo che può essere utilizzato è quello di 500kg/cm2•.

Per le considerazioni di servizio le tensioni ammissibili, sia di compressione .che di trazione, sono espresse in. funzione della resistenza caratteristica a 28 giorni di stagionatura, pre­cisamente (N.I. 1.4.1):

257

(Jb = O. OGR 'bk

Per le condizioni iniziali le tensÌoni ammissibili sono invece espresse in funzione della resistenza caratteristica' R~kj del cal­cestrozzo nel giorno j di stagionatura, in corzi,spondenza del qua­le avviene effettivamente la tesatura, precisamente (N.!. l. 4. 2):

a~ = 0.48R'bkj

ab = 0.08R'bkj

Le Norme prendono anche in considerazione le pressioni. lo­calizzate prodotte dagli apparecchi di ancoraggio che non devono superare il valore Rhì /1. 3 (N.1.1.4.2).

Osservazioni

a) A parità di resistenza caratteristica del calcestruzzo, le te!! sioni ammissibili di esercizio per il c.a. normale e per il c.a. precompresso risultano differenti. Per esempio, con:

R~k = 350kg/cm2

si ha, rispettivamente:

c.a. normale: é1~ = GO + 350 - 150 = 1l0kg/cm2 4

c.a. precompresso: a~ = 0.38,350 = 133kg/cm2

b) A differenza del c.a. normale, nel c.a. precompresso sono ammesse trazioni nel calcestrozzo, con l'obbligo di disporre i n zona tesa armature sussidiarie di acciaio ad aderenza migliorata, opportunamente diffuse, in quantità tale da assorbire integralmente la risultante del diagramma delle trazioni, adottando per le arma-' ture la tensione ammissibile convenzionale di l' 800 kg/cm2, se si tratta delle condizioni di esercizio, (N.I. 1.4.1),. oppure di 2'200 kg/cm2, se si tratta delle condizioni iniziali (N. I. l. 4. 2).

17. E.F. Radogna: Appunti di tecnica delle costruzioni I

258

c) Nel c. a. precompresso, secondo le vigenti Norme italiane, è ammessa la parzializzazione della sezione, conseguente al su­peramento delle tensioni ammissibili di fasi transitorie della costruzione, con condizioni di servizio (N. I. 1.4.2).

trazione, esclusione,

-

soltanto quindi,

nelle delle

3.1.2 Gli acciai

6(~/mrr?-)

1&0

160

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120

100

60

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20

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I , Il I

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b.2,% bi DEFORMA1.IOtJE I2E~IOUA

Fig. 145

259

Per imprimere la coazione al calcestrnzzo si possono im­piegare acciai ad alto limite elastico nelle seguenti quattro forme (N. L 2.1): fili, barre, _trecce, trefoli.

Nella fig. 145 sono indicati i diagrammi .Il - e di due acciai da precompresso, rispettivamente per fili e per barre, e, a tito­lo di confronto, il diagramma di un acciaio ad aderenza migliora­ta da c. a. ordinario. Negli acciai per fili, in mancanza di una ben definita tensione di· snervamento, si introduce un valore con­venzionale, la "tensione allo 0.2%".

Per capire il significato di tale denominazione, si pensi di sottoporl'e un provino di acciaio ad un ciclo completo di carico e scarico: se la fase di messa in carico si arresta proprio a Il a tensione suddetta, allo scarico completo del provino la deforma­zione unitaria permanente nell 'acciaio deve risultare uguale allo 0.2%. Le tensioni ammissibili per gli acciai da precompresso so­no espresse in funzione di due grandez~e: la tensione caratteristi­ca di rottura Rak, e la tensione caratteristica allo 0.2% RadO. 2) O .altra tensione caratteristica atta ad individuare la soglia delle deformazioni plastiche, cioè la tensione all'l% della deformazione totale Rak(l) per i trefoli e la tensione di snervamento Rak(S) per le barre.

Le Norme italiane danno le seguenti limitazioni (N.I. 2.5.1) valide per le condizioni iniziali e per quelle di servizio:

Strutture ad armatura post-tesa:

IO'api :s; O. 85 R ak (0.2)fili o trecce

O'ap :s; 0.60 Rak .

00api < O. 85 Rak (1)trefoli O';lII < O. 60R ak1 00api <O. 85 Rads)

barre O'ap <0.60Rak1

Strutture ad armatura pre-tesa:

00api :s; 0.90 Rak (0.2)fili o trecce

O'ap <O. 60Rak1

260

laapi < o. 90Rak (1\ trefoli

aap < O. 60Rak

-3.2 LA TECNOLOGIA DELLA PRECOMPRESSIONE

Vediamo ora quali sono i procedimenti pratici per impri­mere uno stato di coazione in una trave di calcestruzzo, uti ­lizzando acciai ad alto limite elastico.

Perchè gli elementi di acciaio possano fornire un sistema di forze al conglomerato, occorre ohe siano messi in tensione e che siano collegati al conglomerato.

Ci sono due modi per fare tutto &iò: nel primo modo (si ­. stema ad armature pre-tese) si prepara la· cassaforma, che do­vrà contenere il calcestruzzo, si dispongono nella cassafo r m a vuota le trecce (o i trefol;i, o i fili con tacche per elevarne la ~derenza), si mettono in tensione le trecce con dispositivi e­sterni alle testate della cassaforme; per esempio, ad. una estre..., mità le trecce saranno ancorate ad un blocco fisso ed all'altra saranno collegate ad un elemento mobile, che le mette in tra­zione ad una tensione prestabilita:

aapi = O. 90Rak (0.2)

A questo punto si esegue il getto di calcestruzzo nella cas­saforma e si attende il tempo sufficiente perchè il calcestruzzo raggiunga la resistenza necessaria· per sopportare la coazione preventivata.

Infine si liberano le estremità delle trecce dai blocchi ter minati: le trecce tendono ad accorciarsi, ma ora si trovano col­legate per aderenza al calcestruzzo circostante, il quale è co­stretto ad accorciarsi, fino a che è in grado di fornire una· for­za uguale ed opposta a quella esercitata dalle trecce.

Si noti che la· tensione delle trecce, nella configurazione ora raggiunta (eq,uilibrata e congruente) è minore di quella che avevamo inizialmente, perchè anch'esse si sono accorciate del­la stessa quantità del calcestruzzo circostante.

261

I I Lnumw?WWZj@wémuuuomwZamUUZUWÙZOlpmB

~- -Fig. 146

I) Nella cassaforma vuota si mettono in tiro le trecce (fig. 146).

No I····:····.·.·:' ~-~ .. ,.... ,... :.:......: ....: ...~.:.; ..... :. No .... ---.;~.---;...............:...--~--:""...---:---:----:----,......;,..,......:.--"""'":"'=-...;; -+

Ijj~j;i;h;;;;;;;;;~;;;im;~~;wJJ Fig. 147

II) Si esegue il getto di conglomerato. Le trecce sono sempre tenute iÌ1 tiro dall'esterno. (fig. 147).

ID) Si sbloccano le trecce dai loro ancoraggi esterni (fig. 148).

Fig. 149

263

La perdita di tensione nell 'acciaio vale n· ab. L'esempio precedente è stato sviluppato nella ipote~ èhe lo

sforzo di coazione No fosse baricentrico.­se, invece, No fosse eccentrico rispetW alla linea d'asse

della trave di calcestruzzo, basta usare le formule della pressio":" ne eccentrica con l'avvertenza di riferirsi alla sezione ideale, cioè:

Passiamo ora.al secondo modo di imprimere le c o a z i o n i (sistema ad armature post-tese): si prepara la cassaforma, si di­spongono in essa i cavi già contenuti dentro le guaine, si infilano alle estremità dei cavi gli apparecchi di ancoraggio (spesso chia­mati "coni di ancoraggio") che serviranno, in un secondo tem.pq. a bloccare i fili messi in tensione ed a trasferirà le forze di coa­zione al calcestruzzo, si esegue il getto del calcestruzzo nella cassaforma, si attende che il calcestruzzo raggiunga la resiste!! za. necessaria per poter assorbire le autotensioni con il margine di sicurezza prescritt-o dalle Norme.

. A questo punto si mettono in tiro i cavi, ciò che èpossibi­le perchè i fili (i trefoli) possono scorrere libera m e n t e nelle guaine, nelle quali non penetra il calcestruzzo.

L'operazione di tesatura richiede l'impiego di appositi ap­parecchi, che si chiamano "martinettf.l', e che. servono a trasfor­mare in energia meccanica l'energia idraulica trasmessa d a Il a "pompa" .

I martinetti. per tesatura sono costituiti,' sos~zlalmente,

dallo .stantuffo, fisso, che contrasta contro il cono di ancoraggio, e dal corpo tubolare, mobile, che tende ad allontanarsi dalla te­stata quando vi è immerso l'olio.

I fili che fuoriescono dall'ancoraggio, sono c o Il e g a t i per '. . ­

mezzo di chiavette. al corpo tubolare mobile e vengono tesi quan­do il corpo mobile viene allontanato dalla testata.

La tesatura può avvenire da entrambe le estremità del ca­

264

vo, usando due martinetti contemporaneamente, oppure da una .parte sola, dopo aver preventivamente bloccato l'ancoraggio. op­posto.

La tesatura termina quando si è raggiunto il valore della tensione aapi prevista. ­

Si procede allora al bloccaggio dei fili nel cono di ancorag­gio con dispositivi diversi, secondo i brevetti; molto spesso si tratta di sistemi a cuneo.

Dopo aver collegato i fili al cono di ancoraggio, non resta che sbloccarli dal corpo mobile e l'operazione è finita.

Con il procedimento della post-tensione, a differenza del procedimento della pre-tensione, in ogni istante si ha sempre la uguaglianza fra le forze sull'acciaio Na e' forze nel conglome­rato Nb, cioè:

Na = Nb = N

Le autotensioni. corrispondenti valgono (cavo baricentrico):

N Aa

se il cavo è eccentrico:

y =

o STELO

COIlPo mf!:€clUi3/5IbsToYEIUO l'GSTERJJO

FILI DEL GI1K) C.OLL~t; TI .s L CoRPO MO/!JJ.G

Fig. 150

265

Sistemi a cavi post-tesi in fase di tesatura

Equilibrio del calcestruzzo

-

Fig. 151

Equilibrio dello stantuffo

REAZJ~JJEAL PIEDE DELi.O NJ-- tmiiM!iUWwt=JN 1i!ISVLTAIoJTE D~LLA STELO .sUL COAJO &OCCATO l-- _ _ PeESSIOAl/i DEI.J. OL/O

Fig. 152

Equilibrio del corpo mobile

1i!ISU"LTAIJTE DELLARISULT.4WTE DELLE { : FOI2:rE. APPLICATEAINLI N ti PR~/ONE D61.L'ouo

llVFA.sE DI TESATURA

Fig. 153

Vediamo come avviene il bloccaggio di un filo all'ancorag­gio: ciascun filo è in equ~librio sotto due'forze R ed R\. (fig.154).

11 tronco di cono centrale viene premuto nella sua sede al termine della tesatura. I fili, che tendono a rientrare, trascina­no il cono centrale forzandolo maggiormente nella sua sede, i n modo da autobloccarsL

Accenniamo sin d'ora, a completamento delle notizie· sul sl stema ad armature post-tese, che, terminata la tesatura dei cavi,

266

si provvede alla iniezio­ne di malta cementizia nell 'interno delle guaine,

... ~....• per raggiungere i seguen(l'

ti ~ scopi: ­.~ ... ~ . , , .~ a) protezione dello ac­~ ,

, . , . ciaiopre-teso dalla cor­, . rosione;

, 1/1' ,," , b) realizzare l'aderen­

... ~ .. : . za fra le armature e la .0 .'. .•.

,- , , . .- - guaina (e quindi, con il - calcestruzzo) per migliQ 01_..:7 •• . ..-' rare le condizioni di si­• • of1I. ..' .... \. , ~

curezza alla rottura. SU ,

~ questo secondo punto to!: .. .. , .. - .

.­

neremo al par. 3. 8.

Fig. 154

Il trasferimento degli sforzi 'falle armature al calcestruzzo

Abbiamo visto che i sistemi di precompressione sono due e che il trasferimento degli sforzi dalle armature al calcestruzzo avviene per mezzo di apparecchi di ancoraggio relativamente pic­coll, o, addirittura, senza appositi dispositivi, ma solo per ade­renza.

In entrambi i casi questo trasferimento si svolge in zone di estensione limitata, per le quali non vale la teoria, delle travi.

Lo studio della distribuzione delle tensiòni richiede l'impie­go della teoria della elasticità, cosa che .si sa fare soltanto per casi relativamente semplici, ovvero diteenichesperimentali, fra cui la fot~lasticità.

a) Sistemi ad armature post-tese. Zone di ancoraggio

Esaminiamo 11 caso di una forza localizzata N'agente in as­se alla estremità di una trave prismatica, nella ipotesi sempli­ficata di problema piano.

Bulla testata la forza è applicata sulla sezione a·b; ad una

267

certa. distanza dalla testata (L ~H) la distribuzione delle pressio­ni è, con buona' approssimazione, uniforme con (J = N/bH (fig. 155).

t= H

S' -Lt'-----L~-H-------"t -bH

Fig. 155

Nella zona di lunghezza L ha. luogo la diffusione delle ten­sioni dalla altezza a alla altezza H. Le isostatiche di compres­sione dietro l'anc<?raggio presentano dapprima la convessità verso l'asse della trave, poi, subito dopo, la curvatura cambia; in cor­rispondenza ai cambiamenti di direzione delle isostatiche di com­pressione, si manifestano delle tensioni trasversali di compres­sione, subito dietro l'ancoraggio, che poi diventano tensioni tra­sversali di trazione un poco· più lontano (1).

L'andamento delle. (J trasversali di trazione, in funzione del rapporto a/H e della (J media longitudinale, è indicato nella fig. 156.

Quando la iI media longitudinale di compressione vale 100 kg/cm2, la (J trasversale massima può arrivare, se a/H = 0.1, a 40kg/cm2•

La risultante delle forze di trazione trasversali Z può es­sere valutata mediante l'espressione approssimata:

(1) Subito dietro l'ancoraggio la dilatazione t~vereale (effetto Poisaon) è impedito dalla mllllllll di calcestruzzo circostante scarico, che esercita un effetto cerchiante rappresentato dalle compreuioni trasversali.

268

z = 0.3·N (1 - ~ ) La presenza di tra­

+6 0./H=02 o./H =0,3

zimte richiede la di­sposizione di apposite

0,56 O,H I armature trasversali, O," . ! . la cui ubicazione viene 0,26 I studiata i n 1?ase alla D,f 6 I distribuzione d e Il e (J.

IV" Q.!5H"'I G,SH H I

I I I

trasversali di cui allo schema precedente. (Eliche o gr-iglie mul­

I I

tiple).

/ '" ~ -~ r--..... Il ~

_.... ~

I '1 l'''''''-'~I

_6 Per quanto riguar­da le pressioni longi-

Fig. 156 tud.inali dietro l'anco­raggio, ricordiamo che

sono permesse compressioni molto elevate;' se Rh :::: 300 kg/cm2

(valore minimo consentito per il precompresso) agli ancoraggi si può arrivare a 300/1. 3 = -230 kg/cm2•

b) Sistemi tld armature pre-tese. Zone di testata

Nel sistema ad armature pre-tese il collegamento fra ac­CIaIO e conglomerato avviene per aderenza: si potrebbe pensare che tutto si svolga con modalità uguali a quelle del cementoar­mato normale, ma non è così.

Nel caso del cemento armato normale, l'armatura è tesa, il suo diametro diminuisce per· effetto Poisson ed essa tende a staccarsi dal conglomerato.

Nel caso del prècompresso, l'armatura, rispetto allo stato iniziale di tensione ad essa applicato sul banco di tesatura, su­bisce una diminuzione di trazione (N < No) quando viene liberata dai blocchi di ancoraggio. Cioè, con riferimento allo sforzo ini­ziale No, la variazione .6.N ha il carattere di uno sforzo di com­pressione applicato alla armatura, quindi il diametro a u m e n t a per effetto di Poisson, con esso aumenta 1a pressione laterale

269

esercitata contro il conglomerato e migliora la a­derenza. Questo

6:o. = o fenomeno v i e n e 'spesso chiamato "effetto Hoyer", dal nome dell'in

Fig.157 gegnere tedesco che lo ha messo

in evidenza nel 1939. Il rigonfiamento dei .fili è di pochi millesimi di millimetro,

ciò nonostante produce pressioni radiali nel conglomerato non in­differenti. Secondo il prof. M. Ros, (EMPA Zurigo), si può' arri­vare anche a SOOkp;/cm2•

La fig. 157 mostra, schematicamente,' l'effetto Hoyer: fuori della trave la tensione sul filo è caduta a zero, quindi il filo ha ripreso il diametro iniziale; ad una certa distanzada1la.testatanel filo è applicata la tensione:

.Nella zona intermedia, il diametro del filo varia, aumentan­do verso l'esterno e producendo (J radiali di compressione.

Per quanto riguarda le or, la distribuzione è analoga a quel­la delle barre per cemento ~TIIlato normale: a causa delle tensio­

ni tangenziali, si f o r m a una distribuzione di isosta­tiche di compressione, lu!! go le quali lo sforzo dello acciaio si irradia nel con­glomerato' mentre le se­zionisiingobbano (fig. 15S).

Le (J del conglomerato, nulle sulla sezione termi­naIe, vanno crescendo fi­

Fig.158 no al valore (fig. 159):

270

No ~=

Ai

mentre, contemporanea­men~ anche la a nello acciaio, IDllla in testata, cresce verso l'interno, fino al valore (fig.159).

Esclusa la zona di tr~

sferimento degli sforzi, la ripartizione degli sfo.! zi nello acciaio e nel con glomerato è quella vistaFig. 159 in precedenza.

Nella zona di trasfe­rimento' esistono a trasversali di trazione, come nel caso .dei coni di ancoraggio: anche qui, dunque, si dovranno disporre ar­mature trasversali a graticcio ortogonali oppure ad elica.

3.3 IL SISTEMA DI CARICHI EQUIVALENTI ALLA PRECOMPRESSIQ­NE

Vogliamo ora analizzare 11 regime tensionale derivante dal la coazione impressa ad una trave, mediante l'uno o l'altro dei .dUe sistemi tecnologici esaminati al paragrafo precedente.

A tale scopo è necessario, nell'ambito della teoria appro,! simata delle travi, conoscere le caratteristiche di solle.citazione (N, M, T) per dedurre da esse le a e le .,; in base alle note for­mule di Scienza delle Costruzioni.

A loro volta le caratteristiche di sollecitazione si determi­nano in funzione dei carichi applicati, dopo avere, se è 11 caso, risolto preventivamente un problema iperstatico.

Viene così, spontaneamente, a porsi 11 problema di asso­ciare, ad una generica disposizione di armature di presollecita­zione, i carichi (concentrati, ripartiti, coppie) c h e producono

271

nella struttura le stesse deformazioni e tensioni, dovute alla te­satura delle armature, cioè i carichi equivalenti alla precompres­sione.

I carièhi equivalenti sono autoequilibrati,- nel senso che, in un sistema staticamente determinato, non producono reazioni vin­colari; nei sistemi iperstatici, invece, anche i carichi autoequili­brati producono, in generale, reazioni vincolari, anch'esse,· n e 1 loro complesso, autoequilibrate.

Diciamo subito che, nel caso dei sistemi isostatici, in c. a. p. è possibile valutare le caratteristiche di sollecitazione in funzione della disposizione delle armature, senza la preventiva de­terminazione dei "carichi equivalenti".

Nei sistemi iperstatici, al contrario, la preventiva determi­nazione dei carichi equivalenti è indispensabile per definire N, M, T e, da queste, le tensioni prodotte dalla coazione artificiale.

Tuttavia· anche per i sistemi isostatici la ricerca del siste­ma equivalente è interessante, perchè fornisce una visione orga­nica dell'effetto della coazione su tutta la strUttura, sottolinean­done l'azione antagonista in rapporto alle forze· eswrne direttame,!! te applicate, non solo a livello di tensioni e di caratteristiche di sollecitazione, ma anche in termini di carichi.

Cominciamo ad esaminare il sistema equivalente alla pre­compressione nel caso del sistema ad armature post - tese (cavi scorrevoli) .

In via preliminare osserviamo che i cavi sono elementi strut­turali quali totalmente flessibili, assimilabili, in molti probleini, a "fili", cioè a "solidi tubolari di piccola sezione caratterizzati dalla condizione di momento flettente nullo ownque, escludendo al­tresì che lo sforzo normale possa essere una "pressione".

In altri termini "i fili sono capaci di resistere solo a tra­zione". Per questa loro proprietà i fili, sottoposti a forze ester­ne, assumono spontaneamente la configurazione per la quale si h1. equilibrio tra le forze esterne e le risultanti delle trazioni inter·· ne.

A differenza delle travi (solidi tubolari dotati di· rigidezza flessionale), nel caso dei fili si pone un problema particolare, quello di determinare la configurazione geometrica di equilibrio

272

assunta dal filo per una data distribuzione di carichi; poi, in a­nalogi,a con le travi, si ha il problema di determinare la distri­buzione delle tensioni hmgo 11 filo.

Ricordiamo, infine, che un filo fortemente teso su di una superficie regolare fissa esercita su di essi' la pressione:

Np(s) =

B(s)

.in cui' N èla forza di trazione nel filo ed R è il raggio di cur­vatura della curva assunta dal filo, che è una geodetica d e Il a superficie di appoggio.

Questi brevissimi richiami sui fili ci sono utili per asso­ciare ad. un cavo curvilineo il.sistema equivalente che gli cor­risponde~ basta pensare al cavo come ad un elemento struttura­le in parallelo con la trave, cioè come ad un filo fortemente teso dentro un canale interno alla' trave ed ancorato, alle sue estremità, sulla stessa'trave (dunque la configurazione del filo è nota).

Quando 'siamo al momento della tesatura, il filo non è an­cora iniettato; la "forza di trazione nel filo (a prescindere da fe­nomeni di attrito, che esamineremo al par. 3. 5) è costante ed ~un valore noto, misurato al manometro della pompa, che co- . manda il martinetto.

A ciascun ancoraggio, il filo trasmette una forza concen­trata, pari alla forza di trazione predetta, con 11 segno cambia­to (comp~essione per il conglomerato), diretta pa~llelamente

alla tangente terminale del filo. Lungo' il canale interno alla ti·ave, realizzato costruttiva­

mente dalla guaina del cavo, il filo, nei tratti in curva, si ap­poggia contro la parete del canale, premendo, contro di essa con la forza ripartita per unità di lunghezza p(s) = N/R(s).

La forza obliqua N,. concentrata in corrispondenza de g l i ancoraggi terminali, non passa, in generale per il baricentro della sezione della trave; trasferendola nel baricentro della se­zione di conglomerato, nasce una coppia concentrata, che è il momento di trasporto; inoltre, decomponendo la forza obliqua

273

secondo la normale e la tangente alla sezione, si ottengono u n a forza di compressione ed una forza di taglio.

Si vede chiaramente che le due forze di compressione, ai due oppOsti ancoraggi, si auto-equilibrano.

Le forze di taglio sono in equilibrio, non-fra di loro, ma con la componente tagliante della riSultante dei carichi p = N/R, co­me vedremo subito con qualche esempio.

7) Cavo ;ettilineo baricentrico

ANCOIlJJ t:i(i I o

N"~--_~----------------------J • N

SI.5TEMA EQUIVALENTE

Fig. 160

Lungo il cavo - ipotizzando, per ora, che non ci sia attrito ­non c'è scambio di forze con il calcestruzzo, perchè il cavo scor­re liberamente dentro la guaina.

Invece alle estremità, dove ci sono gli ancoraggi, il calce­struzzo riceve due forze ·concentrate N, uguali ed opposte a quelle che tendono il cavo.

Ad una certa distanza dall'ancoraggio, la forza concentrata si diffonde uniformemente nella sezione di calcestruzzo, dando luogo alla pressione unitaria:

(J =

2) Cavo rettilineo, parallelo all'asse baricentrico deli!l trave

18. E.F. Radogna: Appunti di tecnica delle costruzioni I

274

'DISP05IZ'OtJ~ COSTRUTTiVA

-~+f--.._.-.._._._._---~

~OQZE APPUCATE DAL CAvO

t!f-E----·- -----=:31: Np.

SI5TE.MA EQUIVALIit.JTE.

Fig. 161 l I·

Trasportando la forza N nel baricentro della trave, nasce il momento N;e che tende le fibre superiori. In proposito ricor­

e N

b)

Fig. 162

c) cL)

diamo che possiamo sempr~ aggiungere alla forza N (?g.a) un sistema a risultante e momento risultante nulli (fig. b) èostituito da due forze N uguali ed opposte applicate al baricentro G della sezione di conglomerato. Raggruppiamo ora le tre forze in mo­do diverso, come nella· fig. c, in cui si mette in evidenza la

.

275

coppia antioraria N·e,; rappresent;ata in modo equivalente nalla fl~. d•

. La trave di conglomerato è, dunque, sollecitata a pressione eccentrica: le tensioni valgono: -

a= AN±~y J

3) Cavo rettilineo, inclinato rispetto alla linea d'asse

Controlliamo che il sistema sia autoequilibrato:

LX = Ncosa - Ncosa = O

Nsena - N sena OLY = = LM(B) = - NcosaeA + N senaLAB - NcosaeB =

~~L------------ j=tea A B

. ;

F'ig.163

276

In questo caso l'equilibrio alla rotazione è assicurato, in­sieme, dai tagli e·dai momenti.

4) C'avo para!Jo/ico.sill1l11l'1rico rispetto alla mezzeri~ ancorato in corrispon­

denza dl.'i barice1ltri del/e sezio1li terminali

~~

lA. d I"'" t

eA =ee=O

Fig. 164

Prima di valutare il sistema equiv~ente, certamente co­stituito da forze .obliqu'e in testata e da un carico ripartito lungo la trave, prepariamo alcuni' dati:

Equazione del cavo:

yy = a x 2

per: ~ ~

x = L/2 ~ + ~

y = f = aL2/4 '-----_----L-Lfi t-

da cui: ~ a = 4f/L2

Fig. 165quindi:

4f 2 xY = r:r

Poichè le travi sono, per definizione, solidi in cui una di­mensione (la lunghezza) predomina rispetto alle altre due, pos­siamo ritenere sufficientemente approssimate le tre relazioni sem­plificate:

277

1 y' = tga - sena cosa - 1 - - y"

r

Nel caso del cavo parabolico, abbiamo:'

Sf Sf y' = "l:"2 x y" -- ­- l?

La inclinazione della tangente al cavo in testata (x =. L;2) risulta:

Sf L 4f tga = ~-2- =

L

La componente tagliante della N vale:

4f T = N sena - N tga = ~ N

La componente normale della N vale:

N cosa - N

TI carico ripartito risulta pari a:

N N Sf p = - Ny" = R IT

Fig. 166

278

n sistema è autoequilibrato; infatti:

'D =

.:~<t; =

N -N = O

2 --..!!...- N - ..!!.... N L L L 2

= ~N-L

8fN L = O

-' - 4 f .-!!...- L + ~ N ~ = - 4fN + 4fN = OL L 2 .

A parità di N e di sezione, conviene disporre il cavo più. in basso possibile per aumentare l'eccentricità in mezzeria f, a cui è proporzionale il carico "negativo" (verso l'alto) p = 8fN/L2.

n carico p verso l'alto mostra chiaramente la ragione del­lo. impiego dei cavi parabolici, che è quella di contrapporre ai carichi ripartiti dovuti alla gravità (agenti verso il basso), altri carichi, antagonisti, cioè diretti verso l'alto, cosicchè i carichi risultanti siano minori degli. uni e degli altri presi separatamen­te.

Deduciamo ora dal carico equivalente le caratteristiche di . sollecitazione T ed M:

T (x) = - ~f N + ~~ Nx = ~f N (-1 + 2 ~)

La legge di variazione è lineare, il taglio si ammlla per x = L/2 (mezzeria).

M(x) = - ....!!...- Nx + ~ N ~ = 4 fN (- ~ + ~)L L2 2 . L L2

per x = L/2 (mezzeria)

M = 4 fN (- ~L + 4~22 ) = 4 fN (- ~ + ~,) =

= - 4 fN ~ = - N f (tende' le fibre di sopra).

A quest 'ultimo risultato si poteva giungere anche per altra

279

r-------- ­l G : N L ~.::-::_:-.l=i=.~~::::=------.J

8fN ...............L..-.................l..--L......L..-.................l......J-...&.-l l!""' Fig. 167

via, sezionando la trave in mezzeria, insieme al cavo in essa con­tenuto, ip modo da mettere in evidenza le forze interne. In cor­rispondenza del cavo tagliato, in direzione della tangente, vediamo la forza di trazione N, mentre sul calcestruzzo appaiono le tensi.Q. Di di compressione a, la cui risultante è allineata ed opposta alla . N precedente.

Possiamo allora calcolare direttamente il momento della ri:­sultante N. rispetto al baricentro della sezione di calcestruzzo Nf (momento flettente), facendo il prodotto della forza N (costante IU!!: go il cavo, in assenza di fenomeni di attrito) per la distanza fra il baricentro del cavo ed il baricentro della sezione.

Questo procedimento semplificato per la valutazione del mo­mento flettente (in generale delle caratteristiche di sollecitazione) a partire dalla forza di compressione nel calcestruzzo, diretta se­condo la tangente al cavo e di intensità N, senza la: preventiva ~

terminazione del sistema equivalente al1a. precompressione, è li ­mitato al caso di sistemi. staticamente determinati.·

5) Cavo parabolico ancorato in sezioni intermedie fra gli appoggi

Teniamo sempre presente che dopo l'ancoraggio. c'è una zo­na di trasmissione, di lunghezza all 'incirca pari all'altezza della trave, nella quale le forze interne si diffondono, a partire dallo ancoraggio, nella trave, fino a raggiungere la distribuzione di a e di 'Ii' prevista nella usuale teoria delle travi inflesse.

280

e

-Li

Fig. 168

Le linee a tratteggio indicano, qualitativamente, l' effetto d~

la perturbazione rispetto alla teoria delle travi, espresso median­

b)

c)

a.)

.\

Ns."a.

• T... = .. tN ___.....l''n'',.,.,.,,.,,~"'' ....~...........,,,.,,.,............. LT

ci)

0.) 1)'5PO~ILI0tJ~ ~o.sTIlUTTIYA b) 51~T~MA EQu, ..ALE.Nn. C) S~R.ZI TACOLIAIJTI

ci) MONI:IJTI FL&.TTENT' Fig. 169

281

te una riduzione graduale delle caratteristiche di sollecitazione; l'a ­nalisi delle tensioni nella zona di trasmissione richiede l'appUcazio­ne4ella teoria della elasticità, come abbiamo già visto in altre occ~

sioni, tutte le volte in cui veniva meno il principio di De Saint Venant.

6) Consideriamo ora il caso in cui ci siano due ca~ uno ancorato alle estre­mità, l'altro in sezioni intermedie

-......~--+~~-...:---T---1~~t-~--::::;.......,~,--t-N1 a.)

L• ~--_.L T r L

- '-----t.------------,ar+ MislMlI t M4Cti4 - ~Tr'"'-------+-------A""--

I

L'!tili ~N.

,\s t!,e N. -b)~ illIrI

I

I I I

-....u..L.&..I.I.""'+T,..,p..LoL.Uu..L.I...l-I.L.J..+-L.l..U....L..I.u...r..oUJn-r-rf"".........u..o..a

Ht~. N.ei

d)

0.) DISPO$lZIO~~ COSTRUTTIVA

b) 51STEMA ~QU'VAL&.~T5 c) ~FORZI TA.C;LIA~TI

ci} MOM""'TI ~L~TTE"'TI Fig. 170

282

7) Cavo po//gona/e (I)

.. Nstrle( C)

N.5tno(.

a.) l)ISP05IZI0tJE. CO~T2:UTTIVA

b) SISTEMA E'QUIVALE~TE

C) ~~OQZ.I TAGLIAt.JTI

et) MOME~T' nETTEtJTI Fig. 171

(l) In tutti gli eaempi precedenti è stato possibile dedurre i diagrammi T. ed M sia a partire dal si.

stema equiYalente, sia direttamente in base all'andamento del cavo, perchè si trattava di strutture i. s08tatiche.

283

'.

Vediamo ora altri esempi relativi a strutture iperstatiche, nei quali determineremo subito il sistema equivalente, ma poi,. per arrivare a T ed M, occorrerà risolyere il sistema ipersta­tico sottoposto alla condizione di carico = sistema equivalente.-8) Trave continua a due campate. Cavo rettilineo

Esaminiamo il seguente caso (v. fig. 172a).

1) 2) 3) 4)

trave a sezione costante; campate di ugual luce; cavo rettilineo; eccentricità terminale uguale (cavo orizzontale) eA = eB = e

I I I

...J1--J--------t---.-.----- ­.e~...g.-----------4_----------_Ei_=..f

A L L

Fig. 172a .

Sistema di carichi equivalente alla precompressione (fig .. 172b):

14~f-e -~t ~N

Fig. 172b

Risolviamo il sistema una volta iperstatico con il metodo delle forze (v.fig.173) .

. Come sistema principale scegliamo quello costituito dà due travi appoggiate, inserendo in C una cerniera, che interrompe parzialmente la continuità della trave ABC, mettendo in evidenza il momento di continuità (incognita iperstatica) mc.

La discontinuità introdotta in C mette in evidenza non solo il momento di continuità m, ma anche i momenti Ne, dowti al ­la eccentricità del cavo nelle sezioni terminali.

J84

PAQTI COlAl2E ~ODO C {-~ -

A.lS. A B

Fig. 173

Equazione di. congroenza in fonna sintetica:

m (N m) = -m (Nm\Te a sinistJ1l ' Te a destra . ,

TI segno - dipende dalla convenzione assunta per i segni de­gli angoli di rotazione e peri momenti: positivi gli angoli ed i momenti che alzano le tangenti sugli appoggi (fig.174):

.~ ~c

Fig. 174

Per la congruenza, è necessario che, se la tangente in C a sinistra ruota in senso orario, la tangente in C a destra ruati. in senso antiorario (fig. 175):

285

P er l'equilibrio dei momenti agenti in C, deve risultare:

mCA = mCB = mc

Esplicitiamo gli angoli di rotazione fJltl' e fJl~CBI:

L L(Ne + 2 Ne) + (O + 2m)fJlcasìnistra(N, m) = 6EJ 6EJ

L L = (2 Ne + Ne) + (2m + O)fJlc ade~tra(N, m) 6EJ6EJ

Sostituendo le precedenti espressioni nella equazione di con­gruenza:

L LL L N +--- 2m = 3 Ne - -6-E-J- 2m3 e 6EJ 6EJ6EJ

cioè: 6Ne + 4m = O

3m = --Ne

2

Il momento risultante in C vale, dunque:

3Ne - - Ne = - 0.5 Ne

2

-lL~_N_e ""'lijo'~~Q ~~O.s_H_e. ~~~

Fig. 176

Come si vede, al sistema equivalente si è aggiunto il mo,:", mento di continuità - 3/2 Ne, che modifica i valori dei momenti alle estremità C .delle travi AC e CB.

Disegnamo ora il diagramma dei momenti flettenti (fig. 177): L'esame del diagramma dei momenti flettenti risultanti con­

ferma che - nel caso di sistema iperstatico - non è più valido il comodo procedimento di dedurre direttamente il momento flettente in una generica sezione, moltiplicando la forza N per la eccentri ­cità del cavo rispetto al baricentro della sezione. stessa. Questo

286

fI\OMENTI DOVUTI ALLA

- \ P2E:COMP2ESSlo,"" NliL l.AIf SISTEMA PIZINCIPALE

-~OMENTI DOVUTI ALLA INCQGN ITA IPERr.TATlcA\Ne b)

PQODOTJ'A1)toLLA PrlecoM­5:J2.55lo .... E.A~"""""~"""""""""'.&..I-I"""""~:....I..oI...r.....I.oIl.Wc·l

MOME.NTlIZISUL.TAIIITIP'P"I""'I''''I'''''I''''I~'P'''I-I''''I''''f''''P'''! __~........"",....,!~tJe c)

Fig. 177

procedimento semplificato è applicabile solo ai problemi isosta tici.

Completiamo l'analisi statica della trave continua, calco­lando le reazioni vincolari YA = YB ed Yc:

o.SNe .2l...~~N_e._________ ~ N

fJ nt (AC)tYA . Yc

Fig. 178

M (A) =- Ne - O.5Ne - y~AC) L = O y~AC) = -15~·L (verso il basso)

Ne- Ne YA + y~AC) = YA - 1. 5 -r:- = O YA = 1. 5 ---r:­

(verso l'alto)

In C la reazione iotale è la somma di y~ACI e di. ybCS1(v. fig. 179).

287

13 ~tt.eA B

f~p4! c - 1.5 ~et

Fig.17l:1

Si vede che il sistema delle reazioni: vincolari è autoequili­brato', così come è autoequilibrato il sistema equivalente.

Si vede, inoltre, che la risultante in A di N ed YA è incli­nata dell'angolo a (v. fig. 180) .

Fig. 180

Si ha:

1.5Ne e tga = -.:!..L = 15­

N NL . • L

La poligonale O- 1 - 2 rappresenta il poligono delle successi­ve risultanti, cioè II luogo dei punti di applicazione· delle risul­tanti relative alle varie sezioni (più brevemente, luogo dei -centri di pressione lungo la trave).

Nel c. a. p. tale luogo si indica, di solito, come linea del:­le pressioni. Nell'esempio considerato la linea delle pressioni non coincide con il cavo, che produce laprecompressione. Questacon­~lusione, dedotta da un caso particolare, ha portata generale, cioè

288

vale per qualsiasi sistema iperstatico. Premesso che nel cemento armato precompresso si chiama

"cavo risultante" il cavo fittizio che esercita uno sforzo uguale alla risultante degli sforzi di precompressione e che ha l'eccen­tricità di questa risultante (se. i cavi sonò rotti uguali, i 1 cavo risultante passa per il baricentrò dei cavi effettivi), pos siamo dunque enunciare la seguente proprietà: nei sistemi iperstatici la linea delle pressioni non coincide - in generale - con il cavo ri ­sultante.

Torniamo, per un momento, ai sistemi isostatici, esami­nati negli esempi da 1 a 7, per constatare che li linea delle pre~ sioni coincide sempre con il cavo risUltante (in assenza, eviden­temente, di forze esterne, come, per esempio, il peso proprio).

Ci siamo s,offermati sulla differ.enza fra· linea delle pres­sioni e cavo risu,ltante,· perchè il regime tensionale della trave è caratterizzato, ovviamente, dalla. linea delle pressioln .e non dal cavo risultante.·

. Utilizzeremo la linea delle pressioni' quando studieremo il tracciato dei cavi lungo la trave, dopo avere progettato le sezio­ni in peggiori condizioni (nelle travi appoggiate, la s e z i o n e di mezzeria).

Metteremo in evidenza delle semplici limitazioni geometri ­che cui deve soddisfare la linea delle pressioni, perchè non si

. abbiano mai trazioni (la linea delle pressioni non deve uscire dai noccioli centrali d'inerzia delle sezioni della trave),' in base alle quali si può tracciare senza particolari difficoltà l'andamento del cavo risultante.

Evidentemente il lavoro di tracciamento del cavo risultante risulta facilitato nel caso dei sistemi isostatici, perchè, per es­si, la linea delle pressioni corrispOndenti ~ condizione di ca­rico "precompressione pura" (cioè al sistema equivalente) coiri ­cide con il cavo riBùltante.

A questo punto è interessante notare che anche nei sistemi iperstatici è possibile avere linee delle pressioni che coincidono con i cavi risultanti.

A questi particolari cavi risultanti, che godono della pro­

289

prietà di non provocare reazioni ipersta:tiche e che, per q u e s t a ragione, coincidono con le linee delle pressioni, si dà il nome di "cavo concordante".

Vediamo subito un esempio di cavo coneordante. Nella trave continua dell'esempio N. 8, proviamo a disporre

il cavo risultante in una nuova posizione, precisamente quella che passa per i punti O-1 - 2 che definivano la linea delle pressioni associata al tracciato rettilineo, orizzontale del c a v o risultante (v. fig. 181) .

Fig. 181

Determiniamo ora il sistema equivalente (v. fig.182) :

Fig~ 182

Passando al sistema principalé delle due travi appoggiate AC e CB ciascuno· dei momenti Ne/2 compare apnlicato ad una estre­mità diversa (fig.183).

(I) In C la somma deì due momentì Ne/2 (' è nulla.

19. E.f. Radogna: Appuntì dì tecnica delle costruzìonì I

- -

290

~~ m~~ -t~~ *~f!:;Nf\le N • t ) Ne r I 'o.s~e .!:l-P\o.sNe .li F------~ ~k-"';':::,:.:.;.:------­A C S/m 8-

Fig. 183

L fPc a simstra =

L [+ Ne + 2 ( - 0.5 Ne)] + (O + 2m)

6EJ 6EJ

L fPc a destra = [2 (-:- 0.5Ne) + Ne] + 6~J (2m + O)

6EJ

fPc a sinistra = - fPc a destra

(Ne - Ne) + 2m = - (- Ne + Ne) - 2m

m = O

TI sistema equivalente corrispondente al C.R. O-1 - 2 n o n provoca reazioni iperstatiche, dunque il C. R. O-1 - 2 è un cavo concordante.

Che cosa succede se modifichiamo ancora il tracciato del C.R. passando da 0-1 - 2 a 0-3 - 2 (fig. 184)? TI tracciato 0-3-2 differisce da quello O-1 - 2 per la eccentricità nella sezione C, che, invA('~ di. e/2, vale e.

L te B

Fig. 184

2e tga = sena cosa 1

L

291

Sistema equivalente sul sistema principale (fig.185) :

Fig..18Q

L L '. fJJc a sRstra = 6 EJ (Ne - 2 Ne) + 6 EJ (O + 2m)

fJJc a sinistra = - (jJc a destra

- Ne + 2m = Ne - 2m 4m = 2Ne

Ne m = (m tende le fibre. disopra)

2

. . . Da questo risultato traiamo le seguenti conclusioni:

1) il tracciato 0-3 -2 non è concordante, perchè m :f. O; 2) la linea delle pressioni si abbassa in C, rispetto al punto

3, di m/N = e/2 (perchè il momento m tende le fibre di sopra); 3) la linea delle pressioni del C .R. 0-3 - 2 coincide con il ca­

vo concordante O-1 - 2, cioè la linea delle pressioni è rimasta invariata, al variare del C. R . da O- 1 - 2 a O- 3 - 2.

L'invarianza della linea delle pressioni deriva dal modo con cui abbiamo dedotto O- 3 - 2 da .O-1 - 2, cioè lasciando invariate le eccentricità terminali eA ed eB e modificando soltanto la ec­centricità in C.

Le conclusioni precedenti, dedotte da un esempioparticola­re, hanno portata generale.

Per esprimerle in modo sintetico conviene introdurre alcu­ne definizioni:

a) Cavi equivalenti:

Il cavo O- 3 - 2 fornisce la stessa linea delle pressioni del C!! vo 0-1 - 2 o del cavo orizzontale 0-2, quindi è equivalente ad essi,

292

In generale in una trave continua sono equivalenti quei ca­vi che abbiano gli ancoraggi terminali nella stessa posizione e mantengano uguale curvatura in ogni sezione; es s i differiscono tra loro soltanto per le eccentricità sugli appoggi intermedi.

TI fatto che abbiano la stessa llnea delle pressioni implica che esistano incognite iperstatiche diverse -da zero in tutti. i trac­ciati dei cavi equivalenti, meno uno, quello che corrisponde allo unico cavo concordante della fallliglia dei cavi equivalenti.

Il cavo concordante è quello speciale cavo equivalente che coincide con la linea delle pressioni comune alla famiglia (dei ca­vi equivalenti).

b) Trasformazione lineare:

Si definisce trasformazione lineare il passaggio da un cavo ad un altro equivalente: essa consiste nel lasciare invariate le ~

centricità terminali e le curvature dei cavi e nell'alterare sol- . tanto le eccentricità sugli appoggi intermedi.

c) Curva stabile:

Data una famiglia di cavi equivalenti, la (unica) linea delle pressioni, comune a tutti. i cavi, si chiama curva stabile delle

.pressioni.

Ciò premesso, riassumiamo i risultati acquisiti:

a) Nelle strutture isostatiche la L. P. coincide con il C. R. b) Nelle strutture iperstatiche, in generale, la L. P. non coin­

cide con il C. R . c) Nelle strutture iperstatiche la L.P. coincide con ilC.R.

se quest'ultima non provoca reazione iperstatiche, cioè se è un cavo concordante.

d) Dato un cavo concordante, da esso può dedursiuna famiglia di cavi equivalenti, mediante trasformazioni lineari.

I cavi equivalenti, a differenza del cavo concordante di par­tenza, producono reazioni iperstatiche non nulle, ma hanno in co ­mune fra loro la linea delle pressioni (curva stabile), che, evi­dentemente, coincide con il cavo concordante di partenza.

293

Osservazioni rnnclusive

La nozione di "sistema di carichi equivalenti alla precom­pressione" consente di trattare, con metodologia unificata, sia i sistemi isostatici che quelli iperstatici. ­

Essa offre, inoltre, una efficace interpretazione del ruolo statico della precompressione, specialmente utile nello studio del tracciato dei cavi.

Il richiamo alle strutture iperstatiche ha avuto lo scopo di approfondire l3. conoscenza dei nuovi concetti attraverso la· appli­cazione di procedimenti 'di calcolo ben noti dalla8cienza delle Co­struzioni.

Non si deve però credere che la condizione di concordanza debba essere prescelta - come regola - per il tracciato dei cavi in una struttura iperstatica.

Il problema deve essere inquadrato in termini più generali, tenendo conto sia della sicurezza al collasso, sia delle modalità costruttive, le quali possono comportare variazioni nei vincoli nel corso della costruzione, le quali, a loro volta, comportano pro­blemi di ridistribuzione viscosa delle sollecitazioni.

Tali importanti questioni saranno riprese, èon i necessari, indispensabili approfondimenti teorici, nei corsi di T ecnica delle Costruzioni II e di Costruzione di Ponti.

3.4 LE PERDITE DI TENSIONE ISTANTANEE

Dopo aver chiarito che i cavi e i fili inducono nelle travi precompresse forze concentrate, ripartite e coppie concentrate, occorre analizzare quei fenomeni che tendono a ridurre, istanta­neamente o lentamente, tali forze e valutarne gli effetti.

Una prima classificazione è quella, appunto, fra perdite di tensione istantanee e perdite di tensione differite nel tempo.

Le perdite di tensione istantanee, di cui ci occupiamo ora, sono dovute a molteplici cause: perdite al martinetto, perdìte agli ancoraggi, attrito fra i fili e le guaine che li avvolgono (sistema ad armature post-tese), diminuzione di lunghezza degli elementi di calcestruzzo per deformazioni elastiche istantanee.

Di queste fanno parte dei calcoli di progetto le perdite do­vute all'attrito fra i :fili è le guaine e quelle dovute alla deforma­

294

zione elastica istantanea del calcestruzzo; le altre sono proprie del sistema di precompressione adottato, che di regola, è bre­vettato, e danno ,luogo a correzioni eseguite all'atto della tesa­tura dal personale specializzato della Ditta _C oncessionaria d e l sistema in questione.

3.4.1 Le perdite di tensione per attrito

Evidentemente queste perdite sono proprie del sistema ad armature post-tese; esse si manifestano non solo nei tratti i n curva, dove è chiaro che il cavo, messo in tensione, si appog­gia alla guaina. e preme su di essa con la pressione N /R, ma anche nei tratti in rettilineo, a causa delle inevitabili ondulazio­ni del cavo al momento della sua posa in opera, nonchè alle im­perfezioni delle superfici delle guaine, che possono presen t a r e ammaccature, alI'attrito delle legature, che si fanno durante la formazione del cavo per tener unito il fascio dei fili, all 'attri­to con la spirale centrale di filo di acciaio dolce che, in alcuni sistemi, serve a costituire l'anima del cavo.

3.4.1.1 Perdite di tensione per attrito in curva

N2 ­--.......0...;1--0004....

(LATO ANC02AGGIO FISSO)

Fig. 186

E' evidente (fig.186) che lo sforzo N1 da11ato del martinet­to è maggiore dello sforzo Nz dal lato dell'ancoraggio fisso, a causa dell'attrito fra il cavo e la guaina~

296

Detto f e · il coefficiente di attrito fra cavo e- guaina, si vuole determinare il rapporto N1/N2, nel caso di scorrimen­to incipiente (fig.187).

Proiezione sull'asse y:

(sen~ ~~)2 - 2

dP - Nda _ (N + dN) da = O 2 2

Trascurando l e quantità del II ordine:

Fig. 187

NpRda = Nda p =

R

Proiezione sull'asse x:

da _ .) (cos -2- = 1

N + dI' - (N + dN) = O dI' = dN

In condizioni di scorrimento incipiente, si ha:

dI' == dP·fe

Abbiamo già prepara.to le espressioni di dI' e di dP in funzio­ne di N e di dN, quindi, sostituendo:

296

dadN = fc·N-­

R

-C'SSER VAZIONE SUI SEGNI

In questa relazione dN e da = da/R hanno lo stesso segno, quindi, N ed a devono creACAre nello stesso verso. Se Nl è dal lato del martinetto, essendo N 1 > N2, N è crescente dalla sezio­ne 2 alla sezione 1; anche a dovrà variare nello stesso modo (fig. 188).

Integrando l'equazione differenziale: .

dN = fcdaN

fra i limiti 2 ed l, si ha:

[lnNJ:: = fdal - a2) = fca

InNI - lnN2 = fca

Fig. 188ln...!iL = fca

~2

cioè:

Per come è posto il problema reale, avviene sempre che SI

conofIDa N1 (cioè il valore maggiore, quello dalla parte del mar­tinetto, dove viene impressa una forza di valore noto) e che la incognita sia il valore minore N2 = N1 e-le'". . ,

Il valore di f c (cfr. Norme Italiane 1974 par. 3. 2) dovreb­be essere determinato in maniera diretta.

In mancanza di tali dati, le· Norme indicano, per fili privi di ossidazione, i seguenti valori del coefficiente di attrito in cur­va, in relazione alla natura della guaina o della sUperficie di. ap­poggio dei cavi:

297

calcestrozzo liscio f e = 0.5

lamierino metallico f e = 0.3

-Per quanto riguarda i valori di a, distinguiamo i cavi che si ancorano iÌ1 testata da quelli che si ancorano all'estradosso della trave.

Quelli che si ancorano in' testata (fig.189), tenuto conto del

Fig. 189

modesto valore del rapporto H/L '" 1/15, presentano angoli a 11 cui valore è compresso, di solito, fra 5° e 20° (fig. 190)..

Equazione della parabola:

= 4f x2Y ---v-Eciuazione della tangente:

8f y' = -2- X

L

In testata x = L/2, quindi il corrispondente valore di tga Fig. 190 vale:

4fy' =

L

Ammettendo, in prima approssimazione, f = H = L/15, si trova:

4 L tga = y' = --- .0.267

L 15

296

da cui:

Quelli che si ancorano all'estradoBso della trave preBenta­no inclinazioni comprese fra 200 e 30°; il limit"e inferiore è im­posto dalla esigenza di ridurre la estensione del vano da lasciare nel getto, per far posto al martinetto (fig. 191); 11 limite superio­re è imposto dalla esigenza. di evitare perdite per attrito troppo

Fig. 191

elevate (ricordiamo la formula N2/Nl = e- f.-) e di non avere rag­gi di curvatura troppo picéoli. Se i raggi di curvatura Bono trop­po piccoli le guaine Bi piegano e danno luogo ad attriti supple­mentari che pOBsono addirittura impedire la' meBsa i n tenBione dèl cavo.

L'ing. Guyon,· nella sua classica opera "Gonstruction en bé­t~.,J>J:'é.Cpntraint" (1966). consiglia di non scendere al disotto di ,raggi di curvatura q.ell 'ordine di metri: 1. 50 + 700d, in cui d è il ctiametro dei fili che costituiscono 11 cavo, espresso in metri.

Per d = 5mm troviamo:"

Rmin = 1. 50 + 3.50 = 5. om

Per d = 7mm troviamo:

Rmin = 1. 50 + 4. 90 = 6.4m

Se è necessario adottare raggi minori dei minimi consigliati occorre impiegare guaine molto rigide.

Prima di passare ad un esempio numerico, osserviamo che la funzione e-X può essere s~luppata in serie nella forma:

299

x X2 x3 e-X = 1---+-- --­

Il 2! 3!

Se ci limitiamo a çonsiderare soltanto i primi due termini (1 - (C) commettiamo un errore d che è ca1eelato nella tabellas~

guente, assieme allo scarto pereentuale d/e-x.

x l-x e-x d = e-x - (1 - x) d/e-x

0~05

0 ..10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.950 0.900 0.850 0.800 0.750 0.700 0.650 0.600 0.550 0.500

0.951 0.905 0.861 0.819 0.779 0.741 0.705 0.670 0.638 0.601

0.001 0.005 0.011 0.019 0.029 0.041 0.055 0.070 0.088 0.101

0.1 % 0.6%· 1.3% 2.3% 3.7% 5.5% 7.8%

10.3% 13.8% 16.6%

Se assumiamo per a 11 valore limite superiore (consigliato per i cavi).di 300 = 30n/180 = 0.524rad. e per f c il valore di O. 3 risulta:

x = fca = 0.3'0.524 = 0.157

Usando la formula approssimata Nz = N1 (1 - fca) al posto di quella esatta Nz = N1 e-Ie« si commette, dunque, nel caso in esa­me - che ha 11 carattere di caso limite, almeno per i cavi - un errore .inferiore al 2%. Per questa ragione è di uso generale la formula approssimata:

Nz = N 1 (1 - fca)

consigliata anche dalle Norme Italiane (punto 3.2). Nel caso in esame risulta, dunque:

Nz = N1 (1-0.157) = 0. 843Nl

6N = N1 - Nz = 0.157N1

6N.= 15.7% (a = 300 f c = 0.3)Nl

300

3.4.1.2 Perdite di tensione per attrito in rettilineo

Abbiamo già detto che le perdite per attrito si manifestano anche nei tratti rettilinei. A differenza delle perdite in c u r v a, quelle in rettilineo sono molto sensibili al ~do di accuratezza deUa lavorazione e posa in opera dei cavi: una successione di on­dulazioni in pianta in un cavo orizzontale, appoggiato sul fondo della cassaforma, può dare luogo a cospicui incrementi di attriti e conseguenti perdite di tensioni.

La perdita di tensione per attrito in rettilineo è funzione li­neare d~lla ascissa x della sezione, in corrispondenza della quale .sr vuole conoscere la perdita stessa:

N1 - N2 = ~N = N1fLx

I valori di fL sono fissati, in mancanza di determinazione diretta, dalle Norme, in funzione della natura della guaina, come già era stato fatto per il coefficiente di attrito in curva f e:

calcestruzzo liscio fL = 5.10-3

lamierino metallico fL == 3.10-3

I coefficienti sono validi per x espressa in metri. Esc11l/Jio

x = 20m fL = 3.10-3

N2 = N1(1 - 3.10-3.20) = N1 (1 - 0.06) = 0.94 N1

3.4.1.3 Perdite ditellsione per attrito in curva ed in rettililleo

~n gep.erale· in un cavo sono presenti tratti rettilinei e trat­ti in curva: in tal caso le perdite di attrito si ottengono somman­do i due contributi: precisamente, si devono sommare tutte le d~ viazioni angol~:ri, .prese in valore assoluto, moltiplicarle per il coeffici ente·, te .e sommare il risultatO ottenuto con il termine fLx, in cui x è la distanza fr~ l'ancoraggio, in cui avviene la tesatu­ra e la sezione considera,.ta. Quindi nella lunghezza x sono inclu­si tanto i tratti in rettilineo veri e propri, quanto i tratti in cur­va.

Agli effetti delle/operazioni di tiro il par.4.4.1 delle Nor­

301

me consente una sovratensione massima di 1000kg/cm2 per cç>m­pensare, in parte, le perdite per attrito.

Esempio

Adottando i simboli della fig. 3. 2 del-punto 3. 2 delle Norme, valutiamo le perdite per attrito in un cavo lungo· 30 metri, suppo­nendo di imprimere la coazione con un unico martinetto applica­to in A. essendo stato preventivamente bloccato il cavo nell'an­coraggio E (autoancoraggio) (fig. 192).

(LATO AViOANC02AGGI0) (LATO f;\AQTltJETTO)

t.

100

D

5.0 50 '10.0

Fig. 19 2

20n' a = 20° = 180 -= 0.349rad.

0.3 f l = 3.10-3

aA = 10.000kg/cm2

aB = aA(1-0.3·0.349 - 3.10-3.10) = 10.000(1 + - 0.105 - 0.030) = 10.000'0.865 = R.650kJt/cm2

ac = O'B(l - 3,10-3.5) = 8.650(1.000 - 0.015) = 8.650'0.985 = 8.5Z0kg/cm2 ­

0'0 ac(l- 3.10-3.5) = 8.520·0.985 = 8. 392kg/cm2

aE = aD (1 - 0.3·0.349 - 3.10-3 .10) = 8.392·0.865 = 7.259kg/cm2

La perdita per attrito totale risulta di:

10.000 - 7.259 = 2.741kg/cm2

In percentuale rispetto allaaA la perdita è del 27%.

302

Nella fig. 193 è riportato l'andamento delle tensioni residue, supponendo lineare la variazione tra due sezioni consecutive. Que­sto andamento ci. ricorda quello, sempre discendente, della linea di carico per le correnti liquide reali.

-

R j AcD

.--- ---------------------~ J ~6 -l I,..-

&t ~ i ~ti) ~ ~

E

Fig. 193

E' chiaro che la tesatura da una estremità non è convenien­te, se nOn quando i cavi sono dritti, o, al massimo, con una so­la curva, e le lunghezze sono modeste. Altrimenti conviene ten­dere da entrambe le estremità; se il cavo è simmetrico, come nell'esempio precedente, le perdite si limitano a quelle fra A e C, alla metà di quelle calcolate fra A ed E.

Nel progetto il calcolo delle perdite per attrito deve essere completato dal calcolo degli allungamenti dei cavi incorrisponden­za dell'ancoraggio: il miglior controllo dello sforzo effettivamente impresso è costituito, infatti, dalla misura degli allungamenti più che dalle indicazioni del manometro della pompa che comanda il martinetto. Si osservi che gli allungamenti si misurano bene per­chè sono molto forti.- Per esempio, su una lunghezza di 20 metri con (Japi media di 9' 000kg/cm2 si ha:

9' 000 2' 000 = 8. 6 cm.6.1 el 2.1,106

303

3.4.2 Le perdite di tensione dovut~ alla defonnazione elastica istantanea del calcestruzzo

3.4.2.1 Sistemi ad armature post-tese ­In generale lo stato di coazione è impresso al calcestruzzo

per mezzo di un certo numero di cavi, i quali vengono tesati non contemporaneamente, ma in successione, uno dopo l'altro.

Avviene, quindi, che ciascun cavo, tranne quello tesato p e r ultimo, subisca l'effetto dell 'accorciamento elastico istantaneo del calcestruzzo, indotto dai cavi tesi dopo.

In altri termini ad ogni accorciamento del calcestruzzo cor­risponde un accorciamento dei cavi già bloccati, una diminuzione della tensione nell 'acciaio, ed una conseguente diminuzione di coa­zione nel calcestruzzo.

Per valutare la perdita di tensione nelle armature si può se­guire il seguente· procedimento approssimato.

Sia N il numero dei cavi e ~Sb l'accorciamento specific.o del calcestruzzo al livello del cavo risultante, definito a pago 228, pro­dotto dalla messa in tensione di un solo cavo.

Supponiamo, che.la corrispondente ~O'b sia l/N della O'b to­tale, al livello del cavo risultante al termine della tesatura degli N cavi.

Dunque: O'b=

da cui si ricava la perdita parziale nell'acciaio:

Ora che disponiamo della perdita di tensione parziale p r 0­

dotta da un cavo qualsiasi nel cavo generico, possiamQ calcolare la perdita totale per i vari cavi, cioè, nel primo cavo, che subi­sce (N - 1) perdite parziali, si avrà:

= (N - 1) n O'~ -=­N

nel secondo cavo:

__

304

o'= (N - 2) n _b_ N

nel penultimo cavo: -6aa = [N -(N -1)]n o~ ~

= n N

nell 'ultimo cavo ovviamente:

6aa = O

Degli N cavi solo (N - 1) subiscono perdite di tertsione; la perdita di tensione media risulta:

(N - 1) no'b_

2 N

Non resta che da precisare il valore di o~ : poichè a~ è la tensione nel calcestrozzo al termine della tesatura degli N cavi,. si tratta della tensione a vuoto a livello del c~vo risultante. Que­sta tensione iniziale è maggiore di quella. finale, a causa delle perdite di tensione lente, (di cui ci occuperemo al par. 3. 5).

Possiamo però, sin d'ora, fare alcune semplici considera­zioni, per esprimere la o~ iniziale, che è quella che c o m p a re nella formula della perdita di tensione media, in funzione della 0b permanente, per fare, poi, una applicazione mmerica, che ci dia l'ordine di grandezza di queste perdite.

In condizioni finali (permanenti) la o~ al livello del cavo risultante è costituita da due termini:

a ~ è la coazionea'b '=. o'o -lo'pp I oJp è dovuta al carico permanente

Supponiamo che la coazione sia doppia della o~P' cioè:

a~ = 210~pl

liur.:jUe, in condizioni finali:

a~ = (2 - 1) o~p = oJp

In condizioni iniziali, invece, occorre incrementare 00 per compensare le cadute lente; supponiamo che tale maggioranza sia

305

del 20%, cioè:

a'b iniziale = (2·1.2 -l)a'pp = 1.4allP = 1.4a'b

A questo punto il procedimento è ultimato e si potrebbe cal­colare la 6.aa; però occorre pl-ima chiarire un dubbio sulla legit­timità della -relazione:

nel caso attuale, in CUI l cavi non sono ancora stati iniettati ed il loro andaEnento è, in generale,curvilineo.

Effettivamente in queste condizioni, non vale l'uguaglian z a locale, punto per punto, fra le due deformazioni specifiche, ma l'uguaglianza sussiste in media, su tutta la lunghezza del cavo.

In generale si può assumere che l'accorciamento specifico medio sia 1'80% di quello massimo. Dovremo ritornare sul caso dei cavi non iniettati anche a proposito del calcolo a rottura; sin d'ora possiamo aspettarci che, in assenza di ade't"enza, il momen­

.to ultimo dovrà essere sensibilmente minore di quello in presenza. di aderenza.

Torniamo alla perdita per effetto mutuo:

N-l 1 4 . 6.amedia = 0.8 n -;- a'b

N

Ponendo per esempio:

N = lO n = 6 a'b finale = 70kg/cm2

si ha:

6.amedia 210kg/cm2 = 3. Oa'b

L'incidenza percentuale di questa perdita è modesta, dell'or­dine del 2% della tensione iniziale dell'acciaio.

3.4.2.2 Sistemi ad armature pre-tese

In tutti i casi precedenti abbiamo constatato una diminuzione

20. E.F. Radogna: Appunti di tecnica delle costruzioni I

;:sU6

di tensione nell'acciaio ed una conseguente dimhmzione di coa­zionenel calcestruzzo.

Nei sistemi ad armatura pre-tesa siamo, invece, in pre­senza di un fenomeno diverso: nel corso del procedimentotecno­logico di tesatura lo sforzo di tensione nene armature diminui~ sce da ao (tensione sul banco di tesatura) a ao - na'b, mentre il calcestruzzo passa da a\ ::: O a a'b ::: NoIAi (v .pag. 262).

La diminuzione di tensione nelle armature è indispens3.biie per mettere in coazione il calcestruzzo: tale diminuzione di ten­sione è una manifestazione del trasferimento di parte dell 'ener­gia potenziale elastica, immagazzinata dalle armature sul banco di tensione, al calcestruzzo.

Nell 'ipotesi di perfetta elasticità e di perfetta aderenza la energia totale del sistema acciaio +conglomerato resta invariata: nel sistema ad armature pt:e-teae la diminuzione di tensione nel­la armatura non ha, pertanto, il carattere di "perdita di coazio­ne nel calcestruzzo".

3.5 LE PERDITE DI TENSIONE DIFFERITE

Le perdite di tensione differite (dette anche "cadute di ten­sione lente") sono quelle che si verificano dopo-il bloccaggiodel­le armature~ Esse sono prodotte da tre fenomeni, che si evol­vono nel tempo:

a) il ritiro del calcestruzzo; b) lo scorrimento viscoso del calcestrl1zzo; c) il rilassamento dell 'acciaio.

Le Norme forniscono dei criteri molto semplici per valu­tare le perdite differite: li esaminiamo subito, con l'i n t e s a di approfondire, in un secondo momento, il problema.

3.5.1 Cadute di tensione dovute al ritiro del calcestru~zo

"Per il calcolo delle cadute di tensione, salvo più precise valutazioni sperimentali, si assumeranno i seguenti valori:

307

0.0003 se la struttura viene precompressa prima di 14 giorni di stagionatura;

0.00025 se la struttura viene preocmpressa dopo 14 giorni di stagionatura. _ .

Per strutture particolarmente sottili dovranno adottarsi va­lori superiori" (punto. 1. 7. 1 Norme 1974).

I valori precedenti si riferiscono ad accorciamenti specifici del -calcestruzzo (sono»· cioè, delle Bb) uniformi lungo l'intera tra­

. ve (equivalgono» cioè, ad un accorciamento per diminuzione uni­forme di temperatura).

In queste condizioni di regolarità, le armature si accorcia­nq della stessa quantità del calcestruzzo (Ba = Bb) anche senza ri ­correre all'ipotesi della perfetta aderenza.

La diminuzione di lunghezza delle armature, ormai blocca­te, induce in esse la diminuzione di tensione:

6 1(1 = Ba E a

Assumendo» per fissare le idee:

Ba = Bb = 0.0003 = 3.10-4 == 300.10-6

.essendo: Ea = 2.1·106kg/cm2

si trova la diminuzione di trazione uguale a:

3.5.2 Cadute di tensione dovute allo scorrimento viscoso del calcestruzzo

. "La deformazione lenta sotto carico, depurata del ritiro» de­ve valutarsi pari ad almen~ 2 volte la deformazione elastica, seI!!: pre che la struttura venga sollecitata non prima di 14 giorni di stagionatura. Se la struttura viene invece sollecitata entro un teI!!: po minore, la deformazione lenta sotto carico si assumerà non inferiore a 2.3 volte la deformazione elastica.

Se la maturazione del calcestruzzo ~vviene con procedimen­ti particolari, è ammessa l'adozione di un minore valore della de­

308

formazione lenta, purchè sperimentalmente giustificata. TI calcolo della cacbJ.ta di tensione per viscosità dovrà es­

sere effettuato con riferimento alla tensione che, nella sezione considerata, agisce sulla fibra di calcestruzzo posta al livello dell'armatura" (punto 1. 7.2 Norme 1974). ­

A differenza del caso precedente (ritiro), la eb elastica deve essere valutata caso per c~o; non si tratta di una eb me­dia, ma della eb della fibra di calcestruzzo posta al livello del­l'armatura. Ciò è evidente, perchè, nota eb, nella ipotesi diper­fetta aderenza (cioè dopo l'iniezione di malta all'interno d e Il a guaina nel caso di sistemi ad armature post-tese) si ha ea =ebvisc

e,quindi, come nel caso del ritiro, si perviene alla caduta di tensione mediante la relazione: ...

1J.2a = eaEa

Non basta avere indicato a quale livello si deve calcolare la eb; oocorre anche precisare la condizione di carico che va considerata per_ il calcolo di:

. a' eb = ~

Eb

Tenuto conto del carattere dei fenomeni di scorrimento vi­scoso, la condizione di carico che interessa è quella "perma­nente", cioè, in generale, è la condizione "a vuoto", dovuta al­la sovrapposizione dèllo stato di coazione con quello dovuto ai carichi permanenti, con esclusione dei carichi accidentali..

Dobbiamo infine richiamare il punto 3. 1 delle Norme in cui è detto: "nelle strutture a cavi iniettati si può considerare col­laborante l'armatura di precompressione con coefficiente di omo­geneizzazione uguale a 6".

A questo J!Unto abbiamo tutti gli elementi per calcolare le cadute di tensione dovute all'accorciamento viscoso del calce­struzzo:

2 5 ~E = • Eb a

= 2.5·6 a'b = 15 a'b

Nelle condizioni "a vuoto" un valore normale per la a~ al

309

livello delle armature è 100kg/cm2 , quindi la corrispondente ca­duta di tensione nell'acciaio vale:

6, 2(Ja = 15·100 = 1· 500kg/cm2

-3.5.3 Cadute di tensione dovute al rilassamento dell'acciaio

Le Norme italiane (1974) al punto 2. 6. 1 danno le seguenti prescrizioni: "In assenza di dati sperimentali afferenti al lotto con­siderato, la caduta di tensione per rilassamento a tempo infinito 6,(J'(' ad una temperatura di 200C e per una tensione iniziale (Japi = = O. 75 Rak può assumersi pari ai seguenti valori":

Tipo di acciaio 6,(J~ .

Acciai in tondo trafilati 0.15 (Japi

Trecce 0.20 (Japi

Trefoli 0.18 (Japi

Barre laminate - ·0.12(Japi

"Qualora si disponga di prove a lunga durata la caduta per rilassamento a tempo infinito 6,(Jr si valuta mediante l'espres­.sione:

6,(J'(' = 6, (Jrt + C (6,(Jrt - 6,(Jr 1~

dove 6,(Jr1000 e 6,(Jrt sono, rispettivamente, le cadute per rilassa­mento di catalogo per 1000 ore e per tempo t> 2000 ore, C è un coefficiente dato dalla seguente tabella":

t in ore C

2·000 9 5·000 3

10·000 1.5 20·000 1.2

A differenza delle cadute di tensione dovute al conglomerato, quelle dovute all'acciaio sono e­spresse direttamente in funzione della tensione iniziale dell'accia­io di precompressione (Japi.

310

Per esempio, se «rapi. = lO· 000kg/cm2 , nel caso di cavi a fili lisci, la caduta di tensione per rilassamento vale:

63a = 0.15·10· 000 = 1" 500kg/cm2

-3.5.4 Cadute di tensione lente totali

La caduta totale di tensione per i fenomeni d iffe r i ti nel tempo nel calcestruzzo (ritiro e scorrimento viscoso) e nell'ac..:. ciaio' (rilassamento) non è la somma delle cadute nel calcestruz­zo e di quelle nell'acciaio, cioè non è (61a +67a) +63a, ma è ID.! nore. La ragione è questa: i valori numerici delle cadute di ten­sione per rilassamento sono ricavati da prove di laboratorio, nel le quali è rigorosamente verificata la condizione di "lunghezza costante", che è alla base della nozione di rilassamento.

Le condizioni effettive di funzionamento delle armature, nel le travi in c. a. p. (sia.a cavi scorrevoli, che a fili aderenti) sono però diverse da quelle, limiti, realizzate in laboratorio: a causa del ritiro· e della viscosità le travi si accorciano gradual­mente verso un valore limite (asintotico); con esse si accorcia­no le armature e diminuiscono le perdite di tensione per rilas­samento, rispetto a quelle calcolate nella ipotesi di l u ng h e z z a costante.

Per tenere conto della interdipendenza fra gli effetti de l rilassamento degli acciai e quelli del ritiro e dello ·scorrimento viscoso del calcestruzzo, il Comitato Europeo del Beton e la F~

derazione Internazionale del Precompresso nelle Raccomandazio­ni (II edizione, giugno 1970) hanno introdotto la· distinzione fra "rilassamento apparente" degli acciai inseriti nelle strutture in c. a. p., e "rilassamento puro", riferito agli acciai liberi.

Le esperienze di. laboratorio, condotte sugli acciai liberi, forniscono i valori del rilassamento puro 6ar"" j le Raccomanda­zioni C. E. B./F.1. P. forniscono la formula per ricavare dal ri­lassamento puro e dalle perdite di tensione nell'acciaio, dovute agli accorciamenti differiti del calcestruzzo (6«1arf)' il valore del rilassamento apparente 6'ar"":

6'ar"" = 6ar""(1 _ 36aarf ) aapi

311

Le Norme italiane (punto 2o6o2) accolgono integralmente la formula predettao

Esempio numerico

.6oarf = .610 + .620 = 630 + lO 500 = io 130kg/cm2

°api = 100

000kg/cm2

.6or"" = 1 . 500kg/cm?

3.2 0 130 .60r"" = 1" 500(1 - ) = lO 500(1 - 0.63) = 10'000

= 1" 500·0. 37 = 555kg/cm'2

Cadute lente totali:

.60101 = 630 + 1 0 500 + 555 = 2·685 kg/cm2

(- il 27% del valore iniziale).

Se non si fosse tenuto conto della interdipendenza fra le ca­dute lente si sarebbe avuto:

630 + 1" 500 + 1" 500 = 3°630kg/cm2

(- il 36% del valore iniziale).

A questo punto siamo in possesso di dati quantitativi, su cui fondare meglio le considerazioni svolte a pago 258 circa la neces­sità di impiegare nel c. a. p. acciai dotati di un limite di elasti­cità molto elevato.

Nel 1906 il tedesco Koenen, a Berlino, sperimentò travi pr~

compresse mediante acciai tesi preventivamente a 600kg/cm2, con statando che lo stato di coazione si disperdeva completamente nel tempo per effetto del ritiro° TI calcolo svolto in precedenza ci ha portato a valutare proprio in 630kg/cm2 la caduta di tensione do-. vuta al solo ritiroo

Verso il 1930 Fl;"eyssinet impiegava fili di acciai nei. quali elevava, per incrudimento, il limite elastico fino alI '80 -:- 90% del carico di rottura, in modo da poter raggiungere tensioni dell 'or­dine degli 8· 000 -7- 10· 000 kg/cm2, rispetto alle quali le cadute len­te dell'ordine di 2 0 500 kg/cm2 rappresentavano il 25 -7- 30%.

312

Operando con pretensioni dell 'ordine di 4' 00075 •OOOkg/cm2,

anche volendo considerare trascurabile il rilassamento e riferen­dosi a cadute lente minori, di 2' 000kg/cm2, l'incidenza delle pe!.

. dite aumenterebbe al 40 7 50%, mentre, al contrario, con acciai che consentissero, nel futuro, pretensioni dm'ordine degli attua­

·ii carichi di rottura, cioè 17'00071S'000kg/cm2, le percentuali delle perdite scenderebbero, sempre con r i f e r i m e n t o ai 2' 500 kg/cm2 , al 14715%,

3.5.5 Perdite totali (istantanee + differite,

Abbiamo visto che le perdite parziali di tensione che il pro­g:ettista deve valutare, nel caso di post-tensione, sono· cinque:

a) per attrito; . b) per effetto mutuo; c) per ritiro; d) per scorrimento viscoso; e) per rilassamento,

Agli effetti del calcolo pratico, conviene distinguere le per­dite parziali in due gruppi, nel primo mettiamo le perdite b), c), d), e) e nel secondo le perdite a),

Vediamo perchè. Consideriamo una trave in é, a. p. semplicemente appoggia­

.ta: la sezione di. momento massimo è quella di mezzeria.. Nella sezione di mezzeria possiamo calcolate la somma del

le perdite parziali del primo gruppo:

b..G = b.blG + b.cIG + b.djG + b.'etO'

(b.~)G è il rilassamento apparente).

A titolo orientativo, assumiamo i valori trovati inprecedenza b) effetto mutuo: 200kg/cm2

c) ritiro: 630kg/cm2

d) scorrimento viscoso: l' 500kg/cm2

e) rilassamento apparente: 555kg/cm2

2·.8S5kg/cm2

313

Nota 6.,0 e fissata la tensione di servIZIO 0ap < 0.6 Rak si ricava subito la tensione iniziale in mezzeria:

-Per ottenere in mezzeria 0ap, 'occorre dare nella sezione di ancoraggio una tensione più elevata, per compensare le pér­dite per attrito, che indichiamo con 6."oa; cioè; all'ancoraggio, si deve avere:

= 0api (ancoraggio) 0api lmezzeria) + 6."oa :$ O. 85Rak (0.2)

Può avvenire, peraltro, che non si riesca a soddisfare en­trambe le limitazioni:

°ap(mezzerial O. GORak

Oapi(ancoraggio):$ 0.85R adO.2)

occorre allora partire dall'ancoraggio, porre:

Oapi(ancoraggiol =' O. 85R ak (0.2)

e, procedendo a ritroso, dedurre Oapi(meizeria) e, quindi, Oap(meneria),

accettando che quest'ultima risulti minore, anzichè uguale, di 0.6

R ak •

3.5.6 Cenni sulla analisi visco-eJastica deHe travi in c.a.p.

Abbiamo visto, in precedenza, i metodi approssimati sug­geriti dalle Norme, per la valutazione delle cadute lente di ten­sione.

Ci proponiamo ora di esaminare brevemente l'impostazione rigorosa del problema della valutazione delle cadute lente, allo scopo di apprezzare i limiti di validità dei metodi approssimati, che useremo, di fatto, nei calcoli.

Ricordiamo che Ìo scorrimento viscoso è la proprietà del calcestruzzo di deformarsi nel tempo, sotto carico costante.

Si 'può ritenere che la deformazione dovuta allo scorrimen­to viscoso sia la somma di due addendi, l'uno proporzionale al­la deformazione elastica istantanea (scorrimento viscoso istanta­

314

neo), l'altro non proporzionale (scorrimento non lineare). Le esperienze mostrano che, nel caso di. ab non troppo e­

levate, cioè non superiori ad un terzo del carico unitario di rot­tura, la componente lineare rappresenta, in uratica, la totalità dello scorrimento viscoso. Poichè la tensione di esercizio de 1 calcestruzzo non deve superare lo 0.38 della resistenza caratte­ristica possiamo limitarci allo studio della viscosità lineare.

Riprendiamo in esame l'espressione di 8b (t, t o) di pag.53 ; essa può essere riscritta, integrando per parti l'integrale a se­condo membro e semplificando:

d . 8~(t,to) = a (t, t o) c (t, 'f) - ·f'a.('f) d~ (t,'f)d'f

lo

Questa relazione è nota col nome di "equazione integrale di Volterra" .

Con una opportuna scelta della funzione di viscosità si può trasformare l'equazione integrale in una equazione differenziale.

Il Prof. Krall, sulla base delle esperienze di Witney (1932) ha proposto di porre c (t, 'f) nella forma:

c (t, 'f) = afJe-(~-'J

in cui:

a è un coefficiente adimensionale che determina il rap­porto fra la deformazione viscosa asintotica, prodotta da un carico costante, e la deformazione elastica ista!!

. tanea. Coincide con il coefficiente indicato dalle Nor­me del punto 1. 7. 2 e può essere assunto fra 2 e 3.

fJ è una costante dimensionale che vale pressapoco fJ = = (1 anno)-l, cosicchè si può scrivere, misurando il tempo in anni:

f(t, 'f) =. ae-\~-'o)

t o è l'istante iniziale, a partire dal quale si applicano i carichi permanenti. Corrisponde, dunque al disar m o . nel caso del c. a. ed alla messa in coazione nel caso del c.a. p.

'f è l'istante generico.

315

.E' interessante notare che nella espressione ae-(..--Iol non com , . ­. pare il tempo attuala t; ciò vuoI dire 'che il materiale ha una "m~

moria indelebile", perchè "ricorda" in modo permanente la de­formazione prodotta da una certa a al temPQ-or.

Ciò premesso esaminiamo un caso concreto moltosemplice: una trave in c.a.p. messa in coazione da un cavo baricentrico. della quale vogliamo calcolare le cadute di tensione per scorri ­mento viscoso (fig.194).

~':':::"':/L·t>·.·/.::J;' ç .•",,-·-~!EJ.Zt:· '~'~T~· •. ~ lu

i ~.~;\ ;'.,,~ /. ',:7·:-:':;:.;'>;~:.:,;~,-'.;~;:'!:: -'~;'G;:;;;'~;;.i~ l ~

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.;f..---------------------...4 ~ ~

Fig. 194

La tesatura è avvenuta al tempo t, = t o, imprimendo al cal­cestruzzo la forza N. Il tempo t è contato in anni (p = r').

Col tempo il calcestruzzo si accorcia per viscosità; il nuo­vo valore dello sforzo di compressione è rappresentato dalla for­za incognita X. Per l'equilibrio la stessa forza X è applicata, co­me trazione, all'acciaio.

La incognita X si determina con una equazione di congruen­za che esprime l'uguaglianza delle deformazioni unitarie del" cal"": cestruzzo e dell'acciaio, cioè:

X = _ a f~(or)e-("'-Io) AaEa AbEb

lo

Derivando rispetto a t, si trova: •

dX =

dt

316

Ricordando che:

ed

abbiamo ancora: -dX

= - a nre-lt-t.ldt X

Questa è l'equazione differenziale che abbiamo ricavato dal­la equazione integrale di partenza.

Prima di integrarla osserviamo che al crescere di t, X de­oresoe, qUindi, integrando, si ha:

lnX = anre-It-t.l

per t = tI risulta: X = N; avevamo posto t o = t1> dunque:

InX ~ InX1 = anr[e-ft-lol - e-ltl-tol]

In NX = anre-It-tol

Per t che tende ali 'infinito, si trova:

Valutiamo l'esponente di e:

a 2.5 n = 6

100 r = = = ~ = = 1%10·000Gap

. 1 anr = 2.5·6 100 = 0.15

Si tratta di un valore sufficientemente minore di 0.3, che consente di adottare l'espressione approssimaU:!-, già vista nelle perdite di attrito:

e-X = l - x

317

cioè:

x ~ N(1 - any) = N - Nany

~6X = Nany = an G GapAap ap

Passando dalle forze alle tensioni:

6X = anG~

Aap

Se confrontiamo questa espressione con quella di pago 262 ve­diamo che sono identiche. Dunque la validità del p r o c e d i m e n t o semplificato è legata alla validità della approssimazione e-X =1 - x

. cioè alla esistenza di esponenti x sufficientemente piccoli, per cui risulti che l'esponente 'sia minore di 0.3.

eiò avviene quando la percentuale di armatura pretesa non supera il 2%, infatti:

2 any = ·2.5·6-­ = 0.3

100

Dobbiamo però mettere in .evidenza due limitazioni della for­mulazione rigorosa, basata sulla equazione differenziale lineare a coefficienti costanti della pagina precedente: in primo luogo è sta-· to assunto il modulo elastico del calcestruzzo costante, mentre, in realtà, il modulo aumenta nel tempo, cosicchè diminuiscono, a parità di G, le deformazioni elastiche istantanee.

Tuttavia l'influenza della stagionatura sul modulo è abbastan­za limitata e può essere trascurata se la messa in carico avvie­ne dopo un paio di mesi dalla "nascita" del calcestruzzo, che di solito corrisponde al disarmo o, convenzionalmente, a 28 giorni; in secondo luogo, n~ calcolo precedente, relativo ad un'asta pre­compressa, non si è tenuto conto delle armature ordinarie, non pretese. Se nella zona precompressa del calcestruzzo è presente una percentuale elevata di armatura ordinaria, la viscosità ed il ritiro danno luogo ad una notevole ridistribuzione delle tensioni.

Tale ridistribuzione determina, a sua volta, la diminuzione delle compressioni artificialmente impresse nel calcestruzzo, ciò che influisce in modo negativo sulla sicurezza allo stato limite di

318

fessurazione. Questo fenomeno si comprende facibnente, pensando che la

forza di precompressione si ripartisce. all 'atto della tesatura, fra conglomerato ed armature ordinarie, come avviene nei pila­stri di c. a.; quindi una parte della compreSMone è sottratta al calcestruzzo per precomprimere le armature, che, peraltro, non ne hanno bisogno.

3.6 IL CALCOLO DELLE TENSIONI A VUOTO ED IN SERVIZIO

Nel par. 3. 3 abbiamo visto che l'effetto della· coazione ar­tificiale impressa mediante cavi scorrevoli e fili aderenti può essere espressa in termini di forze mediante 11 sistema equiva­lente.

Nei par. 3.4 e 3. 5 abbiamo esaminato le correzioni da ap­portare al sistema equivalente per tener conto di due classi di fenomeni, le perdite di tensione istantanee e quelle differite.

Siamo ora in possesso di tutti gli elementi per svolgere i calcoli statici e valutare il grado di sicurezza.

Conosciamo, infatti, tutte le forze applicate; esse possono essere diVise in 4 categorie:

l) Peso proprio

Occorre considerare, di regola, condizioni di peso proprio parziale, in relazione alle modalità costruttive.

Per esempio, sulle travi appoggiate da ponte si usa pre­fabbricare le nervature, che, tesate in presenza del loro peso proprio, vengono collocate in opera. Su di esse si p r o c e d e al completamento dell 'impalcato, costruendo in opera i traversi e la sovrastante soletta, ed eseguendo, in ultimo, la pavimentazio­ne.

Ciascuna fase costruttiva apporta un contributo al peso pro­prio, contributo che può opérare su sezioni resistenti diverse.

Per esempio 11 peso proprio della soletta g r a va intera­mente sulle sezioni delle nervature prefabbricate, mentre 11 pe­so proprio della pavimentazione grava sulla sezione composta

319

formata dalla nervatura a cUi. è solidale la soletta.

2) Precompressione

Occorre considerare, di regola, due c~dizioni di carico e­quivalenti alla compressione, la prima, corrispondente alla pre­compressione iniziale, cioè all'atto della tesatura, dalla quale va..!!. no dedotte solo. le perdite istantanee; la seconda, cOrrispondente alla precompressione finale, cioè a cadute lente di tensione esa­minate (teoricamente a tempo infinito). Occorre, inoltre, tenere ben presenti le fasi esecutive, che possono richiedere la applica­zione della precompressione frazionata. Per esempio, nel caso di nervature prefabbricate, può essere necessario tesare un numero limitato di: cavi quando è presente il solo peso proprio della ner­vatura, ed attendere che siano applicati altri carichi fissi, per e­sempio i pesi di traversi e della soletta, prima di poter tesare i cavi rimanenti. Ciò allo scopo di contenere le tensioni risultanti (peso proprio + precompressione) nei limiti ammissibHi, dosando la precompressione in proporzione alla entità del carico perma­nente effettivamente presente.

3) Sovraccarichi accidentali

4) Coazioni dovuti a fenomeni naturali

Nel caso di sistemi iperstatici occorre, inoltre, considerare gli effetti delle variazioni di temperatura e del .ritiro.

In relazione alle modalità costrottive, che possono compor­tare la variazione dei vincoli della strottura (per esempio una tr~

ve continua può essere costroita a partire·da una successione di travi appoggiate, rese solidali in un secondo tempo) possono aver­si anche ridistribuzioni di tensione per effetto della deformazione viscosa, cosa che non succede se i vincoli non vengono variati.

La regola generale è quella di considerare le combinazioni più sfavorevoli dei carichi predetti, per il che è necessario - è bene ripeterlo - che il progettista conosca perfettamente le moda­lità esecutive dell 'opera. Ciò richiede la collaborazione fra pro­gettista e costrottore, perchè le modalità esecutive variano, di

3'20

volta involta~ in funzione delle condizioni in cui si svolge illa­loro, secondo le modalità dell 'appalto e secondo i mezzi d'opera di cui dispone l'impresa.

Nei casi pià semplici occorre considef'àre' almeno 1e se­guenti due condizioni:

a) peso proprio + precompressione iniziaJ..e (condizione a vuo­to).; _

b) peso proprio + precompressione :finale + sovraccarichi acci­dentali (condizione di servizio).

Per ciascuna di queste due condizio~ occorre controllare che le tensioni effettive non superino quelle ammissibili, fissate dalle Norme.

Le tensioni ammissibili sono diverse (v. punto 3.1.1) per le condizioni iniziali (a vuoto) e per quelle di servizio.

Oltre a queste verifiche è necessario controllare la sicu­rezza rispetto allo stato limite di fessurazione ed a quello di collasso.

Questi controlli vengono effettuati utilizzando la teoria del­le travi; esistono però problemi locali, relativi alle zone di an­coraggio, ovvero a quelle dove si hanno cambiamenti di'direzio­zione dei cavi, che sfuggono alla teoria delle travi. Questi casi sono generalmente risolti da chi ha brevettato· il sistema di pre­compressione, che si pensa di adottare, .il quale indica le ar­mature di frettaggio da porre dietro gli ancoraggi e le regole di buona costrozione, che limitano le concentrazioni di tensioni lo­cali. Tuttavia il progettista deve conoscere la natura di questi pr0blemi locali, in modo da farsi una propria opinione sulle so­luzioni che gli vengono proposte.

Tornando alle considerazioni sulla metodologia dell'analisi statica, dopo la dèfinizione dei carichi, si deve passare alla de­terminazione delle caratteristiche di sollecitazione (N, M, T).

Con la riduzione della precompres.sione a forze equivalenti il problemaI1entranell.ambito.deinormali metodi della Scienza delle Costrozioni e della Teoria delle strotture, sia per quanto riguarda i sistemi isostatici che quelli iperstatici.

321

Nel caso dei sistemi iperstatici si può osservare che la as­senza di lesioni, propria del c. a. p. , migliora la corrispondenza tra modello di calcolo e struttura effettiva, soggetta ai carichi di ser­vizio, rispetto a quanto si verifica nel cem&llto armato normale.

Una volta note le caratteristiche di sollecitazione si posso­no determinare le tensioni interne (1e or, con le formule dei so.... lidi integralmente reagenti (stadio I), in virtù della coazione, pro­porzionata in modo da evitare lesioni nel calcestruzzo.

La precompressione è, sostanzialmente, una pressione ec­centrica, che viene trattata con la formula binomia:

N + Ne(1 = T--J- Y

Come si v~e esaminando il termine N/A, questa· formula è scritta considerando positive le compressioni. El la conven~one

usualmente adottata nel c. a. p., opposta a quella in uso nella 8cien­za delle Costruzioni; occorre fare attenzione a non confondere i due criteri, quando si costruisce il cerchio di Mohr per determi­nare le tensioni principali di trazione, il cui calcolo è esplicita­mente richiesto dalle Norme~ a p~oposito della verifica agli sfor­zi taglianti (v. punto 3.4 delle Norme 1974).

Vediamo come si presentano i diagrammi delle tensioni a vuoto (fig.195) e sotto carico (fig. 196) .

174,2. (lQnSIOfl, iq\Iloli :Q '/UOTO)

Fig. 195

21. E.F. Radogna: Appunti di tecnica delle costruzioni I

322

158,1

(trf-C. tinaIe) 13",8 !AS.i

(t't""oni ~ina\i G_~ (SO'II'Q((OrlCO)

-=

-10.3 (ttMioni ri$U\lQn1i, 'ft~lZio)

Fig. 196

Nella fig.195 sono riportati i tre diagrammi che descrivono la condizione a vuoto: pura precompressione iniziMe (cioè senza cadute lente), peso proprio, tensioni risultanti a vuoto. Solo il ter­zo diagramma. ha significato fisico; i primi due non possono ve­rificarsi separatamente. perchè la precompressione. dando una controfreccia alla trave. la solleva dalla cassaforma, mettendo in funzione il peso proprio. Quindi la verifica va fatta con riferi­mento al terzo diagramma.

Nella fig.196 sono riportati, invece, cinque diagrammi: pu­ra precompressione finale (a cadute lente esaurite), peso pro­prio, tensioni risultanti a vuoto (a cadute lente esaurite), sovrac­carico accidentale, tensioni risultanti in servizio (a cadute lente esaurite).

Le tensioni finali a vuoto sono inferiori -a quelle iniziali a vuoto e, quindi, non interessano.

E'. invece, importante il 5° diagramma. relativo alle ten­sioni in servizio con la minima. precompressione, in base al qua­le deve essere effettuata la verifica.

Per quanto concerne la valutazione degli enti geometrici A ed I, che compaiono nella formula binomia delle (/, occorre di­stinguere la situazione prima e dopo la iÌ1ie~one di malta nella guaina dei cavi.

Prima delle iniezioni. occorre dedurre i fori di passaggio delle guaine dalla sezione di calcestruzzo: ciò vale sicuramente

323

per le tensioni a vuoto, che si instaurano all'atto· stesso della te­satura.

Dopo le iniezioni, si omogeneizza la sezione come nel c. a.; moltiplicando l'area dei fili, che formano i ~vi, per il coeffi­ciente n, senza tener conto della malta di iniezione che riempie i vuoti residui nelle guaine. Questo criterio è suggerito dall'Ing. Guyon, il quale rileva che la malta non è precompressa, perchè è iniettata dopo la tesatura, e, in più, è tesa dai sovraccarichi, cosiccbè è prudente trascurarla, ai fini della omogeneizzazione.

Per quanto riguarda il valore da assumere per il coefficien­te n, ricordiamo che le Norme (par.3.1) stabiliscono n = 6.

Inoltre esse precisano, sempre allo stesso paragrafo, ·c h e nel computo dell'entità geometrica delle sezioni, vanno detratti ·gli eventuali vuoti per il passaggio dei cavi, quando complessivamente superino il 2% della sezione del calcestruzzo.

Per quanto riguarda, in particolare, la valutazione del· mo­mento d'inerzia della sezione, tenuto conto delle forme abbastan­za complesse della sezione in c.a.p. (almeno in confronto con quelle di uso corrente nel c. a. normale) essa riesce abbastanza . laboriosa, a meno di non adottare per la sezione di calcolo una forma schematizzata.

Nella fig.197 92 riportata dall'ope­ra già citata dello Ing. Guyon, n e 11 a metà a sinistra è indicato il profilo effettivo, m e n t r e nella metà a destra 10 appare il profilo schematizzato .

.. Perquest'ul­ 16 timo ·si. ricava. (~

11 sure in decimetri, per comodità di cal colo):

Fig. 197

324

Area (dm2) d(dm) S(dm3)

Anima) 1.6·11.0 = 17.6 5.50 96.8 . Ala su}>.) (9.2 - 1. 6) 1. 3 = 9.88 0.65 6.42 Ala inf.) (4. '1 -1.6) 1. 95 = 6.05

-­10.00-. 60.5

33.53 163.72

Si divide l'area in 3 parti e di ciascuna si calcola l'area ed iI momento statico rispetto al bordo superiore. Quindi· la distan­za YG del baricentro dal bordo superiore vale:

S 96.8 + 6.42 + 60.5 163.72 y, ' = = 4. 87 dmG .= = A 17. 6 + 9. 88 + 6. 05 33.53

Trovata la posizione dell 'asse baricentrico, il momento d'i ­nerzia si può scrivere, decomponendo la figura in 4 rettangoli:

J = +(9.2.4.873 -7.6.3.573 +4.7.6.133 -3.1.73.0) =

1572.9 = --.!-(1062.6-345.8+1082-226.3) = = 524.3dm4 3 3

Quando non si opera sulla sezione schematizzata, m a su quella reale, allora conviene organizzare il calcolo i n maniera diversa, come è indicato nella tabella seguente:

N° b h hl A = C,hh Y yl Ay t l = hl/Cl t l + '11 A(tl + yZ)

l 38 11 121 418 104.5 10920.25 43681 10.08 10930.33 4568877.94

2 38 4 16 76 97.67 9539.42 7422.92 0.88 9540.30 725062.80

3 16 110 12'100 l' 760 55.00 3025 96800 1008.3 4033.3 7098608

4 15.5 16 256 124 16.33 266.67 2024.92 14.22 280.89 34830.36

I 5 15.5 11 121 . 170.5 5.5 12.25 937.75 10.08 22.33 3807.26

in cui:

Cl = coefficiente di riempimento e vale 1 per il rettan­

325

lo, e O. 5 per il triangolo; Y = distanza del baricentro dal bordo inferiore; i = raggio d'inerzia;

h2 i 2 = -- in cui: C 2 = 12 per n rettangolo;

C2 C 2 = 18 per il triangolo;

J = A(i2 + y 2) - YG inl Ay

3.7 LA SICUREZZA ALLA FESSURAZIONE

Secondo le Norme italiane 1974 la sicurezza alla fessura­zione non è richiesta in tutti i casi, ma soltanto per strutture collocate in ambiente aggressivo, zone marine e in presenza di a­genti chimici (par. 3. 5 Norme).

Le Norme definiscono il coefficiel1te di sicurezza alla fessu­razione come il più piccolo moltiplicatore dei carichi di esercizio che induce tensione di rottura a flessione del calcestruzzo.

Per le strutture inflesse. esso è dato.da: •

M,"lI =

Me

in cui:

~I è il momento di fessurazione calcolato in base alla se­zione omogeneizzata interam~nte reagente ed alla resi ­stenza a trazione per flessione, che viene assunta (v~

ultimo comma del punto 3. 2 dell 'allegato 2 alle Norme) pari al doppio della resistenza caratteristica a trazio­ne, cioè:

2 (7 + O. 06R~k kg/cm2)

Me è il momento massimo di esercizio.

E' prescrttto che "lI non deve essere inferiore a 1.3. Secondo le prescizioni delle Norme, il calcolo di M, si ese­

gue supponendo il calcestruzzo teso ancora reagente, la validità della legge di Hooke e la rottura fragile del calcestruzzo teso.

La resistenza a trazione del calcestruzzo è apparentemente

326

elevata dalla precompressione. Detta aop la tensione dovuta alla pura precompressione (sen­

za il p.p., cioè non è quella "a vuoto") al lembo inferiore (se SI tratta della mezzeria di una trave appoggiata) la resistenza appa­rente a trazione del calcestruzzo vale (l): ­

a: == IaJp I+ 12 (7 + O. 06 R~k )I Il momento di fessurazione, che è il momento interno della

sezione calcolato in corrispondenza. a ar' vale, ovviamente:

MI == Winl ar' == Winl~ a~p 1+ 12(7 +O. 06R bk) I] dove:

J

Invece di pensare alla somma dei valori assoluti precedenti come resistenza apparente a trazione, si giunge alla stessa for­mula di MI esaminando la evoluzione della temuone dovuta ai ca­richi esterni a partire dalla pura coazione fino alla soglia della fessurazione (fig. 198). 11 diagramma o-o rappresenta la pura pre­compressione senza, cioè, il peso proprio; i carichi esterni pro­vocano a di segno op- O F posto, che riducono la a di compressione a l lembo inferiore, f i n o ad annullarla ed a caro biarle il segno in t r a;.. zione. La posizione li ­mite è data dal dia­gramma F-F.

Il momento c a­pace di far passare le tensioni dal diagramma o-o a quello F-F è il Fig. 198

(l) Occorrc assumere i valori assoluti per evitare confusione sui segni. SI' a~p == ]511 kg/em2 (com.

pressione), Rh... == 500 kg/('m2 , 2 (7 + 0.06' 500) =. 2· :17 = n kg/cm2 (tra..:ionl'), ab = 1511 + 74=

== 232 kg/cm2 (trazione apparente).

327

momento di fessurazione (ora visto come momento esterno), che vale come prima:

-3.8 LA SICUREZZA ALLA ROTTURA

3.8.1 Ragioni della necessità della verifica a rottura nel c.a.p.

Il metodo delle tensioni ammissibili garantisce la sicurezza nei confronti dello stato limite di collasso nel caso dell 'accià.io,

- del cemento armato normale, ma non in quello del cemento arma­to precompresso; ciò per due distinti motivi:

a) perchè, in presenza di stati di coazione, pur restando i ma­teriali costitutivi in campo elastico, le tensioni risultanti non sono' direttamente proporzionali ai carichi esterni.

b) perchè, nel cemento armato precompresso in particolare., il legame fra le tensioni risultanti e i carichi applicati non è linea­re in tutto il campo; superato il momento di fessurazione, anche nel precompresso il calcestruzzo teso si lesiona, la sezione si parzializza e le tensi()ni crescono più che proporzionalmente con i carichi applicati.

Tenuto conto della preminente importanza dello stato Umite di-collasso nei problemi di sicurezza occorre procedere ad una' apposita valutazione del coefficiente di sicurezza alla rottura, ri­correndo a concetti già visti nel caso del cemento armato norma- . le.

Dalla fessurazione in poi, infatti, il cemento armato precom­presso si comporta, sostanzialmente, come se fosse cemento ar­mato normale.

Il funzionamento da trave di cemento armato normale è fon­dato sulla perfetta aderenza: questa è certamente garantita nel si­stema ad armature pre-tese (fili aderenti), mentre non lo sareb­be affatto nel sistema ad armature post-tese (cavi scorrevoli), se non si facesse ricorso' alla iniezione di malta cementizia nell 'in­

328

temo delle guaine, dopo la tesatura. L'adozione della malta cementizia ha proprio l'e s p l i c i t o

scopo di realizzare l'aderenza fra i fili di acciaio ed il calce­struzzo, tramite elementi intermedi (malta~); se si trat­tasse soltanto di proteggere i fili di acciaio dalla corrosione, ba­sterebbe l'iniezione di sostanze bituminose oppure oleose.

3.8.2 Determinazione del·momento ultimo e verifica a rottura

La determinazione del momento ultimo di una sezione di c~

mento armato precompresso si esegue con le stesse ipotesi for­mulate nel caso del cemento armato normale e con la stessa me­todologia (v.2. 7.1). L'unica differenza consiste in questo che, nella valutazione della tensione nell'armatura pretesa, o c c or r e tenere conto della coazione artificiale.

Le ipotesi riguardano le leggi costitutive non lineari dei ma­teriali: diagramma o - E parabola-rettangolo per il calcestruzzo compresso e diagramma effettivo o - E per l'acciaio preteso; i­noltre si ammette la conservazione delle sezioni piane, la perfetta aderenza e si trascura integralmente il contributo del calcestruz­zo teso.

Il· procedimento (v. fig. 199) consiste nell'assegnare un dia­gramma di tentativo delle E sulla sezione scelto fra quelli per cui Eb= 3.5%0' il quale, definendo l'asse neutro, permette di indi­

..viduare la estensione del diagramma delle o di compressione e la sUa risultante Cl. Contemporaneamente, nota la El al livello delle armature pretese, si somma a questa la Eop preesistente, dovuta alla coazione impressa, valutata a cadute lente esaurite.

Riportando la E totale = El + Eop sul diagramma effettivo o - E

dell 'acciaio si ricava la oao e la risultante TI = oapÀap •

Si confrontano quindi Cl e TI: se risultano uguali, cioè se il risultante delle forze interne è nullo, allora il diagramma di tentativo è quello giusto, se invece, Cl e TI risultano disuguali, occorre ripetere il calcolo, assumendo un nuovo diagramma del­le E sull'altezza della sezione, e determinando i corrispondenti

valori C2 e T2. Il procedimento viene ripetuto fino a che non risulti l'ùgua­

329

//

I I

I /

I /

/

l

T

Ea..p

fI I I

. I )

l I I I I I l

I I ~

I I [

I I I

Fig. 199

330

glianza fra C e T . A questo punto non resta che valutare il momento della coI!

pia interna Mu = C·z = T·z, che rappresenta appunto 11 momento di collasso cercato. _

La verifica consiste nel controllare che il rapporto fra il momento ultimo ed il momento massimo di servizio risulti alme­no pari ad 1. 75 (v. N.!. punto 3. 6) .

Anche per le sezioni in c. a.p. si può tracciare senza dif­ficoltà. la curva di interazione M, N, il cui impieg~ è conveniente quando i carichi esterni provocano la sollecitazione compo~ta di pressione e flessione.

3.9 IL TAGLIO NEL PRECOMPRESSO

Come nel c.a. normale anche ~el c.a.p. le tensioni tangen­ziali non interessano per se stesse, ma per le tensioni princi­pali di traZione che producono insieme alle (J.

Controllare che le tensioni principali di trazione non supe'" rino un prescritto valore ammissibile significa eseguire la veri­fica della fessurazione.

Rispetto al c.a. il calcolo delle 'r è più chiaro, perchè si esegue nel I stadio.

Nel calcolo degli sforzi di taglio, vanno considerate, natu­ralmente, le componenti taglianti del sistema equivalente.

. Le Norme (1. 5.1~ consentono la notevole semplificazione di effettuare la determinazione delle massime tensioni. principali in corrispondenza dells ti.b:..-a baricentrica della sezione trasversale, tenendo conto di tutt; gli sforzi agenti, ivi compreso l'intero va­lore della precompr'::sBio!le.

Le tensioni principali di trazione non devono superare i li­miti stabiliti al punto 1.4 delle Norme.

Per valori della tensione principale di trazione minori od. uguali a O. 02 Rtik non è richiesto il calcolo delle armature al ta­glio, ma si devono in ogni caso disporre almeno 4 staffe per me­tro e la sezione complessiva delle staffe per metro lineare di trave non dovrà essere inferiore a O. 2b cm~/m, essendo b lo

331

spessore IIllIDmo dell'anima misurata in centrimetri. Nella valutazione delle tensioni occo~re depurare la sezione

trasversale dei vuoti dei cavi. eome nel c.a. normale anche nèl c. a:'p.si usano le staffe

come armature trasversali, che devono assicurare la sicurezza alla rottura rispetto alle azioni taglianti, anzi soltanto staffe, se!! za ferri piegati, a causa della oscillazione di segno deJ taglio ri-' sultante dalle condizioni a vuoto a quelle sottocarico.

Il calcolo delle staffe nel c. a. p. è sostanzialmente uguale a quello del c. a. normale (v. N.1. punto 3.4). e 'è una differenza per quanto riguarda la inclinazione· delle lesioni obblique, che è sempre di 45° nel c. a. normale e che è variabile nel c. a. p. se­condo la formula:

tg/J

dove:

p = angolo fra la direzione della lesione e l'asse della trave (- 20 -;- 30); tensione principale di trazione valutata all'altezzaami" = delia fibra, baricentrica;

't' = tensione tangenziale corrispondente.

L'interasse delle staffe è dato da:

t6x = --- n iia A sTtgp

in cui:

t è il braccio della coppia interna per la sezione conside­rata;·

iia è la tensione ammissibile per le staffe, come nel c. a. normale;

A s è l'area della sezione di un braccio della staffa; n è il numero di bracci di una staffa; T è lo sforzo di taglio risultante massimo, che include la

eventuale componente tagliante della precompressione sul piano della sezione.

332

Il calcolo precedente, in quanto basato su una esten s i o n e dell 'analogia del traliccio di Morsch, è un calcolo in fase elasti­ca, che rientra nel metodo delle tensioni ammissibili. La pre­senza di coazioni inquina, peraltro, la vali~ del procedimento.

Per questa ragione sarebbe di grande utilità una teoria a· rottura per il taglio di travi in stato di coazione; allo stato at­tuale esistono diverse proposte, nessuna delle quali ha per ora raccolto il consenso generale, come è avvenuto nel passato per la teoria di Morsch.

Citiamo, fra tutte, la teoria di Gvodzev - Borischiansky, perchè adotta un chiaro modellò di calcolo, rigido-plastico, e me.! te in evidenza sia l'interazione delle armature trasverflali e lon­gitudinali nell 'equilibrare i momenti esterni, sia il contributo al taglio del conglomerato compresso.

Si esamina la trave alle soglie del collasso: si è formata una lesione obbliqua, intorno alla quale ruotano i due tronchi di trave, come se ci fosse una cerniera plastica. Si suppone che tutti i materiali siano plasticizzati. ·11 calcestruzzo c o m p r e s s o porta la forza al taglio;

Qc = 0.150'bR bh2/c

(formula empirica di Borischiansky).

Attraverso la lesione obbl1qua, eseguiamo una sezione, che metta in evidenza tutte le forze interne.

c

Fig. 200

333

Nel caso più generale possibile, troviamo 6 tipi di armature con 6 forze che daranno tutte contributo ai: momenti 1n t o r n o al punto P (punto di applicazione della risultante della compressio­ne), mentre contribuiscono solo in parte all'eQUilibrio alla trasla­zione verticale.

Elenchiamo i 6 tipi di armature:

1) barre longitudinali ordinarie rettilinee; 2) cavi longitudinali rettilinei; 3) cavi inclinati; . 4) ferri piegati; 5) staffe pretese; 6) staffe ordinarie.

Occorre, per la sicurezza al collasso, che:

MesI e Qesl sono multipli prefissati del mpmento e del taglio di servizio;

MinI e Qinl sono, rispettivamente, con ovvio significato dei simboli:

MinI = A a Gsn Z l + A pGR Z2 +LA pGRZ 3 + LAa,inclGsnZ4 +

+ LAsI,p GR z5 + LAsI Gso z6

3.10 IL DIMENSIONAMENTO DELLE SEZIONI IN PRECOMPRESSO

Una sezione di c. a. p. è caratterizzata da 8 parametri, 6 relativi alla carpenteria e 2 relativi alla armatura di c o a z i on e (fig. 201).

Il problema del dimensionamento è il più complesso fraquel lo incontrati fino ad ora. Lo affronteremo impostando una meto­dologia, che conduca a scelte ragionate delle dimensioni e c h e metta in evidenza la funzione statica delle varie parti.

334

.i~__b-'-'-1--,--------;t -+~....

I I­bo

cL' ----... S·A-p

2

Fig. 201

Cominciamo con tre osservazioni:

. 1) La forma della sezione varia tra il T semplice ed il doppio T simmetrico (pur senza escludere doppi T non simmetrici con la' ala maggiore situata inferiormente, su cuf torneremo fra bre­ve): essa dipende essenzialmente dal rapporto fra il sovraccari­co ed. il carico totale, cioè:

Mp +Ms

Quando Ms è grande la sezione tende al doppio T simme­trico;

quando Ms è piccolo la sezione tende al T semplice.

Per convincersene basta pensare ai diagrammi' a vuoto e' sottocarico:

a) Ms piccolo Per uno' sfruttamento razionale del calcestruzzo, ci propo­

niamo di realizzare in condizioni di servizio il diagramma di

335

tensioni 2-2 (v. fig. 202). La riSultan­te de lla precom­

_ pressione N deve quindi spostarsi dal baricentro del C .R. di:

Mp +Ms

N

Fig. 202 Se Ms è picco­lo, nelle condizio­

ni a vuoto (diagramma 1-1) la N si troverà subito molto vicina al­la sua posizione finale; al limite se Ms è nullo, la N sale imme­diatamente alla posizione finale.

Conviene dunque avere la massinìa distanza possibile fra il C.R. e l'estremo superiore del nocciolo, ciò che si ottiene - a parità di altezza - con sezioni a T (fig. 203).

c

Fig. 203

b) M s grande (fig. 204) Come prima vogliamo ottenere il diagramma sotto carico del

tipo 2-2. Questa voita, però Ms è grande, quindi 1a escursione della N è forte: nelle condizioni a vuoto si ripete, a differenza

336

-Ms N

Fig. 204

del caso precedente, la necessità di sfrottare al massimo le ca­ratteristiche della sezione. Dobbiamo percib realizzare 11 dia­gramma l-l. La simmetria dei diagrammi 1-1 e 2-2 conducead una sezione simmetrica.

La convenienza di allontanare al massimo - a parità di al­tezza - i centri di pressione a vuoto e sotto carico, e quindi di allontanare al massimo gli estremi di nocciolo, conduce a realiz­zare una sezione a doppio T.

2) Circa l'influenza delle solette, osserviamo che l a soletta inferiore conta poco nella condizione di servizio, e, viceversa, quella superiore conta poco' nella condizione iniziale.

Basta passare dal di~amma delle a al diagramma delle a·b (fig.20SL

I I

I I

r--.....;;;...._-...,.2

2 Fig.20S

337

3) Circa la posizione del cavo è conveniente porre il cavo ri­sultante il più in basso possibile (è sottinteso che si continua a parlare di sezione soggetta a momento flettente positivo, in cui il carico esterno tende le fibre inferiori e la coazione deve produr­-re tensioni antagoniste, cioè deve comprimere le fibre inferiori), per sfruttare al massimo l'altezza della sezione, agli effetti del calcolo del momento interno al collasso. Proprio come nel c. a. normale, si cerca di ottenere - a parità di altezza - il massimo braccio di leva della coppia delle forze interne. Considerando le disposizioni correnti dei cavi, il C. R., posto il più in basso possibile, dista dall'intradosso di circa 7-;-10 cm, tenuto conto del diametro di circa 4 cm dei cavi (fig. 206). A differenza del le barre del c. a., nel precom­presso i cavi possono venire a contatto fra loro, limitatamen­te alla direzione verticale. In direzione orizzontale, invece, occorre lasciare fra i cavi un distacco di almeno un diametro di guaina, per permettere la di­scesa del conglomerato, gettato dall'alto.

4

C'è un ostacolo a porre i cavi il più in basso p o s si b i l e, . quando il peso proprio effettivamente presente all'atto della tesa­tura è.molto piccolo, perchè in tal caso la linea delle pressioni si solleva poco;di (Mp /N), dal C.R., restando al di sotto dell'e­stremo inferiore del nocciolo centrale d'inerzia, ciò che comporta trazioni all'estradosso. .

In questo caso, per non perdere il vantaggio di. s f r u tt a r e completamente l'altezza della sezione, si pone ugualmente il C. R. il più in basso possibile e si fraziona la tesatura dei cavi in più fasi: allora là N della prima tesatura può essere ridottaabbastan­za da far crescere il rapporto M/N I nel modo voluto.

Se però, la sezione è soggetta, per effetto dei carichi mo­

22. E.F. Radogna: Appunti di tecnica dclle costruzioni I

Fig. 206

338

bili, a momenti di segno opposto, come avviene per esempio nel­le campate di riva delle travi Gerber (fig. 207), allora non c'è niente da fare ed il C. R. deve essere situato all 'interno del noc­ciolo. -

.

.

~

IN QII&.sTA ZGWA S/ /,lA INy.eSD1JE :DI S&t:iNO P.4UANDO DAL

~p+a~d~ALfp~a«d.E1

Fig. 207

All'intervento dello accidentale disposto in modo da produrre mo­mento positivo. (M +), la linea delle pressio­ni si solleva dal C. R . di M+/N.

Quando invece, lo accidentale è disposto in modo da produrre momento negativo (M-),

Fig. 208 la linea delle pressio­nisi abbassa di M-IN.

Se non -si vogliono avere trazioni nel calcestruzzo, occor­re, evidentemente (fig.208) che:

Dopo queste considerazioni puramente qualitative, passiamo a qualche precisazione quantitativa.

L'ingegnere svizzero Jacobsohn ha pubblicato nel 1952 sul­la nota rivista tecnica Schweizerische Bauzeitung gli intervalli di

339

valori del rapporto Ms/(M s + M p), che corrispondono a forme tipi­che di sezioni in c.a.p.

Ms Forma della sezione-Sezione a T semplice

Sezione a doppio T non simmetrico

Sezione a doppio T simmetrico.

Ms +Mp

O - 0.13

0.13 - 0.34

0.34 - 0.67

Vediamo ora la metodologia proposta. per il progetto della sezione in c. a. p ..

Assumiamo come dati:

1) L'altezza della se~ione, che viene fissata in relazione della luce L con la formula:

LH ~ 15 -;- 20

2) Lo spessore dell'anima bo, che si cerca di fare il miÌl:imo possibile,· per ridurre il peso proprio, compatibilmente con esi­genze costruttive legate alla buona esecuzione del. getto del calce­struzzo ed al corretto passaggio nell'anima dei cavi inclinati, soprattutto se ci sono incroci (v. fig. 209). Di solito bo varia tra 15 e 18cm.

3) Lo spessore della soletta superiore s , che in genere è stata determinata in un precedente calcolo della soletta o del solaio, disposto tra le travi. .

4) La distanza del C .R. dal lembo inferiore .f 15della sezione, dell 'ordine di lO cm.

2 1

5) La distanza z fra il C .R. ed il lembo su- Fig. 209 periore del nocciolo centrale d'inerzia.

E' possibile assumere un valore di prima approssimazi o n e abbastanza attendibile di z pur non conoscendo ancora le dimensio­ni della suola superiore ed inferiore della sezione, perchè z va­ria relativamente poco con la forma della sezione; come si vede

340

dal seguente specchio, in cui h = H - d

a) sezione rettangolare: z - O. 67 h

-( ~hl = bo )b) sezione a T tozza: 0.25 ~ = 0.50 z -O. 73h

SI = bo = 0.20c) sezione a T normale: z -O. BOh{ h = b l = 0.20

d) sezione a T limite·: b l » So z - h-O. 5 sI

6) I diagrammi delle tensioni ammissibili a vuoto ed in ser­vizio, secondo le Norme, in relazione alla resistenza del cal­cestruzzo ipotizzata.

In una .prima fase progetteremo la sezione in funzione del­le condizioni di servizio, determinando bl e Ap, considerando la sezione stessa come se fosse a T semplice.

Nella s.econda fase, controlleremo 11 comportamento della sezione a T nelle condizioni a vuoto; se la sezione risulta insuf­fi.ciente, aggiungeremo una suola inferiore integrativa, pervene!! do ad una sezione a doppio T, disimmetrica o simmetrica.

. E' possibUe ~cindere 11 problema in due fasi distinte, se­parando, contemporaneamente, le incognite, in base alla osser-' vazione già formulate a pag.336 che, nello scrivere le equazio­ni di equilibrio per le condizioni di servizio, 11 contributo del­la soletta è trascurabile, perchè sulla soletta inferiore sono ap­plicate a circa nulle.

Nella prima fase consideriamo 11 diagramma delle tensioni ammissibili in esercizio, di forma triangolare (fig. 210 a).

In prima approssimazione assumiamo come distanza del lembo superiore del nocciolo dal C. R. 11 valore medio O. 7h.

D'altra parte, nelle condizioni di servizio la linea delle

341

,

h I I I I I

-\ 6b 66

e=Mp+M~ N

c~,

B Fig. 210a

pressioni si solleva dal C .R. della quantità:

Mp +Ms e =

N

Per ottenere il diagramma triangolare occorre che si veri ­fichi l'uguaglianza: z = e, cioè:

M p +MsO.7h = N

Da questa relazione ricaviamo:

M p +MsN = O.7h

e la prima delle due incognite della prima fase, cioè:

N Ap = -- ­

O'ap

ricaviamo ora bI (larghezza della suola superiore) scrivendo l'e­quilibrio fra la forza normale N e la risultante delle tensioni in­terne:

h_~_l

N = _1_ b'GbH + (bI - bo) Sl.(j~ 2 . 2 ....... h ___ -- ..........--­contributo dell'anima cOllmbulO dell., solclla

342

• Abbiamo ottetnlto una equazione.di I grado da cui ricavia­mo la seconda incognita della prima fase, cioè bl .

A questo punto sia­mo in grado di disegnare 6 la seguente sezione che, i 1 t sotto l'azione del momento ..------+-----.... ~1 di servizio Mp + Ms , rea­lizza il prescritto diagraJ!!. ma delle tensioni di ser­vizio.

Termina cosI la pri- . ma fase (fig. 210b).

Passiamo alla secon da fase, relativa alle con­dizioni a vuoto ed alla so­letta inferiore (fig. 211).

Al l e m b o inferiore risulta:

= O Fig. 210b

da cui:

Ms W;nf =

aJ,b

\ ,, \ --+

-, o6o,b t::" M~ v = Win!.

Fig. 211

343

Conosciamo dunque il \Vi~1 ,necessario perchè~ per effetto del momento del sovraccarico Ms ' la tensione al lembo inferiore pas­si dalla compressione ammissibile a vuoto a~,b a O.

Confrontiamo questo \\'inl (calcolato) co~ello effettivo' del­la sezione a T semplice, progettata nella priIIla fase.

Sono possibili due casi:

a) il \\'inl della sezione a T è maggiore od ugUale a Ms/~,b ,al ­lora la sezione a T va hene anche nelle condizioni a vuoto ed il procedimento di progetto è terminato ..

b) Il \\'inl della sezione a T è minore di Ms/a~,b Ciò vuoI dire che alla sezione manca la differenza

~W = \Vini (necessario) - (attuale)Winl

La aggiunta di una soletta inferiore darà luogo al ~W man­cante.

Detta ~Ainl l'area; da aggiungere, pari a s2 (b - bo), si può usare la seguente formula approssimata che lega ~Aa ~W (Be­ton-Kalender 1971, vol.! pag.742)

~w

S2 Z - -2­

in cui z è il braccio delle forze in­terne valutato in prima approBsi­mazione con O: 7 h.

Per il calcolo di ~A è nece~

sario stimare s2 ciò che è ora pos­sibile, . perchè, nota Ap, si cono­sce il numero dei cavi ed il loro ingombro.

A questo punto il dimensionamento della sezione è terminato, tuttavia siamo in presenza di un profilo teorico, il quale, se fosse realizzato, darebbe inconvenienti in fase di getto e di disarmo, a causa della mancanza di raccol'di fra soletta e nervatu.:ça.

Per passare dal profilo teorico a quello costruttivo, ci si basa sull'esperienza e sul buon senso. Una volta definita la sezio-

Fig. 212

344

ne, è necessario procedere ad un controllo generale, determina!! do le caratteristiche geometriche in modo rigoroso e verifican­do le tensioni sia a vuoto che in servizio. Si completerà il con­trollo della sicurezza· con le verifiche a fes~azione (eventuale) ed a rottura (obbligatoria). Si tenga ben presente che il procedi­mento di progetto è sempre un procedimento di approssimaziom successive.

Si noti che nel metodo di progetto ora esaminato, nella prima fase si adopera il momento del permanente Mp che dipen­de, in parte se non totalmente, dal peso proprio della sezione ancora incognita.

Per la valutazione di Mp si è resa necessaria una s ti m a preliminare, basata sul confronto di opere similari, ovvero sulla. osservazione" di un disegno della sezione, che il progettista svi~

luppa sulla base di esperienze precedenti, in attesa di applicare il metodo di progetto vero e proprio.

Osserviamo ancora che il problema del disegno della sezio- . ne può essere soggetto a particolari condizionamenti, che defi­niscono la carpenteria quasi completamente. Si pensi alla sezione trasversale di un ponte a travi appoggiate in c. a. p ..

Il ponte è un 'opera che deve assicurare la continuità di una strada o di una ferrovia; la sua larghezza è definita dalle carat­teristiche della strada o della· ferrovia sovrastante. Perciò la la.r ghezza della soletta superiore b 1 risulta fissata.

Lo spessOre minimo della soletta superiore sl è, spesso, fissata dai capitolati (per es. 81 = O. 20m.) pergarantire un a­deguato copriferroe proteggere le armature da azione aggressi­'re del gelo e dei sali impiegati come antigelo. Allora è naturale scegliere l'interasse, cioè il numero delle travi, in modo da sfru! tare razionalmente lo spessore Sl dal. punto di vista statico.

L'altezza della sezione si fissa, come abbiamo detto, a prio­ri. Restano perciò, come incognite soltanto Ap e6.A, cioè l'a­rea della soletta inferiore aggiunta. Ma tale soletta è, almeno in parte, fissata dalla necessità di disporre i cavi con il dovuto di­stanziamento, per cui già in partenza sappiamo di avere una cer­ta soletta inferiore minima, per l'alloggiamento dei cavi.

345

3.11 LA DISPOSIZIONE DEI CAVI LUNGO LA TRAVE

Con riferimento al caso semplice (ma frequente nelle appli­cazioni) di trave appoggiata in c. a. p., suppo~o di avere pro­gettato ·la sezione di mezzeria (sezione di momento massimo), ci9è conosciamo la forma e le dimensioni della carpenteria ed il nume­ro e la posizione dei cavi.

Per completare il progetto della trave a sezione costante, non rèsta che disegnare dei cavi dalla mezzeria alla· sezione di ap­poggio..

Anche per questo problema vediamo di dare dei criteri ge­nerali; ci baseremo su due nozioni già note:quella di nocciolo cen­trale di inerzia e quella di linea delle pressioni.

Disegniamo sulla sezione longitur1inale della trave (fiJ?;.213) il luogo degli estremi superiori del nocciolo ed il luogo degli estremi inferiori. Poichè la trave è, per ipotesi, a sezione costante, i dùe luoghi sono due segmenti orizzontali, uno sopra e l'altro sotto la linea d'asse. Il criterio con il quale disponiamo il C. R. è quello di mantenere la L. P. dentro la striscia .delimitata d a i segmenti

® LUO~O DEqL/ESTeFM/

~SUPEIZ/~/"DEL NO(C/OLO

~ I

I - ~--- ..

. --'~------I

------ -----

-- ----'- ---- ---- ---J

LI NfA D'ASSE. 1 LVOCiO DE(4L' ESTer"" (LflOCiO DEI 8.4I2/CfNTey //INFE2/012~ DEL NO({/OlO

C.2./N/lfEZU2IA

Fig.213·

346

Lo P. IN SERVIZIO

- --- - - -=-=.::~--==--~---,

L.P. AVUOTO

C.I2.

Fig. 214

347

Il diagramma dell~ ca a vuoto è uguale per tu~ le ,sezioni, perchè la linea delle pressioni a vuo­to è parallela alla linea d'asse ed è del tipo mostrato in fig. 215: invece i diagrammi delle a in serviziovariano da una eezione all'altra, perchè la linea delle pressioni in servizio è paraboli­ca.' In mezzeria si ha la forma triangola­re della fig. 216: nella sezione Xl' in cui la L. P. interseca la linea d'asse il Fig. 215 Fig. 216 dJagralJlm a' è uniforme; a sinistra di . Xl sull'appoggio, 11 diagramma di servizio è triangolare come quel­lo a vuoto. .

Pensiamo ora che il e.R. coincida con la parabola 2 (fig. 217).

Qualunque tracciato dele.R. incluso nella zona liJn1te dà luogo a diagrammi di d tutti accettabili dal punto delle tensioni ammissi-

L.P A "OOTO

L.P. IN E ZIO

DIACilZ.AMMI IN;~E2VIZIO TOTTI Vc.UàLI Pt2cIclE LA L.P. IN 5E2VI210 E' PAR.ALLHA ALLA LINE.A n'ASS.E_

DlA,"IlAMMA A VUOTO,

'IA2IAl!lILE C:ON l'ASCISSA X.

Fig. 217

348

bili si puÒ approfittare della libertà con la quale si può traecia­re il C.R. (purchè dentro la zona limite) per ottenere qualche risultato vantaggioso da altri punti di vista.

Ricordiamo che ad ogm C. R. corrispoIMe un carico:

p=~= Sf NR 12

ne consegue che se f è piccolo, anche p è piccolo, è viceversa. Possiamo scegliere f in modo che il carico equivalente ;; : ­

la precompressione sia uguale a quello del permanente p = g, ovvero tale che p = g"+·s/Z o addirittur~ p = g + s.

Esaminiamo i tre casi con l'ausilio dei diagrammi del ta­. glio (fig. 21S).

I -P=!d+5/2 r

~IEIN SE/lVOZ'o T..~

A VU.OTO T.::- Ts 2. A VUOTO T=-Ts

Fig.218

Le condizioni T = O corrispondono ad una linea delle pres­sioni orizzontale.

Poniamoci il problema: prefissato il carico ripartito equi­valente individuare la posizione dell'ancoraggio terminale (sull 'ap­poggio) del C. R ..

349

Per es., vogliamo otten~re p = g+ s/2, sapendo che il C.R. passa in mezzeria per un punto già fissato. E' incognita la ordi­nata dell'ancoraggio sull'appoggio.

Passiamo dal carico ai momenti: -Ms

M = M g +-­2

Calcoliamo: MsM g +-­2

e = N

C.2.

e

CJ2.

X.

-+--.......-rrTTT't""I"'TT"t'T~CTT'T'T"rTTT'T"T'T"l'T":::IoI--~TAGUO)f:t, Nsenol 9

- - - - -l--- - - - -=..;;;;;r;'i'"I"'I"'rTT1iTT"r"T""t,(fl4OM~NTI FLETTENTI)I

- e~I

IN Q()E5TO TeATTO IL MOME.NTo ~'MIWOJ2E DI N-e CONTI2IBUTO

l)EL CAVO "l CI·H: SI Mt.t-ITIEN~ 12nTILIt-lEo PEI2CHE' IL CAVO 2 • I I

E PA~SATO AL DI 5Opj2A DELLA LINEA tlASSE: E: F02J..JISCE UN

MOt-1ENTO PO&ITIVO

Fig. 219

350

Riportiamo "e" al di sopra del C.R. in mezzeria: l'orizzon­tale per "e" interseca la sezione di appOggio nel punto di passag­gio (ancoraggio) del C. R., che ci eravamo proposti di dete:ì'mina:... re.

Se volessimo invece, dete:ì'minare quale è la condizione di carico per la quale la L. P. è orizzontale e baricentrica, cosÌ da avere ovunque T = O ed M = O (deformazioni flessionali nulle, sQ lo accorciamenti assiali), la posizione dell'ancoraggio risulta de­terminata a priori (ancoraggio baricentrico), cosicchè do b b i a m o considerare come incognita la frazione di accidentale ks che deve essere compensata, .assieme a g, dalla coazione: cioè p = g + ks passando ai momentifN = Mg + kMs ' da cui ricaviamo k = (fN + - Mg)/M .·s

Se i cavi vengono ancorati non solo in testata, ma anche al­l'estradosso della trave, si producono discontinuità nelle linee del­la pressione, che si ripetono sia sul diagramma del taglio che su

. quello dei momenti flettenti.' In proposito si esamini il caso elementare di due soli cavi,

di cui uno si ancora intestata e l'altro all 'estradosso, in una se­, zione più vicina alla mezzeria (fig. 219).