Cap. 6 - UniBGtransitori).pdf · Circuito capacitivo RC t i t p i t i(t) kie int k e i k e ......

1

Corso diElettrotecnica NO

Corso di Elettrotecnica NO - Capitolo 5 – Rappresentazione e Analisi dei circuiti elettrici in regime transitorio

Cap. 6Rappresentazione e analisi dei

circuiti elettrici in regime transitorio

Corso di Elettrotecnica NOAngelo Baggini

ver. 0000B

2


Introduzione


Circuito resistivo (1)

VE 100= Ω= 10R

0=ti

v

3


Circuito puramente resistivo (2)

E R

i

v

RiE =

REi =

EV =

0>t

V100 v

A10 i


Condensatori ed induttori

dtLvi

t

∫∞−

=

dtCiv

t

∫∞−

=

4


Circuito capacitivo

VE 100=

Ω= 10R0=t

mFC 1=

V50v 0C =

i = ?


Circuito capacitivo

VE 100=

Ω= 10R

mFC 1=

V50v 0C =

i = 0

t < 0

5


Circuito capacitivo

E

R

0>t

C

dtCiRiE

t

∫∞−

+=p

i

tii inteK.gen.int += ∑ λ

Eq. differenziale lineare a parametri costanti del 1°

ordine


Circuito capacitivo

dtCiRiE

t

∫∞−

+=

Ci

dtdiR0 +=

C1R0 +λ=

RC1

−=λ

Integrale generale (omogenea)0>t

RCt

t KeKe)t(i−λ ==

da ricavare con

le Condizioni Iniziali

6


Circuito capacitivo

Integrale particolare equazione completa

V150 V50

∞iR

ioo = 0


Circuito capacitivo

RCt

it

ipt

i ekiekintek)t(i−

∞λλ =+=+=

Integrale generale equazione completa

da ricavare con

le Condizioni Iniziali

7


≡

+0i

E V50V100 V50

+0iR

Circuito capacitivo

Condizioni iniziali

Ai 510

501000 =

−=+

KKeA5i RC0

0 ===−

+ AK 5=


0tperAe5)t(i

0t per 0)t(i

210t

≥=

<=

−−

t

Circuito capacitivo

Soluzione completa

i

A5

8


Circuito capacitivo (tensione)

E

R

i

0=t

VE 100=

Ω= 10R

mFC 1=

v(t) = ?

V50v 0C =


Circuito capacitivo (tensione)

=

++=

dtdvCi

vRiE

44444 344444 21..

.......IC

PARTINTOMGENINTONSoL +=

Eq. differenziale lineare a parametri costanti non omogena del 1° ordine

vvRCE +=→ &E

R

i

0=t

v

9


vvRC += &0

10 += λRC

RC1

−=λ

RCt

OM KeV−

=

In transitorio tutte le grandezze della rete hanno le stesse τ

Circuito capacitivo

Integrale generale omogena associata


E

R

vV100Ev ==

EeKv RCt

+=−

Circuito capacitivo

Integrale particolare completa (t=oo)

10


+0

EKe50V RC0

0 +==−

+

E

R

Circuito capacitivo

Condizioni iniziali

50V

K = 50-E = 50-100 = -50V


Circuito capacitivo

10050 210 +−= −−

t

eV

t

Soluzione completa

11


Circuito induttivo

E

R

LLi

St 2=

0=t

R

Ω= 10RmHL 1=VE 100=

?=Li


Circuito induttivo

E

R

LLi

R

A1010

100iL ==

t < 0

12


Circuito induttivo

AiL 100 =−

St 20 <<

RL VV =

LL RidtdiL −=

0RidtdiL L

L =+

0=+RLλ

LR

−=λ

ELi

RL

=τ

tLR

L Kei−

=


Circuito induttivo

10100

0 =→==−

+ kKei LR

L

Aei tL

41010 −=

Condizioni iniziali

Soluzione

13


Circuito induttivo

10

ts2

Aei tL

41010 −=Soluzione


Circuito induttivo

E

R

L

Li

REi

2>t

010)2( 2104≅= ⋅−eiL

2' −= tt

14


Circuito induttivo

ER

L

Li

REi

2>t

RLE iii +=

00 =−−→=−− LEL

E iLRiEdtdiLRiE &

LRRL i

RLiRi

dtdiL &=→=

LLE iRLii &+=


0)( =−+− LLL iLRiRLiE &&

0=−−− LLL iLiLRiE &&

LL iRiLE += &2

OMNON

LIN

°1

titiCoefficien tancos

15


OM

LL RiiL += &20

LRRL2

20 −=→+= λλ

'2tLR

LOM kei−

=


partint

AiL 10=∞

AkeitLR

L 10'

2 +=−

1000 0 +== −ketiL 10−=k

Aeit

L 1010'

2104

+−=−

E

R

L

Li

REi

iniziali Condizioni

16


Aeit

L 1010)2(

2104

+−=−−

Aei tL

41010−=

2≥t

20 <≤ t

0<tAiL 10=

2 t


Un caso particolare

E R

Li

0=t

L

?=Li

dtdiLLE =

L

ttLdiEdt ∫∫ ∞−∞−

=

LiLEt

=

17


e

R

EiCv

C

Ci Ri

R

Vvc 00 =

mFC 1=Vtsene 10100=

C

A

INT

ms5

ms10

Esercizio

Vc = ?

Ω= 10R


e

R

C R

mst 50 <<

RCE iii +=

CE vRie +=

RC Riv =dtdvCi C

C =

RvvCi C

CE += &

CC

C vRvvCRe ++= )( & CC vvRCe 2+= & OMN

LIN°1

CC

18


OM

CC vvRC 20 += &

RCRC 220 −=→+= λλ

RCt

kev2

−=


IP

e

R

CR

R

RCjx−E

eqZ

2100VE = jj

CjjxC

23 10

1010−=

−=

−=− −ω

jj

jZeq −=−

⋅−= 9,9

101010102

2

19


IP R

RCjx−E

eqZ

109,99,9

2100

+−−

=jjVC Vej j 05,0

293,49

249,287,49 −=

−=

VtsenV IPC )05,010(93,49 −=


Vtsenkev tC )05,010(93,49200 −+= −

444 3444 2105,0

00 )05,00*10(93,490

−

= −+== VsenkevCt

495,20 −= k495,2=k

mSt 50 <<

Vtsenetv tC )05,010(93,49495,2)( 200 −+= −

20


Circuiti di ordine superiore al primo

• equazione differenziale di ordine pari al numero di induttori e condensatori indipendenti

• Tutto analogo, ma obiettivamente analiticamente più pesante


Secondo ordine - Esempio

CR

L

e

HmLR

FCsentVV

e

12110

10

=Ω=

=

=

µt=0

iL(t) = ?

21


CR

L

e

Esempio

00

0

=+−

=−+−

=++

LR

RC

LCR

vveevv

iii

∫∞−

=

=

=

tc

C

LL

R

dtciv

dtdiLv

Riv

0

0

10

00 =−+

=+−

−−

=++

∫ eRi

dtdiLRie

dtiC

V

iii

R

LR

c

t

C

LRC


Esempio

eRi

edtdiLRi

dtiC

V

iii

R

LR

c

t

C

LRC

=+

=−

−−

=++

∫001

0 i i i

Ci R di

dtdedt

Ri L didt

e

C R L

cR

RL

+ + =

− + =

− =

01

i LR

didt

eR

i CR didt

C dedt

LC d idt

C dedt

C dedt

LC d idt

LC d idt

LR

didt

eR

i

RL

cR L L

L LL

= + +

= + − = + + − = +

+ + + + =

2

2

2

2

2

2 0i

RCi

LCi

RLCeL L L

" '+ + = −1 1 1

22


Esempio

iRC

iLC

iRLC

eL L L" '+ + = −

1 1 1

pi

tii inteK.gen.int += ∑ λ

Eq. differenziale lineare a parametri costanti non omogena del 2° ordine


Esempio – Radici dell’equazione caratteristica

( )06,200893,497991

2104105,0500000

010105,0

011

926

962

2

−−

=⋅−⋅±−

=

=+⋅+

=++

λ

λλ

λλLCRC

23


Radici dell’equazione caratteristicheRadici reali distinte

IPekeKti ttL ++= 21

21)( λλ

eℜ∈≠ 21 λλ

e=E


Radici dell’equazione caratteristicheRadici reali uguali

eℜ∈= 21 λλ

IPtekeKti ttL ++= λλ

21)(

e=E

24


Radici dell’equazione caratteristicheRadici complesse coniugate

( ) IPtsenktKeti tL ++⋅= ββα

21 cos)(

β−α=λβ+α=λ j j 21

e=E


Integrale particolare

CR

L

e

HmLR

FCsentVV

e

12110

10

=Ω=

=

=

µ

t=oo

25


Integrale particolare (caso e = 10sent)

Ω=⋅=

Ω=

Ω=⋅

=

==

−

−

mX

R

MX

VE

L

C

1101

2

1110

1

07,72

10

3

6

CR

L

e

t=oo

Atsenti

AjAII

jjjjjjXjXRZ

AjAjZ

EI

L

EL

CLeq

eqE

)0005,0(53,32)(

0018,053,30005,053,3

102)1010)10(*102//

0018,053,30005,053,310207,7

363

63

3

+=

+−=+∠=−=

Ω+=−−

+=−+=

−=−∠=+

==

−−

−

−


Integrale particolare (caso e = E)

CR

L

eHmL

RFCVe

12110

=Ω=

==

µ

t=oo

AReooiL 5

210)( −=−=−=

26


Condizioni iniziali

CR

L

e

t=0-

==

==

0)0(

0)0(

0'

0

CL

LL

VLi

Ii

e=E

=

=

−

−

0

0

0

0

C

L

V

I

t=0+


Condizioni iniziali

CR

L

e

t=0

i I

Li VL L

L C

( )

( )'

0

00

0

=

=

27


Metodo trucco

• Poichè:

– La struttura della soluzione è sempre la stessa – Tutte le grandezze di una rete hanno le stesse costanti di

tempo– Le maggiori difficoltà analitiche sono nell’impostazione e

nella soluzione dell’equazione differenziale vera e propria

• se una fata ci desse le λ saremmo in grado di assemblare la soluzione direttamente e molto più facilmente

• Ma …


Metodo trucco

• Rendere passiva la rete• Tagliarla in un punto a piacere• Scrivere la Z(λ) rispetto ai due morsetti messi in

evidenza• Gli zeri di Z(λ) sono le λ

28


Esercizio B

C

t=0

R LE 0I

0V?)t(v

0L

0C

C

=

=

=

−

−

)t(vC


Calcolo delle τ

=

λ+λ

λ⋅λ+=

λλ

+L

C1

LC1

RL//C1R =

λ+

λ⋅+=

λλ+

+LC1

CCL

R

CLC1

CL

R 22

LC1LLRCR

2

2

λ+

λ+λ+= 0RLLRC2 =+λ+λ

C R L1/ Cλ

R

λL

29


Esercizio C

0vF05,0C

H1,0L40RR

20RV50E

0C

32

1

===

Ω==Ω=

=

−

L

E

V =?c

R1

R3

R2t=0


Calcolo delle τ

L

C

R1

R3

R2

( )C1R

LRRRLR

132

23λ

++λ++

λ+

( ) ( ) ( )( ) =

λλ+λ++λ+λ+λ+λ

=λ

++λ+

λ+1,080

1,080201,080204160020201,080

401,040 2

( ) 1600320261,080

216002160041600 222

+λ+λ⇒λλ+

λ++λ+λ+λ+λ=

( )5,0

16,53312

16006432023202

2

12

2/1 −=λ−=λ⋅⋅−±−

=λ

30


t<0

iL

R3

ER2

R1

A625,0RR

Ei32

L =+

=


Integrale particolare

R3

ER2

R1

V252150

RRREv

23

2C =⋅=

+⋅=

( ) 25BeAetv t5,0t533C ++= −−

31


0,625

R3

ER2

R1

v +C0

i +C0

+0

==

=

+

+

A417,06040625,0i

0v

0C

0C

( ) ( )

=−−=

=++=

+

+

=0t

C

0C

dttdvCB5,0A16,53305,0417,0

v25BA0


( )( )

−+⋅⋅=−−=

B5,025B16,53305,0417,025BA

+=−−=

45,666B633,26417,025BA

−=−=

−−=

0078,25633,26033,666B

25BA

0078,0A =

32


( ) 25e0078,25e0078,0tv t5,0t16,533C +⋅−⋅= −−


Esercizio C - Integrale generale

( ) 0tsenktcosKe)t(v 21t

C +β+β⋅= α

Incompleto da sistemare

Farne uno con radici complesse e magari anche uno con generatore in alternata fino in fondo

33


Soluzione

dt)t(dvC)t(i C

C =

( )

β=

=⇒

=

β+⋅α=

RCEK

0K

0K

KKCRE

2

1

1

21

( ) ( )[ ]

==

ββ+ββ−+β+βα===

+

++

+αα

10

0C

021t

21t

0

C0C

Ke0v

tcosKtsenKetsenKtcosKeCdt

)t(dvCREi

EV =VC0 C0- +

I =IL0 L0- +

EIc0+ V +c0

Cap. 6 - UniBGtransitori).pdf · Circuito capacitivo RC t i t p i t i(t) kie int k e i k e ......

Documents

Transcript of Cap. 6 - UniBGtransitori).pdf · Circuito capacitivo RC t i t p i t i(t) kie int k e i k e ......