IDROLOGIA. ELEMENTI DI STATISTICA PER LANALISI DELLE PRECIPITAZIONI.

IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER L’ANALISI DELLE PRECIPITAZIONI

Flussi all’interno del ciclo idrologico. I valori sono espressi in relazione alla precipitazione annuale sulla superficie terrestre ( 100 = 119000 Km3 / anno)

Le variabili casuali di interesse possono essere diverse a seconda del problema: quando si affrontano problemi relativi all’uso delle risorse idriche le variabili casuali da considerare possono essere:- pioggia media annua - portata media annua- pioggia media del periodo asciutto - portata media del periodo asciutto- numero max di giorni consecutivi non piovosi nell’anno;- minimo annuale del deflusso medio in k giorni consecutivi.

Gran parte delle grandezze che governano i fenomeni idrologici sono aleatorie e quindi descrivibili attraverso variabili casuali da studiare con i metodi probabilistici.

Quando, invece, si affrontano problemi di difesa dalle piene o problemi di progetto di un opera idraulica (collettori, briglie, ecc.) le variabili casuali che interessano sono:- max annuale delle piogge di t ore (t varia tra 0.5 e 24 ore);- max annuale delle piogge di k giorni consecutivi (k varia tra 1 e 5 o 10)- max annuale della portata al colmo- max annuale della portata media in k ore consecutive (k varia tra 0.5 e 1.2);- massimo annuale della portata media giornaliera;

Per la variabile idrologica da considerare come variabile casuale è importante definire il passo temporale di misura (1 ore, t ore, 1 giorno, k giorni, ecc.), il valore da considerare (massimo, minimo, media, valore totale), l’orizzonte temporale di riferimento (anno, periodo secco, mese, etc.).

Variabili aleatorie e Probabilità

Variabile aleatoria o stocastica o casuale X è una variabile che può assumere uno qualunque dei valori di un insieme finito o infinito; tale variabile può essere discreta o continua e a ciascuno dei suoi valori è associata una probabilità, nel caso di variabile discreta, ovvero una densità di probabilità nel caso di variabile continua.

Definiamo come Probabilità la scala di misura utilizzata per descrivere la possibilità di accadimento di uno specifico evento al quale è associato un valore di una variabile casuale X.

La scala sulla quale viene misurata la probabilità di un evento è compresa nel range 01 dove il valore 0 indica l’impossibilità che l’evento si verifichi, mentre il valore 1 indica la certezza dell’evento.


La Probabilità di una variabile aleatoria discreta X è descritta da una funzione di massa p che definisce la possibilità che la variabile aleatoria X assuma il valore xk e si indica come:

)()( kk xxpxp

Condizioni da rispettare: 1)(0 kxp 1)(1

N

kkxp

dove N è il numero totale di valori possibili per la variabile X.

Si definisce la distribuzione cumulata (di massa) di Probabilità della variabile aleatoria discreta X:

k

jjk xpxxp

1)()(

La distribuzione cumulata di Probabilità indica la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori o uguali a xk (PROBABILITA’ DI NON SUPERAMENTO)


La Probabilità di una variabile aleatoria continua X è descritta dalla funzione f di densità di probabilità (PDF). In particolare la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore compreso nell’intervallo x1-x2 è data da

2

1

)()( 21

x

x

dxxfxxxp

Condizioni da rispettare: 1)(

dxxf

dove N è il numero totale di valori possibili per la variabile X.

Si definisce la distribuzione di probabilità cumulata (CDF) della variabile aleatoria continua X:

kx

k dfxxp )()(

La funzione CDF indica la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori o uguali a xk (PROBABILITA’ DI NON SUPERAMENTO)

La funzione di probabilità cumulata o probabilità di non superamento è funzione, oltre che del valore della variabile casuale in esame, di altri parametri β da stimare.

La probabilità di superamento

Il frattile xP indica il valore della variabile casuale X che ha probabilità P di non essere superato:

Si definisce popolazione l’insieme di tutti i valori che la variabile casuale X può assumere indeterminate condizioni ambientali, ovvero in condizioni che sono rimaste immutate rispetto alpassato e che resteranno tali anche in futuro, almeno per i tempi che interessano la sede applicativa.Si definisce campione di dimensione N, la serie statistica costituita da N valori x1, x2, ……,xi,……xN assunti dalla X in una determinata stazione di misura o estratti in maniera casuale dalla popolazione.

Si definisce tempo di ritorno T associato ad un dato valore x di una variabile casuale X, il periodo (anni se stiamo analizzando dati annuali) che bisogna attendere perché si verifichi nuovamente un determinato evento.

PxXPx pp :

NSpS PxXPP 1

NS

R

S

R PT

PT

1

1 ;

1

Rischio (di superamento)

Si definisce rischio (di superamento) associato ad un certo valore di una variabile casuale la probabilità che tale valore sia superato almeno una volta in un numero prefissato di anni N

N

R

N

NSN )T

()(PR1

111

Nel caso in cui N coincide con la durata prevista dell’opera che si sta progettando il rischio di superamento fornisce la probabilità che tale opera risulti insufficiente almeno una volta nel corso della sua vita.

Rischio (di superamento)

Tr (anni) 1 2 5 10 15 20 30 40 50 100 500 10001 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.0002 0.500 0.750 0.969 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.0005 0.200 0.360 0.672 0.893 0.965 0.988 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.00010 0.100 0.190 0.410 0.651 0.794 0.878 0.958 0.985 0.995 1.000 1.000 1.00015 0.067 0.129 0.292 0.498 0.645 0.748 0.874 0.937 0.968 0.999 1.000 1.00020 0.050 0.098 0.226 0.401 0.537 0.642 0.785 0.871 0.923 0.994 1.000 1.00030 0.033 0.066 0.156 0.288 0.399 0.492 0.638 0.742 0.816 0.966 1.000 1.00040 0.025 0.049 0.119 0.224 0.316 0.397 0.532 0.637 0.718 0.920 1.000 1.00050 0.020 0.040 0.096 0.183 0.261 0.332 0.455 0.554 0.636 0.867 1.000 1.000

100 0.010 0.020 0.049 0.096 0.140 0.182 0.260 0.331 0.395 0.634 0.993 1.000500 0.002 0.004 0.010 0.020 0.030 0.039 0.058 0.077 0.095 0.181 0.632 0.8651000 0.001 0.002 0.005 0.010 0.015 0.020 0.030 0.039 0.049 0.095 0.394 0.632

N (anni)

Rischio di superamento per N=Tr al crescere di Tr

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo di ritorno (anni)

Ris

chio

di

ins

uff

icie

nza

Probabilità e Frequenza

I dati misurati di una variabile aleatoria X sono generalmente limitati.

Lo studio statistico sulla variabile si sviluppa quindi su campioni limitati.

Ordinando il campione in senso crescente si può definire la Frequenza

cumulata di non superamento del dato i-esimo pari a F = i/N, dove i è il numero d’ordine dei diversi valori ed N la numerosità del campione.

Si può quindi costruire la curva di frequenza cumulata disponendo sulle ascisse il valore del singolo dato e in ordinate la corrispondente F.

Campioni diversi della stessa variabile casuale danno origine a diverse curve di frequenza cumulata !!!

Se N ogni curva di frequenza cumulata tende ad un’unica curva limite che è la distribuzione di probabilità della variabile casuale a cui appartengono i campioni.

Probabilità e Frequenza

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30Valori variabile

F,

P

-5

0

5

10

15

20

25

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

3 campionidi dati misurati

Frequenza cumulataper i 3 campionie distribuzionedi probabilità (CDF)

Proprietà di un campione di una Variabile casuale

Una serie di dati numerici è descritta da 3 proprietà principali:

1) Tendenza centrale o posizione2) Dispersione o variabilità3) Forma

Le misure sintetiche descrittive di queste proprietà sono chiamate:

statistiche, se relative ad un campione di datiparametri, se descrivono l’intera popolazione o universo dei dati.

Di una variabile aleatoria generalmente non si conosce l’intera popolazione, ma si dispone solo di campioni limitati (realizzazioni).

Gli indici relativi alle precedenti proprietà vengono derivati dai momenti del campione.

Momenti

Per una serie di dati i momenti m di ordine k calcolati rispetto ad un punto c sono dati dalla relazione:

N

cx

m

N

1i

ki

k

c = 0 => momento rispetto all’originec = media => momento rispetto alla

media = momento centrale

Media => Momento di ordine 1 (k=1) rispetto all’origineVarianza => Momento centrale di ordine 2 (k=2)

Il momento di ordine 1 descrive le proprietà relative alla tendenzacentrale del campione;Il momento di ordine 2 descrive le proprietà relative alla dispersione del campione; I momenti di ordine superiore descrivono le proprietà relative alla forma del campione.

Tendenza centrale

Le misure di tendenza centrale servono per individuare il valore intorno al quale i dati sono raggruppati.

Le misure di tendenza centrale sono:

Media =>

Mediana => è il valore che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati

Moda => è il valore più frequente di un campione di dati

N

1iix

N

1

Dispersione

Le misure di dispersione servono a descrivere come la popolazione si distribuisce intorno al suo valore centrale. La misura della dispersione è generalmente fornita dalla varianza.

Varianza della popolazione =>

Varianza del campione =>

Scarto quadratico medio o deviazione standard => ( ovvero s)

N

1ii(x

N22 )

1

N

1ii(x

Ns 22 )

1

1

Forma

Le misure di forma servono a descrivere la forma della distribuzione.

Coefficiente di asimmetria =>

Curtosi =>

Quando media, mediana e moda non coincidono la distribuzione è asimmetrica. La coincidenza di questi tre valori è condizione solo necessaria ma non sufficiente perché la distribuzione sia simmetrica.

3

3)1

s

(xN

C

N

1ii

a

4

4)1

s

(xN

N

1ii

La prima fase dell’analisi idrologica individua le grandezze idrologiche di interesse e le stazioni di misura. Si procede quindi alla raccolta dei dati, alla loro analisi statistica ed alla valutazione dei valori che le variabili indagate potranno assumere nel futuro.

La stima dei valori di una qualsiasi variabile idrologica consiste essenzialmente nella determinazione della sua funzione di probabilità cumulata P(x) ovvero nella identificazione della relazione x = x (T), che lega la variabile al periodo di ritorno TR

Le analisi statistiche dei fenomeni idrologici si basano essenzialmente sull’uso delle distribuzionidi probabilità, quindi, è utile un breve richiamo delle principali definizioni di statistica e delledistribuzioni di probabilità più comunemente adoperate nello studio di tali grandezze.

Nelle analisi statistiche si seguono generalmente le seguenti fasi:- formulazione dell’ipotesi sulla composizione della popolazione della X, individuando quale fra le distribuzioni di probabilità quella che meglio si adatta a descrivere la popolazione;- calcolo deii parametri, in funzione degli N valori osservati della X. In questo modo si trovano le migliori stime dei parametri che caratterizzano la distribuzione utilizzata traendo dal campione la massima informazione sulla popolazione da cui esso proviene;- verifica dell’ipotesi, con test statistici atti a verificare che gli scarti che si riscontrano fra la composizione della popolazione e quella del campione siano o meno significativi.

ANALISI STATISTICA

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’

Una variabile X si dice distribuita secondo la legge Normale (o distribuita normalmente) se la sua funzione distribuzione di probabilità cumulata (PDF) e la sua funzione distribuzione di probabilità cumulata (CDF) hanno rispettivamente la forma :

in cui le grandezze μ e σ sono i parametri della distribuzione e ne rappresentanorispettivamente la media e lo scarto quadratico medio.

Sostituendo alla variabile X la variabile ausiliaria U definita come

dxexPexpx xx

2

2

2

2

2

22 2

1)( ;

2

1)(

XU

chiamata variabile ridotta standardizzata, che ha media zero e scarto quadratico medio uno, la CDFdiventa:

dueuPx

u

2

2

2

2

1)(

L’andamento della P(u) è noto ed esistono tabelle che ne associano il valore ad ogni valore di u (funzione DISTRIB.NORM.ST. di EXCEL).

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’

Una variabile X si dice distribuita secondo la legge log-Normale se la variabile trasformata

è distribuita normalmente. Per la Y valgono la PDF e la CDF della distribuzione bormale nelle quali i

parametri sono μY=μ(log(X) e σY=σ(log(X) .

)log(XY

LE DISTRIBUZIONI DEI VALORI ESTREMI

L’analisi statistica degli estremi idrologici si può condurre secondo due diversi approcci nonalternativi. Il primo consiste nel considerare solo i massimi (o minimi) valori in un assegnatointervallo di tempo, generalmente un anno, utilizzando cioè la serie dei massimi (minimi) annuali equindi un valore per ogni anno. Il secondo approccio, invece, tiene conto di tutti i valori cheeccedono (o sono inferiori) una soglia arbitrariamente prefissata, in genere abbastanza elevata(bassa), e si basa quindi su un numero annuo di eventi che può cambiare da anno in anno. In un caso si estrae dal campione di dati idrologici solo la serie dei massimi (minimi) annuali, nell’altro quella dei valori superiori (inferiori) ad una soglia.

Il processo dei massimi annualiAll’interno dei modelli probabilistici, che schematizzano il processo dei massimi annuali,particolare sviluppo hanno quelli derivanti da alcuni classici risultati asintotici del calcolo delleprobabilità.Se si considerano i massimi annuali X di una grandezza idrologica (piogge giornaliere, portate al colmo, etc.) come i massimi di una serie di N variabili casuali Yi (i=1, ….N), indipendenti e identicamente distribuite, è possibile, per N tendente ad infinito, individuare la distribuzione asintotica di X a prescindere dalla distribuzione delle Y, ma soltanto in base all’andamento della sua coda superiore (ovvero di come la funzione di probabilità cumulata delle Y tende ad uno). In particolare le distribuzioni asintotiche possono essere di tre tipi:

- distribuzione EV1 o di Gumbel;- distribuzione EV2 o di Frechet;- distribuzione EV3 o di Weibull.

Distribuzione EV1 o di Gumbel

La funzione di ripartizione (CDF) della distribuzione di Gumbel, o distribuzione del massimovalore del primo tipo, EV1 (Extreme Value Type-1), ha la seguente espressione:

)(

)(uxeexP

I parametri della distribuzione di Gumbel si possono ottenere in funzione della media μ e dello scarto quadratico medio σ attraverso le relazioni:

2825.1645.1

; 450.0577.0

u

Stima della distribuzione di probabilità

La stima della distribuzione di probabilità (CDF) di una variabile aleatoria X, a partire da un campione limitato di dati misurati della stessa variabile, si sviluppa secondo le seguenti fasi:

Scelta della forma più opportuna della curva CDF

Stima ottimale dei parametri della curva in funzione delle caratteristiche del campione di osservazioni disponibili

Test di adattamento del campione alla distribuzione stimata

Curve di caso critico e curve di possibilità pluviometrica

Le curve di caso critico (CCC) e le curve di possibilità pluviometrica (CPP) esprimono la relazione fra le altezze max di precipitazione h (o le intensità) e la loro durata θ, per un assegnato valore del tempo di ritorno TR.

1

n

n

ai

ah

Le curve di caso critico si ottengono a partire da campioni di altezze (o intensità) max annuali di pioggia misurate in N anni di osservazione per diverse durate elaborati considerando unicamente la frequenza cumulata all’interno del campione.

Le curve di possibilità pluviometrica si ottengono invece a partire da campioni di altezze (o intensità) max annuali di pioggia misurate in N anni di osservazione per diverse durate elaborati ipotizzando una distribuzione di probabilità per la variabile casuale altezza max annuale di pioggia per assegnata durata. Queste relazioni sono spesso indicate anche come curve di possibilità climatica o, ancora, linee segnalatrici di probabilità pluviometrica.

DDF Depth-Duration-Frequency

IDF Intensity-Duration-Frequency

Diverse espressioni sono utilizzate per descrivere le CCC e le CPP. In Italia sono generalmente utilizzate leggi di potenza monomie del tipo:

Curve di possibilità pluviometrica

La determinazione delle CPP si ottiene dall’analisi delle CDF, costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge intense di breve durata (ad esempio ½,1, 3, 6, 12, 24 ore),adattando a ciascuna di esse un predefinito modello probabilistico (ad es. Gumbel) i cui parametri vengono stimati a partire dai campioni. Dalle CDF, fissato il periodo di ritorno T (ad es. 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) eper ciascuna durata è possibile, quindi, ricavare il valore hθ,TR. I valori così determinati vengono riportati su un diagramma (h, θ) ed interpolati mediante curve del tipo

.

Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva conviene considerare la trasformata logaritmica dei valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il metodo dei minimi quadrati.

nah

Passando ai logaritmi la precedente diventa l’ espressione lineare

ovvero

logloglog nah xy

che è l’equazione di una retta di intercetta α e coefficiente angolare n.

Regressione lineare minimi quadrati

xy

02

0),(

min quadrati minimi dei Metodo

22

2

ii

iiii

ii

iii

ii

i

iii

xxN

yxyxNN

xy

xyx

xy

e

exy

Regressione lineare minimi quadrati

Note N coppie di valori (h,θ) riferite ad uno stesso periodo di ritorno, i coefficienti α ed n possono essere determinati approssimando la retta dell’equazione con la retta di interpolazione dei minimi quadrati.Tale retta di interpolazione è quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra la retta stessa ed i punti individuati dalle M coppie di valori noti.

θ (ore)

h (mm)

C.P.P. (h=aθn -> DDF)

Ietogramma

Ietogramma

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (min)

Inte

ns

ità

(m

m/h

)

La variazione dell’intensità di pioggia nel tempo, durante un evento piovoso prende il nome di Ietogramma di pioggia

Con ietogramma di progetto si intende un evento pluviometrico generato sinteticamente con l’obiettivo di pervenire ad un corretto dimensionamento delle opere. E’ dedotto da analisi statistiche sulla base di osservazioni pluviometriche e ad esso è associato un tempo di ritorno Tr.

Ietogrammi di progetto

IETOGRAMMA COSTANTE: è dedotto dalle curve di possibilità pluviometrica ipotizzando un andamento costante dell’intensità di pioggia nel tempo durante l’evento.

IETOGRAMMA TRANGOLARE: è caratterizzato da un’intensità media pari a quella ricavabile dalla curva IDF per la stessa durata, una intensità di punta pari al doppio dell’intensità media ed un rapporto tp/, tra istante del picco e durata dell’evento, stimato in base agli eventi storici

IETOGRAMMA CHICAGO: è definito in modo tale che l’intensità media della precipitazione da esso descritta è congruente per ogni durata con quella definita dalla curva di possibilità pluviometrica


0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

0 5 10 15 20 25 30

triangolare

rettangolare



0.0

5.0

10.0

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00

Tempo [minuti]

Inte

nsit

à [m

m/m

in]

Durata 60 minuti

Durata 15 minuti

Durata 30 minuti


Differenziando l’espressione precedente si ottiene

nai

0

)(


1)( nnai

Dividendo la durata parziale in due parti a e b , di cui b =r (r<1) è la parte precedente il picco di intensità e a =(1-r) è la parte che segue il picco di intensità


1

1

))1/(()(

)/()(

n

aa

nbb

rnai

rnai

Dove a è il tempo contato dal picco verso la fine della pioggia, b è il tempo contato dal picco verso l’inizio della pioggia ed r il rapporto tra il tempo prima del picco e la durata totale dell’evento.r va individuato da indagini statistiche della zona di interesse . Generalmente nei bacini urbani 0.3<r<0.4

Prima del picco

Dopo il picco

Dividendo la durata parziale in due parti a e b , di cui b =r (r<1) è la parte precedente il picco di intensità e a =(1-r) è la parte che segue il picco di intensità si ottengono le due equazioni che descrivono l’andamento dell’intensità nel ramo ascendente prima del picco ed in quello discendente dopo il picco

Distribuzione spaziale delle piogge

Gli eventi piovosi risultano non uniformemente distribuiti sull’area interessata. La disuniformità dipende da molteplici fattori legati all’orografia, alla distribuzione delle masse d’aria umida, alla distanza dal mare, ecc.L’afflusso di pioggia su di un’area estesa pertanto non può essere valutato semplicemente da osservazioni in un’unica stazione pluviometrica.

Se nell’area sono disponibili più pluviometri l’afflusso deve essere calcolato utilizzando le informazioni provenienti da tutti gli strumenti presenti (metodo dei topoieti, metodo delle isoiete)

Se nell’area è disponibile un unico pluviometro devono considerarsi opportuni coefficienti di ragguaglio

Distribuzione spaziale delle piogge

Metodo dei Topoieti

Attraverso il metodo dei topoieti o poligoni di Thiessen è possibile suddividere un territorio nel quale sono presenti n stazioni pluviometriche assegnando a ciascuna stazione un’area di competenza.

Il metodo consiste nell’unire con segmenti tutte le stazioni tra loro contigue, così da ottenere un reticolo a maglie triangolari, e nel tracciare quindi le perpendicolari ai segmenti nel punto medio. Si individuano dei poligoni irregolari, ciascuno dei quali contiene una stazione di misura situata in prossimità del centro. La costruzione dei poligoni non è univoca in quanto si possono definire diversi reticoli, di regola si fa in modo che i triangoli abbiano il minor perimetro. Una volta tracciati i topoieti ad ogni stazione si assegna l’area del poligono in cui essa ricade. L’altezza media di pioggia sull’intero territorio risulta essere

tot

n

iii

A

Ahh

1

Metodo delle Isoiete

Il metodo delle isoiete consiste nel tracciare le linee ad uguale altezza di precipitazione mediante interpolazione lineare delle altezze di pioggia registrate in stazioni pluviometriche adiacenti che si riferiscono di solito ad un prefissato intervallo temporale (es. 1 giorno, 1 anno).L’altezza media di pioggia sul territorio è l’altezza media del solido di precipitazione definito dalle isoiete.

Ragguaglio spaziale

Attraverso il ragguaglio spaziale delle precipitazioni all’area si ottiene il valore medio dell’altezza di pioggia su di un territorio a partire dal valore misurato in una singola stazione pluviometrica. Si definisce fattore di ragguaglio il rapporto tra l’altezza media sull’area e l’altezza di pioggia puntuale:

P

A

h

hR

R diminuisce all’aumentare di A e al diminuire della durata dell’evento

http://www.costruzioniidrauliche.it/dispense/pdf/cap1-idrologia.pdf

I. Mantica - Dispense di COSTRUZIONI IDRAULICHE

P. Versace, SCHEDA DIDATTICA N°6 Curve di Probabilità Pluviometricahttp://www.camilab.unical.it/attivita/corsi_2006/PDF/Curvdiprobabilitàpluvio.pdf

Sistemi di Fognatura – Manuale di progettazione – a cura di S.Artina et al. HOEPLI - Cap.6: Piogge intense

IDROLOGIA. ELEMENTI DI STATISTICA PER LANALISI DELLE PRECIPITAZIONI.

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