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Capitolo 3: I tassi di interesse e il loro ruolo nella valutazione

• Appunti a cura di Federica Miglietta ad uso esclusivo degli studenti frequentanti

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Introduzione al valore attuale• I vari strumenti di debito danno origine a flussi di

pagamento per gli investitori (i cosiddetti flussi di cassa), che sono differenti in termini sia di valore sia di tempistiche.

• A parità di altre condizioni, il confronto di valore di un tipo di strumento di debito con quello di un altro si basa sull’ammontare e sul timing di ciascun flusso di cassa.

• Questa valutazione, laddove l’esame dell’ammontare e del timing dei flussi di cassa di uno strumento di debito conduce al suo rendimento effettivo a scadenza o tasso di interesse, è chiamata analisi del valore attuale.

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Valore attuale• Il concetto di valore attuale (o di attualizzazione) è basato

sulla nozione, tipica del comune buon senso, secondo la quale 1 euro di flusso di cassa che ci verrà pagato fra un anno avrà meno valore di 1 euro pagatoci oggi. Tale nozione è innegabile, perché se depositiamo 1 euro in un conto di risparmio che frutta interessi, fra un anno otterremo 1 euro più gli interessi.

• Il termine VA (Valore Attuale) può essere esteso per indicare, oltre al VA di un singolo flusso di cassa, anche la somma di una serie di flussi di cassa.

Interessi semplici e composti

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Tassi annui equivalenti

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Tassi annui equivalenti

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Applicazioni del valore attuale• Esistono quattro tipi fondamentali di strumenti del mercato

del credito che incorporano il concetto di valore attuale:

1. prestito semplice

2. prestito a rata costante

3. obbligazione con cedola (o obbligazione con coupon)

4. titolo a sconto (noto anche come obbligazione senza cedola o zero-coupon bond)

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Concetto di valore attuale: prestito semplice

• Prestando oggi 100 euro a un tasso di interesse del 10%, gli importi che avreste alla conclusione di ogni anno possono essere visualizzati secondo lo schema seguente:

• Possiamo generalizzare questo processo attraverso la seguente formula:

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Concetto di valore attuale: prestito semplice (cont.)

• L’esempio precedente rafforza il concetto per cui 100 euro sono preferibili a 100 euro ricevuti fra un anno, poiché i 100 euro di oggi potrebbero prestati (o depositati) a un tasso di interesse del 10%, e quindi varrebbero 110 euro fra un anno, 121 euro fra due, 133 euro fra tre e così via.

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Valore attuale dei flussi di cassa: esempio

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Rendimento a scadenza: prestiti

• Il rendimento effettivo a scadenza (in inglese YTM, Yield To Maturity) rappresenta quell’unico tasso che uguaglia la somma dei valori attuali dei flussi di cassa prodotti da uno strumento di debito al suo valore odierno.

1. Per i prestiti che prevedono un unico pagamento a scadenza, il tasso di interesse è uguale al rendimento a scadenza.

2. Per i prestiti a rata costante, vale la seguente formula generale:

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Rendimento a scadenza: obbligazioni3. Obbligazione con cedola (tasso cedolare = 10% = C/VN)

Generalizzando ulteriormente, possiamo calcolare il TRES (Tasso di Rendimento Effettivo a Scadenza) impostando la formula seguente:

Prezzo di una obbligazione con cedola annuale

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TRES di una obbligazione con cedola semestrale

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Relazione fra prezzo e rendimento a scadenza

• Dall’osservazione della tabella emergono tre fatti interessanti:

• Quando il prezzo dell’obbligazione con cedola corrisponde al suo valore nominale, il TRES equivale al tasso cedolare.

• Il prezzo e il TRES sono negativamente correlati.• Il TRES è superiore al tasso cedolare quando il prezzo dell’obbligazione è

inferiore al suo valore nominale.

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Rendimento a scadenza: obbligazioni (cont.)

4. Titolo a sconto (zero-coupon bond) a 1 anno con P = 900 euro e VN = 1.000 euro:

Più in generale, per i titoli a sconto di qualsiasi durata, la formula per il rendimento a scadenza può essere scritta come:

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Differenza fra tassi di interesse reali e nominali

• Tasso di interesse reale1. È il tasso di interesse che tiene conto delle variazioni previste nel livello dei prezzi

2. Il tasso di interesse reale riflette più esattamente l’effettivo costo di un prestito

3. Quando il tasso di interesse reale è basso, vi sono notevoli incentivi nel prendere in prestito e pochi motivi per prestare

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Differenza fra tassi di interesse reali e nominali (cont.)

• Tasso di interesse reale

Solitamente questo tasso viene chiamato tasso di interesse reale ex ante, perché è aggiustato per il livello atteso di inflazione. Dopo aver osservato l’effettivo livello di inflazione, è possibile calcolare il tasso di interesse reale ex post.

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Differenza fra tassi di interesse e rendimenti

• Il tasso di rendimento di un’obbligazione posseduta dal tempo t al tempo t + 1 può essere espresso come:

• Tale equazione può essere separata in due termini:

dove ic rappresenta il rendimento corrente e g il guadagno in conto capitale (o capital gain)

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Osservazioni chiave sulla relazione fra tassi di interesse e rendimenti

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Scadenza e instabilità dei rendimenti delle obbligazioni

Dalla Tabella 3.4 si possono desumere alcune osservazioni generalizzabili per tutte le obbligazioni:

• l’unica obbligazione per cui rendimento cedolare= rendimento a scadenza iniziale è quella con scadenza = holding period

• per le obbligazioni con scadenza > holding period, i aumenta e P diminuisce, con conseguente perdita in conto capitale

• quanto più distante è la scadenza, tanto maggiore è la variazione di prezzo associata a una modifica del tasso di interesse

• quanto più distante è la scadenza, tanto maggiore è la variazione di rendimento associata a una modifica del tasso di interesse

• in un’obbligazione con un tasso di interesse iniziale elevato, il rendimento può tuttavia risultare negativo se i aumenta

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Scadenza e instabilità dei rendimenti delle obbligazioni (cont.)

Le conclusioni che si possono trarre dall’analisi della Tabella 3.4 sono le seguenti.

1. I prezzi e i rendimenti delle obbligazioni a lungo termine sono più volatili di quelli delle obbligazioni a breve termine, perché le prime hanno un più alto rischio di tasso di interesse.

2. Non esiste alcun rischio di tasso di interesse per le obbligazioni la cui vita residua (scadenza) è uguale all’holding period.

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Rischio di reinvestimento

• Si verifica se il ricavato dell’obbligazione a breve scadenza deve essere reinvestito.

• Il tasso di interesse i al quale reinvestire è incerto.

• Si ottiene un guadagno se i sale, una perdita se i scende.

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Calcolo della duration per un’obbligazione decennale con cedola annua al 10% e i = 10%

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Calcolo della duration per un’obbligazione decennale con cedola annua al 10% e i = 20%

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Formula della duration

• Osservazioni chiave sulla duration:1. A parità di ogni altra condizione, quanto maggiore è la vita residua di un’obbligazione,

tanto maggiore è la sua duration.2. A parità di ogni altra condizione, quando i tassi di interesse aumentano, la duration

dell’obbligazione con cedola diminuisce.

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Formula della duration (2)

3. A parità di ogni altra condizione, quanto più elevata è l’entità della cedola, tanto minore è la duration dell’obbligazione.

4. La duration è additiva: quella di un portafoglio di titoli rappresenta la media ponderata della duration dei singoli titoli, con ponderazioni che riflettono la proporzione di ciascun titolo sul totale del portafoglio.

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Duration e rischio di tasso di interesse

• Se i sale dal 10 all’11%, la duration di un’obbligazione decennale con cedola al 10% diventa:

• Se i sale dal 10 alll’11%, la duration di un’obbligazione decennale con cedola al 20% diventa:

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Duration e rischio di tasso di interesse

• Quanto più elevata è la duration di un titolo, tanto maggiore è la variazione percentuale nel valore di mercato del titolo per una determinata variazione nei tassi di interesse.

• Quindi, quanto più elevata è la duration di un titolo, tanto maggiore è il suo rischio di tasso di interesse.