RENDITE

RENDITA

• Rendita finanziaria è una successione di capitali disponibili ad epoche differenti.

Una rendita si indica con:

S = {(Rk , tk), k = 0,1, 2, ..., n}

R0 R1 R2 … Rn _____|_________|__________|________|______

t0 t1 t2 . . . . . tn

Classificazione: importo

• a rata costante : gli importi delle rate sono tutti uguali tra loro. In particolare, se l’importo è unitario, la rendita si dice unitaria.Esempio: cedole dei BTP costanti e pagabili semestralmente.

• a rata variabile: gli importi delle rate non sono tutti uguali tra loro.

Esempio: interessi a tasso variabile su mutuo

• temporanea: le rate sono in numero finito.

Esempio: BTP hanno una scadenza inferiore ai 30

anni, cedole pagabili semestralmente.

• perpetua: le rate sono numerabili.Esempio: una rendita che paga indefinitamente ogni semestre una cedola pari al 2.5% del capitale nominale, del quale è non è previsto il rimborso.

Classificazione: numero rate

• periodica: le rate sono equintervallate. Esempio: Affitto (trimestrale)

• non periodica: le rate non sono equintervallate. Esempio: versamenti su conto corrente.

Classificazione: periodicità

Classificazione: scadenza

• posticipata: la scadenza di ciascuna rata avviene nell’istante finale del relativo periodo di competenza.Esempio: Stipendio di un impiegato

• anticipata: la scadenza di ciascuna rata avviene nell’istante iniziale del relativo periodo di competenza.Esempio: Premi di assicurazione

Classificazione: Decorrenza

• immediata: la prima rata è dovuta in t0 se la rendita è anticipata, la prima rata scade in t1 se la rendita è posticipata.

Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza immediata

• differita: la prima rata scade in th (h1) se la rendita è anticipata, la prima rata scade in th+1 (h1) se la rendita è posticipata.

Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza differita

VALORE ATTUALE

• Valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali delle singole rate, calcolati nel regime di attualizzazione prescelto.

• Il tasso di interesse utilizzato è anche detto tasso di valutazione.

• Il valore attuale è solitamente calcolato nel Regime di attualizzazione a sconto composto essendo questo regime caratterizzato dall'importante proprietà della scindibilità.

Esempio

• Adottando il fattore di sconto g(t) del regime prescelto, il valore attuale di una rendita di n rate, ossia la somma dei valori attuali (in t0=0) delle singole rate Rk, è:

V = Vk = Rk g(tk) in t0=0

Valore attuale rendita

V=V1+V2+V3+…+Vn

t=0 t=1 t=2 t=3 t=n

R1 R2 R3 Rn

V3

Vn

V2

V1

esempio

• Determinare il valore attuale di una rendita con rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.

75,3497)07,1(1000)07,1(2000)07,1(1000 321 V

Caso rata costante:Valore attuale di una rendita periodica

posticipata immediata unitaria

ina |

n

s

sv1

V = v +v2 + ... + vn =

i

vn1

t=0 t=1 t=2 t=3 t=n

1 1 1 1

V = (1+i)-1 +(1+i)-2+ ... + (1+i)-n

v=(1+i)-1

a figurato n al tasso i

• Ricordando la ridotta ennesima di una serie geometrica di ragione v, si ha:

0per

0per 1

1

)1(

in

ii

v

v

vv nn

v+v2+...+vn = v(1+...+ vn-1) = ina |

Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata

inRa |

n

s

svR1

V = Rv +Rv2 + ... + Rvn =

i

vR

n1

t=0 t=1 t=2 t=3 t=n

R R R R

V = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + ... + R(1+i)-n

v=(1+i)-1

esempio

• Determinare il valore attuale di una rendita immediata posticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

57,702307,0

07,1110001000

10

07,0|10|

aRaV in

Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata unitaria

t=0 t=1 t=2 t=3 t=n-1

1 1 1 11

t=n

0per

0per )1(1

1

)1(

in

iii

v

v

v nn

1+v+v2+...+vn-1 = ina |

1

0

n

s

sv

Relazione tra rendite anticipate e posticipate

• Spostando l’istante di valutazione in avanti di un periodo, una rendita posticipata appare come anticipata. Di conseguenza, il valore attuale di una rendita anticipata coincide con quello della posticipata capitalizzato per un periodo.

)1()1(1

1

1iai

i

v

v

va |in

nn

|in

)1()1( iViRaaRV post|in|inant

esempio

• Determinare il valore attuale di una rendita immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

23,7515)07,01(07,0

07,111000)07,01(1000)1(

10

07,0|10|

aiRaV in

23,7515)07,01(57,7023)07,01( postant VV

Valore attuale di una rendita di n rate unitarie periodica posticipata

differita di p periodi

V = vp+1+vp+2+...+vp+n=vpina |

=p/ ina |

t=0 t=p+1 t=p+2 t=p+3 t=p+n

1 1 1 1

V3

Vn

V2

V1

Valore attuale di una rendita di n rate periodica posticipata differita di p periodi

t=0 t=p+1 t=p+2 t=p+3 t=p+n

R R R R

V3

Vn

V2

V1

V = Rvp+1+Rvp+2+...+Rvp+n=Rvpina |

=R p/ ina |

Valore attuale di una rendita di n rate costanti periodica anticipata

differita di p periodi

ina |p

in vaR |

t=0 t=p t=p+1 t=p+2 t=p+n-1

R R R R

V3

Vn

V2

V1

V = Rvp+Rvp+1+...+Rvp+n-1= =R p/

Relazione tra rendita posticipata differita di p periodi e non differita

Esempio• Rendita annua, 4 anni, i=12%, R=329,23

la prima rata verrà pagata tra 5 anni.

• Consideriamo post oppure ant è uguale:

V = (1+0,12)-4 329,23 12,0|4a =635,51

V = (1+0,12)-5 329,23 )12,01(12,0|4 a =635,51

t=0 t=5 t=6 t=7 t=8

R R R R

Post:

Ant:

t=9t=4

Valore attuale di una rendita unitaria posticipata perpetua

• Il valore attuale si ottiene calcolando il limite per n che tende all'infinito (per valori positivi del tasso di interesse).

nlim

ina | nlim

i

vn1i

1 = =

Esempio

Una rendita posticipata perpetua, la cui rata è di 1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%, vale 1000/0,08= 12500 Euro.

Valore attuale di una rendita unitaria anticipata perpetua

ia | ia |= (1+i)

nlim ina |

nlim

)1(1

ii

vn

i

i1=

=

Esempio

Una rendita anticipata perpetua, la cui rata è di 1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%, vale 1000(1,08)/0,08= 13500 Euro

MONTANTE DI UNA RENDITA

• Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

• Il tasso di interesse utilizzato è anche detto tasso di remunerazione

MONTANTE DI UNA RENDITA

R2

tn-1 t1

t2

t3

tn t0

+

R3 Rn-1 RnR1

Mn-1

...M3

M2

M1

+

+

esempio

• Determinare il montante di una rendita con rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.

9,42841000)07,1(2000)07,1(1000 12 M

Montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate

un-3

un-2

un-1

1

n - 11 2 3 n0

1 1 11

….

•Sia 1+i = u

ins |

1

0

n

k

kuM = un-1 + un-2 +...+ u + 1=

Relazione tra

• è la somma di n termini in progressione geometrica con primo termine 1 e ragione u, si ha:

i

un 1

ins |

1

1

u

un

i

i n 1)1(

ins |i

un 1

i

vn1ina | = un = un

•Il montante della rendita unitaria posticipata di n rate coincide con il suo valore attuale capitalizzato per n periodi.

ins |

ina |e

Montante di una rendita periodica posticipata immediata di n rate

R

n - 11 2 3 n0

R R RR

Run-3

Run-2

….

Run-1

1

0

n

k

kuM = Run-1 + Run-2 +...+ Ru + R= R inRs |

Montante di una rendita periodica anticipata immediata

unitaria di n rate

1

n - 10 1 2 n

+

1 11

u

un-2

un-1

un

+

+

ins |i

un 1= u + u2 + ... + un = u

i

ii

n 1)1()1(

esempio

• Determinare il montante di una rendita immediata posticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

45,1381607,0

107,110001000

10

07,0|10|

sRsM in

45,13816)07,01(57,7023)07,01( 1010 VM

Relazione tra rendita anticipata e posticipata

ins |i

ii

n 1)1()1(

ins |= = (1+i)

• Spostando l’istante di valutazione in avanti di un periodo, una rendita posticipata appare come anticipata. Il montante di una rendita anticipata coincide con quello della posticipata capitalizzato per un periodo.

Montante di una rendita periodica

anticipata immediata di n rate costanti R

M = R ins |

R

n - 10 1 2 n

R RR

Run-2

Run-1

….

Run

1

0

n

k

kuM = Run + Run-1 +...+ Ru = R u inRus |

esempio

• Determinare il montante di una rendita immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

60,14783)07,01(07,0

107,11000)07,01(1000)1(

10

07,0|10|

siRsM in

60,14783)07,01(45,13816)07,01( postant MM

Riassunto rendite

in

n

Rsi

iRM |

1)1(

)1(| iRaV in in

n

Rai

iRV |

)1(1

)1(| iRsM in

POSTICIPATA ANTICIPATA

MONTANTE

VALORE ATTUALE

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t

• Il valore V(t) al tempo t di una rendita è la somma:

• dei montanti delle rate a scadenza anteriore a t,

• della rata eventualmente a scadenza in t • dei valori attuali delle rate a scadenza

posteriore a t, calcolati in base al regime di capitalizzazione e attualizzazione prescelto.

t0 t1 t2 t3 t tj+1 tn…

…

..…….

…

…

…...….

R0 R1 R2 R3 Rj Rj+1 Rn

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t

j

kkR

0

n

jkkR

1

•se tj t <

tj+1

f (t - tk) + g( tk - t)V (t)=

•Due rendite che al tempo t hanno lo stesso valore si dicono finanziariamente equivalenti in t.

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t

VALORE V(t) DI UNA RENDITA AL TEMPO t

SECONDO IL REGIME COMPOSTO

j

kkR

1kti )1(

n

jkkR

1kti )1(•V( t ) = (1 + i)t +

= (1+i)t V(0).

[ ]

Questa formula è diretta conseguenza della scindibilità del regime a interesse composto.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA

• Due rendite con lo stesso valore attuale sono finanziariamente equivalenti ad ogni tempo t se, e solo se, il loro valore è calcolato con leggi coniugate ad interesse composto.

CALCOLO DELLE QUANTITÀ CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA:

RATA

V = R ina |

•R = ina

V

|

Problema inverso: trovare la rata

• Una rendita annua posticipata, composta da quattro termini, del valore attuale di 1000 Euro, richiede, ad un tasso i=12%, una rata di:

euro23,329/0001 inaR |

Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito mediante il pagamento di 5 rate costanti annuali posticipate, al tasso annuo del 7%, trovare la rata:

euro53,12194/00050 inaR |

CALCOLO DELLE QUANTITÀ CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA:

DURATA

)+(1 ilnR

iVRln

n

R

V

R

V

R

iVRln

• i =1 (1+i)-n (1+i)-n= 1 i

-n ln (1+i) =

.V

i

R

Problema inverso: trovare la durata

Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito mediante il pagamento di rate costanti annuali posticipate pari a 12194,53 Euro, al tasso annuo del 7%, quante rate occorrono?

5

,07)0+(1

53,1219450000*07,053,12194

)+(1

ln

ln

ilnRiVR

lnn

Ricerca del tasso di interesse

ina |

n

k

ki11

n

k

ki11

n

k

kiRV1

*1

•Da V = R = R

g(i) = R

funzione del tasso di valutazione i.•Si noti che per g(i*) = 0 si riottiene l'espressione

- V ,

Proprietà funzione

01)0(1

VnRVRgn

k

k

01)(lim1

VViRig

n

k

k

i

0)1()('1

1

n

k

kikRig

0)1)(1()(''1

2

n

k

kikkRig

(la funzione ha asintoto orizzontale di ordinata negativa)

(la funzione è decrescente)

(la funzione è convessa)

L’equazione g(i)=0 ha perciò una ed una sola soluzione i* 0, che corrisponde al tasso di valutazione della rendita.

Per determinare i* conviene ricorrere a metodi numerici.

• Metodi numerici iterativi per trovare i*

Ricerca del tasso di interesse

i*g(0)

g(i)

i

Metodo bisezione

• High=1• Low=0• Do while (high-low)> 0.0001• If g((high+low)/2)>0 then• High=(high+low)/2• Else: low=(high+low)/2• End if• Loop• Interesse= (high+low)/2

COSTITUZIONE DI UN CAPITALE

• Una sequenza di prestazioni finanziarie periodiche (ossia una rendita) può essere utilizzata per costituire, ad una determinata epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito. In questo modo si procede alla costituzione di un capitale.

classificazione• numero dei versamenti

- costituzione mediante un unico versamentoIl capitale S si costituisce mediante un unico versamento all’epoca iniziale- costituzione graduale di un capitaleIl capitale S si costituisce mediante più versamenti tra l’epoca iniziale e quella finale

• epoche di pagamento- costituzione con versamenti posticipatiil capitale S da costituire si renderà disponibile all’atto in cui si effettuerà l’ultimo versamento- costituzione con versamenti anticipatiIl capitale S da costituire si renderà disponibile un periodo dopo l’ultimo versamento.

Costituzione mediante unico versamento

• Il capitale S che si vuole costituire all’epoca futura t tramite un unico versamento R è il montante di R in t, dati il regime di capitalizzazione ed il tasso di interesse periodale i.

• L’unico versamento R necessario per costituire S non è altro che il suo valore attuale. Basta quindi esplicitare R dall’espressione del capitale da costituire.

• In particolare, nel regime di capitalizzazione semplice:

S = R (1 + it)it

SR

1

Costituzione mediante unico versamento

• In regime composto (convenzione esponenziale):

In regime composto (convenzione lineare):

tiS

R

1

)1(1 ifi

SR

n

Esempio

• Qualora si intenda disporre di 100 000 Euro dopo 5 anni dal versamento iniziale, e posto che il tasso praticato dalla banca sia il 4.56% in capitalizzazione composta, il versamento iniziale è:

50456.01

000100

R

R = 80 015.13 Euro

Costituzione mediante versamenti periodici:regime composto

• Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici posticipati di importo costante R in regime composto al tasso periodale i:

inRsS |

inin SsSR ||/

0per1

0per1)1(

|

in

ii

in

in

N.B. problema inverso del montante: trovare la rata

Sigma figurato n al tasso i

in | è la rata costante da versare per n periodi tale da costituire il capitale di 1 euro all’atto dell’ultimo versamento al tasso periodale i.

in | è funzione decrescente del tasso i.

Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici anticipati

di importo costante R in regime composto al tasso periodale i

insRS |

inin SsSR ||/

0per1

0per)1)1)((1(

|

in

iii

in

in

• è la rata costante da versare per n periodi tale da costituire il capitale di 1 lira un periodo dopo l’ultimo versamento al tasso periodale i.

• è funzione decrescente del tasso i

Sigma anticipato figurato n al tasso i

Esempio

• Si può costituire in 10 anni un capitale di 1000 Euro, al tasso i=12%, mediante dieci versamenti annui anticipati di importo costante:

• R = 50.88 Euro

12.0|01 = 0.050879.

Se le rate fossero posticipate, l'importo di ciascuna sarebbe maggiore:

R = 56.98 euro

in | = 0.056984.

Fondo di costituzione all’epoca k mediante versamenti periodici di importo costante R in

regime composto al tasso periodale i.

• Per conoscere quale somma è stata accantonata fino ad una certa epoca, occorre calcolare il fondo di costituzione a quella data epoca.

• Il fondo di costituzione ad una epoca t, ossia il montante in t delle k rate versate fino a quell’epoca, è

ikt RsF |f

ikf

kt iRsiFF )1()1( |

)1()1( | ifRsifFF ikkt

se t è intero

se t = k + f (con k intero e 0 < f < 1).

Esempio

• Sono stati effettuati sei versamenti mensili posticipati di 200 Euro al tasso 0.5% mensile, e ci si domanda a quanto ammonti il fondo di costituzione accumulato.

Euro10.1215005.0|66 RsF

Esercizio 1

• Per l’acquisto di un appartamento si decide di pagare subito 50000 e di pagare il rimanente in rate trimestrali di Euro 2000 per 10 anni versando la prima rata tra tre mesi. Tasso annuo nominale convertibile trimestralmente è il 6%. Si determini il prezzo dell’appartamento.

i4=0,06/4=0,015

69,59831015,0

)015,01(12000

40

V

Il valore dell’appartamento è 50000+59831,69=109831,69

Esercizio 2

• Per far fronte alla restituzione di un debito esigibile tra tre anni di 80000 Euro, Tizio vuole fare versamenti semestrali costanti al tasso annuo del 4,8%. Determinare la rata.

0237,0

1)0237,01(80000

6 R

i2=(1+0,048)1/2-1 = 0,0237

R = 12564,91

esercizi

• Rendite:

• ACD: es. 4.2, 4.5, 4.6, 4.9 punto b

• BC: es. 1,3,5,7,13

• Costituzione capitale:

• ACD: es. 6.1, 6.2, 6.3, 6.5

• BC: es.1 punto a, es.5, 8, 12