Cap. 4 Distribuzioni di frequenza,

tabelle e graficiCioè come si sfruttano i dati grezzi, perché è da qui che inizia l’analisi

statistica

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I dati grezzi• Il risultato della rilevazione del fenomeno X sulla popolazione U di

numerosità N è un insieme di N osservazioni• Ciascuna osservazione coincide con una (e una sola) delle k modalità xi

previste dalla scala utilizzata.

Esempio: il numero di partner degli studenti universitari: fenomeno X quantitativo e discreto, che si rileva contando; le sue modalità xi sono i numeri interi 0,1,...; la scala delle modalità è quantitativa rapporto.

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Distribuzioni di frequenza• L'analisi statistica procede per sintesi successive: l'obiettivo è di fare emergere dai dati, ad

ogni livello di sintesi, informazioni utili a descrivere e spiegare il comportamento di X su U.

• Il numero di volte in cui una modalità xi è stata rilevata in U si chiama frequenza (assoluta). La somma delle frequenze assolute riproduce la numerosità N di U

• La colonna di destra costituisce la distribuzione di frequenza. La distribuzione delle frequenze assolute si costruisce per conteggio e consente di organizzare i dati in tabella

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1x

9x

4x

9f

4f

Variabili statistiche

• Le modalità xi , a seconda della natura del fenomeno X e della tipologia di scala utilizzata, possono essere attributi, categorie, numeri, intervalli

• Le frequenze fi sono sempre numeri interi non negativi

• Una variabile statistica (v.s.) è un insieme di k coppie {xi, fi},

• X indica sia il fenomeno di interesse (prima di essere rilevato), sia la corrispondente variabile statistica (dopo la rilevazione e la strutturazione dei dati grezzi)

• Il passaggio dai dati grezzi alla v.s. ha “fatto ordine”, nel senso di rendere i dati più organizzati e leggibili, ma ha “perso l'ordine”, nel senso che non abbiamo più l'informazione sull'ordine con il quale i dati sono stati rilevati

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k

iiii Nfkifxsv

1

,1,,..

Frequenze relative e percentuali

• Se l'obiettivo è il confronto delle distribuzioni di frequenza di X su più popolazioni con numerosità diversa, occorre depurare le frequenze assolute dall'influenza di N costruendo le frequenze relative

• Le percentuali sono le frequenze relative moltiplicate per 100

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N

fp i

i 1:: ii pNf

100100

ii

i pN

fperc100:: ii percNf

k

iiii Nfkifxsv

1

,1,,..

No partners Studenti/esse Freq. Perc.

0 11 11/60 = 0,183 18,31 10 10/60 = 0,167 16,72 10 10/60 = 0,167 16,73 6 6/60 = 0,100 10,04 5 5/60 = 0,083 8,35 4 4/60 = 0,067 6,76 7 7/60 = 0,117 11,77 4 4/60 = 0,067 6,78 3 3/60 = 0,050 5,0

Totale 60 60/60 = 1,000 100,0

Freq. Relative

1,1,,..1

k

iiii pkipxsv

100,1,100,..1

k

iiii pkipxsv

N

fp i

i

100100

ii

i pN

fperc

Frequenze cumulate

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Quando X è ordinale o cardinale è buona pratica costruire la v.s. ordinando in senso crescente le modalità osservate

Le frequenze cumulate ci dicono quante sono le unità statistiche che manifestano una modalità non superiore di una certa

ix …..ovvero minore o uguale a tale ix

i

jjii ffffF

121

N

Fpppp i

i

jjii

121

No partners

Studenti/esse % Cumul. Ass. Cumul %

0 11 18,3 11 18,31 10 16,7 21 35,02 10 16,7 31 51,73 6 10,0 37 61,74 5 8,3 42 70,05 4 6,7 46 76,76 7 11,7 53 88,37 4 6,7 57 95,08 3 5,0 60 100,0

Totale 60 100,0 xxxx xxx

46 studenti hanno non più di 5 partners (ovvero un num. di partners minore o uguale a 5)

Il 50% degli studenti ha non più di 2 partners

(il 50% degli studenti ha più di 2 partners)

Distribuzioni di frequenza per variabili statistiche con modalità raggruppate in classi

Carattere continuo o con un numero di modalità molto elevato

Scala delle modalità

10X 2010 X 20X

Fenomeni quantitativi continui: classi di modalità

Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx

classi di modalità 2010 10 20

Scala delle modalità

10X 2010 X 20X

Fenomeni quantitativi continui: classi di modalità

Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx Nu

1u

ju

Fenomeno(o carattere, o variabile)

X : statura

juX

Rilevazione del fenomeno sull’unità

statistica (misurare l’altezza)

jxjx

classi di modalità2010 10 20

LxlxEstremo superioreEstremo inferiore

Classe aperta

Fenomeni quantitativi continui: classi di modalità

Scala o insieme delle modalità di X

Estremi delle classi di modalità

1x 2x lx Lx 1kx kx

Classi di modalità

lx Lx Estremi esclusi

E.inferiore E.superiore

lx Lx Estremi inclusi

lx Lx Estremo sup.

incluso

lx Lx Estremo inferiore

incluso

lL xx Ampiezza della classe

2* Lli

xxx

lx Lx Estremo inferiore

incluso

kx1x

32

2x45

lx55

Lx60

1kx70 82

16 25 8 39 89if

fi pi perc Ficumul

%100-

cumul32 45 16 0,090 9,0 16 9,0 91,045 55 25 0,141 14,1 41 23,2 76,855 60 8 0,045 4,5 49 27,7 72,360 70 39 0,220 22,0 88 49,7 50,370 82 89 0,503 50,3 177 100,0 0,0

177 1,000 100,0Totale

Anni

lx Lx Estremo inferiore

incluso

kx1x

32

2x45

lx55

Lx60

1kx70 82

16 25 8 39 89iflL xx 13 10 5 10 12

2* Lli

xxx

fi piampiez

zaval.

centrale32 45 16 0,090 13 38,545 55 25 0,141 10 5055 60 8 0,045 5 57,560 70 39 0,220 10 6570 82 89 0,503 12 76

177 1,000Totale

Anni

38.5 50 57.5 65 76

Ipotesi del valore

centrale

kx1x

32

2x45

lx55

Lx60

1kx70 82

fi ampiezza val. centrale densità32 45 16 13 38,5 1,245 55 25 10 50 2,555 60 8 5 57,5 1,660 70 39 10 65 3,970 82 89 12 76 7,4

177Totale

Anni

Le densità di frequenza

lL

ii xx

f

Quante u.s. si osservano nell’intervallo per ogni unità di misura della v.s. (in questo caso l’anno)

nell’ipotesi di equi-ripartizione

Indicano l’addensamento delle osservazioni nelle diverse classi, al netto della diversa ampiezza

kx1x

32

2x45

lx55

Lx60

1kx70 82

fi ampiezza val. centrale densità32 45 16 13 38,5 1,245 55 25 10 50 2,555 60 8 5 57,5 1,660 70 39 10 65 3,970 82 89 12 76 7,4

177Totale

Anni

Le densità di frequenza

lL

ii xx

f

lLii xxf

8

55

1.61625

39

89Istogrammi

(rappresentazione graficadelle frequenze)

Rappresentazioni grafiche

• Dalle distribuzioni di frequenza (assolute, relative, % e cumulate) si possono costruire grafici

• I grafici sono alternativi alle tabelle: non si tratta di una ulteriore forma di sintesi, ma solo di una diversa presentazione

• I grafici sono preferibili alle tabelle soprattutto se k è grande

• Per i fenomeni qualitativi il grafico è un semplice disegno (barre, torte...), in cui l'altezza/lunghezza delle barre o la dimensione dello spicchio della torta danno un'idea della frequenza associata a ciascuna categoria xi osservata

17

Esempio

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Rappresentazioni grafiche di fenomeni quantitativi

• Per i fenomeni quantitativi, dove anche le xi, oltre alle fi , sono dei numeri, si costruiscono dei diagrammi cartesiani: sull'asse delle ascisse si mettono le xi, su quello delle ordinate le fi o le pi

– Fenomeni discreti: il diagramma più efficace è quello a bastoncini : in corrispondenza di ogni modalità xi, identificata con un singolo punto sulle ascisse, si innalza un bastoncini alto quanto la corrispondente frequenza posta sulle ordinate

– Fenomeni continui: se si fa l'ipotesi del valore centrale questo equivale ad una discretizzazione (vedi sopra); se si fa invece l'ipotesi della distribuzione uniforme, la frequenza viene rappresentata da un'area, con un istogramma.

– L'istogramma è l'unica rappresentazione sensata quando le classi hanno un'ampiezza diversa.

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Esempio

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Sintesi del capitolo• La prima forma di sintesi dei dati è data dalla distribuzione di frequenza

assoluta che, per ogni modalità del carattere, ci dice quante u.s. presentano quella modalità: la loro somma da la numerosità totale della popolazione

• Per favorire il confronto si ricorre alle frequenze relative e percentuali che ci dicono quale quota di u.s. su 1 (o su 100) presentano una certa modalità: la loro somma da 1 (o 100)

• Un’ informazione ulteriore è costituita dalle frequenze cumulate che, per ogni modalità, ci dice quante u.s. presentano un valore minore o uguale a quella data modalità: hanno senso solo se il carattere è almeno ordinabile

• Quando il carattere è continuo o misurato con una scala che prevede un elevato numero di modalità (generalmente quantitativa), si ricorre a distribuzioni di frequenza per modalità raggruppate in classi, caratterizzate da una certa ampiezza e da un certo valore centrale

• La densità rappresenta l’addensamento della frequenza in ogni classe e consente di svincolar e il giudizio sulla frequenza dall’ampiezza della classe