la differenziazione verticale e la propriet. di finitezza ... · Università di Sheffield. 3 ......

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differenziazione verticale - parte 1 1

la differenziazione verticale e la proprietà di finitezza secondo shaked e sutton


LA NOSTRA ROADMAP:

Il modello di Shaked e Sutton: differenziazione verticale e concentrazionedi mercato

….l’evoluzione dal 1982

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AVNER SHAKED

Professore di Teoria Economica, Università di Bonn. Visiting Professor alla Charles University, Praga.

Laurea in Matematica e Fisica e Dottorato in Economia all’UniversitàEbraica di Gerusalemme.

Editorial Board: T he Review of Economic Studies; The Quarterly Journal of Economics; Journal of Economic Theory.


John Sutton

Professore di Economia e Direttore del Dipartimento omonimo alla London School of Economics.

Diplomi da University College e Trinity College di Dublino.

Ha insegnato a alla Universitàdi Tokyo, alla Harvard Business School ed alla Università di Sheffield

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IL MODELLO DI SHAKED E SUTTON, 1983

IPOTESI:

separabilita’ della funzione di utilita’ nelle variabili:

Redditoconsumo


DIFFERENZIAZIONE PER QUALITA’, CONCORRENZA DI PREZZOE OLIGOPOLIO NATURALE

Più imprese attive sul mercato

● Offrono beni di diversa qualità;

● Competono sui prezzi;

● I prezzi sono crescenti al crescere della qualità

● La struttura dei costi dipende dal tipo di prodotto(qualità maggiore = spesa maggiore).

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Le spese sostenute per incrementi di qualità possono ricadere su:

COSTI FISSI(pubblicità, R&S...)

COSTI VARIABILI(input più pregiati, lavoro specializzato...)

DIFFERENZIAZIONE PER QUALITA’


1° Caso:

GLI ONERI RICADONO SUI COSTI FISSI

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STADIO 1: scelta simultanea di entrata (non

entrata) nel mercato

STADIO 2: le imprese presenti scelgono

simultaneamente la qualità

STADIO 3: le imprese fissano i prezzi in base

alla qualità e al numero di competitori

GLI ONERI SUI COSTI FISSI

SHAKED E SUTTON 1982

I costi medi variabili sono invarianti rispetto alla qualità,quindi senza perdita di generalità possiamo assumere c=0


Terzo stadio:Le imprese scelgono i prezzi


IPOTESI DEL MODELLO:

1) beni sostituti;2) n prodotti e n imprese;3) prezzo pk con k= 1,…,n;4) i consumatori hanno gli stessi gusti ma reddito diverso t,

sono distribuiti uniformemente per reddito 0 < a ≤ t ≤ b ;

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Terzo stadio:Le imprese scelgono i prezzi

6) siauk

Ck = , con Ck > 1uk - uk-1


IPOTESI DEL MODELLO:

5) U(t,k) utilità per aver consumato un’unità del bene k e per avera disposizione t unità di reddito ( può comprare altri beni per un valore pari a t):

U(t,k) = ukt dove U(t,0) =u0t

u0 < u1< ……. < un in ordine crescente di qualità


Il consumatore indifferente (1/2)

Un consumatore con un livello di reddito tk è indifferente all’acquisto del bene k al prezzo pk rispetto a quello del bene k-1 al prezzo pk-1, se:


Ogni impresa in questo stadio fisserà il prezzo che massimizza il proprio profitto. Il profitto dipende dal prezzo e dal numero di consumatori che acquisteranno quel bene

U(tk- pk, k) = U(tk- pk-1, k-1)

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Il consumatore indifferente (1/2)SHAKED E SUTTON 1982

Ogni impresa in questo stadio fisserà il prezzo che massimizza il proprio profitto.

Per sostituzione si ottiene: t1 = p1C1 & tk = pk-1(1- Ck) + pk Ck

I consumatori con reddito t>tk preferiscono acquistare il bene k al prezzo pk piuttosto che il bene k-1 al prezzo pk-1

0 a t1 t2……….tk….tn b

quota di mercato


Il consumatore indifferente (2/2)

Applicando le CPO e sostituendo l’espressione per tk

k = 1 t2 - a - p1( C2 - 1) = 0 t1 ≤ ak = 1 t2 - t1 - p1[( C2 - 1) + C1] = 0 t1 ≥ ak = 2…n-1 tk+1 - tk - pk[( Ck+1 - 1) + Ck] = 0 k = n b - tn - pnCn = 0


Assumendo che i costi siano nulli, c=0, si hanno i seguenti profitti R:

p1( t2 - a) t1 ≤ aR1=

p1( t2 – t1) t1 ≥ a

Rk = pk( tk+1 - tk) 1 < k< n

Rn = pn( b - tn)

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LEMMA 1

Sia b Sia b << 4a, dato un equilibrio di Nash che coinvolge 4a, dato un equilibrio di Nash che coinvolge n differenti prodotti, n differenti prodotti,


E’ possibile dimostrare il seguente risultato:

al pial piùù 2 prodotti (quelli di qualit2 prodotti (quelli di qualitàà migliore) migliore) hanno una quota di mercato positiva allhanno una quota di mercato positiva all’’equilibrioequilibrio..

allora


DIMOSTRAZIONE

Per ipotesi [b < 4a], quindi [tn-1< a] e poiché i redditisono compresi tra a e b, al più due imprese coprono ilmercato.


Supponiamo l’esistenza di un equilibrio di Nash tale che 3o più prodotti abbiano quota di mercato positiva;

Dalla CPO e usando la definizione di tk si ottiene:

tk+1 - 2tk - pk( Ck+1 - 1) – pk-1( Ck - 1) = 0 , per K>1

b - 2tn – pn-1( Cn - 1) = 0, per k=n

Considerato che Ck > 1, si ha che b > 2tn e tk+1 > 2tk

44ttnn--11<< bb

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Caso particolare: n=2

Ctp

1

1

1=

( )2

12

2 C1Vttp −+

=

( )( ) at1Vtt

at1Vtat

112

112

≥=

≤−+=

+

Sia V la misura delle qualità relative dei beni 1 e 2, e del restante bene 0, così definita:

Dall’equazione del consumatore indifferente otteniamo:

Utilizzando queste equazioni riscriviamo le C.P.O. per max i profitti:

1C1C

uuuu

1

2

12

02V +−

=−−

=

Impresa 1

( )1Vtt2b 12−=−Impresa 2



L’intersezione delle precedenti equazioni ci fornisce l’unico equilibrio esistente (t1,t2), da cui si deriva l’equilibrio dei prezzi (p1,p2).


L’ottimo si troverà in una delle tre regioni individuate dal grafico:

3 ab + a

Regione I se: V ≥

≥V≥b + a3 a 3 a

b - aRegione II se:

Regione III se: V ≤3 a

b - a

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Osservazioni:

Soluzione nella regione III

( )[ ]1Vab21

a tt 21−−==

t1>a

Alcuni consumatori non acquisteranno alcun bene, perciò il mercato non sarà completamente coperto.

Soluzione nella regione II

Tutti i consumatori acquistano uno dei due beni, il mercato è coperto,il consumatore più povero è indifferente fra l’acquistare il prodotto di qualità più bassa o meno.

Soluzione nella regione I ( ) 3ab

1V32ab tt 21

+=

−−

=

Il mercato è coperto, il consumatore con minor reddito preferisce strettamente acquistare il prodotto di qualità inferiore.



Assumiamo 2a<b<4aAssumiamo che 2a<b<4a:

All’equilibrio solo 2 delle n imprese che offrono prodotti differenziati, raggiungono un market share positivo.

Il mercato risulta coperto.

(la coppia (p1,p2) rappresenta l’equilibrio di Nash nei prezzi)

LEMMA 2


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Caso k=2

Secondo stadio: le imprese scelgono il livello di qualità

Hp:k: numero di imprese sul mercatoxi : livello di qualità i = 1,…,kcon x0 < xi < x’ dove x’ è un UB esogeno

R(x,y) : profitto dell’impresa che produce bene di qualità x mentrela rivale ne produce uno di qualità y, assumendo prezzi all’equilibrio

Lemma 4Lemma 4: i profitti di entrambe le imprese aumentano almigliorare della qualità del prodotto più pregiato


Questa funzione ha due proprietà:

Lemma 3Lemma 3: dati due livelli di qualità t.c. x>y, l’impresa con il bene di qualità maggiore ha un profitto maggiore della rivale, cioè:

R(x,y)>R(y,x)


Il gioco , cioè il gioco con 2 imprese a 2 stadi in cui siscelgono prima la qualità e poi i prezzi ha un equilibrioperfetto in strategie pure; il risultato è dato da 2 qualitàdistinte e, all’equilibrio, entrambe le imprese ottengonoprofitto positivo.

2G

Caso k>2

Il gioco Gk ha un Equilibrio di Nash con

xi = x’, 1≤i≤k,

cioè tutte le imprese scelgono lo stesso livello di

qualità, il migliore

l’entrata di più di 2 imprese porta ad una configurazione in cuiil bene di qualità maggiore è disponibile a prezzo zero e tutte le imprese ottengono profitti nulli.


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Primo stadio: le imprese decidono se entrare o meno nel mercato

Ipotesi:

ε>0 costo di entrata

n: numero potenziali entranti

Si può dimostrare che:

per ε>0 (abbastanza piccolo) e n>2


Esiste un equilibrio perfetto in cui 2 imprese entrano, produconobeni di qualità distinta e conseguono profitti positivi

NON esiste un equilibrio perfetto in cui le imprese entranti

siano più di 2


Conclusioni:


Il solo equilibrio perfetto nel gioco non-cooperativo a 3 stadi è quello in cui:

• esattamente 2 imprese entrano nel mercato

• esse producono beni distinti

• all’equilibrio, ottengono profitti positivi

In questo modello l’ Upper Bound sul numero di imprese che riescono ad ottenere profitto positivo è pari a 2

ma va considerato che si è assunta una distribuzione uniforme dei redditi tra [a,b] con la restrizione 2a<b<4a.

L’ Upper Bound cresce al crescere del range in cui variano i redditi dei consumatori ……….

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… Quindi generalizzando si conclude che …

NELL’EQUILIBRIO DI PREZZONELL’EQUILIBRIO DI PREZZO

SOLAMENTE K IMPRESE HANNO QUOTE DI MERCATO SOLAMENTE K IMPRESE HANNO QUOTE DI MERCATO

POSITIVE PER QUALUNQUE DIMENSIONE DEL POSITIVE PER QUALUNQUE DIMENSIONE DEL

MERCATOMERCATO


CONSIDERANDO LA COMPETIZIONE DI PREZZO TRA n IMPRESE CHE OFFRONO BENI DI QUALITA’ DIVERSA X1<X2<…<XN, SE a>0 E L’AMPIEZZA DEL SUPPORTO DELLA DISTRIBUZIONEDEI REDDITI E’ TALE CHE 2k-1 a< b< 2k a…

PROPRIETA’ DI FINITEZZAPROPRIETA’ DI FINITEZZA


CONSEGUENTEMENTE

La quota di mercato della KK--esimaesimaImpresa in ordine decrescente di

qualità include IL CONSUMATORE IL CONSUMATORE CON IL REDDITO PIU’ BASSOCON IL REDDITO PIU’ BASSO

Le restanti N N –– k impresek impreseche offrono beni di qualità inferiore

NON OTTENGONO QUOTE DI NON OTTENGONO QUOTE DI MERCATO POSITIVE MERCATO POSITIVE


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Quando i costi medi variabili (CMV) NON DIPENDONO dalla qualità la competizione tra i prodotti migliori riduce i loro prezzi a un livello al quale anche il consumatore con un redditopiù basso trova conveniente acquistarli.

Poiché l’onere per incremento della qualità ricadeINTERAMENTE sui costi fissi,l’impresa con il bene più pregiato potrebbe ridurre il proprio prezzo fino a un prezzo minimo,uguale per tutti, pari al suo CMV.

TALE IMPRESA ACQUISISCE, IN QUESTO CASO, TUTTO IL MERCATO



Un sufficiente divario nei CMVtra i prodotti di qualità diversa

Impedisce un eccessivo avvicinamento dei prezzi dei beni

Il mercato dei prodotti meno pregiati è, in tal caso, garantito

…QUINDI…

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COSTI FISSI(pubblicità, R&S..)

COSTI VARIABILI(input più pregiati, lavoro specializzato..)

Le spese sostenute per incrementi di qualità possono ricadere su:


2° Caso:

GLI ONERI PER INCREMENTI DI QUALITÀ

RICADONO SUI COSTI VARIABILI

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SIANO c(x) I COSTI MEDI VARIABILI IN RELAZIONE ALLA QUALITA’ X E SI SUPPONGA CHE LE QUALITA’ DEI PRODOTTI SIANO TRA LORO DIVERSE E RICADANO IN UN INTERVALLO [X’,X’’]. LA CONDIZIONE c’(x) [a,b] per X [X’,X’’] E’ NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHE’ ESISTA UN NUMERO MASSIMO DI PRODOTTI CON DOMANDA POSITIVA NELL’EQUILIBRIO DI NASH NEI PREZZI, QUALUQUE SIA LA DIMENSIONE DEL MERCATO”.


ONERI E COSTI VARIABILI

∈∉

Abbiamo definito:-c(x) i costi medi variabili dipendenti dal livello di qualità -c’(x) i costi marginali-x il livello di qualità compreso tra x’ e x’’-[a,b] range di variazione del reddito dei consumatori



ONERI E COSTI VARIABILI

Qualora la condizione non sia rispettata, il mercato si frammenta: al crescere della dimensione del mercato il numero di impresee prodotti di diversa qualita’ aumenta

La condizione di Shaked e Sutton “c’(x) non appartenente all’intervallo [a,b] “ è necessaria e sufficiente perché il mercato risulti concentrato: all’aumentare della domanda aumenta la qualità dei beni mentre la gamma di prodotti offerti rimane costante.

un aumento della domanda non modifica il numero di prodotti offerti ma consente un innalzamento dei livelli di qualita’ dei beni offerti.

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Dimostrazione (intuitiva):

SUPPONIAMO CHE AL CRESCERE DEL NUMERO DELLEIMPRESE CORRISPONDA UN’OFFERTA DI BENI DI DIVERSAQUALITA’ SEMPRE PIU’ RAVVICINATA

CONTRAZIONE DELLE QUOTE DI MERCATO INDIVIDUALI

Qualora c’(x) [a,b] si giunge ad una contraddizione!!


LE IMPRESE REAGISCONO: P C(X)

∉


c(x)Hp: p

Derivando la funzione di utilità del consumatore rispetto alla qualità, otteniamo l’incremento marginale di utilità qualora si scegliesse un bene immediamente più pregiato:

dU/dx = t - c’(x)

t = reddito x = qualità

ESISTE ALLORA UNA CONTRADDIZIONE CHE IMPEDISCE DI FAR COESISTERE PREZZI PARI AI COSTI E UN MERCATO FRAMMENTATO


Ut (p,x) = tx- c(x)

Funzione di utilità del consumatore

Ut (p,x) = t x- c(x)

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L’incremento marginale di utilità qualora si scegliesse un bene immediatamente più pregiato è

t - c’(x)

Se c’(x)<a, t- c’(x)>0

per ogni t [a,b]

TUTTI I CONSUMATORI TUTTI I CONSUMATORI PREFERIREBBERO IL PREFERIREBBERO IL BENE BENE PIU’PIU’ PREGIATOPREGIATO

Se c’(x)>b, t- c’(x)<0

per ogni t [a,b]

TUTTI I CONSUMATORI TUTTI I CONSUMATORI PREFERIREBBERO IL PREFERIREBBERO IL BENEBENE MENO MENO PREGIATOPREGIATO


∈∈


Se vale la condizione di Shaked è vera solo una delle seguenti condizioni:

-c’(x)<a-c’(x)>b

In entrambi i casi, come evidenziato, una sola impresa ottiene profitto positivo,quella che produce il bene più (meno) pregiato, e si contraddice l’ipotesi di esistenza di un mercato frammentato!

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Come conseguenza della concentrazione, abbiamo dunque le caratteristiche sopra evidenziate, proprie di mercati per i quali vale la proprietà di finitezza.

… All’aumentare del numero dei consumatori …

… aumentano le vendite per le imprese e i profitti correnti …

… aumentano le possibilità per le imprese di sostenere costi più elevati richiesti per produrre beni di qualità più alta …

L’AUMENTO DI DOMANDA E’ EVIDENZIATO DA UN NUMERO COSTANTE DI BENI OFFERTI CARATTERIZZATI DA UNA QUALITA’ VIA VIA CRESCENTE.



E quindi i beni di qualità intermedia otterrebbero quote di mercato positive in equilibrio.

E vi sarebbe allora sempre spazio per un’impresa che scegliesse un livello di qualità intermedio tra due rivali, poiché per un prezzo sufficientemente prossimo ai propri costi medi variabili troverebbe un gruppo di consumatori per i quali la nuova offerta sarebbe quella più attraente sul mercato.


Progressiva frammentazione del mercato

Qualora invece violando le condizioni di Shaked e Sutton si verifichi per qualche consumatore c’(x) = t con c’(x) [a,b], allora la scelta di un bene di qualità x [X’,X’’] (intermedia) gli permetterebbe di massimizzare la sua utilità.

∈∈

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Abbiamo supposto che ad un aumento del numero di imprese sul mercato faccia seguito una accesa concorrenza sui prezzi, le cui riduzioni spingono necessariamente fuori dal mercato i prodotti di qualità più bassa.

Tuttavia, ciò potrebbe non essere sempre vero: potrebbe essere più conveniente accettare l’ingresso di nuovi competitori e mantenere alti i prezzi, piuttosto che ridurre il margine di profitto.

Shaked e Sutton si posero dunque il seguente dilemma: cosa potrebbe accadere se in una forma di competizione meno accesa?


Il modello di Shaked e Sutton (1983)presuppone che:

PIU’ IMPRESE

PIU’ COMPETIZIONESUI PREZZI

P C(X)

… ma se ci fossero forme di competizione meno accesa?...

MERCATO CONCENTRATO

POCHE IMPRESE REALIZZANO PROFITTI

POSITIVI

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proposero un modello in cui le imprese

differenziano i propri prodotti sia verticalmente che

orizzontalmente (sia per qualità che per varietà):

in questo modo, due beni egualmente pregiati ma

offerti in versioni diverse potrebbero coesistere con

profitti positivi, senza che la competizione riduca il

prezzo sino a spiazzare i beni di qualità più bassa


Costi fissi endogeni Costi fissi esogeni

Tali relazioni rsono chiarite nel modello di Shaked e Sutton del 1991


Come sono strutturati i costi fissi in relazioneai diversi tipi di differenziazione? ...

Differenziazione verticaleDifferenziazione verticale

Mercato concentrato

Differenziazione orizzontaleDifferenziazione orizzontale

Mercati frammentati

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Come sono strutturati i costi fissi in relazione ai diversi tipi di differenziazione? ...

In un caso, i costi fissi risultano esogeni e indipendenti dalle successive strategie di competizione delle imprese, e pertanto non variano in seguito all’espansione del mercato.

Nell’altro, quando vale la proprietà di finitezza i costi fissi sono determinati endogenamente dal livello di qualità dei prodotti offerti, ed aumentano insieme alla dimensione del mercato, preservandone la concentrazione.


nel Modello del 1991 evidenziarono la differenza di fondo che conduce, in seguito alla crescita della domanda, a strutture di mercato frammentate o concentrate.

Differenziazione orizzontaleDifferenziazione orizzontale

I costi fissi risultano in questo caso esogeni e indipendenti dalle successive strategie di competizione delle imprese, e pertanto non variano in seguito all’espansione del mercato, CHE E’ ORA FRAMMENTATO

Differenziazione verticaleDifferenziazione verticale

Quando vale la proprietà di

finitezza i costi fissi sono

determinati

endogenamente dal livello

di qualità di prodotti offerti,

ed aumentano insieme alla

dimensione del mercato,

PRESERVANDONE QUINDI

LA CONCENTRAZIONE

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Shaked e Sutton

In equilibrio esiste un limite superiore, indipendente dalla qualità dei prodotti, al numero di imprese che possono coesistere con quote positive di mercato e prezzo superiore o uguale ai costi variabili unitari.


Il lungo periodo

La scelta di entrare in un mercato può essere vista come la decisione di maggior peso e di più difficile modificazione, e viene quindi a caratterizzare in modo naturale l’orizzonte di programmazione di lungo periodo.

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