cap 9 resti sironi

Slides tratte da:

Andrea Resti

Andrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

Egea, 2008

La valutazione dei modelli VaR

Rischio e valore nelle banche La valutazione dei modelli VaR

2

AGENDA

Il backtesting dei modelli VaR

Il test dellunconditional coverage

Il test della conditional coverage

Il test di Lopez

I test basati sullintera distribuzione

Esercizi

Resti e Sironi, 2008


3

I test retrospettivi (backtesting) sono basati sul confronto fra le indicazioni del modello e i risultati dell'attivit di negoziazione



confronto tra la stima giornaliera del VaR e le perdite effettive del giorno successivo

Se il modello corretto, le perdite effettive dovrebbero risultare superiori al VaR con una frequenza coerente

con quella definita dal livello di confidenza

Se il VaR giornaliero 83 e il livello di confidenza del modello pari al 99%, ci si attende perdite superiori a 83 unicamente nell'1% dei casi,

cio 2,5 giorni su 250 giorni di negoziazione annui

5400

5600

5800

6000

6200

6400

6600

6800

7000

26

/07

/20

04

26

/08

/20

04

26

/09

/20

04

26

/10

/20

04

26

/11

/20

04

26

/12

/20

04

26

/01

/20

05

26

/02

/20

05

26

/03

/20

05

26

/04

/20

05

26

/05

/20

05

26

/06

/20

05

Valori effettivi del portafoglio


4

Backtesting del VaR di un portafoglio azionario

Un esempio di backtesting


Portafoglio equiponderato investito in due indici azionari (FTSE100 e Dow Jones Industrial Average)

Orizzonte temporale: dal 26 luglio 2004 al 22 luglio 2005 (257 dati giornalieri)

Evoluzione del valore

del portafoglio

Il portafoglio partito da un valore di circa 6.000 euro ed ha chiuso il periodo in esame a un valore di 6.817 con rendimento del 13.6% circa.

64

31

47

-11

4-8

-13

-46

-97

-17

65

-29

-26 -

15

73

11

31

-82

61

49

28

27 3

2-4

34

51

05

90

26

-13

-22

12

10

-8-2

41

03

6-3

23

2-5

2-3

89

-43

45

32

-29

96

23

61

8-4

0-2

1-1

-28

-32

-36

7 10

2-3

0-6

-34

-38

55

67

10

-64

38

48

61

30

-15

-11

15

53

31

0-4

23

71

4-6

6-9

7-8

24

-8 -8-4

77

29

0-3

1-2

8-1

71

59

28 9

-44

27 31

48

11

70

24

-8 -9 -97

-30

-39

20

15

-4-3

5-6

-22

30

39

-16

-31

-33 -

22

-15

01

4-5

-27

33

56

21

-76

02

71

4-2

23

34

5-3

26

-5-2

19

-50

-19 -1

21

15

2-5

04

2-1

12

24

8-7

-19

-43

-10 -9

40

-78

-13

2-1

2-2

6-2

34

10

-24

28

-16

-16

-74

41

13

9-2

1 -1

1-1

-21

-49

-95

-50

37

-58

61

23

7-4

1-2

5-3

84

55

92

53

01

36

-44

-6-2

1-2

03

2 34

76

18

02

8-1

1-2

24

0-5

-38

58

-3-3

2-1

13

6-1

71

2 18

17

5-1

32

23

6-8

48

-40

-62

-27

67

4-2

74

23

74

-3-4

09

62

8-1

93

33

1-1

7-3

11

32

2-1

42

14

-150

-100

-50

0

50

100

150

26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005

Variazione di valore reale VaR al 95%


5

La perdita giornaliera del portafoglio risulta

superiore al VaR in 10 dei 257 giorni

considerati, ossia nel 3,9% dei casi



Evoluzione del VaR giornaliero stimato con lapproccio varianze-covarianze con livello di confidenza 95% nel periodo considerato

Risultato coerente con il livello di

confidenza desiderato

Il valore degli errori di stima connessi a tali eccezioni raggiunge tuttavia, in alcuni casi, importi rilevanti, anche il 100% del VaR stimato

-100,0

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005

Variazione di valore effettiva VaR al 95%, lambda=0,94 VaR al 95%, lambda=0,97


6



Evoluzione del VaR giornaliero stimato con lapproccio varianze-covarianze, con una volatilit stimata attraverso lEWMA (decay factor : 0,94 e 0,97)


7

Come si nota dalla figura della slide 6, un valore di lambda minore produce un VaR pi reattivo alle condizioni recenti

Luso di un lambda minore consente di stimare meglio il rischio del portafoglio quando le perdite elevate sono precedute da altre perdite elevate

In questo caso:

VaR con decay factor 0,94

VaR con decay factor 0,97



il VaR sale pi rapidamente in presenza di rendimenti recenti fortemente negativi o positivi e si riduce pi velocemente

quando le variazioni giornaliere sono contenute

9 eccezioni su 257 giorni (tasso di errore 3,5%)

10 eccezioni (tasso di errore 3,9%)


8



evoluzione del VaR giornaliero stimato con il modello delle simulazioni storiche

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005

Variazione di valore effettiva VaR storico al 95%

Il VaR ottenuto con questo metodo presenta

unevoluzione temporale peculiare, caratterizzata da una

certa stabilit interrotta da improvvisi salti

Numero di eccezioni = 11 Errore massimo = 119% del VaR

Quando la perdita relativa al percentile

corrispondente al livello di confidenza prescelto

esce dal campione il VaR cambia

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

% d

i ca

si n

el

ca

mp

ion

e

Rendimenti giornalieri


9

Il risultato dellapproccio delle simulazioni storiche risulta abbastanza simile a quello connesso allapproccio varianze-covarianze

Il portafoglio ha una distribuzione simile ad una normale e ha un payoff lineare



I vantaggi della simulazione storica,

full valuation e distribuzione dei rendimenti non

vincolata a nessuna variabile casuale

nota, vengono ridimensionati


10

Evoluzione congiunta del VaR secondo i tre approcci


-100,0

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

26/07/2004 26/10/2004 26/01/2005 26/04/2005 26/07/2005

Variazione di valore effettiva EWMA, lambda = 0,94

Simulazione storica Media mobile semplice

il secondo approccio

(parametrico EWMA)

produce stime di VaR pi

volatili

Un esempio di backtesting VaR

Numero di

eccezioni

Errore massimo, in

% del VaR stimato

Parametrico (media

semplice) 11 109%

Parametrico (l=94%) 9 115%

Parametrico (l=97%) 10 110%

Storico 11 119%


11

Nello studio empirico condotto da Hendricks sono stati confrontati:

Sono stati creati 1.000 diversi portafogli valutari, ciascuno composto con pesi casuali da 8 valute diverse.

Il VaR giornaliero di ciascuno di questi 1.000 portafogli stato calcolato con ciascuno dei 12 diversi modelli per circa 12 anni (3.000 osservazioni giornaliere, dal gennaio 1993 al dicembre 1995)

Livelli di confidenza 95% e 99%

La valutazione dei modelli VaR Hendricks 1996


4 modelli di VaR storico (orizzonte

temporale di 125, 250, 500 e 1.250 giorni)

8 modelli VaR varianza/covarianza del tipo a

medie mobili semplici (calcolate su 50, 125, 250, 500 e 1250 gg) ed esponenziali (con l pari a

0.94, 0.97 e 0.99)


12

Risultati:

La valutazione dei modelli VaR Hendricks 1996


Metodologia Rapporto % tra numero di eccezioni

e totale giorni

Rapporto medio tra perdita in

eccesso al VaR e VaR

VaR al 95% VaR al 99% VaR al 95% VaR al 99%

Media mobile semplice 50 gg. 94,8 98,3 1,41 1,46




Media mobile semplice 1.250 gg. 95,4 98,5 1,36 1,44

Media mobile esponenziale (l=0,94) 94,7 98,2 1,41 1,44



Simulazione storica 125 gg. 94,4 98,3 1,48 1,48

Simulazione storica 250 gg 94,9 98,7 1,43 1,37

Simulazione storica 500 gg 94,8 98,8 1,44 1,37

Simulazione storica 1.250 gg 95,1 99,0 1,41 1,30

Valore di riferimento distribuzione normale 1,254 1,145

valore teorico che il rapporto medio tra perdita effettiva e VaR dovrebbe assumere se la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato fosse normale e se il VaR fosse corretto


13

Per quanto riguarda il rapporto % tra numero di eccezioni e totale giorni:

Lesame del rapporto medio tra perdita in eccesso al VaR e VaR mostra come le perdite superiori al VaR siano mediamente molto maggiori della perdita attesa in ipotesi di normalit

La differenza tra la distribuzione normale e la vera distribuzione dei dati particolarmente sensibile oltre il VaR, cio nelle code estreme della distribuzione

La valutazione dei modelli VaR Hendriks 1996


i modelli offrono una buona performance, avvicinandosi considerevolmente al valore teorico indicato dal livello di confidenza


14

Una corretta valutazione della qualit di un modello VaR andrebbe fondata su due diversi aspetti:

La metodologia di backtesting proposta dal Comitato di Basilea si fonda sul primo criterio



la coerenza del numero di eccezioni (numero di giorni in cui le perdite superano la stima del VaR)

la dimensione delle eccezioni (valore della perdita in eccesso rispetto al VaR)


15

Come stimare il risultato economico giornaliero con la quale confrontare il VaR?

1.Effettivo risultato economico derivante dalle vendita delle posizioni in portafoglio realmente liquidate dalla banca

2.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato,

a fine giornata, il portafoglio effettivamente detenuto dalla banca in quel momento

3.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato

di fine giornata il portafoglio detenuto dalla banca la sera del giorno precedente



Inadeguato in quanto contrario a mark-to-market

Impreciso a causa delle modifiche nella composizione del portafoglio della banca, intervenute durante la giornata

Risultato economico statico o static profit & loss pi appropriato, confronta il VaR con una misura di perdita

ad esso omogenea


16

Nellesempio delle slide 4-10 si concluso che un numero di eccezioni giornaliere pari a 9, 10 o 11 (su 257 giorni di negoziazione) fosse coerente con il livello di confidenza del 95%

1.Qual la percentuale massima di eccezioni coerente con il livello di confidenza del modello?

2.Qual la percentuale minima di eccezioni oltre la quale si deve concludere che il modello non valido (e in particolare, che la banca esposta a rischi superiori a quanto indicato dal VaR)?

Se si considera un modello VaR con livello di confidenza pari al 99% e nel backtesting si ottengono 2 eccezioni (2%)

Tecniche alternative di backtesting


E una questione di significativit statistica

La percentuale di eccezioni il doppio di quella attesa (2% anzich 1%), ma lerrore esiguo

difficile concludere se il modello corretto o scorretto


17

Numerosi test statistici sono stati proposti nel corso della seconda met degli anni novanta

I test possono essere suddivisi in 3 categorie:

1. Test basati sulla frequenza delle eccezioni

2.Test basati su una funzione di perdita

3.Test basati sullintera distribuzione di profitti e perdite



Si basano sul confronto fra il numero di giorni in cui la perdita ha superato il VaR e il relativo livello di confidenza

Considerano oltre alla frequenza, anche la dimensione delle perdite (excess losses)

Si confronta lintera distribuzione delle variazioni di valore previste dal modello VaR con i profitti e le perdite effettivamente realizzati


18

In tutti i casi, lipotesi oggetto di test (ipotesi nulla, o H0) che il modello VaR della banca sia corretto

Se H0 viene rigettata, si deve concludere che il modello VaR non sia sufficientemente accurato

I test sono esposti a due tipi di errori:

Per finalit di risk-management si interessati alla capacit del test di minimizzare lerrore del secondo tipo (potenza del test), incorrendo in un errore del primo tipo elevato



accettare lipotesi nulla quando falsa

Esiste un trade-off tra i due tipi di errori

rigettare lipotesi nulla quando corretta

Primo tipo Secondo tipo


19

il proportion of failures test proposto da Kupiec nel 1995

IPOTESI H0: la frequenza delle eccezioni empiricamente rilevate, , coerente con quella teorica desiderata, (tasso di eccezioni implicito nei valori osservati= )

Tale verifica non condizionata a ulteriori ipotesi, perci il test unconditional

Se lipotesi nulla corretta allora la probabilit di osservare x eccezioni in un campione di N osservazioni (tasso di eccezioni pari a p x/N) data da una distribuzione binomiale con media N :

Considerando un campione di 250 osservazioni giornaliere e un livello di

confidenza del 99%, la probabilit di ottenere x eccezioni :



xNx

x

NNxpr

)1(),(

!!!

xxN

N

xx

xxpr

25099,001,0

250)250%,1;(


20

possibile calcolare la probabilit associata a qualsiasi numero di eccezioni:



0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fre

qu

en

za

Numero di eccezioni

x

(1)

pr(x)

2

S[pr(x)]

3

1S[pr(x)]

0 8,1% 8,1% 91,9%

1 20,5% 28,6% 71,4%

2 25,7% 54,3% 45,7%

3 21,5% 75,8% 24,2%

4 13,4% 89,2% 10,8%

5 6,7% 95,9% 4,1%

6 2,7% 98,6% 1,4%

7 1,0% 99,6% 0,4%

8 0,3% 99,9% 0,1%

9 0,1% 100,0% 0,0%

10 0,0% 100,0% 0,0%


21

Se il modello corretto, la probabilit che si verifichi un numero di eccezioni pari o inferiore a 4 89,2% (seconda colonna tabella precedente), quindi la probabilit di avere pi di 4 eccezioni 10,8 (terza colonna) se si desse come regola quella di rifiutare lipotesi nulla ogni volta che si verificano pi di 4 eccezioni, lerrore del primo tipo (rifiutare un modello corretto) sarebbe pari a 10,8%.

Se si rifiutasse il modello solo se le eccezioni sono pi di 6, il rischio di rifiutare un modello corretto sarebbe molto basso (1,4%)

Poich lerrore che pi preoccupa nellottica del risk management non rifiutare un modello corretto, ma fidarsi di un modello sbagliato (errore secondo tipo)

Ad una logica di questo tipo si ispira il Comitato di Basilea: fino a 4 eccezioni il

modello viene considerato di buona qualit, fino a 9 parzialmente adeguato e da 10 eccezioni non accurato.



preferibile la prima delle due regole


22

TEST INFERENZIALE: possibile valutare la rispondenza tra il tasso di eccezioni registrato durante il backtesting ( x/N) e il tasso di eccezioni atteso se il modello corretto () con un classico test di tipo likelihood ratio



Il test si basa sul rapporto tra due funzioni di verosimiglianza

Una non vincolata, la probabilit di osservare un determinato fenomeno viene posta pari alla probabilit osservata nel campione.

La seconda funzione di verosimiglianza invece vincolata al rispetto dellipotesi nulla (probabilit che si verifichi un errore = )

xNxxL 1 probabilit non vincolata di osservare x eccezioni, basata sul tasso di errore campionario

xNxxL 1

xNx

xNx

ucLR

1

)1(ln2)(

Test: se significativamente diverso da assumer valori positivi ed elevati, se invece sono vicini la statistica tender a zero


23

Riprendiamo il caso visto in precedenza (VaR con =1% e sottoposto a backtesting con N=250 giorni)

Ipotizziamo che le eccezioni siano 4 x/N = 4/250 1,6%

Il valore della statistica LRuc sar:

quindi possibile:



77,0

%6,11%6,1

%)11(%1ln2

42504

42504

ucLR

se lipotesi nulla corretta la statistica LRuc si distribuisce secondo una distribuzione chi quadrato con 1 grado di libert

2

1ucLR

stabilire un valore soglia che comporti un errore del primo tipo sufficientemente elevato (ad esempio 2,7055 corrispondente al 90% della funzione di ripartizione)

respingere lipotesi nulla (modello inadeguato) se LRuc si colloca al di sopra della soglia

50%

0,770,45

10%

0,77 2,70

38%

0,77


24

Riferendoci allesempio in esame: poich 0,77 non supera 2,7055, il modello VaR da considerarsi accettabile

Se il valore della statistica LRuc fosse maggiore di 2,7055, allora il modello potrebbe essere rifiutato



Se si accetta un errore del primo tipo pi elevato la soglia fissata sarebbe pi bassa: una soglia pari a 0,4549

genererebbe un errore del primo tipo nel 50% dei casi, e in questo caso il

modello VaR sarebbe rigettato. Se la soglia fosse 0,77 il modello

comporterebbe un rischio di errore (tuttaltro che modesto) del 38%


25

Il p-value del test definito come la probabilit, nel caso in cui lipotesi nulla sia corretta, di ottenere valori di LRuc superiori a quello osservato

Minore il p-value, meno affidabile il modello

Un punto cruciale nellambito del backtesting rappresentato dalla scelta del

valore-soglia, cio la significativit del test. Questa scelta dipende fondamentalmente dal costo associato ai due tipi di errori

Gli errori del secondo tipo (considerare corretto un modello che non lo ) sono i pi costosi.



ucLRFp 21

1

nel risk management si utilizzano frequentemente livelli di significativit statistica relativamente elevati, non inferiori al 10%.

funzione di densit cumulata di una chi-quadro con un grado di libert


26

possibile dimostrare che la potenza statistica del test di Kupiec (definita come il complemento a uno dellerrore del secondo tipo) piuttosto bassa

In generale il test di Kupiec richiede un campione composto da un numero elevato di dati (circa 10 anni di dati giornalieri) per poter generare risultati veramente affidabili.



Vi sempre unalta probabilit di accettare lipotesi nulla quando essa falsa.

Questa probabilit tanto maggiore:

Quanto pi il valore dellipotesi nulla diminuisce

Quanto maggiore il livello di confidenza del modello

Quanto pi piccola la dimensione del campione


27

Il test di Kupiec si focalizza unicamente sul numero di eccezioni e non considera la loro distribuzione temporale

Il test non condizionato: la qualit di un modello valutata in modo

indipendente dalla capacit di reagire prontamente a nuove condizioni di mercato

Se un modello in grado di reagire correttamente alle nuove informazioni, allora la probabilit che si verifichi uneccezione nel giorno t dovrebbe essere indipendente da eventuali eccezioni registrate il giorno t-1

Se le eccezioni sono serialmente concentrate (clustered), verosimile attendersi che se il giorno t-1 si verificata uneccezione la probabilit (condizionata) di avere unaltra eccezione il giorno t sia superiore alla media



Un modello che alterna periodi in cui il VaR sottostimato (numero di eccezioni elevato)

a periodi in cui il VaR sovrastimato (numero di eccezioni basso) potrebbe risultare accettabile


28

preferibile che le eccezioni siano indipendenti:

Un test rivolto a valutare la conditional coverage di un modello VaR quello

proposto da Christoffersen nel 1998

Vengono definite:



se cos non fosse, allindomani delleccezione, il risk manager dovrebbe aumentare il VaR su livelli superiori in modo che la probabilit condizionale di uneccezione rimanga in linea con il valore desiderato.

La statistica LRuc viene estesa per verificare che le eccezioni siano serialmente indipendenti

1,1probabilit che uneccezione in t-1 sia seguita da unaltra

eccezione in t

0,1probabilit che uneccezione in t-1 sia seguita da una non

eccezione in t

1,0probabilit che in t si verifichi uneccezione senza che questa

si sia verificata in t-1

0,0probabilit che non vi siano eccezioni in

t-1 e in t


29

C INDIPENDENZA SERIALE se:

Si consideri un campione N di osservazioni:



1,01,1

10,10,0 la probabilit di avere o meno uneccezione in t indipendente dal fatto che in t-1 si sia o meno verificata uneccezione

x1,1 = numero di eccezioni che sono state precedute da unaltra eccezione

x0,1 = numero di eccezioni che non sono state precedute da unaltra eccezione (si noti che, per definizione, avremo x0,1 + x1,1 x)

x1,0 = numero di eccezioni che non sono state seguite da unaltra eccezione

x0,0 = numero di mancate eccezioni precedute da altre mancate eccezioni (per definizione, x1,0 + x0,0 = N - x)


30

possibile ora stimare le probabilit attraverso le relative frequenze campionarie

Funzione di verosimiglianza non vincolata delle N osservazioni del campione:

Funzione di verosimiglianza vincolata (stimare con la relativa frequenza

campionaria ):



1,00,0

1,0

1,0xx

x

1,10,1

1,1

1,1xx

x

0,0

0,0 0,1

0,0 0,1

1x

x x

1,0

1,0 1,1

1,0 1,1

1x

x x

N

x

N

xx

1,11,0

1,10,11,00,0 1,10,11,00,01,11,00,10,0 ,,,xxxx

xL

xxNxxxxxL 111 1,10,11,00,0


31

Likelihood ratio:

La statistica LRind si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con un grado di libert.

Lipotesi nulla di indipendenza seriale va dunque rifiutata quando LRind maggiore del valore-soglia prescelto



1,11,00,10,0 ,,,

)(ln2

xL

xLLRind

la probabilit (verosimiglianza) di

ottenere x eccezioni sotto lipotesi che le eccezioni

siano serialmente indipendenti

la verosimiglianza massima (non vincolata) per il campione di dati osservati


32

Non sono stati in realt testati

e

ma le loro grandezze equivalenti basate sulle frequenze campionarie

Il test non ci fornisce dunque alcuna informazione sulla correttezza del parametro

Mediante questa statistica possibile testare unicamente lindipendenza delle eccezioni, non la correttezza del modello (cio il fatto che = )

Per ottenere un test completo di copertura condizionale occorre dunque combinare fra loro:



1,01,1 10,10,0

1,01,1 10,10,0

Il test di unconditional coverage Il test di indipendenza


33

Il test dato da:

LRcc si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con due gradi di libert

Per le propriet dei logaritmi inoltre vale che:

La metodologia di backtesting proposta da Christoffersen pi completa ed efficiente di quella analizzata in precedenza.



1,11,00,10,0 ,,,ln2

L

xLLRcc

indLR

induccc LRLRLR

tiene conto del problema dellindipendenza

la scomposizione in 2 componenti evidenzia le cause che conducono al rifiuto del modello

funzione di verosimiglianza non vincolata

coincide con il numeratore del test di unconditional coverage

(ottenuto dal numeratore

di imponendo = )


34

I test precedenti presentano due principali problemi:

Unalternativa alla valutazione di un modello VaR tramite test statistici quella proposta da Lopez nel 1999

Il test di Lopez basato su una funzione di perdita


sono caratterizzati da una bassa

potenza statistica

trascurano la dimensione delle perdite

Non rilevante se leccezione sia stata determinata da una perdita pari al 110% o al 300% del VaR.

Il modello si basa sulla minimizzazione di una funzione di perdita costruita in modo da tenere in considerazione gli interessi del risk manager o dellorgano di vigilanza


35

La perdita (costo) associata al giorno t+1 assume la seguente forma:

con

Ottenuti i valori di per gli N giorni che compongono il campione di

backtesting, la perdita totale :

Lopez propone di utilizzare questa perdita totale per confrontare modelli di istituzioni diverse o per la stessa istituzione in periodi diversi

possibile costruire un benchmark di riferimento, C*, con cui giudicare la qualit

di un modello (inadeguato se ).



yxyxgyxf ,,,

1tC

N

i

itM CC1

*CCM

tttt

tttt

tVaRseVaRg

VaRseVaRfC

11

11

1,

,

rendimento del portafoglio

stima del VaR elaborata allistante t e riferita al periodo t+1, espressa in termini percentuali


36

:

Lautore descrive tre funzioni di perdita alternative:



1. una funzione binaria, che assume valore 1 quando si verifica uneccezione e 0 in caso contrario

2. una funzione di perdita a zone, che rispecchia lattuale schema di backtesting proposto dal Comitato di Basilea

3. una funzione di perdita crescente rispetto allerrore

tt

tt

tVaRse

VaRseC

1

1

10

1

cumulando le perdite relative a pi periodi si ottiene una misura di performance relativa che pu essere impiegata in un confronto :

fra diversi periodi temporali fra diverse istituzioni

rispetto a un valore di riferimento


37

:

Nel caso della terza forma funzionale invece:

Lapproccio di Lopez apprezzabile in quanto valuta anche lentit delle eccezioni

In questo modo si valuta per la qualit di un modello VaR sulla base di una caratteristica estranea alla sua logica



tt

ttttt

VaRse

VaRseVaRC

1

1

2

11

0

1

La funzione assegna punteggi maggiori alle eccezioni di maggior dimensione

i modelli VaR sono costruiti senza alcuna attenzione alla dimensione delle perdite

la correttezza di un modello VaR dovrebbe essere valutata solo sulla base della frequenza delle excess losses


38

:

Questo approccio diverso, denominato distribution forecast method, stato proposto da Crnkovic e Drachman nel 1996 e ripreso da Diebold, Gunther e Tay nel 1998 e da Berkowitz nel 2001.

Le tecniche di backtesting finora presentate si sono focalizzate sulla coda della distribuzione dei profitti e delle perdite

Lapproccio proposto da questi autori prevede di considerare la distribuzione di probabilit utilizzata la sera del giorno t per calcolare il VaR e di trovare il percentile pt corrispondente al rendimento t+1 effettivamente osservato il giorno dopo

Se le distribuzioni osservate per derivare il VaR e la distribuzione empirica dei rendimenti sono coerenti tra loro, i valori di pt dovrebbero seguire una distribuzione uniforme ed essere serialmente incorrelati




39

:

Crnkovic e Drachman propongono il test di Kupier basato sulla distanza fra la distribuzione di probabilit prevista e la distribuzione effettiva dei rendimenti del portafoglio

Diebold, Gunther e Tay sottolineano che i test inferenziali sono spesso di scarsa utilit pratica perch possono condurre al rifiuto dellipotesi nulla senza dare indicazioni su quale sia la vera distribuzione dei dati

Essi privilegiano quindi unanalisi grafica della distribuzione dei percentili associati ai rendimenti osservati, calcolati in base alla funzione di densit di probabilit del modello utilizzato per il calcolo del VaR



Se gli istogrammi assumono tutti unaltezza grosso modo identica, allora la distribuzione dei percentili uniforme ed il modello pu essere giudicato accurato


40

:

Se la distribuzione dei percentili non uniforme e il modello non accurato

Berkowitz infine introduce uninnovazione basata su una trasformazione dei dati tale da ottenere una nuova variabile casuale distribuita normalmente e da poter successivamente ricorrere ai classici test statistici associati alla gaussiana



La forma degli istogrammi aiuta a comprendere da dove nasca linaccuratezza del modello:

Ad esempio se gli istogrammi centrali e quelli estremi risultano pi alti della

media, probabile che la vera distribuzione dei rendimenti sia

leptocurtica, per esempio una t di Student

Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilit

41 Resti e Sironi, 2008

Esercizi/1 1. Una banca sta effettuando il backtesting del suo modello VaR

usando un campione di 400 rendimenti giornalieri passati. In 12 giorni su 400, le perdite hanno superato il VaR al 99% di confidenza. Usando una distribuzione binomiale, calcolate la probabilit associata ad un simile risultato se il modello VaR corretto. Inoltre, calcolate il test di copertura non condizionale (usando lequazione [4] in questo capitolo) e (usando la tabella semplificata riportata qui di seguito, oppure la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel) stimate lerrore del primo tipo (p-value). Dite infine in cosa consiste il significato pratico di questo valore di errore.



Esercizi/1

Distribuzione di probabilit cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libert

x 0.25 0.5 1 2.5 5 10 20 40 80 160

m

1

38.29

%

52.05

%

68.27

% 88.62% 97.47% 99.84% 100.00% 100.0% 100.0% 100.0%

12 0.00% 0.00% 0.00% 0.18% 4.20% 38.40% 93.29% 99.99% 100.0% 100.0%

100 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 7.03% 99.99%



Esercizi/2 2.Considerate le seguenti affermazioni: il backtesting di un

modello VaR per i rischi di mercato consiste nel

I. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato gi accaduti in passato;

II. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato mai accaduti in passato;

III. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock medi nei rendimenti dei fattori di mercato accaduti in passato;



Esercizi/2

IV. calcolare il VaR associato ai singoli sottoperiodi passati e confrontarlo con le perdite o i profitti che si sono effettivamente verificati.

Quali di esse sono corrette? a) solo la II; b) la I e la II; c) la IV; d) la II e la IV.



Esercizi/3 3. Una banca ha effettuato il backtesting del suo modello VaR su

un insieme di 500 osservazioni, trovando 7 eccezioni (cio valori superiori al VaR) consecutive. Calcolate il test di copertura non condizionale, il test di indipendenza seriale e il test di copertura condizionale. Usando la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel o la tabella qui di seguito, calcolate i p-values dei tre test. Commentate i risultati.

x 0.2 0.5 0.7 5 6.2 6.9 7.5 10 15 20

m

1 34.53% 52.05% 59.72% 97.47% 98.72% 99.14% 99.38% 99.84% 99.99% 100.00%

2 9.52% 22.12% 29.53% 91.79% 95.50% 96.83% 97.65% 99.33% 99.94% 100.00%

7 0.00% 0.06% 0.17% 34.00% 48.34% 56.06% 62.13% 81.14% 96.40% 99.44%

Distribuzione di probabilit cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libert

cap 9 resti sironi

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