Capitol o 06

Mario Vultaggio

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Capitolo 6

Determinazione del punto nave con rette di altezza Circonferenze d’altezza

6.0 – La retta di altezza Si possono dare differenti definizioni di retta di altezza a secondo che il problema si affronta nella sfera o sulla carta. Comunque, in tutti i casi, la retta di altezza sostituisce una porzione di circonferenza di altezza abbastanza limitata sulla quale l’osservatore si trova. Il tracciamento della retta è possibile solo con la conoscenza del punto stimato prossimo alla circonferenza di altezza. Nel passato il suo tracciamento veniva fatto determinando più punti della circonferenza ( da qui i diversi metodi adottati) detti punti determinativi; oppure determinando un solo punto; in questo caso si utilizza la tangente alla curva. Questi metodi, comunque, si possono considerate superati dato che la retta di altezza si ottiene facilmente utilizzando il concetto di linearizzazione del luogo di posizione.

Figura 6.1 – Esempio di circonferenza di altezza (c.a.) – circonferenza

massima tangente (c.m.) – Circonferenza osculatrice (c.o.) e retta tangente (r. t.)

Occorre però osservare che comunque in tutti i casi il procedimento analitico della sostituzione della circonferenza di altezza sulla sfera

Capitolo 6 – Determinazione del punto nave con rette di altezza - Circonferenze d’altezza

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porta a sostituire questa con un arco di circonferenza massima tangente alla circonferenza nel punto determinativo; sulla carta, poi, alla circonferenza massima si sostituisce la circonferenza osculatrice e successivamente la retta tangente tracciata sulla carta di navigazione appoggiandosi sul punto stimato (v. figura 6.1). La determinazione finale delle coordinate dell’osservatore potrà essere risolta sia graficamente oppure in modo analitico rispetto sempre al punto stimato.

6.1 – Metodi di tracciamento della retta di altezza Lo studio del tracciamento della retta di altezza verrà limitato alla sola carta di Mercatore, essendo questa la carta principalmente usata in navigazione.

6.1.1 – Metodo Summer o della corda Questo metodo consiste nel determinare due o tre punti della circonferenza di altezza per mezzo di intersezione del parallelo con la curva di altezza. Fissata la latitudine e supponendo note le coordinate dell’astro osservato, si determina un triangolo di posizione, la cui sola variabile è rappresentata dall’angolo al polo supposto però di aver effettuato l’osservazione dell’altro e corretta opportunamente l’altezza. (v. figura 6.2).

Figura 6.2– Metodo di Summer o della corda – Intersezione del

cerchio di altezza con un parallelo.

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Del triangolo di posizione sono noti i lati; l’angolo al polo, da cui dipende la longitudine, si determina usando la formula del Borda:

( )( ) ( )φ−−

−=

SpShSSPTan

sincossin cos

2 (6.1)

nella quale

2hpS ++

=φ ,

2hphS −+

=−φ ,

2hpS +−

=−φφ e

2phpS −+

=−φ

Con h altezza corretta dell’astro osservato, p distanza polare dell’astro e φ la latitudine dell’osservatore. Il metodo della corda consiste nel introdurre nella (6.1) altri due valori della latitudine che differiscono di

'10± . Si ottengono così tre angoli al polo dell’astro osservato, dai quali si passa a tre valori dell’angolo orario dell’astro '',', ttt . Avendo letto al cronometro l’istante di osservazione, dopo l’opportuna correzione, si ricava la corrispondente ora di Greenwich di osservazione e l’angolo orario dell’astro rispetto a Greenwich. Per ottenere questo angolo occorre ovviamente usare le Effemeridi per trovare il corrispondente angolo orario. Dalla differenza fra angolo orario locale e corrispondente angolo orario di Greenwich si ricavano le tre longitudini dei tre punti appartenenti alla circonferenza di altezza associata all’osservazione.

aa Tt −= ''λ aa Tt −=λ aa Tt −= ''''λ

Figura 6.3– Metodo di Summer o della corda – Intersezione del

cerchio di altezza con i tre paralleli.


246

I tre punti che si tracciano sulla carta sono quasi sempre allineanti dato che la circonferenza ha un raggio di curvatura molto grande; questa caratteristica non si verifica quando l’altezza osservata è molto grande e l’astro prossimo allo zenit (caso di osservazione circumzenitale). Questo metodo, comunque, cade in difetto quando l’astro è prossimo al passaggio al meridiano; in questo caso può verificarsi che il parallelo stimato non interseca la curva di altezza. Questa situazione può ottenersi analiticamente differenziando la relazione: Pcoscoscossinsinsinh δφδφ += (6.2) rispetto ad h e P: PdPdh sincoscoscosh δφ−= (6.3) La (6.3) è esprimibile nel seguente modo: si applica il teorema dei seni al triangolo di posizione: ecZdhdP cossecφ−= (6.4) la (6.4) dimostra che per astri in prossimità del meridiano dell’osservatore °≈ 0Z o °≅ 180Z una piccola variazione nella misura dell’altezza produce un elevato valore di dP ossia in λd . La stessa situazione si ha per la latitudine; infatti differenziando la (6.2) rispetto a P e φ si ha: φφdZdP seccot= (6.5) Anche la (6.5) mostra che una piccola variazione della latitudine, con l’astro in prossimità del meridiano dell’osservatore °≈ 0Z o °≅ 180Z , produce un elevato valore di dP ossia in λd . Le conclusioni ottenente con le formule differenziali (6.4) e (6.5) ci permettono di concludere che la situazione più favorevole per usare il metodo di Summer è quando l’astro è in prossimità del primo verticale. Ma occorre osservare, però, che non tutti gli astri passano al primo verticale; condizione questa che si verifica quando δφ > . In conclusione si può dire che il metodo di Summer da buoni risultati quando si osservano astri lontani dal meridiano dell’osservatore.

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6.1.2 – Metodo Johnson o della longitudine In questo metodo e in quelli successivi la retta di altezza che si traccia sulla carta è tangente alla circonferenza. Si determina un solo punto della circonferenza considerando l’intersezione del parallelo stimato con la curva.

Figura 6.4 – Metodo Johnson – Intersezione del cerchio di altezza con

il parallelo stimato e tracciamento sulla carta della retta di altezza.

Dopo l’osservazione dell’altezza osservata dell’astro e preso il tempo al cronometro, la longitudine del punto determinativo si ricava usando di nuovo la relazione (6.1):

( )( ) ( )φ−−

−=

SpShSSPTan

sincossin cos

2

Calcolato il valore dell’angolo al polo si applica la stessa procedura per il calcolo della longitudine Dλ . Il punto determinativo avrà le coordinate: ( )DsD λφ , ; per tracciare la retta d’azimut occorre determinare l’angolo

azimutale dell’astro osservato; si applica ancora una delle formule di Borda applicata, questa volta, all’angolo azimutale:

( ) ( )( )pSS

hSSZTan−−−

=coscos

sin sin2

φ (6.6)


248

Dall’angolo azimutale si passa all’azimut. La retta di altezza Johnson passa per il punto determinativo ed è perpendicolare alla direzione dell’azimut. La retta Johnson presenta le stesse difficoltà ed incertezze sull’intersezione del parallelo stimato con la circonferenza di altezza essendo valide anche per questo caso le relazioni (6.4) e (6.5); l’intersezione è assicurata osservando astri lontani dal meridiano dell’osservatore. 6.1.3 – Metodo della latitudine In questo metodo, il punto determinativo D sulla circonferenza di altezza è ottenuto per intersezione del meridiano stimato con la curva di altezza. Osservata l’altezza di un astro ed assegnato l’istante di osservazione, si considera il triangolo di posizione PeDA per il quale sono ben noti i lati e l’angolo al polo (v. figura 6.5). Quest’angolo si ricava dal tempo cronometro corretto dal suo stato (correzione del cronometro); si passa al UTC e quindi all’angolo orario dell’astro per mezzo dell’uso delle effemeridi. Trovato l’angolo orario rispetto a Greenwich si applica la longitudine ( )sλ del punto stimato; si ottiene così l’angolo orario e successivamente l’angolo al polo.

Figura 6.5 – Metodo della latitudine – Intersezione del cerchio di

altezza con il meridiano stimato e tracciamento sulla carta della retta di altezza.

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(Si ricorda che questa procedura è diretta per il Sole, la Luna ed i pianeti mentre per una stella si passa prima al calcolo del tempo sidereo e successivamente si applica la sua coascensione retta). Dal triangolo di posizione, dopo averlo scomposto in due triangoli sferici rettangoli, abbassando la circonferenza massima perpendicolare al meridiano dell’osservatore e passante per l’astro, si ottengono le seguenti relazioni: ( )MNNM DD +−=°=++ φφ 90 , 90 PTanM coscotδ= (6.7) Dai due triangoli sferici rettangoli si calcolano le due relazioni Md coscossin =δ ( )Md D += φsincossinh ed uguagliando:

( )MM D +=

φδ

sinsinh

cossin

infine si ricava la relazione che permette di determinale la latitudine del punto determinativo: ( ) δφ ecMMD coscossinhsin =+ (6.8) La (6.8) può anche essere espressa dalla seguente relazioni: ( ) MPMD sinsecsecsinhsin δφ =+ (6.9) Espressa in funzione dell’angolo al polo per mezzo della (6.7). Per tracciare la retta occorre, però, anche l’azimut dell’astro osservato, il cui valore può essere facilmente calcolato applicando il teorema dei seni al triangolo di posizione:

δcossecsinsin hPZ = (6.10)

Oppure si può calcolare l’angolo azimutale dai due triangoli sferici rettangoli: ( ) ( ) PMMZMZ DD tansecsintan , cottanhcos +=+= φφ (6.11)


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Il metodo cade in difetto quando l’astro è in prossimità del primo verticale. Questa condizione si può facilmente ricavare differenziando l’equazione della circonferenza (6.2) (variazione di h in termini di φ ): ( ) φδφδφ dPdh coscossinsincoscosh −= Che può essere ulteriormente semplificata applicando il teorema delle proiezioni: φZddh coscoshcosh = dhcesZd =φ (6.12) La (6.12), infatti, mostra che per piccoli errori commessi nella misura dell’altezza si ottengono elevati errori in latitudine essendo la secante dell’angolo azimutale infinitamente grande. La condizione ottimale è quando si usa l’osservazione di un astro prossimo al meridiano dell’osservatore. Stesso risultato si ottiene differenziando la (6.2) rispetto alla latitudine ed all’angolo al polo:

dPZd φφ costan= (6.13)

Il metodo in esame, comunque , è più generale del metodo Johnson , perché solo per alcuni astri si verifica la condizione Z=90° (astri al passaggio del primo verticale; viceversa, qualunque sia la longitudine tutti gli astri passano al meridiano.

6.2 – Metodo Saint-Hilaire Nei due metodi precedenti, la definizione del punto determinativo D per il tracciamento della tangente alla circonferenza dipendeva anche dalla posizione dell’astro rispetto al meridiano dell’osservatore. Nel metodo Saint-Hilaire il punto determinativo D è definito dall’intersezione del verticale dell’astro con la curva d’azimut; la retta di altezza si traccia perpendicolare alla direzione dell’azimut associato al verticale e tangente alla curva (v. figura 6.6). Essendo AZs un arco di circonferenza massima, questo incontra perpendicolarmente il cerchio minore; ciò comporta che qualunque sia la posizione dell’osservatore, esisterà sempre il punto di intersezione D. Risulta evidente che questo metodo, a differenza dei precedenti, non presenta situazioni limite. Il punto determinativo D è detto anche punto ravvicinato raccostato non solo perché fra tutti i punti determinativi è

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quello più vicino alla posizione stimata; a differenza degli altri questo punto cade sempre nella zona di certezza. Questo metodo, per le sue proprietà, sostituisce tutti gli altri metodi. La posizione del punto determinativo, però, non è calcolata come gli altri metodi ma si procede considerando il triangolo di posizione stimato.

Figura 6.6 – Metodo Saint-Hilaire – Intersezione della circonferenza di

altezza con il verticale dell’astro. Del triangolo di posizione sono noti due lati ( )φ−== 90cZP se e ( )δ−== 90pAPe e l’angolo al polo ( )tP . Dalla sua risoluzione si ricavano sia l’altezza stimata e l’azimut dell’astro con le due relazioni fondamentali:

( )PecPZP

sss

sss

cottancostancoscotcoscoscossinsinsinhφδφ

δφδφ−=

+= (6.14)

Nota sh e quindi la distanza zenitale corrispondente ss hz −= 90 si può osservare dalla figura 6.6 che :

hhh

hhhhzzADAZDZ

v

svvs

vsss

−=Δ−=+−−=

=−=−=9090 (6.15)


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La quantità hΔ , differenza di altezza, fornisce lo spostamento che il punto determinativo D, ha dal punto Zs; la distanza DZs, espressa in primi di circonferenza massima o in miglia, è contata lungo il verticale stimato ZsA che definisce la direzione dal punto astrale il punto stimato Zs e che forma con il meridiano stimato PeZs un angolo dato dall’azimut stimato as;quest’ultimo si ricava direttamente dall’angolo azimutale Zs calcolato con la seconda delle (6.14). Inoltre, il segno (+) di hΔ indica che il punto determinativo D è spostato verso l’astro A, il segno (-) indica che la retta è spostata nella parte opposta ad A. Infatti, se si fissa la regola di sottrarre sempre l’altezza stimata (calcolata) hs all’altezza vera (misurata) hv , nel primo caso hΔ è positivo, nel secondo caso hΔ è negativo (v. figura 6.7). La retta di altezza si traccia sul punto determinativo D (punto appartenente alla circonferenza di altezza) perpendicolarmente alla direzione dell’azimut as.

Figura 6.7 – Retta di altezza Saint-Hilaire – ( )+Δh e ( )−Δh .

6.3 – Formule dell’Alessio Le formule trovate nel paragrafo precedente (6.14) sono delle relazioni trigonometriche non logaritmiche e non permettono un loro controllo dei risultati in funzione dei dati di ingresso. Ciò comporta che rimane, in caso di risultati non attesi, il dubbio della procedura adottata e del modo di trattare i parametri di ingresso con le calcolatrici. Le formule dell’Alessio, che in questo paragrafo introduciamo, hanno la possibilità di fornire allo studente, la verifica della propria procedura di calcolo ed anche la validità dei risultati ottenuti. Tutto ciò è possibile perché le relazioni che forniscono gli elementi calcolati sono delle

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equazioni trigonometriche che possono essere risolte anche con i logaritmi. Si consideri il triangolo sferico di posizione ed una c.m. passante per l’astro e perpendicolare al meridiano dell’osservatore. La c.m. divide il triangolo sferico in due triangoli sferici rettangoli AKPe e AKZ; che hanno in comune il lato AK . Applicando le regole di Nepero per i triangoli sferici rettangoli si ha:

°=++=== 90NM , KZ , , S φNMKPcZP eSe

pMP cottancos = pPM tancostan = (6.16)

PMddPM

tansintantancotsin

==

dal triangolo AKZs si trova il lato comune d:

( )

( ) ZMdZdM

s

s

tancostancottancos

+==+φ

φ

uguagliando le due relazioni che forniscono il lato d, si ha: ( ) ZMPM s tancostansin += φ


254

( )MPMZ s += φsectansintan (6.17) quest’ultima equazione fornisce l’angolo azimutale dell’astro osservato. Successivamente dal triangolo sferico rettangolo AKZs si ricava la relazione che fornisce l’altezza calcolata: ( ) cs MZ tanhtancos += φ ( )MZ sc += φcotcostanh (6.18) Le relazioni (6.16), (6.17) e (6.18) forniscono la trasformazione delle coordinate da locali orarie ( )δ,t ad alto azimutali ( )hAz, . I dati di ingresso ( )spP φ,, e quelli calcolati ( )shZ , possono essere messi in relazione applicando il teorema dei seni al triangolo sferico di posizione:

1seccossinsin

sincosh

sinsin

=

=

hecZPpPZ

p

L’ultima relazione trovata permette di verificare la procedura di calcolo; la sua applicazione con i logaritmi sia decimali che naturali(neperiani) fornisce le seguenti relazioni alternative:

0coshlogsinlogcoslogcoslog

0secloglogsinlogsinlog=+++

=+++ZecPecp

hcoescZPp (6.19)

6.4 – Linearizzazione della circonferenza di altezza e sua equazione Il metodo Saint-Hilaire può essere generalizzato perché la retta tangente alla circonferenza di altezza rientra nel concetto più generale di linearizzazione di un luogo di posizione; la circonferenza di altezza è associabile alla circonferenza di distanza o cerchio di distanza usato in navigazione di altura e costiera. La conoscenza del punto stimato permette di associare alla misura di altezza h , l’equazione della circonferenza di altezza e di calcolare la distanza sh , per mezzo delle ben note relazioni trigonometriche sferiche applicate al triangolo stimato di posizione (vedi figura 6.8):

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P ncA

dA

AG

O

P s

Os

Figura 6.8 – Triangoli sferici associati ai punti Z ed Zs

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )ASsASAss

ASsAsAs

ssss

ecZ

dLdLLddLL

λλφλλδφλλφδφδ

λλ

φφ

λφλλφφλφ

−−−=−+=

∂∂

+∂∂

+=++=

cotsincostancoscotcoscoscossinsinsinh

,,,

per cui applicando alla prima delle (6.14) ( ) ( )[ ]sAAsAssss fLh λλδφδφλφ −+=== − coscoscossinsinsin, 1 (6.20) la seguente condizione di linearizzazione δφδλ 21 hhl += (6.21) si ha: shhl −=

( )

( )s

sAsA

s

sAsA

s hfh

coshsincoscos

sin1

sincoscos21

λλφδ

λλφδλ

−−=

=−

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

(6.22)


256

( )

( )s

sAsAsA

s

sAsAsA

s hfh

coshcossincoscossin

sin1

cossincoscossin22

λλφδφδ

λλφδφδφ

−−=

=−

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

(6.23)

che possono essere ulteriormente semplificate applicando il teorema dei seni e quello delle proiezioni al triangolo sferico stimato:

( )sAsAsAss Z λλφδφδ −−= cossincoscossincossinh

( )A

s

s

sA Zδ

λλcossin

coshsin

=−

con le quali i coefficienti 21 h e h si semplificano nel modo seguente:

sss

Zfh sincos1 φλ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= ss

Zfh cos2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=φ

Ricordando che δλ = Pδ− , questi coefficienti (h1 h2) permettono di scrivere l’equazione della retta di altezza sulla sfera: δφδλφ ssss ZZhh cossincos +=− (6.24) Dalla (6.24) si possono ricavare l’equazione della retta di altezza per il piano di Mercatore e quella per il piano nautico per mezzo delle relazioni di corrispondenza con le quali sono costruite le carte. Per il piano nautico si ha: yZxZhhh sss cossin +=Δ=− (6.25) per il piano Mercatore si ha: yZxZhhh sssss coscossincos φφ ++=Δ=− (6.26) In particolare, se la (6.26) la si divide per sφcos si ottiene: ( ) yZxZhh ssss cossinsec +=− φ (6.27)

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257

il primo membro rappresenta l’importo della differenza tra la distanza calcolata e quella misurata valutato sulla scala delle latitudini del piano di Mercatore. Allora, tenendo presente questa ultima proprietà, l’equazione (6.27) diventa:

0cossin =Δ−+ hyZxZ ss (6.28) identica alla (6.25).

φ

α

μ

Lr

Zs

D

OS

Figura 6.9 – Retta di altezza

Il coefficiente angolare della retta di distanza r ed i valori delle intersezioni con gli assi sono dati da:

ss

s Zh

ZhZ

sinn ,

cosn , tantan 21

Δ=

Δ=−=α

Inoltre, l’azimut della perpendicolare alla retta r passante per il punto stimato sO e la distanza dalla retta risultano (vedi figura 6.9): dpDO ,Z ss Δ===β E’ interessante effettuare delle considerazioni fra la retta di altezza rettificata e la sua rappresentazione sulla carta relativo al Δh (6.28): la retta di altezza tracciata sul piano di Mercatore rappresenta un arco di lossodromia rettificata tangente alla circonferenza di altezza nel punto P , punto di incontro della traccia del piano verticale contenente il punto stimato e l’astro osservato. L’arco di circonferenza massima può essere


258

considerato arco lossodromico e quindi rettificato sul piano di Mercatore; inoltre, si può osservare che con il punto stimato sO all’esterno della circonferenza il punto D si trova in direzione dell’astro osservato A con

sv hhh −=Δ , con il punto stimato sO all’interno il punto D si trova nella direzione opposta di A con vs hhh −=Δ per cui considerando algebrica l’espressione sv hhh −=Δ nel primo caso risulta positiva e nel secondo negativa ( )sv hhh −±=Δ . 6.5 – Alcune considerazioni sul tracciamento della retta di altezza Per tracciare la retta di altezza tangente o secante occorre in primo luogo individuare un punto o due punti della curva di altezza. Come visto dai metodi studiati la scelta dei due punti o di un solo punto della curva dipende dal metodo utilizzato. Limitatamente ai metodi studiati, i procedimenti per il tracciamento sono:

• metodo della longitudine: il punto determinativo è dato dall’intersezione del parallelo stimato con la curva di altezza. Le coordinate del punto determinativo sono ( )csD λφ , con cλ calcolata (v. figura 6.10)

Figura 6.10 – Metodo di Johnson – Definizione del punto determinativo

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259

• Metodo di calcolo di latitudine: il punto determinativo è dato dall’incontro del meridiano stimato con la circonferenza di altezza; le coordinate del punto determinativo sono ( )scD λφ , con

cφ calcolata(v. figura 6.11).

• Metodo di Saint Hilaire: il punto determinativo è individuato dall’intersezione del verticale stimato dell’astro con la circonferenza di altezza (v. figura 6.12)

Figura 6.11 – Metodo della latitudine – Definizione del punto

determinativo


260

Figura 6.12 – Metodo di Saint Hilaire – Definizione del punto

determinativo È importante qui sottolineare che il calcolo di longitudine e quello di latitudine è eseguito risolvendo l’equazione (6.2). Occorre però ricordare che quando cade in difetto il primo (astro prossimo al meridiano) si deve usare il secondo metodo e viceversa. Le figure 6.13 e 6.14 illustrano i casi in cui i metodi sono inapplicabili per la determinazione del punto determinativo.

Figura 6.13 – Astro in prossimità del meridiano

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261

Figura 6.14 – Astro in prossimità del primo verticale

Dalla figura 6.13 si può notare che in un caso il parallelo non interseca la curva di altezza; nella figura 6.14 il meridiano non interseca la curva di altezza. Questi casi sono stati studiati precedentemente (v. relazione 6.13); la rappresentazione grafica riportata dalla figura (6.14) è giustificata anche dalla seguente relazione differenziale: φφλ dZd seccot−= (6.29) nella quale, essendo λλ −= aP , si ha λddP −= ; per piccoli variazioni di latitudine, quando l’astro è al passaggio del primo verticale, si hanno notevoli variazioni in longitudine. Questi metodi sono stati usati dai naviganti fino alla metà del diciannovesimo secolo; la navigazione astronomica veniva condotta risolvendo il metodo di Johnson oppure quello della latitudine a secondo delle condizioni favorevole precedentemente discusse. Il metodo Saint-Hilaire, come visto, elimina i possibili casi di incertezza dei due metodi precedenti. Per questi motivi, i due metodi non trovano più applicazione e rimangono solo per cultura generale dato che essi permettono di valutare le variazioni degli errori e le incertezze del luogo di posizione al variare della posizione del punto stimato rispetto alla curva di altezza. Nella figura 6.15, volutamente è riportato l’arco di verticale associato alla misura di azimut mentre la retta d’azimut è tracciata perpendicolarmente alla tangente uscente dal punto stimato; infatti il hΔ è un arco di circonferenza massima misurato sul verticale stimato che sulla carta di Mercatore è rappresentato da un arco con la curvatura rivolta verso l’equatore. La retta di altezza che si traccia (v. figura 6.15)


262

è rappresentata dal segmento r1; la retta di altezza effettiva, tangente alla circonferenza di altezza è r2 che risulta inclina rispetto ad r1 dell’angolo di convergenza definito dalla ben nota relazione: ( ) φφφγφλγ tansinsinsecsinsin ss ZhZm Δ=+=Δ= (6.30)

Figura 6.15 – retta di altezza al variare della curvatura del verticale La (6.30) permette di valutate quantitativamente il valore della convergenza e quindi l’errore di tracciamento della retta stessa. Ponendosi nelle condizioni peggiori ( )'50,60,90 =Δ°=°= hZ s φ la (6.30) assume il valore di 1°. 6.5.1 – Rette di altezze successive Quando il punto nave astronomico che si calcola capita lontano dal punto stimato (intersezione delle rette lontane dai rispettivi punti determinativi) allora , per le considerazioni fatte sullo scostamento della retta tangente alla curva, non è più soddisfatta l’approssimazione che il punto ottenuto sia vicino alle due circonferenze di altezze associate dalle due misure di astri. Si consideri la figura 6.16 nella quale si suppone che il punto nave N sia molto lontano dal punto determinativo D individuato sulla curva di altezza. Il verticale passante per il punto individua sulla circonferenza un nuovo punto determinativo D’ che dista dalla punto N della quantità s e di un angolo w.

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Figura 6.16 – Retta di altezza successiva

Supposto di considerare l’ipotesi della terra sferica, allora gli elementi s e w possono ricavarsi dal triangolo sferico DAN:

( ) zNDszzwNDcoscoscos

tancotsin=+

= (6.31)

nelle quale z è la distanza zenitale dell’astro osservato. Indicando con

NDd = , dalle (6.31) si ottengono le due seguenti relazioni:

( ) sinhcossintanhsincot

dshdw=−

= (6.32)

I valori forniti dalle (6.32) permettono di individuare il nuovo punto determinativo appartenente sempre alla stessa curva di altezza. La figura (6.17) illustra il caso di due rette successive applicate a due rette di altezza il cui punto risulta lontano dai punti determinativi. I punti D1 e D2 rappresentano i punti determinativi delle rette, i punti '

1D e '2D i

punti determinativi delle successive.


264

Figura 6.17 – Punto nave con due rette successive

6.5.2 – Tracciamento delle rette di altezza Le carte che si usano per il tracciamento delle rette di altezza sono il piano nautico ed il piano di Mercatore. L’area interessata al tracciamento è sempre molto limitata ed è centrata sul punto stimato sZ . Per il piano di mercatore occorre tener conto delle due scale :

• scala delle latitudine; • scala delle longitudini. La scala delle latitudini è usata anche per misurare i hΔ e le distanze in miglia (da ricordarsi che 1’ di latitudine è dato da 1’ di longitudine moltiplicato per la φsec ). Le scale, dopo aver fissato la lunghezza del 1’, si costruiscono con il triangolo delle latitudine medie (in questo caso la latitudine è quella dello sZ ). Per il tracciamento della retta di altezza occorre procedere alle seguenti operazioni:

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265

• misurare con il sestante l’altezza dell’astro ( )ih e fissare al cronometro l’istante dell’osservazione UTC;

• apportare le dovute correzioni all’altezza strumentale ( )ih per ottenere la corrispondente altezza vera ( )vh riferita all’orizzonte vero o astronomico dell’osservatore;

• apportare la correzione dello stato del cronometro k per ottenere l’effettivo istante di misura dell’osservazione

( )kTTUTC Cm ±+== ; • ricavare dalle effemeridi nautiche, per l’istante UTC, l’angolo

orario dell’astro aT riferito al meridiano fondamentale di Greenwich con la sua declinazione aδ ;

• trasformare l’angolo orario aT in at , per mezzo della longitudine stimata dell’osservatore ( )sλ ;

• risolvere il triangolo sferico effettuando la trasformazione da coordinate locali orarie ( )aat δ, in coordinate altoazimutali ( )ss hZ , rispetto al punto stimato ( )sssP λφ , ;

• eseguire la differenza algebrica ( )sv hhh −±=Δ ; • procedere al tracciamento della retta d’altezza.

La figura (6.18) riporta l’esempio di un punto astronomico ottenuto graficamente con due rette di altezza ( )111 , ZhA Δ , ( )222 , ZhA Δ :

Figura 6.18 – Punto nave con due rette di altezza tracciate su un piano

di Mercatore


266

Quando si usa il piano nautico su un foglio quadrettato si usa una solo scala (quella delle latitudini e delle distanze); la longitudine, ovviamente è data dal segmento di parallelo moltiplicato per la φsec . Il tracciamento delle rette è identico a quello usato per il piano di Mercatore. L’esempio considerato è per osservazioni simultanei; quando le rette sono intervallate occorre effettuare il trasporto: normalmente si trasportano le osservazioni all’istante dell’ultima osservazione. Nel caso del trasporto, ovviamente occorre supporre che la rotta è la velocità siano costanti durante l’osservazione. Il trasporto delle rette, normalmente, è effettato graficamente come si fa in navigazione costiera. E’ possibile,anche usare il trasporto analitico modificando il valore di hΔ dato dal seguente prodotto scalare: ( )zvt ARmhh −+Δ=Δ cos con m il percorso effettuato nell’intervallo tra le misure. 6.6 – Casi particolari – Osservazione meridiana L’astro al meridiano si ha quando all’istante dell’osservazione, il calcolo dell’angolo al polo fornisce, per l’astro considerato, 0=P

). In questo

caso la relazione (6.2) si semplifica:

( ) ( ) ( )( )δφ

φδδφδφδφ

−±=−=−==−

+=

m

mm

m

zzh coscoscos90cos

coscossinsinsinh (6.33)

L’osservazione meridiana permette di ricavare dalla misura, note le coordinate uranografiche equatoriali ( )δα ,A ,la latitudine all’istante dell’osservazione: ( )δφ ±+= mz (6.34) Occorre però ricordarsi delle condizioni analitiche che regolano il passaggio al meridiano di un astro dato che il suo azimut può essere ( )180,0 . Questa ambiguità può essere eliminata studiando le seguenti tre relazioni applicate al triangolo di posizione:

Mario Vultaggio

267

Pz

Z

ZzzPz

sinsincossin

cossincoscossinsincoscoscossinsincos

δφφδ

δφδφ

=

+=+=

(6.35)

Dalla prima delle (6.35) ponendo 0=P si ha: φδδφ −=−= mm zz e (6.36) Dalla terza delle (6.35) per 0=P si ricava che °== 180 o 0 ZZ ; ma per questi valori dell’angolo azimutale, dalla seconda si ricava: mm zz −=+= φδφδ e (6.37) Si nota che la prima delle (6.37) è soddisfatta dalla seconda delle (6.36); viceversa la seconda delle (6.37) è soddisfatta dalla prima delle (6.36). Per comprendere quale relazione usare della terza delle (6.33) consideriamo una sezione meridiana di un osservatore che si trova nell’emisfero nord. Gli astri al passaggio del meridiano superiore possono essere nelle tre posizioni 321 ,, AAA indicate in figura(6.19).

Figura 6.19 – Sezione meridiana per un osservatore nell’emisfero nord Per gli astri A1 e A2 l’angolo azimutale è 180° (osservatore osserva il passaggio al meridiano con la faccia rivolta a sud) con l’astro A1 di declinazione sud; l’astro A3 ha invece l’angolo azimutale 0° (osservatore con faccia rivolta a nord).


268

Dalla prima delle (6.36) si ricava: δφ += mz (6.38) relazione valida per gli astri 1A e 2A purché per l’astro 1A la declinazione sia considerata di segno (-); questa considerazione porta a scrivere la (6.38) nel seguente modo: δφ −= mz (6.40) Per l’astro 3A (Z=0°) vale la relazione: mz−= δφ (6.41) ricavata dalla seconda delle (6.37). Nella figura (6.19) la latitudine dell’osservatore è nord ed il segno della latitudine , applicando le (6.38), (6.39) e (6.40), è (+). Nella (6.38) e (6.39) il segno di mz è (+), nella (6.41) il suo segno della distanza zenitale meridiana è (-). Può concludersi perciò che la latitudine φ , relativamente ad un astro osservato al passaggio del suo meridiano superiore, è espressa dalla seguente relazione generale:

( ) ( ) ( )δφδφ

±−±=±+=

m

m

zz

(6.42)

purché alla declinazione δ sia assegnato il segno (+) se la declinazione è nord, il segno (-) se sud. Per quanto detto, allora, dal segno di mz si ricava direttamente l’azimut. Valgono le seguenti condizioni:

( )( ) °=⇒−

°=⇒+0180

zm

zm

azaz

(6.43)

La regola trovata vale anche per un osservatore di latitudine sud (-) come si può facilmente ricavare dalla sezione meridiana riportata per un osservatore nell’emisfero sud (fig. 6.20).

Mario Vultaggio

269

Figura 6.20 – Sezione meridiana per un osservatore nell’emisfero sud

Analizziamo ora il caso del passaggio di un astro al meridiano inferiore; questo passaggio è individuato con A4 nelle rappresentazioni di figura (6.19) e (6.20). Consideriamo il passaggio al meridiano inferiore di figura (6.19). In questa posizione si ha ( )°=°= 0 e 180 ZP . Dovendo essere visibile il passaggio al meridiano inferiore l’astro osservato dovrà essere necessariamente un astro circumpolare. Ponendo questa condizione nelle relazioni (6.35) si ha: ( ) ( )( )δφδφ +−=+−= 180coscoscos mz e quindi ( )δφ +−°= 180mz (6.44) mentre dalla seconda per Z=0: mz+=−° φδ180 (6.45) Sia la (6.44) che la (6.45) soddisfano la condizione: ( )δφ +−°= mz180 (6.46) L’osservazione di un astro circumpolare al passaggio del meridiano inferiore avviene sempre con la faccia rivolta al polo dell’osservatore.


270

6.7 – Casi particolari – Osservazione della polare La stella polare, per sua la vicinanza al polo celeste nord (2006,

N'1789°≅δ ), si presta al calcolo della latitudine, essendo sempre prossima al meridiano dell’osservatore. La sua altezza rispetto alla latitudine differisce al massimo di 43’ quando la polare si trova sul meridiano °≈°≈ 3600Az ; durante il suo moto diurno l’astro passa dall’emisfero occidentale a quello orientale e la sua altezza rispetto alla latitudine non supera mai il valore sopra indicato. Queste considerazioni sul moto della polare attorno al polo celeste permettono di trovare una semplice espressione che fornisce la latitudine direttamente dall’altezza osservata della polare. Se indichiamo con x la differenza tra latitudine φ ed altezza h: xh −=φ (6.47) Allora è possibile sviluppare in serie l’equazione (6.2): ( ) ( ) tpxhpxh cossincoscossinsinh −+−= che sviluppata in serie da:

tppxx

pxx

cos3

cosh2

sinhcosh

21sinh

2coshsinhsinh

32

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

nella quale alla declinazione δ è stata sostituita la distanza polare ( )δ−= 90p . Lo sviluppo della (6.47) fornisce la seguente relazione:

tpxtppxx cossinhcoscoshsinh2

sinh2

coshsinhsinh22

++−−−=

tanh2

tanh2

costanhcos22 pxtpxtpx −−+= (6.48)

Mario Vultaggio

271

Dalla figura (6.21) si può, in prima approssimazione, considerare il piccolo triangolo sferico rettangolo in un triangolo piano e con il quale applicare la relazione trigonometrica tpx cos= :.

Figura 6.21 – Moto diurno della stella polare

Sostituendo l’espresse di x nella precedente si ha:

tanh2

tanh2

costanhcoscos222

22 ptptptpx −−+=

( ) tanh2

tanhsin12

costanh2

tanhcos2

cos2

222

22 ptptpptptpx −−+=−+=

tanhsin2

cos 22

tptpx −=

Ed esprimendo tutto in primi:

tanhsin2

1sin'sin''cos1sin''1sin 2 tpptpx −=

Ovvero:

tanhsin2

sincos 2 tpptpx −= (6.49)

Cosicché, la (6.47) può esprimersi:

tanhsin2

sincos 2 tpptph +−=φ (6.50)


272

Sostituendo all’angolo orario di osservazione la sua espressione in funzione del tempo sidereo si ha la relazione finale della (6.47):

( ) ( )tanhsin2

sincos 2AsAs tpptph ααφ −−−−= (6.51)

Nella quale, dopo aver corretto l’altezza osservata delle necessarie correzioni, si apportano le correzioni in funzione del tempo sidereo locale per l’istante dell’osservazione. L’applicazione della (6.51), però non è immediata, perché essendo la polare una stella prossima al polo celeste, le sue coordinate variano durante l’anno a causa del moto della precessione. L’applicazione della (6.51) pertanto si effettua introducendo le coordinate medie della polare durante l’anno e successivamente si applica il contribuito dovuto alla posizione reale della stella all’istante di osservazione. E’ evidente quindi che non è sufficiente l’istante di osservazione ma è anche importante la data dell’osservazione. Per tener conto delle osservazioni scriviamo la (6.51) per l’istante di osservazione per il quale le coordinate equatoriali celesti della polare sono ( )',' αδ :

tanh'sin2

'sin''cos' 2 tpptph −−=φ (6.52)

nella quale '' α−= stt . Se si considera che la (6.51) è valida per le coordinate equatoriali medie della polare, allora, dopo aver trascurato il termine del secondo ordine della (6.52), si può scrivere la seguente relazione:

( )'cos'costanhsinsin2

cos 2 tptptpptph −+−−=φ (6.53)

nella quale, come si può facilmente notare, le correzioni del primo e secondo ordine sono funzioni delle coordinate celesti medie della polare durante l’anno ( )α,p mentre si tiene conto per la data di osservazione solo del tempo sidereo e della distanza polare p’ effettiva. L’esame della (6.53) mostra che i termini correttivi dell’altezza h per il calcolo della latitudine sono tali che il primo ed il terzo termine possono assumere a secondo del valore di t e delle differenze ( )pp −' e ( )tt −' , il segno positivo o negativo mentre che il secondo termine è sempre positivo.

Mario Vultaggio

273

Le effemeridi nautiche pubblicate dall’I.I. della marina, per mantenere sempre positivi i tre termini, forniscono tre tavole per la correzione dell’altezza della polare: °−+++= 1321 CCChvφ (6.54) nella quale le correzioni hanno il seguente significato:

( )

( )'cos'cos'1

50tantanhsinsin21'1

50tansinsin21cos'58

3

22

21

tptpC

tppC

tpptpC

−+=

°−+=

°+−=

(6.55)

Le stesse tre correzioni si trovano anche nelle effemeridi americane ma con il seguente significato:

( )

( )°−=

−=

°+−=

50tantanhsinsin21

'cos'cos

50tansinsin21cos

23

2

21

tppc

tptpc

tpptpc

(6.56)

Se non si vuole determinare la latitudine con l’altezza della polare, allora l’osservazione della stessa può essere usata come una generica osservazione che fornisce la retta di altezza che verrà usata assieme ad altre misure per la determinazione della posizione astronomica. 6.8 – Casi particolari – Riduzione al meridiano Durante l’osservazione di astri al crepuscolo oppure durante il passaggio al meridiano del Sole o della Luna può verificarsi il caso che l’astro osservato sia prossimo al passaggio del meridiano; questa situazione è illustrata in figura 6.22: a sinistra è riportato l’arco visibile dell’astro con le due posizioni di astro in meridiano (A) e a destra la sfera celeste relativa a questa situazione astronomica. L’osservazione in questi casi si dice che l’astro è circumeridiano cmh . In questi casi ci si può chiedere quale correzione apportare all’osservazione al fine di poter considerare l’osservazione meridiana e procedere al metodo usato per il calcolo della latitudine trattato nel paragrafo 6.6.


274

Figura 6.22 – Sfera celeste ed arco diurno di un astro in prossimità del

meridiano

Sia P l’angolo al polo dell’astro all’istante dell’osservazione prossimo al meridiano; la sua altezza in questo caso è: Pcm coscoscossinsinsinh δφδφ +=

Essendo P molto piccolo si può anche scrivere 2

1cos2PP −= per cui la

precedente può esprimersi nel seguente modo:

( )

2coscoscos

21coscossinsinsinh

2

2

P

Pcm

δφδφ

δφδφ

−−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

(6.57)

2

coscossinhsinh2P

mcm δφ−= (6.58)

2

coscossinhsinh2P

cmm δφ+= (6.59)

Dalla quale si vede che è valida sempre la seguente condizione:

Mario Vultaggio

275

cmm hh > Rhh cmm += (6.60) con R riduzione al meridiano; la quantità R rappresenta la correzione sempre aggiuntiva da apportare alla altezza hcm per ottenere il valore dell’altezza meridiana hm . Il valore di R può essere calcolato per mezzo della (6.59):

( )2

coscossinsinh2PRhmm δφ=−−

che può essere sviluppata in serie al primo membro essendo R molto piccolo:

2 coscos21cosh PR m δφ= (6.61)

La (6.61), espressa in primi, fornisce il valore della correzione da sommare al valore dell’altezza osservata per ottenere il valore dell’altezza meridiana:

'1sincosh2

coscos'2

m

PR δφ= (6.62)

con l’angolo al polo espresso in primi di arco. La (6.62) è suscettibile di un ulteriore sviluppo dato che normalmente l’angolo orario dell’astro osservato prossimo al meridiano si esprime in minuti di tempo. Tenendo presente che mPP ⋅= 15' la (6.62) si trasforma:

( ) ( ) '1sin15sin

coscos' 22mPRδφδφ

−=

Questa espressione può essere ulteriormente modificata introducendo le seguenti relazioni:

''1sin''60'1sin , 60

''' ==RR

( ) ( )2

''1sin6015sin

coscos''22

2mPRδφδφ

−= (6.63)

ovvero


276

( ) ( )2sin

coscos9635.1'' mPRδφδφ

−= (6.64)

La (6.64) è usata anche per calcolare, per astro in prossimità del meridiano, la variazione in altezza per un minuto di tempo. Ponendo

mP 1= la (6.64) fornisce la variazione cercata:

( )δφδφα

−=

sincoscos9635.1'' (6.65)

Con la (6.65), la riduzione al meridiano (6.63), si può esprimere: ( )2'''' mPR α= (6.66) Una considerazione finale che si può ottenere è che gli astri in prossimità del loro passaggio al meridiano variano la loro altezza con il quadrato degli angoli orari. 6.9 – Casi particolari – Altezza di culminazione Quando si osserva con il sestante un astro al suo passaggio al meridiano occorre anche considerare se esiste un moto proprio dell’astro che si sta osservando e,come quasi sempre si verifica, se l’osservatore è in moto. In questo caso si parla di altezza di culminazione e non più altezza meridiana. Si presenta quindi l’esigenza di valutare in quali condizione per un osservatore in moto e per un astro osservato, dotato di moto proprio, l’altezza di culminazione osservata possa essere considerata altezza meridiana per utilizzarla per il calcolo di latitudine. Per valutare queste considerazioni basta differenziare la relazione fondamentale che esprime l’altezza in funzione di tutte le variabili appena considerate. Queste valutazioni si possono ricavare differenziando la (6.2) qui di seguito riportata: Pcoscoscossinsinsinh δφδφ +=

[ ]

[ ] PdPdPdPdh

sincoscoscossincoscossincoscossinsincoscosh

δφδδφδφφδφδφ

−−++−=

(6.67)

Mario Vultaggio

277

Che si riduce alla seguente relazione, dopo aver applicato il teorema delle proiezioni e quello dei seni al triangolo di posizione: δφφ AdZZdhZdPd cosseccostancos −+= (6.68) nella quale Z è l’angolo azimutale ed A quello parallattico. Per valutare quale errore si commette nell’usare l’osservazione di culminazione per il calcolo di latitudine basta considerare che in prossimità dell’astro in meridiano l’angolo azimutale e quello parallattico sono prossimo a 0° o 180°. Applicando queste considerazioni la (6.68) si può riscrivere: δφ ddhd += (6.69) espressa in valore assoluto. La (6.69) fornisce l’errore in latitudine in termini dell’errore in altezza e quello in declinazione. Si può notare che normalmente l’errore in declinazione è nullo dato che, a meno che si commettano errori nell’introdurre la declinazione nei calcoli, l’azione della stessa può considerarsi nulla. Rimane l’errore in altezza che normalmente va introdotto quando si osserva l’astro all’istante in cui la sua variazione in altezza è nulla. Ma se l’osservatore è in moto ed l’astro è dotato di moto proprio allora non sempre l’altezza di culminazione può considerarsi come meridiana per il calcolo della latitudine. L’annullamento della velocità in altezza , controllata con il sestante, si ha nel passaggio al meridiano nel caso di astri a coordinate equatoriali sensibilmente fisse (moto proprio nullo) e per osservatore fisso. Infatti in queste condizioni, la variazione in altezza si può ottenere direttamente dalla (6.2) derivandola rispetto al tempo, considerando però l’osservatore fermo:

dtdPZ

dtdPP

dtdh sincossincoscoscosh φδφ −=−= (6.70)

come facilmente si può notare, il moto in altezza si annulla per

°=°= 1800Z . Successivamente, se calcoliamo la sua derivata seconda:

dtdZ

dtdPZ

dthd coscos2

2

φ−= (6.71)


278

nella quale è stata considerata nulla la derivata seconda dell’angolo al polo rispetto al tempo essendo per il brevissimo intervallo il moto uniforme. Per valutare la (6.71) occorre, allora, calcolare la derivata dell’angolo azimutale rispetto al tempo. Questa derivata si calcola per mezzo della relazione di Vieta: ZPP cotsincossincostan += φφδ

[ ]dtdZ

ZP

dtdPZPP 2sin

sincotcossinsin0 −+−= φ

dtdPA

dtdZ

coshcoscosδ

−=

che sostituita nella (6.71) da:

2

2

2

coshcoscoscoscos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdPZA

dthd δφ (6.72)

Figura 6.23 – Sezione meridiana

La derivata seconda (6.72) è negativa per gli astri al passaggio del meridiano superiore (v. figura 6.23) 321 ,, AAA e positiva per il passaggio

Mario Vultaggio

279

inferiore 4A ; questi valori si possono facilmente ricavare tenendo conto dei valori di Z e A nelle posizione appena considerate. Infine,consideriamo il caso in cui l’osservatore è fermo e l’astro osservato ha un moto proprio come per il Sole, la Luna ed i Pianeti. Si fa osservare che la variazione in ascensione retta degli astri considerati non produce variazione nella velocità in altezza dato che il moto in ascensione retta produce un anticipo o un ritardo del passaggio a causa del moto diretto o indiretto dell’astro considerato. La variazione in declinazione produce invece l’effetto di fare raggiungere la culminazione fuori del piano meridiano dato che il suo movimento verso lo zenit o il suo allontanamento produce un ritardo o un anticipo dell’annullamento della velocità in altezza dell’astro. La culminazione si ha solo quando la velocità in altezza annulla quella in declinazione; questa condizione sicuramente avviene con l’astro non al passaggio del meridiano. In entrambi i casi comunque, l’altezza di culminazione è sempre diversa di quella meridiana.


280

Appendice A – Capitolo 6

6.A.0 - Risoluzione numerica del triangolo di posizione La retta di altezza è legata alla risoluzione del triangolo sferico relativo all’osservatore stimato. Fissato l’istante di osservazione si fissa la curva di altezza per la posizione stimata dell’osservatore relativa all’astro osservatore di coordinate locali note. Esistono numerose relazioni che permettono di calcolare le coordinate alto azimutali; queste relazioni si possono dividere in due classi:

• relazioni trigonometriche non logaritmiche • relazioni trigonometriche logaritmiche.

6.A.1 - Risoluzione non logaritmica Questa soluzione è frequentemente usata ed utilizza le due ben note relazioni trigonometriche (6.14):

( )PecPZP

sss

sss

cottancostancoscotcoscoscossinsinsinhφδφ

δφδφ−=

+=

Per la loro risoluzione si consiglia il seguente schema di calcolo: BAPBA +=== sinh , coscoscos , sinsin δφδφ Schema di calcolo per l’altezza con osservatore e declinazione nello stesso emisfero:

Lati ed Angoli altezza calcolata Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Sin(0,65390) Cos(0,75658) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 N Sin(0,24621 Cos(0,96922) Angolo al polo(gg,pp.d) 20°50.7 E Cos(0,93455) A 0,16100(+) B 0,68530(+) A+B Sin(0,84630) Altezza calcolata 57°48,7’ Arcsin(A+B) NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti; B(+) se angolo al polo minore di 90°, B(-) se maggiore di 90°

Mario Vultaggio

281

Calcolo di Azimut: ( )BAZPφ-BecPA +=== (coscot , cottan , costan φδ

Lati ed Angoli Azimut calcolato Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Cos(0,75658) Tan(0,86429) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 N Tan(0,25668) Angolo al polo(gg,pp.d) 20°50.7 E Cosec(2,81204) cot(2,62632) A 0,72179(+) B 2,26990(-) A+B 1.54811(-) C=cosφ(A+B)=cotZ 1,17127(-) Z= S 40°29,4 E arcotg © Az=139,6 NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti; B(-) se angolo al polo minore di 90°, B(+) se maggiore di 90° Schema di calcolo per l’altezza con osservatore e declinazione in emisferi opposti:

Lati ed Angoli Lato calcolato Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Sin(0,65390) Cos(0,75658) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 S Sin(0,24621) Cos(0,96922) Angolo al polo(gg,pp.d) 20°50.7 W Cos(0,93455) A 0,16100(-) B 0,68530(+) A+B Sin(0,52430) Altezza calcolata 31°37,3’ Arcsin(A+B) NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti; B(+) se angolo al polo minore di 90°, B(-) se maggiore di 90°


282

Schema di calcolo di Azimut per osservatore e astro in emisferi opposti

Lati ed Angoli Angolo calcolato Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Cos(0,75658) Tan(0,86429) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 S Tan(0,25403) Angolo al polo(gg,pp.d) 20°50.7 W Cosec(2,81025) cot(2,62632) A 0,72388(-) B 2,26990(-) A+B 2,99378(-) C=cosφ(A+B)=cotZ 2,26503(-) Z=S 23,8° W Arcotg© Az=203,8 220,5 NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti; B(-) se angolo al polo minore di 90°, B(+) se maggiore di 90° Schema di calcolo per l’altezza con osservatore e declinazione nello stesso emisfero con angolo al polo maggiore di 90°:

Lati ed Angoli Lato calcolato Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Sin(0,65390) Cos(0,75658) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 N Sin(0,24621) Cos(0,96922) Angolo al polo(gg,pp.d) 95°50.7 W Cos(0.10184) A 0,16100(+) B 0,07468(-) A+B Sin(0,08632) Altezza calcolata 4°57.1’ Arcsin(A+B) NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti; B(+) se angolo al polo minore di 90°, B(-) se maggiore di 90°

Mario Vultaggio

283

Schema di calcolo di Azimut per osservatore e astro nello stesso emisfero con angolo al polo maggiore di 90°

Lati ed Angoli Angolo calcolato Seno Coseno Latitudine(gg,pp.d) 40°50.2 N Tan(0,86429) Cos(0,75658) Declinazione (gg,pp.d) 14° 15.2 N Tan(0,25403) Angolo al polo(gg,pp.d) 95°50,7 W Cosec(1,00523) cot(0,10237) A 0,25536(+) B 0,07745(+) A+B 0,33281(+) C=cosφ(A+B)=cotZ 0,25180(+) Z=N 75,9 W Arcotg © Az=284,1 284,1 NB:A(+) se latitudine e declinazione dello stesso emisfero; A(-) se di emisferi opposti. B(-) se angolo al polo minore di 90°, B(+) se maggiore di 90°


284

6.A.2 - Risoluzione logaritmica Calcole delle coordinate altoazimutali con le formule dell’Alessio

Dati pPM tancostan =

( )MPMZ

s +=

φsectansintan

( )MZ

s

c+=

φcotseccoth coshsincoscos1 ZecpecP=

φ =40°50.2 N p=75°44.8 3,93655(+) 1,03176 P=20°50.7 W 0,93455(+) 0,38076)+) 2,81024 M=74°47,6 3,67891(+) 0,96499(+) Φ+M=115°37,80 2,31183(-) 0,47976(-) Z= S 40°20,7 W 0,84943(-) 1,31208(-) 0,64739 hc=57°48,6’ 0,62948(+) 0,53273 Az=220,3° 0,99999

Dati pPM tancostan =( )MP

MZ

s +=

φsectansintan

( )MZ

s

c+=

φcotseccoth coshsincoscos1 ZecpecP=

φ =40°50.2 N δ=14°15.2 S 3,93656(-) 1,03176 P=20°50.7 W 0,93665(+) 0,38076)+) 2,81024 M=105°10,5 3,68718(-) 0,96513(+) Φ+M=146°00,7 1.20621(-) 1.48267(-) Z=S 23 54,3W 0,44326(-) 1,09383(-) 0,40552 hc=31°39,5 1,62179 0,85119 Az=203,9° 1,00008

Capitol o 06

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