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Esercitazione n° 7 FISICA SPERIMENTALE II (C.L. Ing. Mecc. A/L)

(Prof. Gabriele Fava) A.A. 2010/2011

Campi magnetici e forze magnetiche nel vuoto

1.

Due fili rettilinei indefiniti, fissi e paralleli, posti a distanza d, sono percorsi dalle

correnti i1 e i2 rispettivamente. Nel piano che li contiene e fra essi si trova un terzo

filo indefinito, parallelo ai primi due, libero di spostarsi sul piano stesso, nel quale

fluisce la corrente i3 . Discutere le condizioni di equilibrio del terzo filo.

Le correnti i1 e i2 debbono essere equiverse, in caso

contrario il terzo filo non potrebbe mai essere in

d - x equilibrio: sarebbe, infatti, attratto dal filo 1 e

x respinto dal 2, o viceversa.

Stabilito ciò, occorre considerare:

d CASO (a): i3 è equiversa con i1 e i2

CASO (b): i3 è controversa rispetto a i1 e i2

1 3 2

CASO (a): i3 è equiversa con i1 e i2

F13 F23

i1 i3 i2 d - x

x

d

(1) L’equilibrio del filo 3 non dipende da i3

da cui: 21

1

ii

idx

(2) L’equilibrio del filo 3 non dipende da l3

(3) L’equilibrio del filo 3 è instabile

3

310

132

lx

iiF

3320

232

lxd

iiF

Per l’equilibrio: F13 = F23 xd

i

x

i

21

2

CASO (b): i3 è controversa rispetto a i1 e i2

F23 F13

i1 i3 i2 d - x

x

d

L’unica differenza con il caso precedente è che ora l’equilibrio del filo 3 è

stabile.

2.

Una spira quadrata di lato a è vincolata sul piano del foglio a distanza y0 da un filo

rettilineo indefinito, percorso dalla corrente i1 , situato sullo stesso piano

parallelamente a un lato della spira stessa. Quando la spira è percorsa da una

corrente i2 essa è attratta con una forza F dal filo. Trascurando il peso della spira,

determinare valore e verso di i2 . Calcolare il lavoro necessario per traslare la spira

a una distanza doppia dal filo.

FPQ

P Q

FRQ

FSP i2

S R

y0

FSR

i1

Dal testo si sa che la forza è attrattiva, quindi in SR la corrente i2 deve

essere concorde con i1;

per ragioni di simmetria le quattro forze sono applicate nei punti medi di

ciascun lato; inoltre le forze FSP e FRQ, formanti una coppia di braccio a,

farebbero ruotare la spira se essa non fosse vincolata sul piano;

3

310

132

lx

iiF

3320

232

lxd

iiF

Per l’equilibrio: F13 = F23 21

1

ii

idx

a

3

si ha: ay

iiFSR

0

210

2

a

ay

iiFPQ

0

210

2

;

per cui F

ayy

aiia

ayy

iiFFR PQSR

00

2210

00

210

2

11

2

;

la corrente i2 vale:

2

00

10

2

2

a

ayy

iFi

.

Infine il lavoro fatto per allontanare la spira vale:

ay

ayaii

ay

y

a

aii

ayy

dyaiidyFL

y

y

y

y

y

y

o

0

0210

22

210

22 2

210

2

2ln

2ln

1

22

0

00

0

0

3. In un piano verticale si trovano una spira quadrata di lato l, percorsa da una

corrente i1 = 1 A ed un filo rettilineo indefinito, fisso e percorso, come indicato in

figura, dalla corrente i2 = 2 A. (a) Sapendo che la spira è in equilibrio nella

posizione indicata, determinarne la massa. (b) Calcolare il modulo delle forze che

agiscono sui lati verticali.

O i2

l

A B

l x D C

i1

4

Il campo magnetico generato da i2 entra nel piano della figura. Le

forze esercitate dal C.M. sui due lati verticali della spira sono uguali

ed opposte, mentre quelle che agiscono sui lati orizzontali sono

opposte, ma di modulo differente perché essi si trovano a diversa

distanza dal filo. FAB

X B

FAD FBC

FDC

P

(a) La spira è in equilibrio quando FAB = FDC + P. Si ha:

ll

iiFAB

210

2

; l

l

iiFDC

22

210

; P = mg. Si ricava

kgg

iim 8210 102

4

.

(b)

O i2

l

A B

dFBC

l x D C

Su un tratto infinitesimo dx di BC agisce la forza dxx

iidFBC

210

2

,

avendo indicato con x la sua distanza dal filo.

Integrando si ottiene la forza per l’intero lato:

Niidxx

iiFF

l

l

ADBC

7

210210

2

108,22ln22

i1 dx

5

4.

Una spira quadrata di lato a = 20 cm, percorsa dalla corrente i = 5 A in verso

antiorario, è situata nel campo magnetico zuxB , con α = 0,2 Wb/m

3.

Calcolare la forza che agisce sulla spira e la energia potenziale magnetica della

spira stessa. z

y

S R

i

P Q x

La forza sul lato PS è nulla perché per tutti i punti dell’asse y la x vale

zero e, dunque, anche B = 0;

Lungo il lato QR il campo B è costante e vale B = α a, cosicché

FQR = i a α a ux = i α a2 ux;

Lungo il lato PQ si ha dFPQ = i dl B = i dx α x e quindi

22

2

0

2

0

aixidxxiF

aa

PQ

SRyPQ Fuai

F

2

2

La forza totale agente sulla spira vale, dunque:

xQR uaiFF

2 di modulo F = 0,04 N

Il momento magnetico di una porzione elementare di spira vale

dm = i dS = i a dx per cui dU = - dm B = - i a dx α x

e in definitiva J

aidxxaiU

a

33

0

1042

6

5.

In due conduttori rettilinei, indefiniti e paralleli, posti a distanza 2a, fluiscono

correnti di eguale intensità e di verso opposto. Una spira circolare di raggio molto

piccolo rispetto ad a si può muovere lungo l’asse del segmento 2a ortogonale al

piano contenente i due conduttori. Essa ha momento magnetico m

parallelo ed

equiverso con tale asse.

Determinare la forza agente sulla spira.

B1y = - B2y BRy = 0

B1x = B2x ; B1x = B2x = B cosα

cos

22cos2 0

r

iBBRx

In definitiva: 22

0

2

000 cosax

ia

r

ia

r

a

r

i

r

iBRx

Date le piccole dimensioni della spira, possiamo considerare che il campo BRx

generato da i1 e i2 abbia lo stesso valore in tutti i punti appartenenti al piano

della spira, per cui:

22

0

ax

iammBBmU RxRx

La forza a cui la spira è soggetta vale:

222

0 2

ax

xiam

dx

dUFx

La forza è attrattiva e si annulla per x = 0 e quel punto rappresenta per la spira

una posizione di equilibrio stabile, dato che in esso U(x) ha un minimo.

i1 = i2 = i in versi opposti

m = i’ S ux B1 = B2 = B

cosα = a / r r2 = x

2 + a

2

7

6.

Una spira circolare di area S = 10 cm2, in cui fluisce la corrente i = 1 A, è immersa

in un campo magnetico uniforme di intensità B = 0,5 T e può ruotare attorno a un

suo diametro ortogonale al campo B

. Se la normale al piano della spira forma con

le linee di campo un angolo di: (a) 135° ; (b) 180°, a quale momento meccanico è

sottoposta la spira nei due casi? E nel caso (b) l’equilibrio è stabile?

m = i S n momento magnetico

M = m × B momento meccanico

i

· B

CASO (a)

m M = mBsen 135° = iSBsen 135° = 3,5 ∙ 10 – 4

N m 135°

B Tale momento fa ruotare la spira in modo che

m si orienti come B.

CASO (b) 180°

· m B

L’equilibrio stabile si ha nella seguente configurazione m B

m

M = 0, la spira è in una posizione

di equilibrio instabile dato che la

sua energia potenziale in quella

posizione ha un massimo.

Infatti: U = - m · B = mB.

8

L’equazione ammette due soluzioni di cui solo y = 0,11 m è accettabile.

7.

9

Dato che le dimensioni della spira sono trascurabili in confronto alla sua

distanza dai fili, si può considerare che il campo magnetico sia lo stesso su tutti i

suoi punti:

Il momento magnetico della spira vale:

Attenzione 0 BxmM

perché i due vettori sono paralleli, perciò la spira

trasla e non ruota.

L’energia potenziale della spira è data da:

e la forza a cui è soggetta la spira sarà:

Il segno meno sta ad indicare che la forza è attrattiva e con il valore assegnato di

F si ricava:

8.

10

9. Due fili conduttori rettilinei indefiniti, percorsi da correnti eguali i1 = i2 = 2 A,

sono disposti perpendicolarmente come in figura e la loro distanza è b = 5 cm.

Calcolare il momento MO rispetto al polo O delle forze agenti sul tratto del secondo

conduttore di lunghezza l = 2b con gli estremi disposti simmetricamente rispetto al

punto O.

2b

Il campo generato dalla corrente i1 nel generico punto P del secondo

conduttore è r

iPB 10

12

, dove

cos

br .

La forza che agisce su un tratto infinitesimo dl del conduttore 2 è data

da: 12 BldiFd

sendlBidF 12 .

Il momento di questa forza rispetto al polo O vale:

FdPOMd O

dlseniidFsenrdMO

2

210

2 .

Ora, essendo tgbl , di ha:

d

bdl

2cos

e in definitiva

dtgbiidMO

2

210

2 , per cui

dtgbiiMO

2

4

4

210

2

.

Integrando si ottiene:

NmbiitgbiiMO

8

2104

4210 107,1

22

22

r B1

θ

11

10. Sono dati un filo conduttore rettilineo indefinito percorso da corrente i1 ed un

tratto di filo AB di lunghezza l percorso da corrente i2 , formante un angolo θ con il

filo indefinito. Sapendo che la distanza minima tra i due fili è D, determinare la

forza che il filo indefinito esercita sull’altro filo.

Il C.M. generato da i1 sul tratto infinitesimo dl entra nel piano di

figura e vale x

iB 10

12

.

Tenendo conto che dl = dx / senθ si ha:

D

senlD

sen

ii

x

dx

seniiBdliF

lsenD

D

B

A

ln2

1

2

210

1

0

212

11. Una spira rettangolare, di peso trascurabile e di lati l1 = 6 cm e l2 = 5 cm,

disposta in un piano verticale, è immersa in un C.M. orizzontale B = 0,2 T e può

ruotare attorno ad uno dei lati verticali di lunghezza l1 .

Nella spira circola una corrente i = 2A, ed essa è in equilibrio quando l’angolo tra

il campo B e la normale alla spira stessa è α = π / 6.

Calcolare :

(a) la forza agente su ciascun lato della spira;

(b) il momento meccanico delle forze esterne necessario a mantenere la spira nella

posizione di equilibrio indicata;

(c) Il flusso del vettore B attraverso la spira.

dF

dl x

12

Sul lato A1A4 agisce la forza, diretta nel verso positivo dell’asse x, di

modulo F14 = i l1B = 2,4∙10-2

N, mentre sul lato opposto agisce una

forza F23 di verso opposto e di pari valore.

Queste due forze formano una coppia di braccio b = l2 senα che tende

a far ruotare la spira attorno all’asse z in verso antiorario.

Anche sui lati orizzontali agiscono due forze eguali e contrarie, coppia

di braccio e momento nulli, che tendono a deformare la spira, senza

risultato se essa è rigida:

F12 = F34 = i l2 B sen π/3 = 1,7 ∙ 10-2

N

a) La coppia F14 , F23 ha momento M = i l1B l2 senα = 0,6∙10-3

Nm che

tende a diminuire l’ampiezza dell’angolo α per portare la normale

della spira nello stesso verso del campo B, così che il sistema assuma

una posizione di equilibrio stabile.

Quindi, per mantenere la spira nella posizione indicata, le forze

esterne devono avere un momento opposto a quello della coppia in

questione.

b) Dato che il campo magnetico B è uniforme e che la superficie della

spira vale S = l1 l2 , si ha:

WbTmBlldSBdSnBBS S

S

424

21 102,5102,5coscos

l1

F14

F12

13

12. Una spira circolare di raggio r = 10 cm, percorsa da una corrente i = 1,5 A, si

trova in un campo magnetico uniforme parallelo al piano della spira B = 0,1 T.

Essendo A1A2 il diametro della spira perpendicolare al C.M.

(a) calcolare la risultante delle forze magnetiche agenti su metà della spira avente

per estremi i punti A1 e A2 ;

(b calcolare il momento originato dalle forze agenti sull’intera spira ;

(c) successivamente la spira viene fatta ruotare intorno al diametro indicato.

Determinare il lavoro compiuto dalle forze magnetiche in corrispondenza a un giro

completo della spira stessa.

(a) La forza agente sull’arco infinitesimo ds = r dθ è diretta secondo

l’asse x e vale BsdiFd

dove il vettore sd

ha direzione e

verso coincidenti con quelli della corrente i .

La forza che agisce sulla metà a destra della spira vale allora:

NBridBrisenBdriFx

2

2

2

2

2

1032cos2

3

(b) Le forze Fd

e FdFd

1 agenti sui due tratti infinitesimi indicati

in figura formano una coppia che tende a far ruotare la spira

attorno all’asse z e in verso antiorario. Di conseguenza è:

NmBridBriFdrM z

32

2

2

22 107,4cos2cos2

i x

14

(c) Se l’angolo α tra il C.M. e la normale alla spira ha un valore

qualunque, invece del π/2 attuale, il valore del momento meccanico si

modifica per un valore senα e vale senBriM z

2 , per cui il

lavoro compiuto dalle forze magnetiche in corrispondenza a un giro

completo della spira risulta pari a :

0

2

0

2

dsenBriL

13. Due spire circolari, concentriche e complanari, hanno rispettivamente raggio

r1 e r2 = r1 /2 la prima delle quali è percorsa dalla corrente i1 in vero orario.

determinare la corrente i2 che deve percorrere la seconda spira affinché sia nullo

il campo B situato sull’asse delle due spire a distanza z = r1 dal centro.

z

r2

i1

Il campo prodotto lungo l’asse da una spira vale

zu

zr

rizB ˆ

2 23

22

2

0

.

Nel nostro caso si avrà:

1

25

10

23

2

1

2

10

11

222 r

i

r

rirB

; 1

23

20

23

2

2

2

2

2

220212

542

2r

i

rr

rirrB

.

Per realizzare la condizione richiesta occorre che B1 + B2 = 0 , da cui

si ricava 112

5

23

2 98,1

2

5iii , dove il segno meno indica che la

corrente circola in verso antiorario.

r1

15

14. Due spire circolari, entrambe di raggio a, percorse da correnti di eguale

intensità I nello stesso verso, sono poste, con i loro piani paralleli, a distanza b.

Determinare il campo B al centro di ciascuna spira.

In un generico punto P dell’asse z si ha:

2

322

2

01

2 za

aIzB

;

2

322

2

02

2 zba

aIzB

.

In totale si ha:

23

2223

22

2

021

11

2 zbaza

aIzBzBPB

.

Il campo in O vale:

23

223

2

0 11

20

baa

aIzBOB

Il campo in O' vale:

32

322

2

0 11

2'

aba

aIbzBOB

N.B. B(O) = B(O’), come era evidente per ragioni di simmetria.

16

15. Due anelli isolanti, concentrici e complanari, carichi con eguale carica q

hanno rispettivamente raggio r1 e r2 = r1 /2. Sapendo che l’anello di raggio r1 ruota

con velocità angolare ω1 = 200 rad/s, determinare il valore ω2 della velocità

angolare dell’altro anello e il verso di rotazione tali che il C.M. al centro del

sistema sia nullo.

r2

ω1

L’anello a causa della sua rotazione equivale ad una spira percorsa

dalla corrente

2

q

T

qi dove T è il periodo di rotazione. Pertanto il

C.M. al centro di un anello carico ruotante vale : r

q

r

iB

42

00 .

Nel nostro caso 1

101

4 r

qB

;

2

202

4 r

qB

e dovendo essere nullo

il campo al centro, si deve avere B1 + B2 = 0 :

sradr

r

r

q

r

q/1000

441

1

22

2

20

1

10

, cioè una

rotazione in senso opposto alla prima, come era prevedibile.

r1

17

16. Una sfera conduttrice di raggio R = 10 cm carica con q = 10 −6

C ruota con velocità angolare ω = 10

3 rad/s attorno a un diametro. Calcolare il campo

magnetico al centro della sfera e il momento magnetico della stessa.

dS

ω

La striscia infinitesima della superficie sferica tra θ e θ + dθ ha una

superficie pari a dS = 2πr ∙ R dθ = 2πR senθ ∙ R dθ = 2πR2 senθ dθ.

La carica presente su di essa è dSR

qdSdq

24 , per cui la

striscia ruotante con periodo T equivale a una spira circolare percorsa

da corrente

dsen

qdq

T

dqdi

42 .

Nel punto C dell’asse della spira il campo magnetico vale:

23

22

20

2 rx

rdidB

ed essendo r = R senθ , x2 + r

2 = R

2 si ottiene

dsen

q

RdB 30

42 .

In conclusione .1067,668

10

0

030 TR

qdsen

R

qB

Il momento magnetico infinitesimo vale dm = π r2 di . Integrando si ha:

262

0

32 1033,33

1

4

1AmRqdsenRqm

.

R

θ

r

H C x

18

17. Un guscio cilindrico indefinito, di raggio R = 10 cm, uniformemente carico con

densità superficiale σ = 20 μC / m2, ruota attorno al proprio asse con velocità

angolare ω = 50 rad / s, Determinare il valore del C.M. generato all’interno del

guscio, sapendo che esso all’esterno è nullo.

Risolviamo il problema utilizzando il Teorema di Ampère .

Consideriamo il percorso chiuso in figura che, essendo attraversato da

cariche in moto, concatena una corrente. Il cilindro è assimilabile a

una infinità di spire sovrapposte o a un solenoide indefinito.

In ogni caso il campo è presente solo all’interno del guscio e le linee di

campo sono parallele al suo asse.

Per questo la circuitazione fornisce risultato non nullo solo sul tratto

verticale interno al guscio: infatti all’esterno il campo B è nullo,

mentre i tratti orizzontali sono perpendicolari al campo stesso.

Si ha quindi: Bl = μ0 il .

La carica che in un tempo pari al periodo T = 2π/ω attraversa il

rettangolo è QT = σ ∙ 2πR ∙ l, per cui la corrente vale: RlT

Qi T

l ,

e il campo vale .1026,1 10

00 TRl

iB l

N.B. In alternativa si può calcolare B, pensando a un solenoide, suddividendo il

cilindro in N anelli, ciascuno dei quali percorso dalla corrente

NRl

N

ii lanello

1 . Il campo vale allora: .00 R

l

NiB anello

l

19

18.

Si abbia un sistema costituito da un cilindro conduttore cavo indefinito, di raggi R1

= 1 cm e R2 = 5 cm, percorso da una corrente di densità J = 80 A / m2 e da un filo

conduttore rettilineo posto in corrispondenza dell’asse del cilindro e percorso da

una corrente i = 0,1 A di verso opposto rispetto a J.

Determinare a che distanza dall’asse del cilindro il C.M. è nullo.

Risolviamo il problema utilizzando il Teorema di Ampère , calcolando

la circuitazione del campo B lungo una circonferenza perpendicolare

all’asse del cilindro, con centro sul filo, raggio r compreso tra R1 e R2:

JSiirBldB econcatenat 002

dove S = π (r2 − R1

2).

Imponendo B = 0 si ottiene cmJ

iRrRrJi 23,22

1

2

1

2

.

20

19. Si abbia un sistema costituito da un cilindro conduttore cavo indefinito, di raggi

R1 = 3 cm e R2 = 5 cm, percorso da una corrente di densità J = 530 A / m2 e da un

filo conduttore rettilineo posto all’interno del cilindro a distanza d = 2 cm dall’asse

del cilindro stesso e percorso da una corrente i = 2 A di verso opposto rispetto a J.

Determinare sull’asse x il punto X esterno al cilindro in cui il C.M. è nullo.

y

d X − d

x

Calcoliamo il campo generato dal cilindro all’esterno di esso mediante

una circuitazione lungo una circonferenza di raggio X > R2

perpendicolare all’asse del cilindro e concentrica con questo.

2

1

2

2002 RRJiXBldB aconcatenat

da cui si ottiene:

X

RRJB

2

2

1

2

20 (diretto secondo l’asse y).

Nel punto X il campo dovuto al filo vale :

dX

iB filo

2

0

(diretto nel verso negativo dell’asse x).

In definitiva

022

02

1

2

20

dX

i

X

RRJBTOT

da cui:

cmiRRJ

RRdJX 8

2

1

2

2

2

1

2

2

x

i

J

X

21

20. Un nastro conduttore indefinito di larghezza a = 4,5 cm è percorso dalla

corrente i = 6 A. Calcolare il C.M.:

(a) in un punto P’ situato sul piano del nastro a distanza d = 12 cm dal bordo più

vicino al nastro stesso;

(b) in un punto P distante d dal piano del nastro e situato sulla perpendicolare al

nastro stesso tracciata sulla sua mediana.

z

y

P d P’

y

x

a

a) Dividendo il nastro in elementi infinitesimi dy, ciascuno di essi,

percorso da corrente di , genera in P’ il campo y

didB

2

0 .

Assumendo che la densità di corrente sia uniforme, si può scrivere

a

i

dy

di per cui:

y

dy

a

idB

2

0 .

Integrando si ottiene il campo totale:

.106,8ln22

400 Td

ad

a

i

y

dy

a

iB

ad

d

O

d

i

dy

22

b) Indicando con r la distanza di P dalla striscia infinitesima dy,

con y la distanza di questa da O, e tenendo conto che per ognuna

di esse ne esiste un’altra simmetrica rispetto ad O, il campo B

risulta essere perpendicolare all’asse x, cioè diretto lungo l’asse

y. Si ha la situazione in figura.

Si ha:

cos

dr ; 0 ≤ α ≤ α0 ;

d

aarctg

20 ;

a

i

dy

di ;

cos

22 0

r

dy

a

idB

Dato che y = d tgα

dddy2cos

1 per cui:

d

a

i

ddd

a

idB 0

2

0 coscos

cos

1 .

Infine d

aarctg

a

id

a

iB

2

0

0

00

.