211

Capitolo 5

Circonferenze daltezza 5.0 Cenni storici La circonferenza di altezza nasce dallintuizione del capitano Thomas H. Summer (1837) che navigando nel canale di S. Giorgio dopo diversi giorni di cattivo tempo ed avendo osservato diverse altezze di Sole ed effettuato tre calcoli di longitudini aveva osservato che questi punti si trovavano in allineamento con limboccature del citato canale. Da ci aveva associato la propriet della misura di altezza quale luogo di posizione dato che le tre posizioni risultavano allineate. Egli seguendo la direzione definita dai tre punti giunge allimboccatura del citato canale; questa operazione, a sua insaputa, riportava alla linearizzazione della circonferenza di altezza successivamente nominata retta di altezza. Inizia lera della determinazione simultanea delle due coordinate geografiche con due o pi rette di altezza; una navigazione che non ha necessit di infrastrutture a terra ne a bordo e nello spazio. Occorre possedere soltanto un buon sestante, un orologio sufficientemente preciso e stabile e delle tavole effemeridi facilmente disponibili e pubblicate ogni anno da istituzioni statali. 5.1 Circonferenza daltezza e punto sub-astrale La misura di una altezza di un astro, dopo le dovute applicazioni delle correzioni, determina sulla sfera celeste una circonferenza minore il cui centro rappresentato dallastro e di raggio pari alla distanza zenitale (z=90-h). Le dimensioni di questa circonferenza, a causa del moto diurno della sfera celeste, variano dato che varia laltezza dellastro dato che possono variare gli elementi di cui essa funzione essendo: ( ) ( )[ ]tAtPhh o ,= (5.1) Questa relazione tiene conto sia del moto dellosservatore che di quello dellastro osservato. Si pu comunque osservare, che osservatori che misurano la stessa altezza nello stesso istante si trovano tutti sulla stessa circonferenza minore associata alla misura (5.1), detta circonferenza di altezza. Con questa considerazioni la circonferenza minore gode della propriet di essere un luogo di posizione sulla terra dato che i punti della stessa, associati a potenziali osservatori,si trovano equidistanti dal centro rappresentato dallastro.

212

Figura 5.1 Sfera celeste

Questo concetto pu essere facilmente illustrato considerando la sfera celeste di figura 5.1 nella quale sta tracciata un cerchio minore di raggio z di centro A associato questultimo allastro osservato. Se si proiettano i punti di questo cerchio dal centro della Terra, il cono determina sulla superficie della Terra un altro cerchio minore i cui punti sono tutti potenziali osservatori dellastro A di altezza h; al cono che ha il vertice al centro della Terra e per base la circonferenza daltezza si da il nome di cono di proiezione. Nella figura 5.1 'QQPP sn rappresenta la sfera celeste geocentrica,

'qqpp sn la Terra supposta sferica , eventi in comune il centro C. lastro A ha coordinate ( )AAT , ; il punto a, proiezione del punto A, sulla Terra , rappresenta la posizione geografica dellastro A ed detto punto astrale o punto sub-astrale. Questo punto rappresenta un punto al cui corrispondente Zenit osserva lastro allo zenit. Il cerchio ABC rappresenta la circonferenza di centro A e raggio z mentre il cerchio abc sulla Terra rappresenta la circonferenza di posizione. Risulta ovvia la distinzione tra circonferenza di altezza e circonferenza di posizione, definendo la prima il luogo degli zenit che hanno osservato laltezza h e la seconda come luogo geometrico della posizione geografica degli osservatori. La circonferenza di altezza diventa un luogo di posizione quando la misura viene effettuata nello stesso istante da tutti i potenziali osservatori i cui zenit si trovano sulla cerchio di raggio z.

213

Si definisce pertanto: circonferenza di altezza quel luogo di posizione i cui osservatori misurano, nello stesso istante, la stessa altezza dello stesso astro. Una misura di altezza determina, quindi, un luogo di posizione sulla superficie della terra; due osservazioni di astri differenti forniscono due circonferenze di posizione la cui loro intersezione definiscono due potenziali posizioni sulla Terra: la conoscenza della posizione stimata comunque elimina lambiguit o la scelta della posizione dellosservatore che ha effettuato le due misure. La soluzione del problema di posizione, molto facile a farsi con luso di un globo terrestre, riesce poco attuabile se non impossibile in pratica, se non si dispone di un globo di dimensioni piuttosto rilevanti. Per gli usi nautici, necessitando la posizione della nave con lapprossimazione del miglio di circonferenza massima si renderebbe necessario avere una sfera con raggio che corrisponda un primo ad un millimetro. Questa condizione richiede che la sfera dovrebbe avere un diametro di circa 7 metri. Infatti, ponendo la circonferenza massima:

dL === '21600360 si ha un diametro di 6.879 m. Appare evidente, che su una nave non praticabile usare una sfera di tale dimensioni,per cui occorre dare una soluzione differente al problema della determinazione della posizione in mare con misure di altezze di astri. 5.2 Equazione della circonferenza di altezza Come gi studiato, sulla sfera celeste lastro A, lo zenit Z e il polo elevato, definisco il triangolo di posizione a cui pu essere applicata la relazione fondamentale della trigonometria sferica:

Figura 5.2 sfera celeste e triangolo di posizione

214

ZAPAPZPAPZPZA eeeee cossinsincoscoscos += (5.2) Che, essendo ben noto il loro significato, si trasforma nella ben nota relazione: P

)coscoscossinsinsinh += (5.3)

con = aP) .Alla (5.3) soddisfano tutti i punti appartenente alla circonferenza di altezza definita dalla misura h . Occorre per qui sottolineare che langolo al polo P

), contato da 0 a 180, si conta dal

meridiano superiore dellosservatore: positivo se lastro ad ovest dellosservatore, negativo se ad est. La relazione (5.3) esprime per questo lequazione della circonferenza daltezza ed nota come relazione fondamentale dellastronomia nautica. La (5.3) pu anche essere espressa nel seguente forma: ( ) += acoscoscossinsinsinh (5.4) Alla quale si possono, inoltre, associare le due seguenti relazioni facilmente ricavabile sempre dal triangolo di posizione:

cossincoshsincossincoscoscoshsincos

PZPZ

))))

== (5.5)

rappresentando la prima il teorema delle proiezioni e la seconda il teorema dei seni. 5.2.1 Classificazione delle circonferenze di altezza. In navigazione, come ben sappiamo, si usa la carta di Mercatore, per cui per rappresentare le circonferenze di altezza su questa carta occorre distinguere le circonferenze in tre specie, a seconda che la posizione del polo dellemisfero dellastro ha rispetto ad esse (polo esterno, interno o appartenente alla circonferenza); ci facilmente comprensibile dato che il polo geografico sulla carta di Mercatore rappresentato allinfinito,per cui le circonferenze avranno una forma differente.

215

Figura 5.3 Circonferenze di prima, seconda e terza specie

Per convenzione, si ha la circonferenza di prima specie quando h e di terza quando h= . Queste condizioni analitiche si ricavano nella circonferenza considerando il vertice e la base della circonferenza di altezza definiti dallintersezione della stessa con il meridiano dellastro osservato, come illustrato nella figura 5.3. Detta b la latitudine della base e v quella del vertice, risulta facile stabile, per mezzo della figura 5.3, le seguenti relazioni: per la prima specie : zzb +== v , (5.6) per la seconda specie: )(180 , v zzb +== (5.7) per la terza specie: == 90 , v zb (5.8) inoltre si introduce il concetto di zona di altezza definita dalla fascia sferica delimitata dai paralleli passante per la base ed il vertice della circonferenza e la cui ampiezza 2z per la circonferenza di prima specie,

216

2p per la seconda specie e 2z=2p per la terza specie. Inoltre, anche per langolo al polo esistono delle condizioni al variare della specie della circonferenza. Per la circonferenza di prima specie, considerando il meridiano tangente alla circonferenza in TZ , come riportato in figura 5.4 si ha:

Figura 5.4 Circonferenze di prima specie

coscoshsin =TP (5.9)

Per la circonferenza di seconda specie langolo al polo varia nellintervallo [ ]180,0 mentre per quello di terza specie varia da 0 a 90. Inoltre, le circonferenze di altezza godono di alcune propriet:

la circonferenza di altezza in ogni suo punto perpendicolare alla direzione azimutale dellastro; infatti il verticale, essendo una circonferenza massima perpendicolare alla circonferenza minore di centro lastro.

Due circonferenze di altezza, di prima e seconda specie, si dicono coniugate se esse hanno la stessa zona di altezza (v,figura 5.5); infatti, scelti due punti 1Z e 2Z , sulle due circonferenze ed aventi la stessa latitudine, i triangoli di posizione associati allo stesso astro 11 APZ e 22 APZ sono uguali essendo laltezza delluno uguale alla declinazione dellaltro.

In particolare, langolo azimutale del primo uguale allangolo al polo del secondo. Infatti dalle seguenti relazioni si ha:

217

222111

2222'

1111 180VAQAQBVAQA

VAQAVQQVVAQA==

===+ (5.10)

221

221

9021802VAQA

VAQA==

Essendo 22211 A e zVQA == si ha 12 =h (5.11) Inoltre, sottraendo dalla prima delle (5.10) la seconda si ha:

211

211

9021802

QAVAQAVA

==

E quindi 21 =h (5.12)

Figura 5.5 Circonferenze coniugate

5.2.2 Scostamento della circonferenza di altezza dal cerchio massimo tangente Nelle applicazioni future capita di sostituire la circonferenza di altezza con la circonferenza massima tangente in un suo punto. Per calcolare lo

218

scostamento si consideri il grafico riportato in figura 5.6. dal triangolo sferico rettangolo si ha: ZBAZAB coscoscos = (5.13)

Figura 5.6 Scostamento della circonferenza di altezza dal cerchio

massimo Indicando con lo scostamento e D la distanza dellarco di cerchio massimo dal punto di tangenza la relazione (5.13) diventa: ( )

=

=+

21cossincos

coscoscos2Dzzz

Dzz

Avendo considerato piccoli sia che D. dallo sviluppa si ricava:

zD cot2

2

= (5.14) con tutti gli elementi espressi in radianti. Esprimendo la (5.14) in primi si ha:

'1tanh2

2

senD= (5.15) Dalla quale si pu dedurre lo scostamenti della circonferenza di altezza dal cerchio massimo al variare della altezza e della distanza D.

219

5.2.3 Tracciamento per punti della circonferenza di altezza Per tracciare una parte della circonferenza di altezza su una generica rappresentazione cartografica occorre determinare le coordinate geografiche appartenenti alla circonferenza stessa. Determinati questi punti e riportati sulla carta( per es. la carta di mercatore) si uniscono fra loro e la spezzata rappresenta una porzione di circonferenza. Questi punti sono calcolati ipotizzando che una delle due coordinate sia nota ( ovvero si applica il metodo dellintersezione di un meridiano o di un parallelo con la circonferenza di altezza). Si opera cos un calcolo di latitudine o un calcolo di longitudine. 5.2.3.1 Calcolo di latitudine. Si risolve lequazione (5.3) della circonferenza di altezza rispetto alla latitudine nel seguente modo: ( ) ( )MPPP cotsincoscoscossectansincoscoscossinh +=+= PM sectancot = (5.16) Sviluppando Mcot si ha: ( ) ecMMP cossincoscossinh += ( ) MPM sinsecsecsinhsin =+ (5.17)

220

Figura 5.7 calcolo di latitudine - intersezione del meridiano con la

circonferenza di altezza. Calcolati i valori delle due relazioni (5.16) e (5.17) si ricavano due valori della latitudine ( )21 , dato che il meridiano interseca la circonferenza di altezza in due punti. Si pu notare che quando langolo al polo prossimo a 90 (astro al primo orario) la (5.17) cade in difetto; in questo caso si fa preferire la seguente relazione: ( ) McoescM cossinhsin =+ (5.18) con la condizione che la declinazione non sia prossima allosservatore (Z). 5.2.3.2 Calcolo di longitudine. Si risolve lequazione (5.3) della circonferenza di altezza rispetto allangolo al polo ricordando che = aP :

221

Figura 5.8 Calcolo di longitudine - intersezione del parallelo con la

circonferenza di altezza.

coscossinsinsinhcos =P (5.19)

Calcolato P e dato a , si determina la longitudine . In pratica per la longitudine si ricava dalla relazione fondamentale dei tempi =Tt legati ai due orari con il primo legato allosservatore locale e laltro al meridiano di riferimento. La (5.19), per renderla logaritmica si esprime con le formule del BORDA:

( )p

hSSsenPsincos

cos2

sin = oppure con ( )( ) ( )pSSs

hSSP

=cossin

sincos2

tan 5.3 Rappresentazione della circonferenza di altezza sulla carta di Mercatore. Le circonferenze di altezze si rappresentano sulla carta di Mercatore. Per la loro rappresentazione quindi importante studiare la curva espressa in termini delle relazioni di corrispondenza della carta dato che esse rappresentano delle circonferenze sferiche.

222

Occorre, allora, determinare una equazione che esprime le curve sferiche anche perch esse a seconda della loro specie assumono forme e propriet differenti 5.3.1 Equazione differenziale della curva di altezza Siano ( )yxa , sulla carta di Mercatore le coordinate di un punto di coordinate sferiche ( ) ,A con gli assi di riferimento lequatore ed il meridiano di Greenwich. I due sistemi di riferimento hanno in comune la trasformata dellequatore e quella del meridiano di Greenwich con una corrispondenza biunivoca fra i punti della Terra supposta sferica ed i punti della carta. Le relazioni corrispondenza sono:

+==

245tanlog

y

x (5.20)

Con lequazione della cura di altezza: Pcoscoscossinsinsinh += (5.21) Per studiare la curva occorre trovare una equazione che lega la curva (5.21) in termini delle relazioni di corrispondenza (5.20). Per ottenere ci deriviamo la coordinata y rispetto ad x tenendo presente che

ddx = ::

dd

dxdy

cos1= (5.22)

Questa relazione pu essere espressa legata alla (5.21) calcolando la derivata di rispetto a P tenendo conto per che ed h costanti:

P

PdPd

coscossinsincossincoscos

= (5.23) Che pu essere ulteriormente semplificata tenendo presente che il numeratore pu essere semplificato applicando il teorema dei seni al triangolo di posizione mentre il denominatore rappresenta il teorema delle proiezioni:

223

Figura 5.9 Triangolo di posizione associato ad una generica curva di

altezza

PZ

PZcoscossinsincoscoscosh

sincosh

sincos

== (5.24)

che sostituiti nella (5.23) fornisce la seguente relazione:

ZdPd tancos = (5.25)

Che pu essere ulteriormente semplificata tenendo presente che

ddp = :

Zdd tancos = (5.26)

Che sostituita nella (5.22) da:

xhx

ZZ

ZZZ

dxdy

2222 sinsincossincos

sin1sin

cossintan

=

=== Avendo sostituito al numeratore la seguente espressione ricavata sempre dal triangolo sferico per mezzo del teorema dei seni:

224

coshsincossin xZ =

Per cui alla fine si trova lespressione dellequazione differenziale della curva di altezza sulla carta di Mercatore:

dxxh

xdy222 sincoscos

sincos

= (5.27) Nota come equazione di Hilleret (Parigi, 1874). Per ottenere le equazioni delle curve di altezza, occorre proceder allintegrazione della (5.27) per i tre casi che distinguono le curve:

>h (curva di altezza di prima specie);

225

Figura 5.10 Curva di altezza di prima specie

La (5.30) pu essere ulteriormente semplificata introducendo la seguente variabile V per mezzo della funzione coseno:

x

PV Tcos

coscos = (5.31) Sostituzione lecita dato che il denominatore pu assumere al massimo il valore di TP ; dopo la sostituzione si ottiene la seguente equazione differenziale:

V

dVdycos

= (5.32) La cui integrazione fornisce lequazione della curva di altezza di prima specie nella carta di Mercatore:

CVy +

+=2

45tanlog (5.33)

Il valore della costante ha il seguente significato:

Per V=0 (x

PV Tcos

cos1cos == ) e quindi TPx = ; la costante C ha quindi il significato del valore di y nel punto di contatto del meridiano con la curva di altezza ( )0yy = . Dopo aver calcolato il valore della costante, si

226

ottiene lespressione analitica finale che permette di rappresentare la circonferenza di altezza di prima specie nella carta di Mercatore:

+=2

45tanlog0Vyy (5.34)

La (5.34) consente di effettuare uno studio della curva sulla carta:

il doppio segno sta ad indicare che la curva simmetrica rispetto al parallelo oy ;

la curva simmetrica rispetto allorario (meridiano) che contiene lastro osservato;

la curva contenuta allinterno di un rettangolo.

Che la curva simmetria al meridiano dellastro giustificata dal fatto che per la (5.31), fissato un valore di V si ottengono due valori uguali e contrari di x (ovvero di P) ascissa dei due punti di incontro dellordinata y con la curva . La terza propriet dovuta al fatto che la circonferenza di prima specie inscritta nel rettangolo che ha per meridiani quelli tangenti alla circonferenza e per paralleli quelli passante per il vertice e la base della curva di altezza stessa. La curva rappresentata in figura 5.11 nella quale stato riportato la posizione dellastro sullasse centrale la cui ordinata :

+=2

45tanlog ay (5.35)

Figura 5.11 Curva di altezza di prima specie sulla carta di Mercatore

227

La curva pertanto non simmetria rispetto al parallelo passante per lastro. Nella curva rappresentata in figura 5.11 si considerano due grandezze detti semi assi maggiore e minore della curva (a,b). Questi semi assi godono della seguente propriet:

+=2

45tanlog ba (5.36)

La cui dimostrazione riportata in Appendice 5.A. Nella quale da una facile deduzione si comprende che TPb = valore del massimo angolo al polo per una circonferenza di prima specie (v. figura 5.10); la (5.36), pertanto, pu essere espressa anche dalla seguente relazione:

+=2

45tanlog TPa (5.37)

La (5.37) permette di affermare che tutte le circonferenze di prima specie iscritte nello stesso fuso sono tutte uguali cio sono sovrapponibili.

Figura 5.12 Curve di altezza di prima specie iscritte nello stesso fuso

orario ( )TP Infine quando la semibase b molto piccola, la semi altezza a quasi prossima a b; la curva inscritta in un quadrato e tende ad essere

228

rappresentata da un cerchio. Questo il caso delle osservazioni circumzenitali, astri prossimi allo zenit dellosservatore. In seguito studieremo questo caso per valutare quale sono le condizioni per tracciare un circonferenza il cu raggio dato dal semiasse maggiore semi asse minore. 5.3.1.2 Curva di altezza di seconda specie Ricordando che la circonferenza daltezza di seconda specie definita dalla condizione: h> (5.38) Allora lequazione differenziale

dxxh

xdy222 sincoscos

sincos

= (5.27)

andr risolta tenendo conto di questa condizione. Infatti dividendo la (5.27) per cosh si pu introdurre una nuova variabile che tenga conto del seguente rapporto cos introdotto:

dx

x

xdy

22

sincoshcos1

sincoshcos

=

(5.38)

Con 1coshcos

229

dxxZ

xZdyo

o22 costan1

sintan

+= (5.40)

Introducendo una nuova variabile data da:

dVV

xdxZxZV oo 2cos1sintan , costantan == (5.41)

Figura 5.13 Triangolo sferico rettangolo associato ad osservatore

che vede lastro al passaggio del primo orario ( )= 90P Si ottiene la seguente equazione differenziale per la circonferenza di seconda specie:

V

dVdycos

= (5.42) La cui integrazione fornisce la funzione cercata:

CVy +

+=2

45tanlog (5.43)

Ovvero:

+=2

45tanlog0Vyy (5.44)

230

Con il valore della costante ottenuta per 0=V ottenuto per == 90xP per cui il valore di oy corrisponde al parallelo dellosservatore Zo. La curva di seconda specie rappresentata dalla funzione (5.44) gode delle seguenti propriet:

la curva simmetrica al meridiano del punto sub-astrale; la retta rappresentata dal parallelo dei punti ' e oo ZZ di latitudine

o divide a met la zona di altezza; la curva volge sempre la concavit al parallelo oyy = ; gli osservatori ' e oo ZZ sulla curva sono punti di flesso della

curva; la semi altezza della zona di altezza uguale alla latitudine

crescente dellangolo azimutale in ' e oo ZZ :

+=2

45tanlog oZa ;

le curve di altezza di seconda specie inscritte nella stessa zona di altezza sono sovrapponibili.

Tutte queste propriet sono dimostrate in appendice 5.B

Figura 5.14 Traccia della circonferenza di altezza di seconda specie

sulla carta di Mercatore 5.3.1.3 Curva di altezza di terza specie La curva di altezza di terza specie si ha quando h= . Con questa condizione lequazione differenziale(5.27) si semplifica nella seguente:

231

xdxdxx

xdy tansin1

sin2

=

= (5.45)

la cui integrazione fornisce la seguente soluzione: Cxy += seclog (5.46) Con la costante di integrazione calcolata per x=0: xyy o seclog= (5.47) La (5.47) fornisce la rappresentazione della curva di altezza di terza specie sulla carta di Mercatore riferita allequatore ed al meridiano del punto astrale. Il doppio segno indicherebbe che la curva simmetrica rispetto al parallelo oy . In realt ci non esiste la simmetria dato che il segno meno si riferisce ad una curva di terza specie relativa al polo opposto a quello del punto astrale. La curva svolge tutta nel senso positivo ed asintotica verso il polo con assi asintotici i meridiano a 90 dal meridiano del punto astrale (v. figura 5.15).

Figura 5.15 Traccia della circonferenza di altezza di terza specie

sulla carta di Mercatore

Il valore di oy pu calcolarsi tenendo presente che rappresenta lordinata della base della curva il cui valore :

tanhlog2

45tanlog2

45tanlog =

+=

+= zy bo (5.48)

Che sostituita nella (5.47) permette di esprimere la relazione finale della cura di terza specie nella carta di Mercatore: tanhseclog xy = (5.49)

232

Oppure se si riferisce la (5.47) al parallelo della base della curva allora la (5.47) si semplifica nella seguente: xy seclog= (5.50) La curva di altezza di terza specie gode delle seguenti propriet:

simmetrica rispetto al meridiano del punto astrale (x=0). Ci facilmente dimostrabile essendo un parallelo y si determinano per intersezione con il parallelo due punti che hanno coordinata ( )x ;

aperta ed i suoi rami tendono allinfinito dovendo rappresentare il polo della carta;

i rami della curva hanno per asintoti i == 90 e 90 xx . La figura 5.15 mostra landamento della curva in funzione della variabile x.

5.4 Altezze circumzenitali Un astro osservato prossimo allo zenit, per definizione, si definisce circumzenitale; la sua distanza dallo zenit prossima a zero. Risulta ovvio che in questi casi la curva associata alla misura una curva di prima specie la cui forma ovale stata precedentemente studiata. Risulta evidente la possibilit di sostituire la forma ovale con un cerchio di centro il punto astrale e di raggio tale che la curva effettiva non si discosti da un prefissato valore dal cerchio. Occorre pertanto determinare il raggio di questo cerchio.

Figura 5.16 Circonferenza di altezza di prima specie: - Altezza circumzenitali e sua rappresentazione sulla carta di Marcatore.

233

Dalla figura (5.16) si nota che lo scostamento massimo si ha nelle direzioni dei semiassi maggiore e minore ( )ba, . Se consideriamo che il raggio della circonferenza dato dalla media dei due assi

2bar += allora

nella direzione del semiasse maggiore lo scostamento :

22babaaraCOCV =+==

Mentre lungo il semiasse minore lo scostamento :

22baabaarCLCR =+==

In entrambi i casi si ha lo stesso scostamento tra le due curve:

2

ba (5.51) che, comunque rappresenta lo scostamento massimo fra le due curve. Occorre, quindi, trovare lespressione di ( )h, = . Per ottenere questa relazione, consideriamo la sfera celeste, un astro osservato con una distanza zenitale che soddisfa la condizione di circonferenza di altezza di prima specie ed il relativo triangolo di posizione di figura (5.17).

Figura 5.17 Astro circumzenitali -Circonferenza di altezza di prima

specie: - Triangolo di posizione.

Ricordando che il massimo angolo al polo bPT = , dal triangolo sferico rettangolo in Z si ha:

234

coscoshsinsin == bPT (5.52)

E riprendendo la (5.36):

+=2

45tanlog ba

scritta nel modo seguente:

( )aeeee

b

eeb

b

bbe

aa

aa

a

aa

sinh

2tan1

2b2tan

sinb ,

11

2tan ,

2tan1

2tan1

245tan

2=+

=+

=

+=

+

=

+=

La relazione (5.52) si scrive:

coscosh)tanh(sin == ab (5.53)

Dalla quale si ottengono le due seguenti espressioni per i due semi assi:

coscoshsin =b (5.54)

( ) coscoshtanh =a (5.55)

Dalle quali considerando le corrispondenti funzioni inverse sviluppare in serie di McLaurin essendo largomento piccolissimo 90h :

( ) KK +

+=+++==

=353

coscosh

61

coscosh

!5!3coscosharcsin

xxxxarcsenb

KK +

+=+++==

=353

coscosh

31

coscosh

53)(

coscoshtanh

xxxxsettsetta

Applicando questi sviluppi arrestati al primo ordine alla relazione (5.51) si ha:

235

3

coscosh

121

2

= ba (5.56)

Formula che fornisce lerrore massimo in radianti. La (5.56) espressa in miglia ha la seguente espressione:

3

coscoshcos

'1sin121

= m (5.57)

Dalla quale, fissato lo scostamento massimo desiderato, si pu trovare il valore dellaltezza h al variare della latitudine : ( )3 2cos1sin12cos marh = (5.58) Avendo considerato . Nel passato sono state compilate delle tavole (Villaceau) per mezzo delle quali, fissato 5.0=m mg, era possibile trovare il valore della distanza zenitale z in funzione della latitudine per le quali era possibile sostituire la circonferenza al cerchio di raggio r. 5.4.1 Metodo per tracciare il cerchio associato alle altezze circumzenitali Per tracciare la circonferenza associata alla distanza zenitale di un astro circumzenitale occorre determinare le coordinate del centro ed il raggio sulla carta di Mercatore. Il centro della circonferenza ha coordinate:

2

bar

Px Ga+===

(5.59)

Langolo al polo si ricava direttamente dallistante di osservazione essendo associato allangolo orario dellastro rispetto a Greenwich; per il raggio della circonferenza occorre determinare i valori del semi asse maggiore a e minore della curva di altezza di prima specie. Ricordando il loro valore legato allordinata della base e del vertice della curva di prima specie:

236

++=

+=2

45tanlog e 2

45tanlog zyzy vb

Il semiasse maggiore dato da:

2

bv yya=

237

Capitolo 5 Appendice A 5.A.1 Propriet della circonferenza di altezza di prima specie Siano vy e by le ordinate del vertice e della base della circonferenza di prima specie; la loro differenza fornisce laltezza del rettangolo in cui inscritta la curva di prima specie:

+

++==

245tan

245tan

log2z

z

yya bv

(5.A.1)

Nella quale sono state inserite le condizioni (5.6). Si consideri ora il seguente rapporto:

+=+=

+=

+=

=

+=

+

+=

=

+

++=

+

++

245tan

1sin1

coshcoscoshcos

2cot

2cot

452

cot2

45cot2

45cot2

45cot

245cot

245tan

245tan

245tan

2 T

T

T PsenP

Phh

zzzz

zzz

z

per cui la (5.A.1) diventa, dopo il confronto:

+=

+=2

45tanlog2

45tanlog2 22 bPa T

Dalla quale si ottiene la (5.36) e qui di seguito riportata:

+=2

45tanlog TPa

Passiamo ora alla dimostrazione che la curva di prima specie sulla carta di mercatore simmetrica al parallelo di latitudine T .

238

Si considerano due punti di Z e Z ottenuti per intersezione di un orario di coordinate (v. figura 5.A.1):

)2

''45tan(log'' e )2'45tan(log' +=+= yy (5.A.2)

Applicando ai due triangoli sferici le ben note relazioni si ricavano le espressioni che forniscono le latitudini dei due punti Z e Z: ( ) ecMsenhPM coscosMsen e cotcostan =+= (5.A.2) Dalle quali si ricavano le relazioni cercate: ( )MM +== 180'' e ' Con le quali le (5.A.2) si scrivono:

)2

45tan(log'' e )2

'45tan(log' MyMy +=+= (5.A.3) Sommando le due ordinate:

239

MsensenM

MM

MM

MMyy

coscoslog

245sin

245cos

245cos

245sin

log

)2

45cot(log)2

'45tan(log'''

+=

+

+

+

+=

=+++=+

+=+=

+

=+

=+2

45tanlogsin1sin1

log

sinhsin1

sinhsin1

logcos1

cos1log''' 2 T

T

T

senM

senM

yy

e quindi la relazione cercata:

+==+2

45tanlog2

''' TTy

yy (5.A.4) Per cui la semisomma delle ordinate dei punti appartenenti alla curva ottenuti per intersezione con un generico orario risultano equidistanti dal parallelo passante per il punto di massimo valore dellangolo orario.

240

Capitolo 5 Appendice B 5.B.1 Propriet della curva di altezza di seconda specie

La curva simmetria rispetto al meridiano del punto sub astrale. Infatti per ogni valore assegnato allordinata y ( associato ad un parallelo ) definito un valore di V che per la condizione (5.41):

xZV o costantan = (5.B.1)

fornisce due valori della variabile x. Il parallelo contenente ' e oo ZZ divide la zona daltezza in due parti uguali. Questa propriet si pu dimostrare considerando la semisomma dellordinata del vertice e della base della curva di seconda specie. Essendo:

22

18045tanlog2

45tanlog

2

++

+==+

zz

yyy obv

2

cot2

tanlog21

290tan

2tanlog

21 hhhhyo

+=

++= (5.B.2) Ma per le formule di Prostaferesi:

2cot

2tan

sinhsinsinhsin hh +=

+

Per cui la (5.B.2) si riscrive:

o

ooy

sin1sin1

log21

sinsinh1

sinsinh1

log21

sinhsinsinhsinlog

21

+=

+

=+=

241

+=

+=2

45tanlog2

45tanlog21 2 oo

oy (5.B.3)

Infine dimostriamo limportante propriet che la semi altezza a della zona di altezza data dalla latitudine crescente dellangolo azimutale oZ dei punti di flessione della curva. Ponendo:

+

+==

245tanlog

218045tanlog

21

2zzyya bv

+

+=

+=

=

+

=

+

+=

=

+

+=

2sin

2sin

2cos

2cos

log21

2cot

2cotlog

21

2tan

2cot

log21

245tan

245cot

log21

245tanlog

245cotlog

21

hh

hhhh

h

h

z

z

zza

Ed applicando le formule di prostaferesi:

+=

+

=

+=

o

o

ZZa

sin1sin1

log21

coshcos1

coshcos1

log21

coscoshcoscoshlog

21

+=2

45log21 oZa (5.b.4)

Dalla relazione appena trovata consegue che curve di altezza di seconda specie inscritte nella stessa zona di altezza, sono sovrapponibili.